《椭圆》ppt课件

►名师点拨
椭圆定义及标准方程的应用
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利 用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等。 (2)利用定义和余弦定理可求得|PF1|· |PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2 －2|PF1|· |PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面积。 x 2 y2 (3)当椭圆焦点位置不明确时，可设为 ＋ ＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为 m n Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)。
答案：(1)A
(2)A
考点二 【例2】
椭圆的几何性质及应用
(1)已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该
→ → 椭圆上的一个动点，那么|PF1＋PF2|的最小值是( C ) A．0 B．1 C．2 D ．2 2 x2 y2 (2)已知椭圆C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B a b 4 两点，连接AF，BF。若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝ ，则椭圆C的离心率e＝ 5 5 __________ 。 7
通关特训2
x2 y2 3a (1)设F1，F2是椭圆E： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝ a b 2 ) 3 C. 4 4 5
上一点，△F2PF1是底角为30° 的等腰三角形，则E的离心率为( A. 1 2 2 B. 3 )
1 1 B.3，2 1 C.3，1 1 D.3，1
2种方法——求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆 的标准方程。 (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程， 然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程。 3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大 距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c。 (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可 求得e(0＜e＜1)。 (3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依 据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴。
D.
(2)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取 值范围是(
1 1 A.4，3
3 3 解析：(1)根据题意知|PF2|＝|F1F2|＝2c，直线PF2的倾斜角是60° ，所以 a－c＝c⇒e＝ 。 2 4 (2)设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知3k＝2a，又椭圆上的点到两个 焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c， 1 1 ∴2a≤6c，即e≥ 。又∵0＜e＜1，∴ ≤e＜1。 3 3 答案：(1)C (2)D
c 1 即2a＝2· 2c， ＝ ，又c2＝a2－b2， a 2 联立得a2＝8，b2＝6。 (3)设圆M的半径为r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， x2 ∴M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为 64 y2 ＋ ＝ 1。 48 答案：(1)C (2)A (3)D
解析：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6。 ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2。 1 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1|· |PF2|＝ ×8×6＝24。 2 2 x2 y2 (2)设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)。 a b 4 3 由点P(2， 3)在椭圆上知 2＋ 2＝1。 a b 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
大于 F1F2|)的点的轨迹叫椭 ______|
焦点，两焦点间的距离叫做□ 焦距 。 2 ____ 3 ______ 圆。这两定点叫做椭圆的□
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
＞c 4 a (1)若□ ____________ ，则集合P为椭圆； ＝c 5 a (2)若□ ____________ ，则集合P为线段； ＜c 6 a (3)若□ ____________ ，则集合P为空集。
通关特训1
x2 y2 (1)设F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，P为椭圆上一 25 16 ) C．2 D．5
点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( A．4 B．3
x2 y2 (2)已知F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与 4 3 F1A的延长线，F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则( A．t＝2 C．t＜2 B．t＞2 D．t与2的大小关系不确定 )
x 2 y2 1．设P是椭圆 ＋ ＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2| 4 9 等于( A．4 ) B．8
C．6 D．18 解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6。
答案：C
x2 y2 2．方程 ＋ ＝1表示椭圆，则m的范围是( 5－m m＋3 A．(－3,5) C．(－3,1)∪(1,5) B．(－5,3) D．(－5,1)∪(1,3)
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
图形
坐标轴 (－a,0) (0，－b) (a,0) (0，b) 2a 2c (0,1) (0，－a) (－b,0)
原点 (0，a) (b,0) 2b
a2－b2
1个规律——椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系 x 2 y2 给出椭圆方程 2＋ 2 ＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔a＞b＞0；椭圆的焦点在y轴上 a b ⇔0＜a＜b。 1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思 考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理 清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点。当△OPQ的面积最大时，求l的方 程。
