群论复习题

群论复习题
1. 一个集合能够成群的条件是什么?
2. 集合{1,-1,I,-i}对于数的乘法构成群,试做出该群的乘法表
3. 证明任何一个
4. 证明:群={a 3,a 6=e}
G 2={a 2,a 4,a 6=e}
求和的直积群12G G G =⊗
5. 已3D 群的元素为3D ={}2(1)(2)(3)33222,,,,,e c c c c c 他的两个子群分别{}(1)12,H e c =,{}2
233,,H e c c =,求
1H 的所有左陪集,2H 的左陪集
6. 找出置换群3S 的共轭元素类
7. 证明n 电子体系的哈密顿量(薛定谔方程)具有进行 (,)R z α变换不变性 2
11(,,)2
n
n
n n
i i i
i
i
i j
i
ij
n H
H x y z r r =-∇-
+
≡∑
∑
∑∑
其中2
22
2
()()()ij i j i j i j r x x y y z z =-+-+- 2222
i i i i r x y z =++
8. 求3D 群三维表示矩阵
9. 求二价循环群{}2
,G a a e ==的左正则表示
10. 利用特征标的正交关系,求3D 群的特征标表 11. 已知:3d D 群的特征标表如图
求u E ⊗u E 的分解
13,已知某群的两个表示的特征标如下
证明(1) (1)
X 和(2)
X 对应的表示(1)
A ,(2)
A
是不可约表示
(2) (1)
A ,(2)
A
是不等价的不可约表示
14,()
u D
和()
v D 是群G 的两个不等价不可约表示,试证明
(1)其直积表示()
u D ⊗()*
v D
不含恒等表示
(2)一个不可约表示与其复共轭表示的直积中恒等表示出现切仅出现一次 15试证明直积表示的特征标等于其因子表示的特征标之乘机
16已知.3v C 的特征标表如下
写出投影算符1()
A O ，2()
A O
，()
E O
的表达式
17（a ）验证下列八个矩阵组成的集合在矩阵乘法下构成群
100
1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，011
0⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，0
110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1001⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，011
0-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
，011
0⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（b ）写出他的乘法表
（c ）写出证0
101,1
01
0⎧⎫
⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎩⎭
是不可约生成元系 （d ）找出所有的子群，其中那些是正规子群 18、已知点群3C ={}2
3
3
,
e C C ,求3
C
的商群33
v C C
19、若G=H ⊗K ，证明
（！）商群
G H
与K 同构
（2）G 与H 及H 同态
20、找出3D 、3v C 、2d D 的正规子群 21、写出群表示矩阵元满足的正交性定理
22、证明：含有n 个电子的三原子分子的hamilton 具有3h D 群元操作变换不变性 23、若G D 是群G 的一个表示，证明 （1）*
G D 也是群G 的一个表示
（2）若G D 是可约表示，则*
G D 也是可约表示 （3）若G D 是不可约表示，则*G D 也是不可约表示 24、已知()
()
()
{}1
2
,
....
u u u n
φφφ是不可约表示()u
D 的基函数，()
()
()
{}1
2
...
v
u v n
ϕϕϕ是不可约表示
()
v D
的基函数，
求：u v
D ⨯的基函数，并证明之
25、写出直积表示的约化公式
26、写出特征标 满足的第一第二正交性关系
27. 已知：3D 和i C 的特征标表如下图，且3h D =3D ⊗i C ，试构造3h D 的特征标表
28.已知绕任意轴的转动可分解为三个连续的转动
u R (ϕ)=R(,,αβγ)=()Z R α()Y R β()Z R α
且()z R ϑ=co s sin 0sin co s 0001θθθ
θ-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
()Y R θ=co s 0sin 010sin 0
co s θθθθ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭
求：
1. 试写出u R (ϕ)的表示矩阵
2. 求绕通过原点和（1.1.1）的直线旋转23
π的表示矩阵
29.构造4C 群的特征标表
30.证明六阶群6G 和置换群3S 同构
31.证明：任何一个n 阶有限群都与置换群n S 的一个子群同构 32.已知3D 的基函数空间为2
2
2x y xy ⎡⎤-⎣⎦，求它的空间中的二维表示
33.已知{}h O O e i =⊗且有
求h O 的特征标表。