运筹学(一)

运筹学(一)
课程说明
教材 胡运权主编，运筹学教程（第四版），清华 大学出版社，2012。
课程说明
参考书 （1）胡运权主编，运筹学习题集（第四 版），清华大学出版社，2010 （2）钱颂迪等，运筹学（第三版），清华 大学出版社，2005
课程说明
先修课程 微积分、线性代数、概率论
学习方式 课堂听课、课下习题、软件学习
目标函数为max z=3x1+x2，约束条件为
x 1 x 2 2 ; x 1 2 x 2 6
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域一 定是个凸集。
3.线性规划问题的最优解若存在，则最优解或 最优解之一一定是可行域的凸集的某个顶点。
4 .解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其 目标函数值。比较其相邻顶点函数值，若更 优，则逐点转移，直到找到最优解。
n
（1）目标函数为min型，即minz cjxj j1 等价于求 m，ax令(z) ，z即化z为：
n
m ；axz cjxj j1
（2）约束条件的右端项bi 为负值，则该行左右两端 同
时乘以（-1），同时不等号也要反向；
（3）第i 个约束为 型，在不等式左边增加一个非负的 变量，称为松弛变量；同时该变量在目标函数中的系
该模型的简化表示：
n
max或 (minz) cjxj j1
s.tjn1aijxj (或， ）bi (i1,,m)
xj 0 (j1,,n)
该模型的向量表示：
max(或min)z CX
s.t.
n
j1
Pj
xj
（或，）b
X0
x1
a1j
b1
其中， C (c1,c2,,cn);
X
x2
表1-2
月份
1
2
3
wenku.baidu.com
4
所需仓库面积
（ 100m2)
15
10
20
12
表1-3
合同租借期限 1个月 2个月 3个月 4个月
租借费
（元/100m2) 2800 4500 6000 7300
设xij公司在第i（i=1,2,3,4)个月初签订租借期为j （j=1,2,3,4)个月的合同的仓库面积，此问题的数学 模型为：
1.求解线性规划问题时，解的情况有四种类型。 （1）惟一最优解（如上例）；
（2）无穷多最优解（若上例中目标函数变为max z=3x1+x2)；
x2
x2
x2
6x12x224
Q4
Q3
x2 3
x2 3
Q 2 x1x2 5
o
Q1
x1 o
x1 o
x1
( 3 )无界解（若去掉例子中第2、3个约束）；
( 4 )无可行解。
（3）模型方法的应用
运筹学研究建立在科学的研究方法之上，它研究的第一步就是根据实际问 题和管理要求建立必要的数学或模拟模型。然后对模型进行求解、分析和 检验。因此学习运筹学要掌握的重要技巧就是对运筹学模型的表达、运算 和分析的能力。
2.运筹学研究的基本方法
（1）分析和表述问题； （2）建立模型； （3）求解模型； （4）测试模型； （5）对模型进行必要的修正； （6）建立对解的有效控制； （7）方案的实施。
库存管理。存储论应用于多种物资库存量的管理，确定某些设备的合 理的能力或容量以及适当的库存方式和库存量
运输问题。用运筹学中运输问题的方法，可以确定最小成本的运输线 路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择。
人事管理。可以用运筹学方法对人员的需求和获得情况进行预测；确 定合适需要的人员编制；用指派问题对人员合理分配；用层次分析法 等方法来确定一个人才评价体系等。
市场营销。可把运筹学方法用于广告预算和媒体的选择、竞争性的定 价、新产品的开发、销售计划的制定等方面。
财务和会计。可以用运筹学方法进行预测、贷款、成本分析、定价、 证券管理、现金管理。
第一章
线性规划与单纯形法
主要内容：
第一节 线性规划问题及其数学模型 第二节 图解法 第三节 单纯形法原理 第四节 单纯形法计算步骤 第五节 单纯形法的进一步讨论 第六节 线性规划在经济管理中的应用例子
2x1 x2 x3 x3 x4 9
st.34xx11
x2 2x3 2x3 x5 2x2 3x3 3x3 6
4
x1, x2, x3, x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
Operations Research(美国) （直译为“作业研究”、“运用研究”）
中文：运筹学（来源于“夫运筹帷幄之中，决胜 于千里之外”）
运筹学是在实行管理的领域，运用数学方法， 对需要进行管理的问题统筹规划，作出决策的一
门应用科学 (P.M.Morse与G.E.Kimball )；
运筹学是用数学方法研究经济、民政和国防 等部门在内外环境的约束条件下合理分配人力、 物力、财力等资源，使实际系统有效运行的技术 科学，它可以用来预测发展趋势，制定行动规划 或优化可行方案（《中国大百科全书》）；
例4：用图解法求解以下线性规划问题
ma zx2x1x2
5 x 2 15
st
.
