法向量在立体几何解题中的应用

法向量在立体几何中的应用分类解析

法向量在立体几何中的应用分类解析一、法向量在解决立体几何问题方面用着广泛的应用，下面我们就来详细总结下法向量在立体几何方面的各种应用吧。

1.用法向量证明空间几何中的平行关系⑴线线平行。

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.⑵线面平行。

设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.⑶面面平行。

若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.2. 用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. ⑵线面垂直设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=.3. 利用向量求空间角。

⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅==⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==，即arccosm n m nθ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-，即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭. 4. 利用向量求空间距离点A 到平面α的距离（1）.若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP=n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=(2). 直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。

法向量在立体几何解题中的应用

龙源期刊网
法向量在立体几何解题中的应用
作者：魏庆鼎
来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期
高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教
材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决
了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和
线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.
空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人
在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.
4.用法向量求二面角平面角的大小
求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量；则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.
（注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行；如两平面的法向量垂直，即两平面垂直）从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便
捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.。

无敌法向量在空间立体几何中的应用

得
形ＣＥＦ所在的平面互相垂直，ＣＥ上Ｃ，ＥＦ／／ＡＣ，ＡＢ＝２．ＣＥ＝ＥＦ＝
（）求证：Ｆ／平面ＤＥ；Ｉ／
ｎ＝（，２２１），
设Ｆ是棱Ｃｌｌ上的点Ｄ，则Ｆ（１）０１，又ｔ，，ｔ），１（Ｂ（０）所以１（一，０ｌ，１，ＢＦ＝ｔ１，１，１）
么这条直线和这个平面平行。
ＩＢｌ０・Ａ＝
Ｉ・ＢＥ＝０
２如果直线的方向向量与平面的法向量平行，那么这条直、线与这个平面垂直。
（００高考北京理ｌ２１６题）如图，正方形Ｃｌ和四边Ｄ
得：以：ｚｉ，：则｛＋。｛令，一＝１ｚ：ｚ所＝ ’ ｚ＋：
ＡＤ—Ａｃｌ中。Ｅ是ＢＣｌＤＩ棱ＤＤｌ中点。的
（Ｉ在Ｉ）棱ｃＤ上存在一Ｉｌ是否点Ｆ，Ｆ ∥ 使平面
ＡｌＢＥ？证明你的结论。
中被同学亲切的称为一无敌法向量。本文将举例说明法向量的
几种重要应用类型，供参考。
一
＝Ｓ
，
ｌ・Ｅ＝０ｍＢ
，● ● ●● ● ●● ● ● 、 ●● ● ●● ●●
得
得
…
【
，设平面ＣＭＮ的法
．
一
１ — 五向量为２Ｙ＝（，，）
一
，
则１厂
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
西Ｊｑｒ０￣ｑ一４２
－
。
＇
。
，● ●●●— ● ●１ ●【 ● ● ｚ，● ●２ ●

向量方法在立体几何教学中的应用

方向向量，那么ａ／／ｂ／／ ∥ｋ．
根据实数与向量的积的定义
二、利用向量证明垂直问题向量解决解析几何问题最理想的情形是题中有 “ 垂直” ， “ 垂直” 可以在结论中，也可以在条件中，此时用向量的优越性非常
｛．Ｅ＝０
ＭＮ・ＡＢ＝（ａ — ｔ，０，一ｔ）・（０，ａ，０）＝０
．
Ｌ的方向向量＝（１０，６）
．
’ ＝２
・．
．
Ｌ ∥Ｌ２
２．直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量的垂直．也可用共面向量定理证明线面平行问题．如图所示，已知正方形ＡＢＣＤ和正方形ＡＢＥＦ所在平面互相垂直，Ｍ，Ｎ分别是对角线ＡＣ和ＢＦ上的动点，且ＡＭ＝ＦＮ，求
丽寸上蕊ＮＩＭＮ上ＡＢ
２．线面垂直问题．如图所示，在正方体ＡＢＣＤ — Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ中，Ｏ为ＡＣ与ＢＤ的交
证：ＭＮ／／平面ＢＥＣ．
本题可建空间直角坐标系求解，利用坐标运算解决问题．这样处理比较直观，便于理解掌握．如图所示，以点Ａ为原点，以ＡＦ，ＡＢ，ＡＤ所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系Ａ — ｘｙｚ．设ＡＢ＝ａ，则点Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｆ的坐标分别为（０，ａ，０），（０，ａ，ａ），

