法向量在立体几何解题中的应用

法向量在立体几何解题中的应用

一、 法向量的概念 如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。

二、 法向量的作用

1、 证明线面平行 取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的数量积是否为零。 2 、 证明面面垂直 验证两个平面的法向量的数量积是否为零。

3、求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |>

|||CD AB CD AB = 4 、 求直线和平面所成的角

如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则∠PAO 为斜线PA 和平面α所成的角记为θ，易得

|||||

||

|sin PA n PA n =

==θ

5 、求点到平面的距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面

α的垂 线PO ，记∠OPA=θ，则点P

|||

|||||n PA n PA n PA n PA ==

6 、求二面角的大小如图在二面角βα--l 中，n 1和n 2分别为平面α和β的法向量，若二面角βα--l 的大小为θ

，则|||cos |=θ=||||2121n n n n (依据两平面法向量的方向或实际图形来确定θ是锐角或是钝角)。