6
x
1
x
1
2
x x
2 2
24 5
x1 , x 2 0
x2
6x12x224
Q4
Q3
o
x2 3
Q 2 x1x2 5
Q1
x1
最优解在Q2处获得，此时x1=3.5, x2=1.5,目标函数值为8.5
二、由图解法得到的启示
a m 1 x1
a
m
2
x2
amnxn (,)bm
x1, x2 , , xn 0
n : 变 量 个 数 ; m:约 束 行 数 ;
n:变量个数 m：约束个数 cj:价值系数 bi:资源拥有量 aij :工艺系数
n m :线性规划问题的规模
c j : 价 值 系 数 ; b j : 右 端 项 ; aij : 技 术 系 数
x14 x23 x32 x41 15 xij 0(i 1,,4; j 1,,4)
二、线性规划问题的数学模型
线性规划问题数学模型的三个组成要素
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的方
案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表示为 决策变量的函数。
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可用 资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等 式。
x2 2x2
2x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入x4松 和弛 剩变 余 x5,标 量 变准 量形式
m z x a 1 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
般形式化为标准形式。标准形式如下：
n
maxz cjxj
n
st.j1
aijxj
j1
bi
(i 1,,m)
标准形式特点： xj 0
(j 1,,n)
1. 目标函数为求极大值；
2. 约束条件全为等式；
3. 约束条件右端常数项bi全为非负值； 4. 决策变量取值非负。
把非标准形式转化为标准形式的方法：
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
第一节
线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题举例
例1（生产计划问题） ：美佳公司计划制 造Ⅰ，Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件 时分别占用的设备A,B的台时、调试时间、 调试工序及每天可用于这两种家电的能力、 各售出一件的获利情况，如表1-1所示。 问该公司应制造两种家电各多少件，使获 取的利润为最大。
运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对 经济管理系统中人、财、物等资源进行统筹安排， 为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效 的管理（《中国企业管理百科全书》） 。
2.运筹学的发展历史
（1）二战以前：萌芽
齐王-田忌赛马、丁渭修皇宫等。
（2）二战期间：产生
1938年，英国某雷达站负责人罗伊提出整个防空作战系统运行 的研究，并用到了operational research 来描述此研究。
m z i2 n8 (x 1 1 0 x 2 1 0 x 3 1 x 4)1 45 (x 1 2 0 x 2 0 2 x 3)2 60 (x 1 3 0 x 2)0 3 73 x 14 00
x11 x12 x13 x14 15
x1
2
x13
x1
4
x2
1
x2
2
x2
3
10
st.x13 x14 x22 x23 x31 x32 20
线性规划问题数学模型的一般表示形式：
m a x (mm in ) 或 f ( xm )a cz 1 xx 1 c i 1 cx 21 ( n x 2 c 2 x 2 ) c n x n c n x n
a11x1 a12 x2
s .t .
a21x1
a22 x2
a1n xn ( , )b1 a2nxn (,)b2
例2（仓库租借问题） ：某公司在下一年度的 1—4月的4个月内拟租用仓库堆放物资。已知各 月份所需仓库面积列于表1-2.仓库租借费用随合 同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表 1-3.租借仓库的合同每月月初都可办理，每份合 同具体规定租用面积和期限。因此该厂可根据需 要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理时 可签订一份合同，也可签若干份租用面积和租用 期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的 最优策略，目的使所付租借费最小。
1940年，英国军事部门成立了第一个由一些数学家、物理学家 和工程专家等组成的OR小组，负责研究一些武器有效使用的问题。
1942年，美国也成立了由17人组成的OR小组，研究反潜艇策 略等问题。
（3）二战后：推广与发展
战时从事运筹学研究的许多专家转到了经济部门、民用企业、大 学或研究所，继续从事决策的数量方法的研究，运筹学作为一门学 科逐步形成并得以迅速发展。运筹学发展到今天，已成为分支学科 众多的一个繁荣昌盛的大家族。随着电子计算机的发展和使用，运 筹学处理复杂性问题的能力大大加强，成为解决实际问题的有力工 具，广泛地应用于企业管理、交通运输、公共服务等领域。
；Pj
xn
a2
j
；b
am j
b2
bm
该模型的矩阵表示：
max( 或 min) z CX
AX （或 ， ） b
s .t .
X 0
a11 a12 a1n
其中，
A
a
21
a 22
a
2
n
a
m
1
am2
a
mn
三、线性规划问题的标准形式
为了使线性规划问题的解法标准，就要把一
数为0；
（4）第i 个约束为 型，在不等式左边减去一 个非负的变量，称为剩余变量；同时令该变量在目
标函数中的系数为0；
（5）若 ，x令0 xx
（6）若 无x约束，令 x，x其中x，
x,x0
例3：将下述线性规划模型化为标准形式：
mzi n x12x23x3
2x1 x2 x3 9
st.4x31x1
表1-1
项目
Ⅰ
设备A（h)
0
设备B （h)
6
调试工序（h) 1
利润（元）
2
Ⅱ
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
设x1, x2 分别代表Ⅰ，Ⅱ两种家电的生产量， 此问题的数学模型为：
目标函数 约束条件
ma zx2x1x2
5 x 2 15
st
.
6
x
1
x
1
2
x2 x2
24 5
x1 , x 2 0
主要授课内容：
绪论 线性规划及单纯形法 线性规划的对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划 整数规划 动态规划 图与网络分析
绪论
一、运筹学的起源与发展 二、运筹学研究的基本特点与基本方法 三、运筹学研究的主要分支 四、运筹学在企业管理中的应用
一、运筹学的起源与发展
1.什么是运筹学 英文：Operational Research(英国)
二、运筹学研究的基本特征与基本方法
1.运筹学研究的基本特征
（1）系统性特征
运筹学用系统的观点来分析一个组织（或系统），它着眼于整个系统而不 是一个局部，通过协调各组成部分之间的关系和利害冲突，使整个系统达 到最优状态。
（2）综合性特征
运筹学是一门交叉学科，具有综合性，它的起源就是由不同学术背景的专 家共同解决实际问题。它充分利用了数学、计算机科学、统计学及其它科 学的成就，这决定了运筹学内容的跨学科性和综合性。
三、运筹学研究的主要分支
线性规划（linear programming) 非线性规划 动态规划 图论与网络分析 存贮论 排队论 对策论 决策论
四、运筹学在企业管理中的应用
生产计划。使用运筹学方法从总体上确定适应需求的生产、储存和劳 动力安排等计划， 以谋求最大的利润或最小的成本。