向量在立体几何中的几点应用

向量在立体几何中的几点应用向量在立体几何中的几点应用在数学中，向量是一个有大小和方向的量，它在几何中的应用非常广泛。

在立体几何中，向量也有着重要的应用，下面就来谈谈它的一些应用。

1.向量的叉积向量的叉积在立体几何中有着广泛的应用。

它定义了一个向量和一个法向量，这使得它适用于区分面积和体积，这是立体几何中很重要的概念。

在计算立体几何的体积时，有时需要利用向量的叉积。

例如，在计算一个四棱锥的体积时，可以用其底面上的两个向量构成一个平面向量，然后将这个平面向量与第五个顶点所在的向量做叉积，便可以得到该四棱锥的体积。

这个方法非常简单，而且不需要用到具体的高度或底面积这样的参数，因此，在计算体积时十分方便。

另一个例子是，在求解两条直线的交点时可以使用向量的叉积。

如果已知两个直线所在的平面，可以将它们所在的向量取叉积，便可以得到一个垂直于两条直线所在平面的向量，从而可以得到它们的交点。

这个方法也非常简单，而且不需要求解方程组，因此在计算交点时比较方便。

2.向量的点积向量的点积在立体几何中也有着很重要的应用。

它可以用来计算向量的夹角，从而在计算三角形的面积或四面体的体积等问题时十分方便。

例如，在计算三角形的面积时，可以用两个边向量之间的夹角及其对顶点到该边的距离来计算。

这就用到了向量的点积。

在计算四面体的体积时，我们可以用面积乘以高度来计算，而面积可以使用向量的叉积计算，高度可以用向量的点积计算。

这种方法比基本的平行六面体法更直观，更方便。

3.平面与直线的向量表示在立体几何中，我们经常需要对平面和直线进行求交、平移、旋转等处理。

而这些处理都可以使用向量的表示法来简化。

例如，在求解平面与直线的交点时，如果已知平面和直线的法向量，我们就可以用向量的点积求出它们之间的夹角，从而计算出交点。

这个方法比纯粹的代数方法更加便捷、直观。

再例如，在计算平面和直线的平移时，可以用向量的加减法来表示平移后的位置。

这种向量的表示法非常简单、直观，因此在计算中能够提高效率。

例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用

平面、
例１如图，．在正方体ＡＢＣＤ —ＡｉＣｉ中，、ＢｉＤｉＥＦ分别是ＢｉＣＤ的中点，明面ＡＥＤ、证ｊ面ｉＬ。＿ＦＤｌ
证明：建立如图空间直角坐标系Ｄ—ｘｚ，设正方体的ｙ棱长为１，则Ａ１，）Ａ（，，。（００，０１，１）
驯
，
，
，（＇ ’ ，Ｄ１０１。）
＿（ｏ０，．－（００ＤＥ＿（，’ １，），１，），Ｏ１１，４￣ — １１
，
－（０
，
）
收稿日期：２０ —００６３—２３
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ・８・８
维普资讯
第３期
一
由
），
：
与
ｓｎｉ
＝
ｌＦＡ
，ｌ
＝３
＝
・５ｌｌ √ Ｙ
５
．
与平
Ｄ１所。。
，一
为ａｃｉｒｓｎ。５
・８・９
维普资讯
延边教育学院学报
２０生０６
ｌ
Ｅ＝（，，１，０２一）设ｎｘ，）（，二是平面ＡＤｉＩＥ的法向量，
ＩＤ，，，ｆ＝０一Ａ＝０２，得二０Ｉ＝（，，），１０ｙ２（ｌ・＝０【１二ｕ，Ｅ，－一，２Ａ
向量的引入，在很大程度上避开了思维的高强度转换和各种辅助线的添加，代之以空间向量
的计算与证明，使思路变得顺畅，充分显示出其独特的优势．

