广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学(文)试卷及答案解析.

广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知i 为虚数单位，则复数23ii-+的虚部是（ ） A.35B.35i -C.15-D.15i -2.已知集合{1,2}S =，{ln(1)0}T xx =-≤∣，则S T ⋃=（ ） A.{|12}x x ≤≤B.{|12}x x <≤C.{1,2}D.{|12}x x <<3.若平面向量(2,0)m =，(1,3)m n -=-，则⋅=m n （ ）A.3+B.2C.1D.4.已知函数2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则(1)(1)f f --=（ ）A.-7B.2C.7D.-45.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.25yx k =+） A.33℃ B.34℃C.35℃D.35.5℃6.函数()ln xf x x=的大致图象为（ ） A. B.C. D.7.若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A.1B.2C.4D.88.2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为（ ）A.12B.16C.112D.159.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为（ ）A.6B.14C.16D.1810.2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（ ） A.25B.15C.23D.1911.已知函数())0,||2f x x π⎛⎫=ω+ϕω>ϕ< ⎪⎝⎭，当()()123f x f x =时，12min x x π-=，()302f =，则下列结论正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期为2π.B.函数()f x 的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭C.函数()f x 的图象的一条对称轴方程为3x π=D.函数()f x的图象可以由函数y x ω=的图象向右平移12π个单位长度得到12.已知1F 、2F 分别为双曲线22:139x y C -=的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点，设点(),H H H x y ，(),G G G x y 分别为12AF F △、12BF F △的内心，若3H G y y =，则||=HG （ ）A. B.3C. D.4第II 卷（非选择题）二、填空题13.函数的图象在1x =处的切线方程________. 14.设等比数列{}n a 的公比为2，前n项和为n S ，则55S a =________. 15.已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-，若()6f α=，则sin 4α=________. 16.如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.三、解答题100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：（1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润．18.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=+-.a b A c C a b B()sin sin(2)sin（1）求角C的大小；（2）若c=ABC面积的最大值.△为等边三角形，19.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PAB⊥且AC BCAC BC==O、M分别为棱AB、PA的中点.（1）求证：平面MOC⊥平面PAB；（2）求三棱锥P ABC -的体积.20.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线为1y =-，焦点为F . （1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求||||AP BQ ⋅的最小值. 21.已知函数()()1xf x x e =-.（1）求函数()f x 的最值；（2）若不等式()ln 1x f x t >-+对于任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数t 的取值范围. 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点(1,0)且倾斜角为60°，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. （1）以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 所截得的线段的长度. 23.设函数f(x)=|x −a|+|x −4|.（1）当a=1时，求不等式f(x)<7的解集； （2）若∃x 0∈R ，f(x 0)<|a +3|，求a 的取值范围.参考答案1.A【解析】1.先由复数的除法运算化简复数23ii-+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A. 2.A【解析】2.先求得集合T ，再运用集合的并集运算可得选项．因为{ln(1)0}{011}{12}T xx x x x x =-≤=<-≤=<≤∣∣∣， 又{1,2}S =，所以{}12S T xx ⋃=≤≤∣. 故选：A. 3.B【解析】3.先解出n ，然后利用平面向量数量积的坐标运算公式求解m n ⋅. 由(2,0)m =，(1,3)m n -=-， 可得(1,3)n =，所以()(·2,02m n =⋅=． 故选：B ． 4.A【解析】4.根据解析式，分别求出(1)f 和(1)f -，即可得出结果. 因为2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，所以2(1)log 10f ==，()(1)3417f -=--=， 因此(1)(1)7f f --=-.故选：A. 5.B【解析】5.由已知数据求出40x =，30y =，代入到线性回归方程即可求出k ，从而可选出正确答案.由题意，得40x =，30y =，则0.25300.254020k y x =-=-⨯=； 当56x =时，34y =. 故选:B. 6.D【解析】6. 当01x <<时，ln 0x x <，当1x >时，ln 0xx >，故排除ABC ，得到答案. 当01x <<时，ln 0x x <，当1x >时，ln 0x x>，故排除ABC. 故选：D. 7.C【解析】7.根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果.因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 8.B【解析】8.4个图案的卡片编号后用列举法写出任选2张的所有可能事件，而2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片方法恰有1种，计数后可得概率．