解析：(2)当l⊥x轴时不合题意， 故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)。 x2 2 将y＝kx－2代入 ＋y ＝1 4 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0。 当Δ＝16(4k2－3)＞0， 8 k± 2 4k2－3 3 即k ＞ 时，x1,2＝ 。 4 4k2＋1
考点三
直线与椭圆的位置关系
x 2 y2 【例3】 [2014· 课标Ⅰ]已知点A(0，－2)，椭圆E： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的离心率 a b 为 3 2 3 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点。 2 3 (1)求E的方程；
2 2 3 解析：(1)设F(c,0)，由条件知， ＝ ，得c＝ 3。 c 3 c 3 又 ＝ ，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1。 a 2 x2 2 故E的方程为 ＋y ＝1。 4
1 解析：(1)由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝ |PF2|＝3， 2 ∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4。 (2)如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线，线段AF2相切的切点，则|MF2|＝|F2Q| ＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a。所以t＝a＝2。
(3)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆 C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( x2 y 2 A. － ＝1 64 48 x2 y2 B. ＋ ＝1 48 64 x2 y2 C. － ＝1 48 64 x2 y 2 D. ＋ ＝1 64 48
第八章 解析几何
第五节
椭
圆
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
考纲 导学
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 2.了解圆锥曲线的简单应用。 3.理解数形结合的思想。
课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
1．椭圆的概念 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数( 1 □
►名师点拨
椭圆几何性质的解题策略
(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准 方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系。 ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦 点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系。 (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不 等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围。
1 4．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 ，焦距为8。则该 2
y2 x2 ＋ ＝1 64 48 椭圆的方程是________________ 。
c 4 1 解析：∵2c＝8，∴c＝4，∴e＝ ＝ ＝ ，故a＝8。 a a 2 y2 x2 又∵b ＝a －c ＝48，∴椭圆的方程为 ＋ ＝1。 64 48
课堂学案
考点通关
考点例析 通关特训
考点一
椭圆的定义及标准方程
x2 y 2 【例1】 (1)设F1，F2是椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶ 49 24 |PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( A．30 B．25 C．24 ) D．40 3 )是椭圆上一点，且 )
(2)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2， |PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( x2 y2 A. ＋ ＝1 8 6 x 2 y2 B. ＋ ＝1 16 6 x2 y 2 C. ＋ ＝1 8 4 x2 y2 D. ＋ ＝1 16 4 )
)
5－m＞0， 解析：由方程表示椭圆知m＋3＞0， 5－m≠m＋3， 解得－3＜m＜5且m≠1。 答案：C
x2 y2 4 3．椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则k的值为( 9 4＋k 5 A．－21 B．21 19 C．－ 或21 25 19 D. 或21 25
)
解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝ 5－k， 5－ k 4 c 4 19 由 ＝ ，即 ＝ ，得k＝－ ； a 5 3 5 25 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝ k－5， k－ 5 4 c 4 由 ＝ ，即 ＝ ，解得k＝21。 a 5 4＋ k 5 答案：C
2 2 2
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，
3 3 ∠PF百度文库F2＝30° ，则椭圆的离心率为__________ 。
解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得 π sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝ ， 2 设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝ 3， 2c 3 所以离心率e＝ ＝ 。 2a 3
解析：(1)设P(x0，y0)，F1(－1,0)，F2(1,0)。 → → 则PF1＝(－1－x0，－y0)，PF2＝(1－x0，－y0)， → → ∴PF1＋PF2＝(－2x0，－2y0) → → 2 2 2 2 ∴|PF1＋PF2|＝ 4x2 0＋4y0＝2 2－2y0＋y0＝2 －y0＋2。 ∵点P在椭圆上，∴0≤y2 0≤1， → → ∴当y2 ＝ 1 时， | PF ＋ PF 0 1 2|取最小值为2。 (2)如图，设右焦点为F1，|BF|＝x， x2＋102－62 4 则cos∠ABF＝ ＝ 。 20x 5 解得x＝8，故∠AFB＝90° 。 由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝90° ，△FAF1是直角三角 c 5 形，|F1F2|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，e＝ ＝ 。 a 7