第四章运动学方程
第四章曲线运动第三节圆周运动的基本概念和规律
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知识点二 匀速圆周运动
保持不变 的圆周运动． 1．定义：线速度大小____________ 2．性质：向心加速度大小不变，方向____________ 时刻变化 ，是 变加速曲线运动． 大小不变 ，方向始终与速度方向垂直 3．条件：合力____________ 且指向圆心．
2017/7/29
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变式题 如图 18－5 所示，两段长均为 L 的轻质线共同系 住一个质量为 m 的小球， 另一端分别固定在等高的 A、 B 两点， A、B 两点间距也为 L.现使小球在竖直平面内做圆周运动，当 小球到达最高点时速率为 v，两段线中张力恰好均为零；若小 球到达最高点时速率为 2v，则此时每段线中张力大小为( A．2 3mg B. 3mg C．3mg D．4mg )
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[答案] C
[解析] 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静 摩擦力及拉力的合力提供， 且静摩擦力均达到了最大静摩擦力． 因 为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度 ω 相同，设此时手 中的拉力为 F， 则对甲： fm－F＝mω2R 甲， 对乙： F＋fm＝mω2R 乙．当 松手时，F＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故 乙做离心运动，然后落入水中；甲所受的静摩擦力变小，直至与它 所需要的向心力相等， 故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动， 选项 C 正确．
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[点评] 解决圆周运动问题的基本步骤： (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、 轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，并确定向心力的 来源； (4) 根据牛顿第二定律列方程； (5)求解，必要时进行讨论．
机器人学导论第4章操作臂逆运动学
我们把操作臂的全部求解方法分成两大类：封闭解和数值解法。由于数值解 法的迭代性质，因此它一般要比相应的封闭解法的求解速度慢很多。实际上 在大多数情况下，我们并不喜欢用数值解法求解运动学问题。因为封闭解的 计算速度快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。
“封闭形式”意指基于解析形式的解法，或者意指对于不高于四次的多项式 不用迭代便可完全求解。可将封闭解的求解方法分为两类：代数法和几何法。 有时它们的区别又并不明显：任何几何方法中都引入了代数描述，因此这两 种方法是相似的。这两种方法的区别或许仅是求解过程的不同。
多重解问题
在求解运动学方程时可能遇到的另一个问题就是多重解问题。一个具有3个旋转关节的 平面操作臂，由于从任何方位均可到达工作空间内的任何位置，因此在平面中有较大的 灵巧工作空间（给定适当的连杆长度和大的关节运动范围）。图4-2所示为在某一位姿 下带有末端执行器的三连杆平面操作臂。虚线表示第二个可能的位形，在这个位形下， 末端执行器的可达位姿与第一个位形相同。
4.1 概述 • 在上一章中讨论了已知操作臂的关节角，计算工具 坐标系相对于用户工作台坐标系的位置和姿态的问 题。在本章中，将研究难度更大的运动学逆问题 :已 知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位置和姿 态，如何计算一系列满足期望要求的关节角? • 第3章重点讨论操作臂的运动学正问题，而本章重点 讨论操作臂的运动学逆问题。
4.4 代数解法与几何解法
代数解法：以第三章所介绍三连杆平面操作臂为例，其坐标和连杆参数如下
按第三章的方法，应用这些连杆参数可以求得这个机械臂的运动学方程：
c123 s 123 B 0 T T W 3 0 0
s123 c123 0 0
0 0 1 0
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
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流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
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流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
第4章 逆运动学方程
现在θ２已知，求θ１
二连杆操作臂逆运动学代数解法