给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”编号分别为1，2，3，4．从中选2个基本事件为：12，13．14，23，24，34共6个，所以2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为16． 故选：B ．9.C【解析】9.根据流程框图代入1v =，1k =，2x =，即可求出输出结果. 程序运行过程如下：1v =，1k =；122v =⨯=，2k =；22216v =⨯+⨯=，3k =；622216v =⨯+⨯=，4k =，跳出循环，输出v 的值为16. 故选:C. 10.D【解析】10.以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，根据题意用R 表示,a c a c -+，从而可求出,a c ，进而可求出椭圆的离心率.以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令地心2F 为椭圆的右焦点，设标准方程为22221x y a b+=(0a b >>)，则地心2F 的坐标为(c ，0)，其中222a b c =+.由题意，得115a c R R -=+，13a c R R +=+，解得1225a R =，4215c R =，所以19c e a ==.故选:D . 11.D【解析】11.利用()()123f x f x =时，12minx x π-=，()302f =得到ω和ϕ，求得()f x 的解析式，根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.因为()()x f x ωϕ=+，所以()max f x ()()123f x f x =，所以()()12f x f x ==()()12f x f x ==12minx x π-=，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ω=，故A 错误；又()302f =，所以sin 2ϕ=，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 令23x k ππ+=(k ∈Z )，得62πk πx =-+(k ∈Z )， 所以函数的对称中心为,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，所以B 错误； 由232x k πππ+=+(k ∈Z )，解得122k x ππ=+(k ∈Z )，故C 错误；22y x x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，向右平移12π单位长度得()221223y x x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：D. 12.D【解析】12.不妨设直线AB 的斜率大于0，连接HG 、2HF 、2GF ，设△12AF F 的内切圆与三边的交点分别为D 、E 、F ，运用切线的性质和双曲线的定义，求得G 、H 的横坐标为a ，结合直角三角形的正切函数的定义和二倍角公式，计算可得所求值． 不妨设直线AB 的斜率大于0，连接HG 、2HF 、2GF ， 设△12AF F 的内切圆与三边的交点分别为D 、E 、F ，则()12121212AF AF AD DF AE EF DF EF FF FF -=+-+--=-， 即为()2H H a c x c x =+--，可得H x a =，同理可得G x a =，则12HG F F ⊥， 在2Rt F FG △中，()2tantan22FG FF c a θθ==-，在2Rt F FH △中，()2tan tan 22FH FF c a ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又3H G y y =，所以3FHHG =，即()()tan 3tan22tan 2c ac a c a πθθθ-⎛⎫--==- ⎪⎝⎭，解得tan 2θ=，23tan 113θ==-3πθ=，所以(44tan 46HG FG π===，故选：D ．13.220x y --=【解析】13.先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在1x =处的切线斜率，进而可得切线方程.因为当0x >时，2()ln 2ln f x x x x x ==，则()2(1ln )f x x '=+， 所以(1)2f '=，即函数2()ln f x x x =的图象在1x =处的切线为2，又(1)0f =，故所求切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=. 故答案为：220x y --=. 14.3116【解析】14.根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15.79-【解析】15.由二倍角的正弦余弦公式对已知函数解析式进行变形从而可得sin 2cos 23αα+=，平方后结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系即可求出sin 4α.11cos 2111()sin 2sin 2cos 222222x f x x x x +=+-=+，因为()6f α=，所以sin 2cos 2αα+=7sin 49α=-.故答案为: 79-. 16.323π【解析】16.根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积.由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 17.（1）310；（2）平均利润为25（元）．【解析】17.（1）根据听课课时数表和古典概率公式可求得所求的概率．（2）分别计算出第1课时、第2课时、第3课时、第4课时听课利润，从而可求出这4个课时听课获得的平均利润．解：（1）根据听课课时数表．估计1位学员听课三次及以上的概率1020310010P +==． （2）第1课时听课利润1000.95040⨯-=（元）； 第2课时听课利润1000.85030⨯-=（元）； 第3课时听课利润1000.75020⨯-=（元）； 第4课时听课利润1000.65010⨯-=（元）， 这4个课时听课获得的平均利润为40302010254+++=（元）．18.（1）3π；（2）2.【解析】18.(1)由正弦定理对已知式子进行边角互化后得2()(2)a b a c a b b +=+-，结合余弦定理即可求出角C 的大小.(2) 由（1）可知222a b ab +=+，从而可求出2ab ≤，结合三角形的面积公式即可求出面积的最大值. （1）()sin sin (2)sin a b A c C a b B +=+-，2()(2)a b a c a b b ∴+=+-，222a b c ab ∴+-=，222cos 2a b c C ab+-∴=2ab ab =12=.又(0,)C π∈，3C π∴=. （2）据（1）求解知，222a b c ab +-=.又2c =，222a b ab ∴+=+.又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，2ab ∴≤，()max max 1()sin 2ABC Sab C ∴=12sin 23π=⨯⨯2=a b ==19.（1）证明见解析；（2【解析】19.