高等数学微分中值定理教学ppt

间 [a,b] 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考虑两种可能 的情况：
(1) 若 m=M,则 f(x) 在 [a,b] 上恒等于常数 M(或 m),
因而在 (a,b) 内处处有f (x)=0， 因此可取 (a,b) 内任意一点作为 而使得f (ξ)=0成立。
(2) 若 m<M，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时 是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一 个在开区间(a,b)内部取得，
( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
f (a)- f (b)= f ()(b-
a)
几点说明： 1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立
的充分不必要条件；
2.当f (a)=f (b)时，拉格朗日中值定理即为罗
尔中值
定理；
3.设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x∈(a,b) 则有
一点 ∈(a,b)，使得
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时
的一种特例。
分析: g(b) g(a) g( )(b a) 0 a b
问题转化为证 f (b) f (a) g( ) f ( ) 0
g(b) g(a)
分别至少有一实根；
又 f (x)=0是二次方程,至多有二个实根；
所以方程f (x)=0 有且仅有两个实根,它们分别落在
区间（1,2) （2,3)内．
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 （拉格朗日中值定理） 设函数 y=f(x)满足 （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导；
(1) f ( x)在[0,1]上连续 (2) f ( x)在(0,1)内可导 (3) f (0) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
y
0
1x
例1 验证罗尔中值定理对函数
f(x)=x3+4x2-7x-10
在区间[-1,2]上的正确性，并求出．
解 （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
不妨设 f (ξ)=M， ξ∈ (a,b).
由条件(2)和费马定理推知 f (ξ)=0.
罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个
端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵 坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点 处的切线平行于x 轴(如下图）。
两点说明：
1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存 在 （； 3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0解得 x 4 37
则
37
4
(1
,
2)
3
就是要找的点，显然有f
(ξ)=0.
3
例2 证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正
(3) f (0) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
例 f ( x) x , x [1,1]; (1) f ( x)在[1,1]上连续 (2) f ( x)在(1,1)内可导
(3) f (1) f (1).
不 ,使f ( ) 0.
y 0
y 1 0
1x 1x
例
f ( x) x, x [0,1];
那么在(a，b)内至少存在一点 (a< <b) ，使得
f (b)- f (a)= f ()(b-a)或 f (b) f (a) f ( )
ba
注意到, Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况。
证明思想
构造辅助函数法
由于证明这个定理，目前只有Rolle定理可
用，因此想若能构造一个辅助函数 (x) ,使其满足
实根．
证明 存在性：令 f(x)= x5-5x+1，则f(x)在[0,1]上
f(0)=1，连f续(1)=-3，由介值定理：至少存在一点 x0∈(0,1),使f (x0)=0 ， x0即为方程的小于1的正实
根.
唯一性：设另有x1∈(0,1), x1 ≠x0,使f (x1)=0 因为f(x)在x1 ，x0之间满足罗尔定理的条件
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
定理的证明 因为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 f(x) 在闭区
g(b) g(a)
由罗尔定理知, 至少存在一
使
即
点
f (b)
f (a)
f ( )
.
g(b) g(a) g( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗
? f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) g(b) g(a) g( )(b a), (a , b)
上面两式相比即得结论. 错!
g(x) x
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
感谢下 载
例4 证明：arcsin x arccos x π (1 ≤ x ≤ 1) 2
证明 设f (x)=arcsinx+arccosx,
则f (x)在[0,1]上连续，又
f '( x) 1 1 0 1 x2 1 x2
由推论1知
f (x)=C
又因为
f (0) arcsin 0 想办法接近要证明的结论.
定理的证明
作辅助函数 ( x) f ( x) f (b) f (a) x.
ba
则函数j(x)在区间[a b]上满足罗尔定理的条件(1)(2)
又
(a) b f (a) a f (b) (b),
ba
所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点 ,使
由于 f (0) 0, f ( x) 1 1 x
所以上式变为 ln(1 x) x
1
因为0<<x，所以
x x x
1 x 1
即
x ln(1 x) x
1 x
三、柯西中值定理
定理3.1.3 （柯西中值定理） 设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且 g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在
两个
不 一定相同
几何意义：
弦的斜率 切线斜率
x g(t)
y
y f (t) f (b)
注意： dy f (t) dx g(t)
f (a)
O g(a) g( )
g(b)x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关
系 费马引理
f (b) f (a) 拉格朗日中值定理
g(x) x
罗尔定理
f (b) f (a)
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( ) x
即y f ( ) x
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格
朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点，使得该
点的切线平行于曲线两端点 ( a, f(a) )与 ( b, f(b) )的连
线，其斜率为
k f '( ) f (b) f (a)
定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点 （或稳定点、临界点)．
引理的直观意义: 可导函 数极值点处的切线平行于 x 轴.
定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间[a,b]上有定义，如果 （1）函数 f (x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即 f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a< <b，使得f ()=0 .
从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取 值；
2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个 条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件 不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看 如下例子：
例
x f (x) 0
0 x 1时 x 1时
(1) f ( x)在[0,1]上连续
(2) f ( x)在(0,1)内可导
ba
推论1 设 y=f (x) 在 [a, b] 上连续，若在(a, b)内 的导数恒为零，则在[a, b]上 f (x) 为常数.
f ( x) 0 f ( x) C
推论2 如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间 (a,b)内的导数处处相等，即f (x)=g(x) ，则这两个 函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C ．
22
所以 C
即
π arcsin x arccos x (1 ≤ x ≤1)
2
2
例5
证明：当x>0时， 1
x
x
ln(1 x)
x
证明
设f (x)=ln(1+x),则f (x)在[0,x]上
满足拉格朗日中值定理的条件，即
f ( x) f (0) f ( )( x 0),(0 x)
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 函数的性质 第三节 洛必达法则
第一节 微分中值定理
本节主要内容: 一.罗尔中值定理 二.拉格朗日中值定理 三.柯西中值定理
一、罗尔中值定理