最新高数下册公式总结(修改版)

第八章 向量与解析几何

向量代数

定义 定义与运算的几何表达

在直角坐标系下的表示

向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=

,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===

模

向量a 的模记作a

a 222x y z a a a =++

和差

c a b =+ c a b =－

=±c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b

单位向量

0a ≠，则与a 同向的单位向量为a a

e a

= a e 2

2

2

(,,)=

++x y z x y z a a a a a a

方向余弦

设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos

cos y x z a a a a

a

a

αβγ==

=

，cos ，cos

cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）

θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹

角

z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a

叉乘（向量积）

b a

c ⨯=

θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直且右手系

z

y x

z y x

b b b a a a k j i

b a =⨯ 定理与公式

垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=

平行

//0a b a b ⇔⨯=

//y z

x x y z

a a a a

b b b b ⇔==

交角余弦

两向量夹角余弦b

a b

a ⋅=θcos

2

2

2

2

2

2

cos x x y y z z

x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=

++⋅++

投影

向量a 在非零向量b 上的投影

cos()b a b

prj a a a b b

∧

⋅== 2

2

2

x x y y z z

b x y z

a b a b a b prj a b b b ++=

++

平面

直线

法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M

方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M

方程名称 方程形式及特征

方程名称 方程形式及特征

一般式

0=+++D Cz By Ax

一般式

⎩⎨

⎧=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A

=

F

第十章 重积分

重积分 积分类型

计算方法

典型例题

二重积分

()σ

d ,⎰⎰=D

y x f I

平面薄片的质量

质量=面密度

⨯面积

（1） 利用直角坐标系

X —型 ⎰⎰

⎰⎰

=D

b

a

x x dy y x f dx dxdy y x f )

()

(21),(),(φφ

Y —型

⎰⎰

⎰⎰

=d

c

y y D

dx y x f dy dxdy y x f )

()

(21),(),(ϕϕ

（2）利用极坐标系 使用原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α

+, α为实数 )

21()()

(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d d f d β

ϕθα

ϕθρθρθρρθ

θρθρθρρ

=⎰⎰⎰⎰

计算步骤及注意事项

1． 画出积分区域

2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数

关于坐标变量易分离

3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域

三重积分

(,,)I f x y z dV

Ω

=

⎰⎰⎰

(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法

投影法

投影法：21(,)

(,)

(,,)d (,,)xy z x y D z x y f x y z V dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

截面法：

(,,)d (,,)z

d c

D f x y z V dz f x y z dxdy Ω

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

（2） 利用柱面坐标 cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:

○

1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体