解： x = l1c1 + l2 c12 = l1c1 + l2 c1c2 − l2 s1s2 = c1 (l1 + l2c2 ) − s1 (l2 s2 )
y = l1s1 + l2 s12 = l1s1 + l2 s1c2 + l2c1s2 = c1 (l2 s2 ) + s1 (l1 + l2 c2 ) x + s1 (l2 s2 ) x + s1 (l2 s2 ) c1 = ,y= (l2 s2 ) + s1 (l1 + l2 c2 ) (l1 + l2 c2 ) (l1 + l2 c2 ) x(l2 s2 ) + s1 (l2 s2 ) 2 + s1 (l1 + l2 c2 ) 2 x(l2 s2 ) + s1[(l2 s2 ) 2 + (l1 + l2c2 ) 2 ] y= = (l1 + l2 c2 ) (l1 + l2c2 )
2 x 2 + y 2 − l12 − l2 因此，θ 2 = ± arccos 2l1l2 y (l + l c ) − x(l s ) x(l + l c ) + y (l s ) s1 = 1 22 2 2 2 2 , c1 = 1 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) θ1 = arctan 2( s1 , c1 )
θ 3 = φ - θ1 - θ 2
式中，x = p x − l3 cos φ , y = p y − l3 sin φ
大学物理第四章题解
第四章 经典质点动力学4-1．已知质量为2kg 的质点的运动学方程为22(61)(341)r t i t t j =-+++（国际制单位），求证质点所受合力为恒力．证 对运动学方程求时间导数()d 1264d r v t i t j t==++ 22d d 126d d v r a i j t t ===+ 2(126)=2412(N)F ma i j i j ==⨯++可见质点所受合力为恒力．4-2．已知质量为1kg 的质点，在合力128(N)F t i j =+作用下运动．已知1t =s 时，质点位于2x =m 、0y =处，并以速率3m s 沿y 轴正向运动．求质点运动学方程．解 由mr F =，知12x t =，8y =．可得d 12d x t t = ，d 8d y t =积分 01d 12d xt x t t =⎰⎰ ，31d 8d y ty t =⎰⎰ 求出 266x t =- ，85y t =-再根据 2d (66)d x t t =- ，d (85)d y t t =-再积分 221d (66)d xt x t t =-⎰⎰ ，01d (85)d y ty t t =-⎰⎰ 质点运动学方程为 3266x t t =-+ ，2451y t t =-+4-3．跳水运动员沿竖直方向入水，刚入水时速率为0v ，以入水点为O 点，y 轴竖直向下，运动员入水后浮力与重力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数为k ，求入水后运动员速度随时间的变化规律．解 以运动员为质点，根据牛顿第二定律有 2d d yy v m kv t =- ，即2d d y y v k v t m =- 分离变量并积分 020d d y v t y v y v k t v m =-⎰⎰即可求出 011y k t v v m -= 也可以表示为 00y mv v m kv t=+4-4．跳水运动员由高处下落，设运动员入水后重力与浮力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数0.4k m =（m 为运动员质量）．求运动员速率减为入水速率的110时，其入水深度（均为国际制单位）．解 以入水点为O 点，y 轴竖直向下，以运动员为质点，根据牛顿第二定律有2d 0.4d yy v m mv t =-做变量变换，得 2d d d 0.4d d d y y y y v v y v v y t y ==- 即 d 0.4d y y v v y=- 分离变量并积分 00100d 0.4d v y y v y v y v =-⎰⎰ 0010ln |0.4v y v v y =- 可知运动员速率减为入水速率的110时，其入水深度ln1004576(m)y ..==．4-5．质量为m 的小球系在一不可伸长的轻绳之一端，可在水平光滑桌面上滑动．绳的另一端穿过桌面上一小孔，握在一人手中使它以匀速率a 向下运动．设初始时绳是拉直的，小球与小孔的距离为R ，初速度在垂直于绳的方向上的分量为0v ．试求小球运动和绳子的张力．解 小球m 视为质点，作为研究对象，受力分析如图．以桌面小孔为坐标原点O ，建立极坐标系如图，根据牛顿第二定律，有T N T ma F F mg F =++=在极坐标系中的投影方程为2()T m r r F θ-=- （1）(2)0m r r θθ+= （2）由题意可知 r a =- （3）由（3）式得0d d r tR r a t =-⎰⎰ 所以r R at =-，代入（2）式，得 ()20R at a θθ--= ，即 d ()2d R at a tθθ-= 初始时00R v θ=，即00v R θ=，把上式分离变量且积分 000d 2d d()2tt v R a t R at R at R at θθθ-==---⎰⎰⎰220ln 2ln ln ()R R at R v R R at θ-=-=- 所以 02d d ()v R t R at θθ==- 把上式分离变量且积分 0200d()d ()t v R R at a R at θθ-=--⎰⎰ 所以 0011()v R v t a R at R R atθ=-=-- 小球的运动学方程为r R at =-，0v t R atθ=-．