3.2立体几何中的向量方法——法向量

(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
例1：已知 A(0,2,3), B( 2,0， - 1), C ( 3， - 4,0) 求平面 ABC的法向量。
问题：如何运用向量法求法向量呢？
2014年11月7日星期五
法向量在立体几何中的妙用
1
前面，我们把
平面向量
推广到
空间向量
立体几何问题研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
如何确定一个点、一条直线、一个平面思考：
在空间的位置？
一、点的确定：
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把向量OP称为点P的位置向量。
对于平面上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ⊥ n，如果么向量叫做 ,记作 ⊥ n ，那 n 平面的法向量 .
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n ^ AB, n ^ AC .
祆 ( x , y , z )(2, - 2, - 4) = 0 镲镲 \ 眄镲 ( x , y , z )(3, - 6, - 3) = 0 镲铑
AB = (2,- 2,- 4), AC = (3,- 6,- 3)

立体几何中的法向量

立体几何中的法向量现行高中数学教科书第二册（下B）第九章提到了法向量的定义：如果向量⊥平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。

但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离设A是平面α外一点，AB是α的一条斜线，交平面α于点B，而n是平面α的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，所以h==（1）例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0），＝（0，21，1），1DA＝（1，0，1）设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有：n0=⋅DB即x＋y＝0=⋅21y＋z＝0令x＝1, y=－1, z=21, 取n＝（1，－1，21），则A1到平面DBEF的距离1==h注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（1）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。

法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB和DF，那么n＝DB×DF。

但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设＝（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。

二、求异面直线间的距离假设异面直线a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确定平面α，且直线a∥α，设是平面α的法向量，那么⊥，⊥。

所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。

例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1解：如图建立空间直角坐标系，则AC ＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1）连接A 1C 1，则A 1C 1∥AC,设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,0=⋅由可解得＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1）01=⋅DA所以点A 到平面A 1C 1D 的距离为33==h ，即直线DA 1和AC 间的距离为33。

立体几何中向量法解题应用

立体几何中向量法解题的应用摘要：向量在数学中有着广泛的应用，这篇文章主要内容是用向量法解决空间中平行关系、空间中垂直关系、求空间角和空间距离的问题，文章给出了用向量法解决这些问题的途径，并用例题说明了用法。

关键词：立体几何向量法解题应用中图分类号：g421 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）05（c）-0094-03空间中平行关系包括空间两直线的平行、直线与平面的平行、平面与平面的平行；空间中的垂直关系包括空间两直线的垂直、直线与平面的垂直、平面与平面的垂直。

这些位置关系涉及的判定定理与性质定理是高考中常考的考点，证明空间平行与垂直一般有三种途径：一是定义法；二是判定定理发；三是综合利用各种性质进行转化。

在这些方法中如果利用了向量法问题就得到了有效的解决。

在立体几何中，我们还要求空间角（两条直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角）和空间距离（两点间的距离、异面直线之间的距离、点到面的距离、直线和平面的距离以及两平行平面间的距离）。

传统的做法是通过性质找到要求的角或距离，加以求解，找到角或距离是重点也是难点。

新课程引入了向量，我们可以利用向量法计算空间角、空间距离，开辟了解决这方面问题的新途径，这样往往效果更佳。

现就我用向量法解题的一些体会在这里写出，和广大数学教师和数学爱好者作一探究。

用向量法解决立体几何问题，我们常用到直线的方向向量、平面的法向量，直线的方向向量就是在直线上任取两点a、b，向量就是上的一个方向向量；平面的法向量就是所在直线与平面垂直的向量。

显然一条直线的方向向量（或一个平面的法向量）有无数多个，它们是共线向量。

1 用向量法判断空间的位置关系（见表1）2 利用向量求空间角2.1 求两条异面直线所成的角设、分别是两条异面直线、的方向向量，与所成角为，则2.2 求直线与平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为2.3 求二面角的大小（1）若ab、cd分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角，如图1所示。

法向量的求法和其应用

法向量的求法和其应用第一篇：法向量的求法和其应用平面法向量的求法及其应用引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。

其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。

此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。

一、平面的法向量→→1、定义：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量。

平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法ρρϖ方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量n=(x,y,1)[或n=(x,1,z)，或n=(1,y,z)]，在平ρρρρρρρ面α内任找两个不共线的向量a,b。