（1）利用面面垂直的性质定理推导出OC ⊥平面PAB ，再利用面面垂直的判定定理可证得平面MOC ⊥平面PAB ；（2）计算出ABC 的面积以及OC 的长，利用锥体的体积公式可求得三棱锥P ABC -的体积.（1）因为AC BC =，O 为AB 中点，所以OC AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面PAB ，又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面PAB ；（2）因为AC BC ⊥且AC BC ==O 分别为AB 的中点，所以1OC =，2AB =，212sin 6032PABS=⨯⨯=，又OC ⊥平面PAB ，所以13PABP ABC C PAB V V OC S --==⨯⨯=三棱锥三棱锥20.（1）24x y =；（2）2.【解析】20.（1）根据抛物线的准线为12py =-=-求解. （2）设直线l 的方程为1y kx =+.，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，由214y x =，求导12y x '=，得到直线P A 的方程，令0y =，得到11,02P x ⎛⎫⎪⎝⎭，从而||AP =同理||BQ =||||AP BQ ⋅=求解.（1）因为抛物线的准线为12py =-=-， 解得2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 由（1）得(0,1)F ，则直线l 的方程为1y kx =+.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-. 因为抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=， 所以直线P A 的方程为()2111142x y x x x -=-.令0y =，解得112x x =，所以11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而||AP =同理得||BQ =所以||||AP BQ ⋅=，==== 当0k =时，||||AP BQ ⋅取得最小值2. 21.（1）()min 0f x =；（2）(),2-∞.【解析】21.（1）由函数解析式知()()11xf x x e =+-'，即可知()f x 的区间单调性，进而求函数()f x 的最值；（2）由已知不等式，应用参变分离得ln 1x t xe x x <--+；法一：()ln 1x xe x h x x =--+，问题转化为在()0,x ∈+∞上()min t h x <，利用导数研究()h x 的单调性求其最小值，进而得到t 的取值范围；法二：设()ln k x x x =+知()k x 在(0,)+∞是增函数，又ln x x x xe e +=则设()1k e k g k =-+，问题转化为在k ∈R 上()min t g k <，利用导数研究()g k 的单调性求其最小值，进而得到t 的取值范围；（1）由()f x 解析式知：()()111xxxe xef x x e =-+=+-'，当0x =时，0fx ；当0x >时，()11xx e +>，所以0fx ；当10x -<<时，()111xx e x +<+<，所以0f x，当1x ≤-时，()10xx e +≤，所以0fx ，所以当0x <时，0f x ；所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. 故()()min 00f x f ==；（2）不等式()ln 1x f x t >--+，即()1ln 1xx e x t ->-+，所以ln 1x t xe x x <--+，法一： 设()ln 1xxe x h x x =--+（0x >），则问题等价于()min t h x <，()0,x ∈+∞，()()()1111xx x x xe e h e x xx x +-=+--='，设()1x m x xe =-，则()()10x m x x e '=+>.所以()m x 在(0,)+∞上单调递增，又()110m e =->，1102m ⎛⎫=<⎪⎝⎭，所以存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()00010x e m x x =-=，即001xe x =.所以当()00,x x ∈时，()0m x <，即()0h x '<，所以函数()h x 在()00,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0m x >，即()0h x '>，所以函数()h x 在()0,x +∞上单调递增.所以()()00000000min 01ln 1ln 12x x h x h x x x x x e x e x -==--+=⋅--+=. 所以2t <.所以实数t 的取值范围为(),2-∞.法二：令()ln k x x x =+（0x >），则()110k x x'=+>，从而()k x 在(0,)+∞是增函数， 又ln x R ∈，()0,x ∈+∞，所以()k k x R =∈.由()ln ln xxe x x x xe e e +==，可设()1ke k g k =-+（k ∈R ），则只需()min t g k <.因为()1kg k e '=-，所以当0k <时，()0g k '<；当0k >时，()0g k '>，所以()g k 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以0k =是()g k 的极小值点，也是()g k 的最小值点，且()()min 02g k g ==， 所以2t <.故实数t 的取值范围为(),2-∞. 22.（1）22123sin ρθ=+；（2）165.【解析】22.（1）把曲线C 的参数方程化为普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的极坐标方程；（2）设出直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，由根与系数的关系以及弦长公式得出线段的长度．（1）因为曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.所以其普通方程为22143x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（2）因为直线l 过点(1,0)且倾斜角为60︒，则直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将直线的参数方程代入曲线C 的方程22143x y +=中，可得254120t t +-=.设1t 2t 为方程254120t t +-=的两个根， 则1245t t +=-，12125t t =-. 所以直线被曲线C 所截得的线段的长度为12165t t -===.23.（1）(−1,6)（2）(12,+∞)【解析】23. (1)将a=1代入函数f(x)的解析式，再将函数f(x)写成分段函数的形式，进而可求出不等式的解集； (2)由|x−a|+|x −4|≥|(x −a)−(x −4)|=|a −4|将原不等式进行转化，即可求出结果.（1）当a =1时，f(x)={5−2x,x ≤13,1<x <42x −5,x ≥4，故不等式f(x)<7的解集为(−1,6)（2）∵f(x)=|x −a|+|x −4|≥|(x −a)−(x −4)|=|a −4|∴|a −4|<|a +3|则a 2−8a +16<a 2+6a +9，解得a >12故a 的取值范围为(12,+∞).。