嘉陵江铊污染事件数学建模

结果

C1
C2

C e0.00075 x 0
C e0.00079 x 0
C3 C4 C5

C e0.00086 x 0
C e0.00090 x 0
C e0.00118 x 0
C6

C e0.00105 x 0
CC87

C e0.00111 x 0

1
一、问题重述
1.1 问题的背景 2017 年 5 月 5 日 18 时，四川广元市环境监测中心站监测发现嘉陵江入川断面水质
异常，西湾水厂水源地水质铊元素超标 4.6 倍。初步判定污染源为川陕界上游输入型、 一次性污染团。此次事件再一次警示民众水污染监控及预警的重要性。
水污染可主要分为"点源污染"与"面源污染"两种类型，当出现水质重金属污染超标 时，管理部门需要能尽早快速诊断出污染类型及污染源位置，这样能尽快切断污染源， 减少污染对环境、民众工作生活等带来的损失。 1.2 问题的描述
度与时间存在着一定的函数关系。通过 MATLAB 进行最小二乘法曲线拟合得出本次各监
测站浓度随时间变化不同，经过比较分析得出铊元素浓度在不同时间，区域的变化特点。
针对问题四，首先根据问题三中收集的本次铊元素污染的相关数据，基于问题一中
所建立的稳态条件下的一维水质模型，得出本次嘉陵江铊污染事件应监测的重点时间为
二、问题分析
此题主要是研究重金属元素（铊元素）在水质中浓度变化问题。首先根据实际问题 建立合理的模型假设，其次根据建立的描述铊元素水质中浓度变化模型分析设立参数的 变化规律；建立优化模型对重点监测区域，监测时间，污染源的类型及大致位置进行求 解。现在对各个问题的具体分析如下： 2.1 问题一的分析
针对问题一，首先仅考虑纵向的分散（弥散）作用，而不考虑横向和竖向（水深方 向）扩散作用，查阅相关资料，通过研究铊元素的浓度，江水的流速，沿江流动扩散的 距离等参数之间的关系建立铊元素在稳态条件下的一维水质模型。得到浓度变化曲线， 分析下游水质铊元素浓度变化趋势。根据建立的模型和变化规律求解下游的污染重点监 控区域及时间。 2.2 问题二的分析
根据以上信息，请利用数学模型回答以下问题： 1、假设当出现水质铊元素点源污染或面源污染时，建立模型分析下游水质铊元素 浓度变化趋势，由此估计下游的污染重点监控区域及时间。 2、当在下游水质监测点检测到铊元素超标及相关数据，能否利用数学模型快速估 计出上游污染类型及污染源大致位置？ 3、收集本次广元铊元素事件的相关数据，分析本次铊污染的主要特点。 4、根据第三问数据，进一步回答问题 1 和问题 2，并由此验证问题 1 和问题 2 的合 理性。
2
2.4 问题四的分析 针对问题四，首先根据问题三中收集的本次铊元素污染的相关数据，基于问题一中
所建立的稳态条件下的一维水质模型，进行相关分析。在已知各监测站之间的距离、水 流速度的条件下，得出本次嘉陵江铊污染发生后所应监测的重点区域及相应时间。而后 利用，精确求解出本次嘉陵江铊污染法污染类型及污染源的大致位置。最后将模型的预 测值与真实值做对比，由此验证出模型的合理性。
k x
k 2 ， X (t) 0 ， C C0 带入边界条件得到 C C0e u
其 k 的单位为：1/ 天， u 的单位为： m / s ，我们化 u 单位为 km / 天，则 k 0.21000 1 u 24 60 60 u 432u
5.2 模型的求解 5.2.1 求解浓度与距离的关系式 （1）数据的收集与处理
物浓度变化模型。我们将嘉陵江干流部分示意图沿着水流方向，建立一维坐标轴，将沿 岸各个监测点记做坐标轴上的点，记沿江流方向各个监测点川陕界，清风峡，沙河镇···八 里庙分别为 x1 ， x2 ， x3 ··· x9 由下图轴（1）可知污染源应处于嘉陵江干流上游位置， 即下图 中 x1 的左端区域。
（1）如果污染源的类型为点污染源，可记上游点污染源在一维坐标转化图的位置为 x0 ， x0 位于 x1 的左端。即如下图轴（2）所示。
h
5.3 利用 MATLAB 进行模型检验与评价
依据表 1 中的相关数据，利用 MATLAB 编程将基于稳态条件下的一维水质模型进
行检验，则各监测断面处铊元素浓度随距离变化曲线图，具体结果如下：
图 2：监测断面处铊元素浓度随距离变化曲线图
六、问题二的模型建立与求解
6.1 一维坐标转化模型的建立 由问题一中的一维水质模型我们能够得到嘉陵江下游广元市的各个监测站的污染
5
通过解出上式得出
x