由n⊥α，得n⋅a=0且n⋅b=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可ρ得到n。

方法二：任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。

→Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。

其法向量n=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:为一般式即可求出它的法向量。

xa+yb+zc=1,称此方程为平面的截距式方程，把它化方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a⨯b 为一长度等于|a||b|sinθ，（θ→→→→为,两者交角，且0<θ<π），而与, 皆垂直的向量。

通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由→的方向转为→的方向时，大拇指所指的方向规定为a⨯b的方向,a⨯b=-b⨯a。

→→→→→→→→x1z1x1y1⎫⎛y1z1⎪,-,设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:a⨯b=yx2z2x2y2⎪⎝2z2⎭（注：1、二阶行列式:M=→→acbd=ad-cb；2、适合右手定则。

向量方法在立体几何中的应用

向量方法在立体几何中的应用作者：王亚玲来源：《读写算》2013年第22期【摘要】由于传统方法解决立体几何中的角和距离的问题困难较大，而在引入向量之后，对角和距离进行量化，从而更简单地处理立体几何相关问题。

【关键词】立体几何空间向量基本定理坐标中学的立体几何主要研究点、线、面之间的关系，围绕它们之间的考点无非是距离和夹角.多数距离以异面直线呈现，而夹角则以异面直线所成角、二面角形式出现，解决这一问题传统方法要求较高.异面直线距离通常要能做出公垂线，二面角则要能做出二面角的平面角才能求解，但是找公垂线，角的时候困难较大。

因此，在立体几何学习之前引入了向量学习。

利用向量解决立体几何问题不需确确实实找出角或线段，利用向量方法解决立体几何问题有两种方法：一，利用空间向量基本定理；二，利用空间直角坐标系。

一、立体几何中空间向量基本定理解法因为空间位置关系最终都反映于距离和夹角，因此完全可以通过对向量的运算来说明它们之间的关系.由空间向量的基本定理我们知道若有三个不共面的空间向量，则它们形成一组基，空间中任何一个向量都可以由它们线性表出.于是当我们要求某两条直线之间的位置关系，可以将它们用已知的三个不共面向量表示出来，再进行数量积运算，从而确定它们之间的关系.当要求点与面的距离或者是二面角时，显然不再是线线之间的关系，我们可以通过引入法向量从而把点面距离和二面角转化为线线关系的问题，继而用数量积来解决它们。

具体做法如下题所示：2010年高考题：如图，直三棱柱中ABC-A1B1C1，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1，（1）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；分析：题目没有具体给出线段的长度，它们之间比例关系需要进一步求解，考虑到AC=BC这个条件，可知三角形ABC为等腰三角形，取AB中点，连接CF得到CF垂直AB，另外AA1=AB并且是直三棱柱，可知侧面是正方形，这样可以把它们之间比例关系求出.综上所述，DE为异面直线AB1与CD的公垂线.二、立体几何直角坐标系解法。