由（1）式得 222220023()()[]()()T v R mv R F m r r mr m R at R at R at θθ=-==-=--4-6．已知质点所受合力为sin cos e tF t i t j k =++，求在0t =到2t π=时间内合力对质点的冲量．（国际制单位．）解 0t =到2t π=时间内合力对质点的冲量为 200d (sin cos e )d t t I F t t i t j k t π==++⎰⎰22000(sin d )(cos d )(d )t t t i t t j e t k πππ=++⎰⎰⎰ 222000(cos |)(sin |)(|)t t i t j e k πππ=-++2(e 1)i j k π=++-（国际制单位）4-7．用棒打击质量为0.5kg 、从西沿水平方向以速率20m 飞来的球，球落到棒的西面80m 处，球上升的最大高度为20m ，打击时间为0.05s ，打击时可略去重力，取210m s g =．求：（1）棒对球的冲量；（2）棒给予球的平均冲力．解 建立坐标系Oxy ，Ox 轴沿水平方向自东向西，Oy 轴竖直向上．先讨论球被棒打击后的运动，球仅受重力，可知2012y y v t gt =- ，0y y v v gt =- 当0y v =时球达到最大高度m 20m y =．根据0010y v t =-求出0010y t .v =，代入202050y v t .t =-得到 22200020010005005y y y .v .v .v =-=因00y v >，略去020y v =-，可求出020m s y v =．进而求出2s t =．由于球沿Ox 方向作匀速率运动，到4s t =时向西运动了80m ，所以020m x v =． 在碰撞中根据动量定理 21I mv mv =- 由于120v i =-，2002020x y v v i v j i j =+=+，所以棒对球的冲量2010(N s)I i j =+⋅平均冲力 2010400200 (N)0.05I i j F i j t +===+∆4-8．从高出枰盘 4.9m h =处，将每个质量m 均为0.02kg 的橡皮泥块，以每秒100n =个的速率注入枰盘，橡皮泥块落入枰盘后均黏附在盘上．以开始注入时为0t =，求10s t =时枰的读数．解 橡皮泥块在下落过程中只受重力，橡皮泥块落入枰盘的速率98(m v .=在橡皮泥块落入秤盘的过程中，对秤盘的平均冲力为（向上为正方向）21()100002[0(9.8)]196(N)F n mv mv ..=-=⨯⨯--=由于橡皮泥块由 4.9m h =处下落，由22119.8 4.922gt t =⨯⨯= 可知下落的时间1s t =．所以10s t =时枰盘内橡皮泥块受到的总重力g (10-1)1009002981764(N)F n mg ...==⨯⨯⨯=因此秤的读数为 g 1961764196(N)F F ..+=+=4-9．对例题4-4-2（见图），判断以下说法的正误：（1）质点对O 点角动量守恒；（2）质点对O '点角动量守恒；（3）质点对z 轴角动量守恒；（4）质点对x 轴角动量守恒．解 （1）摆锤所受合力指向O 点，摆锤所受合力对O 点力矩为零，所以质点对O 点角动量守恒．（2）合力对O'点力矩不为零，质点对O'点角动量不受恒．（3）质点所受合力的作用线过Oz 轴，对Oz 轴合力矩为零，所以质点对Oz 轴角动量守恒．（4）质点对O 点角动量守恒，所以质点对Ox 轴角动量守恒．4-10．在一直角坐标系Oxyz 中，一质点位于点(3m,4m,5m)处，并受一作用力7N 8N 9N F i i i =++，求：（1）力F 对O 点的力矩；（2）力F 对x 轴的力矩．解 345r i j k =++，所以(345)(789)484(N m)O M r F i j k i j k i j k =⨯=++⨯++=-+-⋅4N m x O M M i =⋅=-⋅4-11．在直角坐标系Oxyz 中，质点质量为2kg ，其速度1242(m s )v i j tk -=+-⋅，并已知0t =时位置矢量02(m)r i =．求：（1）质点对O 点的角动量；（2）质点对y 轴的角动量；（3）质点所受合力对O 点和y 轴的力矩．解 因为d d r v t=，d d r v t =，所以00d d r t r r v t =⎰⎰，即 00002(2d )(4d )(2d )t t tr r r i t i t j t t k -=-=+-⎰⎰⎰ 所以 2(22)4r t i tj t k =++- （1） 22[(22)4](242)O L r mv t i tj t k i j tk =⨯=⨯++-⨯+-22218(48)16(kg m s )t i t t j k -=-+++⋅⋅（2） 22148(kg m s )y O L L j t t -=⋅=+⋅⋅（3） d 16(88)(N m)d O O L M t i t j t==-++⋅ d 88(N m)d y y L M t t==+⋅4-12．