Biblioteka Baidu
ln C0

9.21
因此，发生铊元素水污染后，距离污染源的下游区域
ln C0

9.21km 范围内均为污染重
点监控区域。记位于污染重点监控区域内的检测站流域水速为 v ，则污染事故发生后重
点监测时间段为
ln C0 v

9.21 v
四、符号说明
符号说明 纵向分散系数 附加项（包括衰减项、源和漏） 污染物的输入量 断面面积 污染源铊元素的初始浓度 监测站监测到铊元素的浓度 监测站站处测得的的江水流速 监测站浓度计算公式所对应常数因子 位于重点监控范围内监测站处江水流速 各个监测站在干流一维转化图中的位置坐标 中心点解（污染源到川陕界监测站的距离） 监测站到川陕界监测站的距离 面污染源在干流一维转化图中的区域 面污染源在干流一维转化图中的区域的上游端点 面污染源在干流一维转化图中的区域的下游端点 中心相似度阈值
S ——附加项（包括衰减项、源和漏）。
如果只考虑衰减项，则 S KC , K 为衰减系数：
c ——浓度随时间的变化率； t
c ——浓度随空间（水流方向）的变化率； x
当河流中河段均匀、恒定连续排污和水文条件稳定时，断面积 A 、流速 u 、污染物
输入量 W
和
E
,都不随时间而变化。此时，断面的污染物浓度
ln C0 v

9.21 v
h
。重点监控区
域为距离污染源
ln C0
9.21km 范围内。
针对问题二，根据下游各个观测点的相对位置距离 xi 和监测到铊元素的浓度数据 Ci ，根据问题一中所建立的水质中铊元素浓度一维水质模型和各个参数之间的规律，将 所收集到的数据带入计算分析。
C e0.00117 0
x
C9

C e0.00118 x 0
5.2.2 模型求解的结果 题目要求所求下游的污染重点监控区域，即为铊浓度超标区域。将污染源处排放的
废渣中铊浓度记为 C0mg / L ，超标区域初始铊浓度大于 0.0001mg / L ，即
C C0ex 0.0001mg / L
的流速 u ，沿江流动扩散的距离 x 等参数之间的关系，建立铊元素在稳态条件下的一维
水质模型
c t
u
c x

Ex

c x 2

S
。得到浓度变化曲线 Ci

C0ei x
，i

(1,2,,9) ，分析得
出下游水质铊元素浓度随污染源的距离的增加呈现出指数型递减。根据建立的模型和变
化规律求解下游的污染重点监控时间段为污染事故发生后
的范围内。
针对问题三，收集相关数据，利用 Excel 进行相关统计分析，建立基于最小二乘法
思想的数据分析模型，分析铊元素浓度变化相关规律，得出本次铊污染中铊元素浓度在
不同时间段、区域的变化特点。在利用 Excel 相关统计分析基础上，利用 SPSS 软件进
行回归分析，得出各监测站铊元素浓度与时间的显著性概率均小于 0.005，则铊元素浓
C
是稳定的， c t