立体几何向量法

立体几何向量法
在立体几何中，向量法是一种常用的求解问题和证明定理的方法。

通过引入向量概念，可以将几何问题转化为向量运算，从而简化推导过程。

在向量法中，我们将空间中的点表示为位置向量，线段或向量则表示为起点到终点的差向量。

利用向量的性质，可以进行向量加法、减法、数量乘法等运算，从而得到几何对象之间的关系。

对于平面几何，向量法可以用来证明和推导平行关系、垂直关系、共线关系等。

例如，两条平行线可以表示为它们的方向向量相等，两条垂直线可以表示为它们的方向向量互为内积为零。

在空间几何中，向量法可以用来证明和推导线段的长度、角的大小、平面的交角等。

例如，两个线段的长度可以通过计算它们的差向量的模长得到，两个平面的交角可以通过计算它们的法向量之间的夹角得到。

此外，向量法还可以应用于立体图形的计算和分析。

例如，利用向量法可以求解三角形的面积、四面体的体积，以及判断点是否在多面体内部等。

总之，向量法是立体几何中一种重要的分析和解题方法，通过引入向量概念和运算，可以简化问题的推导过程，提高几何问题的求解效率。

巧用向量法，妙解立体几何题

思路探寻立体几何问题的命题方式较多，常见的有证明线面平行、求二面角、求点到平面的距离等.由于立体几何问题对同学们的空间想象和运算能力有较高的要求，所以对大部分的同学来说，解答这类问题存在一定的难度.若根据题意和几何图形的特点构造空间向量，则可利用向量法，简便、快速地求得问题的答案.接下来，通过几个例题介绍一下如何巧妙运用向量法解答立体几何问题.一、运用向量法求点到平面的距离一般来说，求点到平面的距离，可以运用定义法、等体积法、向量法.运用向量法求点到平面的距离，要先求出平面的一个法向量n ；再求出一个已知点P 与平面内任意一点M 的方向向量MP ，可得点P 到平面的距离为d =| MP |∙|cos < n , MP >|=| n ∙ MP || n |，其中| MP |是向量 MP 的模，| n |是平面的法向量n 的模.例1.如图1所示的多面体是由底面为ABCD 的长方形被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB =4，BC =2,CC 1=3,BE =1.试求点C 到平面AEC 1F 的距离.解：以DA 、DC 、DF 为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0),C (0,4,0),E (2,4,1),C 1(0,4,3)，CC 1=(0,0,3)，设F 点的坐标为（0，0，z ），由于AEC 1F 为平行四边形，所以 AF =EC 1，又 AF =(-2,0,z ), EC 1=(-2,0,2)，即z =2.设n 为平面AEC 1F 的一个法向量，因为 n 不垂直于平面ADF ，所以设 n =(x ,y ,1)，于是{n ∙ AE =0， n ∙ AF =0，即{4y +1=0，-2x +2=0，解得ìíîx =1，y =-14，设 CC 1与n 的夹角为α，可得cos α=| CC 1∙ n || CC 1|∙| n |=31，则点C 到平面AEC 1F 的距离为d =|CC 1cos α|=3×.先根据图形的特点建立空间直角坐标系，得到 CC 1；然后求出平面AEC 1F 的法向量，即可利用公式d =| CC 1|∙|cos < n , CC 1>|=| n ∙CC 1|| n |求解.在求平面的法向量时，可采用待定系数法，先设出平面的法向量；然后根据法向量与平面内的两个直线垂直的关系，建立方程组，解该方程组即可求出待定系数、法向量的坐标.二、运用向量法证明线面平行由线面平行的判定定理可知，要证明线面平行，只要证明直线与平面内的两条相交直线平行即可.但有时候很难在平面内找到两条相交的直线与已知直线平行，此时，可建立合适的空间直角坐标系，求得平面外一条直线的方向向量 l 和平面的法向量n ，只要证明 n ∙l =0，就说明直线l 与平面平行.例2.如图2，在直三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P =A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D ，求证：PB 1//平面BDA 1.图2图3证明：如图3所示，以A 1为原点，以 A 1B 1, A 1C 1,A 1A为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,2,0),B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,0.5)，所以 PB 1=()1,-2,0, BD =æèöø-1,1,-12, BA 1=(-1,0,-1)，设平面BDA 1的法向量为n =(x ,y ,z )，由ìíî BD ∙n =0，BA 1∙ n =0，得{-x +y -0.5z =0，-x -z =0，不妨令z =2，则x =-2，y =-1，可得n =(-2,-1,2)，则 PB 1∙ n =1×()-2+()-2×()-1+0×2=0，得 PB 1⊥ n ，所以PB 1//平面BDA 1.先建立空间直角坐标系，求得 PB 1、 BD 、BA 1，根据BD 、 BA 1垂直平面BDA 1的法向量，建立方程组，求得法向量n ，并证明 PB 1∙ n =0，即可证明平面BDA 1的法向量n 与PB 1的方向向量 PB 1垂直，这就说明PB 1//平面BDA 1.求解空间几何中的二面角、线面角等问题，也可以采用向量法.运用向量法求解立体几何问题，一要寻找题目或图形中的垂直关系，有时可以作一个平面的垂线，以建立方便求点的坐标的空间直角坐标系；二要熟记并灵活运用一些空间向量的运算法则、公式、定义等.（作者单位：江西省南昌市第十九中学）肖雪芝图147Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