0
，则上
式变成
u

c x

Ex
2c x 2

S
对于河底无渗漏、忽略侧向输入，对不受抄袭影响的稳态河流 [3] ，纵向分数（弥散）
作业很小，易降解的污水污染物水质模型可变为
u
dc dx

K1C
此方程的通解为： C Aex 得 k 对于 x 0 ，污染物的降解系数在本文中取 u
对于嘉陵江下游，广元市的各个监测点，我们沿江流方向，从上到下依次将各个监 测点的位置在嘉陵江干流示意图中标注
4
图 1：嘉陵江广元段各监测站示意图 我们对嘉陵江干流的九个主要监测点从 2016 年 4 月到 2017 年 4 月的流速进行了统计， 得到了各地的平均流速。
表格 1：嘉陵江广元段各监测站之间距离
针对问题二，根据下游各个观测点的相对位置距离和监测到铊元素的浓度数据，根 据问题一中所建立的铊元素浓度变化的一维水质模型和各个参数之间的规律，将问题转 化为利用已知参数求解未知参数的问题。最后将所收集到的数据带入计算分析，快速估 计出上游污染类型及污染源大致位置。 2.3 问题三的分析
针对问题三，首先收集本次嘉陵江铊污染事件中相关数据，根据收集铊污染发生后 广元沿江地段各监测断面某时刻铊浓度相关数据，利用 Excel 进行数据预处理，而后整 理得出某时刻各监测断面所对应铊元素浓度统计表及各监测断面铊元素浓度随时间而 改变的变化趋势图。然后根据铊元素浓度的变化趋势图进行相关分析，可以得出铊元素 浓度的变化与时间相关。最后基于最小二乘法思想，建立数据分析模型，由此分析本次 铊污染的主要特点。
（2）如果污染源的类型为面污染源，则将上游面污染源在一维坐标检测站中的位置 区域为 X 0 ，其左右端点界限分别为 x01 ， x02 。即如下图轴（3）所示。
6
图 3：嘉陵江广元段监测站一维坐标示意图
6.2 数据的统计和处理 收集到的下游各个观测点的相对位置距离和监测到铊元素的浓度数据进行分析（详
川陕界 清风峡 沙河镇 千佛崖 苴国村 上石盘 昭化古镇 张王乡 八庙沟
3.09876 2.94857 2.69085 2.56474 1.95984 2.21333 2.09477 1.98405 1.96923
（2）浓度变化方程的建立 将上表九个监测点的流速分别带入式得到下游各个监测点浓度的变化方程求解的
三、模型假设
假设 1：河流中河段均匀、恒定连续排污和水文条件稳定 假设 2：河流纵向长度远大于横向竖向长度 假设 3：污染物在河流中纵向扩散作用远大于横向和竖向作用 假设 4：各个监测站所监测到江中铊元素的含量数据真实可靠 假设 5：各个监测站所在地的水流速度数据真实可靠
符号
Ex S W
A C0 Ci ui i v xi x xi X0 x01 x02
9
（1）若经过计算所得到的数据解满足辨别点污染源关系 dist x(i) x i 1
则可以判别出该污染类型为点污染源，且污染源位置位于川陕界上游 x
（2）若不满足满足辨别点污染源关系式，则可判定其类型为面污染源。其边界端点
x01 ，x02 分别为区域 X 0 x01 x02 上下游边界。且污染源区域位于川陕界上游长度为 X 0
污染发生后 4.25 h 内，重点监测区域为距离污染源所在地下游 12 km 范围内。并求解出
本次嘉陵江铊污染类型为点污染源，污染源的大致位置为嘉陵江距离川陕界上游 7.2 km
处。与真实污染源位置燕子砭镇（6.2 km ）相错 1 km ，误差概率为 0.16。
关键词： 一维水质模型 铊元素浓度变化方程 最小二乘法拟合 绝对值距离
3
五、问题一模型的建立与求解
5.1.稳态条件下的一维水质模型建立
一维水质模型 [4] 是仅考虑纵向的分散（弥散）作用，而不考虑横向和竖向（水深方
向）扩散作用的水质模型，推导的基本数学模型如下：
式中：
c t
u
c x

Ex

c x 2

S
Ex ——纵向分散系数， L2T 1 ，
细数据见附录 2） 表格 2：嘉陵江沿程各段距离
检测地点 xi x j
川陕界至清风峡 清风峡至沙河镇 沙河镇至千佛崖 千佛崖至苴国村 苴国村至上石盘 上石盘至昭化古镇 昭化古镇至张王乡 张王乡至八庙沟
符号 xi
x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 x5 x5 x6 x6 x7 x7 x8 x8 x9
嘉陵江铊污染事件
摘要
本文研究的主要是基于嘉陵江铊元素水质污染事件发生后的最优控制策略。依据事
件相关数据的统计分析，建立只考虑铊元素纵向扩散的一维水质模型，以快速估测出水
质污染后的重点监测区域及时间，并能快速查找出相应污染源类型及大致位置。
针对问题一，首先仅考虑铊元素纵向的分散作用，通过研究铊元素的浓度 C ，江水