浅谈向量法在《立体几何》中的应用

・
．
．
＝
（，）＝，，）－，（争一ａ０ａ，争ｍ
直线分别为ｘ、轴、轴，轴Ｙｚ建立空间直角坐标系，
．
．
维普资讯
则Ｄ０００、（ａ０、－，ａ、（，０．（，，）Ｂａ，）Ｂ（ａ）ｃｏａ），ａ，，
Ｖｏ．４Ｎｏ３１２．
Ｊｎ２Ｏｕ．０８
浅谈向量法在《立体几何》中的应用
李景琴
（学院数学学院，内蒙古赤峰
摘
赤峰
０４０）２００
要：本文主要讨论了如何用向量法解决有关立体几何问题．文献标识码：Ａ文章编号：６３２０２０）３一０４０１７ — ６ｘ（０８０Ｂ００ — ３
关键词：向量；面角；二立体几何
中图分类号：２．Ｏ１３２
在解多数立体几何问题中，常常需要添加辅助
线，如何添加辅助线比较困难，不易捉摸，而利用向量法处理时，需要添加任何辅助线，算有章可不运循，即灵巧又方便，同时向量公式又不依赖于坐标
注：线ｍ与平面的距离转化为点Ｐ到平直
面的距离．
共法量ｎ＝１１１（，，）一一
・
２４平面与平面问的距离．
．
．
定理６若平面 ∥平面１，３，，３Ｐ∈１Ａ∈
为平面的法向量，则平面与平面１的距３
▲
．．— ．．—
‘ ．．

立体几何的向量方法-法向量

法向量与平面向量共线，即它们平行或重合。
平面向量可以由其所在平面的法向量和任意一个非零常数倍数表示。
法向量与空间向量的关系
法向量是空间向量的特殊情况，当空间向量垂直于某平面或空间时，该空间向量即为该平面或空间的法向量。
法向量与空间向量共面，即它们在同一平面内。
空间向量可以由其所在平面或空间的法向量和任意一个非零常数倍数表示。
80%
几何意义
法向量在几何上表示平面的方向，可以用于描述平面内的直线和平面间的角度关系等。
02
法向量在几何中的应用
平面与平面
法向量的计算
计算两个平面的法向量，可以通过计算两个平面的点积，然后除以两向量模的乘积得到。
平面间的角度
两个平面的法向量之间的角度就是这两个平面间的夹角。
直线与平面
直线方向向量的定义
直线方向向量可以通过两点间的向量差得到，表示直线上的任意两点的向量差都是这个方向向量。
直线与平面的关系
如果直线的方向向量与平面的法向量平行，那么直线要么在平面上，要么与平面平行；如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么直线要么在平面上，要么与平面相交。
点与平面
点到平面的距离
投影法
总结词
投影法是一种通过将一个向量投影到另一个向量上，然后取反方向来计算法向量的方法。
详细描述
投影法是通过将一个向量投影到平面上，然后取反方向来计算平面的法向量的方法。具体地，设一个向量$mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，将其投影到平面上，得到投影向量
$mathbf{p}$，然后取反方向得到法向量 $mathbf{n}$。具体地，$mathbf{n} = -
法向量与向量积的关系

浅谈法向量的妙用

浅谈法向量的妙用龙岩二中林红红现行高中数学教科书第二册（下B ）第九章提到了法向量的定义：如果向量a ⊥平面α，那么向量a 叫做平面α的法向量。

但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离。

设A 是平面α外一点，AB 是α的一条斜线，交平面α于点B ，而n 是平面α的法向量，那么向量BA 在n 方向上的正射影长就是点A 到平面α的距离h ，所以|||cos ,|||||BA nh BA BA n BA n ==※例1：已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，求点A 1到平面DBEF 的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，DB ＝（1，1，0），BF ＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面DBEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有：00n DB n DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即 0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令x ＝1, y = -1, z = 21, 取n ＝（1，-1，21），则A 1到平面DBEF 的距离1||1||DA n h n ==注：此题A 1在平面DBEF 的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF 的法向量。

法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB 和DF ，那么n DB DF =⨯。

但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设n ＝（x ，y ，z ），通过建立方程组求出一组特解。

二、求异面直线间的距离。

假设异面直线a 、b ，平移直线a 至a *且交b 于点A ，那么直线a*和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n 是平面α的法向量，那么n ⊥a ，n ⊥b 。

立体几何解题的“金”钥匙——法向量在解题中的运用

蔚＝・），．
设，＝（ｌ，ｙ）平面Ａ。Ｅ的一个，ｚ是Ｂ法向量，
设ＡＢ＝２，则Ａ（，０）２，０，曰（，２）。Ｏ，０，０（，１）０，０，
贝由，．：，ｌ百０ Ⅱ １百０Ｊ・矿：得
图７
Ａ０，０，ＵＪ，Ｌ
高ＳＯ＝２，底边长ＡＢ＝、，求异面直／
线Ｂ和ＳＤＣ之间的距离．
Ｄ，，）（ａ０，０
曰（，０，０１），
所＝ｎ）以（，，．
蔚＝。，）（，ｏ－ｏ，
＝
Ｐ，，）（Ｏ０，Ｄ，，）（ｏ＿＇
Ｃ
图６
则ｄ为在向量ｎ：（，４／）的０，、上
一
解：作ＡＰ￣ＣＤ于点Ｐ，如图７，分投影的绝对值，由别以ＡＢ，Ａ，Ａ０所在直线为，Ｙｄ＝Ｐ，ｚ２
轴建立坐标系．
３
Ｉ
Ｌ ——
——～
：（，０２，得１，一）
侧棱长力ｂ，则
Ａ（，０）０，０，
所点到面ｃ的离｝以曰平Ｄ距为．Ｄ
例３如图８正四棱锥ＳＢＤ的，Ｃ
Ｂ。，）（，０孚手，Ｂｎ，）ｌ，，（争字
Ｃ（，ａ）。Ｏ，ｂ，
所以
＝（一１１）ｔ，，０．
而ＢＦ１平面Ａ１Ｅ，Ｂ
于是ＢＦ ∥平面Ｊ胞 § ４。

立体几何的金钥匙——法向量

设直线ＰＡ与平面ＰＣ所成角为０Ｂ，
则＝仃一，＞ａｃｉ业Ｚ－＜ｎ＝ｒｓｎ
３０．
小结：１（）证明线面平行可以证明直线的方向向量
与平面平行，或者证明直线的方向向量与平面的法向
量乖盲：２）盲线与平面所成的角０可以先求盲线的（求．
又（＝
・．．
，＝，一手，
＝。
ＯＰＶＺ－￣，
∥平面Ｐ，Ｄ∥平面ＰＢ；ＡＢ０Ａ
＝１御＝丁２
，
・
．
．
（
２．）
・．．
（）：１一，）１百（，１２，
：
（，孚一半
ｌ ’ Ｅ１
：ｘ — ＆
一
，
０
则８（，，）Ａ（、，，）ｂ００，２／００，
Ｃ（，０）０２，，
・． ‘
由勾股定理可得点Ａ到直线ＥＦ的距离
ｏ
．
小结：利用法向量求点Ｐ到线Ｚ的பைடு நூலகம்离可以将点Ｐ
面ＡＣ１上面ＡＣ，取ＡＣＡ１ＢＣ
的中点Ｄ，ＡＤ，连
与线上任意一点Ａ相连得向量，求得向量在直线ｚ上的射影长ｌＩ由勾股定理求得ｄ：，
则ＡＤＪ面ＡＣ＿Ｂ
１ｘ３），／，
’
．
（／，、
题型一：用法向量求异面直线所成的角利

法向量在立体几何解题中的应用

法向量在立体几何中的应用分类解析

法向量在立体几何解题中的应用

无敌法向量在空间立体几何中的应用

向量方法在立体几何教学中的应用

向量在立体几何中的几点应用

例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用

3.2立体几何中的向量方法——法向量

立体几何中的法向量

立体几何中向量法解题应用

法向量的求法和其应用

向量方法在立体几何中的应用

立体几何 向量法

巧用向量法，妙解立体几何题

浅谈向量法在《立体几何》中的应用

立体几何的向量方法-法向量

浅谈法向量的妙用

立体几何解题的“金”钥匙——法向量在解题中的运用

立体几何的金钥匙——法向量

立体几何向量法