设质点在Oxy 平面内运动，试判断以下论述是否正确：（1）若质点动量守恒，则对z 轴角动量守恒；（2）若质点对z 轴角动量守恒，则动量守恒；（3）若质点对z 轴角动量守恒，则动量的大小保持不变；（4）若质点对z 轴角动量守恒，则质点不可能作直线运动．解 （1）正确．质点动量守恒，则质点所受合力为零，质点所受合力对Oz 轴力矩为零，所以对Oz 轴角动量守恒．（2）不对．比如，质点在Oxy 平面内、绕O 点做匀速圆周运动，对Oz 轴角动量守恒，但是动量并不守恒．（3）不对．比如例题4-5-2，质点在Oxy 平面内做椭圆运动，它所受的合力是有心力，始终指向O 点，所以对Oz 轴的角动量守恒，但是动量的大小不断变化．（4）不对．在Oxy 平面内做匀速直线运动的质点对Oz 轴角动量守恒．4-13．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，其运动学方程为cos x a t ω=，sin y b t ω=，a 、b 、ω均为常量．求：（1）质点对z 轴的角动量；（2）质点所受对z 轴的合力矩．解 （1）对运动学方程cos sin r a ti b tj ωω=+求时间导数，可得 d sin cos d r v a ti b t j t ωωωω==-+ 所以 (cos sin )(sin cos )O L r mv a ti b tj m a ti b t j ωωωωωω=⨯=+⨯-+22(cos sin )m ab t ab t k mab k ωωωωω=+=z O L L k abm ω=⋅=（2）因z L 为常量，由对Oz 的角动量定理，可知质点所受对Oz 轴的合力矩d 0d z z L M t==4-14．如图，刚性转动系统放在盛有液体的容器内，长为l 的细杆一端固定一质量为m 的小球，另一端垂直地固定于转轴z ．小球受液体阻力与小球质量及系统转动角速度的大小成正比，即F km ω=，k 为比例常量．z 轴及细杆的质量及所受阻力均忽略不计，问：经过多长时间系统的角速度的大小变为初始值0ω的1e ．解 由题意知z M lkm ω=-，2z L ml ω=，根据d d z z L M t=，得 2d d ml lkm tωω=- 分离变量并积分 d d k t lωω=-⎰⎰ ln k t C lω=-+ 由0t =时0ωω=定出积分常数，0ln C ω=，则 0e kt l ωω-=所以，当0e ωω=时l t k=．4-15．如图所示，小球m 系于不可伸长的轻绳的一端，绳经O 点穿入竖直小管．开始时小球绕管在水平面内做半径为R 的圆周运动，每分钟转120转．由绳的A 端将绳拉入小管，拉绳后小球绕管在水平面内做半径为2R 的圆周运动．求：（1）拉绳以后小球每分钟之转数；（2）拉绳过程中小球对O 点角动量是否守恒？为什么？解 （1）在拉绳过程中，因为小球所受重力与OA 轴平行、绳拉力与OA 轴相交，对OA 轴力矩均为零，所以在拉绳过程中小球对OA 轴角动量守恒02R mvmv R = 拉绳前，每秒转两转，022R v π⋅=．设拉绳后，每秒转n 转，22R n v π⋅=．把04v R π=和v n R π=代入角动量守恒方程，得 42R mn R m R R ππ=⋅ 即可求出拉绳后小球每秒转8n =转，即每分钟480转．（2）因为小球所受合力对O 点力矩不为零，所以小球对O 点角动量不守恒．4-16．试判断以下说法是否正确：（1）静摩擦力一定不做功；（2）滑动摩擦力一定做负功；（3）摩擦力总是阻碍物体运动；（4）运动质点如受摩擦力作用，则能量一定减小．答 均不正确．4-17．试证明2(3sin e )(N)x F x x i =++是保守力．质点在F 作用下由0x =运动到1m x =，试用两种方法计算力F 对质点做的功．解 由于2(3sin e )(N)x F x x i =++在位移d r 中所做元功2d (3sin )(d d d )x F r x x e i xi yj zk ⋅=++⋅++2(3sin e )d x x x x =++3d(cos e )xx x =-+可以表示为只与位置有关的标量函数3()cos e x U x x x =-+的微分，所以此力为保守力．方法一：质点沿Ox 轴由0x =运动到1x =，F 对质点所做的功为 120d (3sin e )d x W F r x x x =⋅=++⎰⎰310(cos e )|x x x =-+ 1cos1e 11=-++-1cos1e =-+ 方法二：因F 为保守力，引入势能3p (cos e )x E U C x x C =-+=--++，则p2p1()W E E =--1cos1e 11=-++-1cos1e =-+4-18．如图，一劲度系数为k 的弹簧，一端固定于A 点，另一端与质量为m 的质点相连．弹簧处于自由伸张状态时，质点位于竖直面与半径为R 的半圆柱面的交界处B ．质点在力F 的作用下，由B 点从静止开始运动到光滑半圆柱面的顶点C ，到达C 点时质点速率为C v ．求力F 对质点所做的功．解 在质点由B 到C 点的过程中，所受重力和弹簧弹性力为保守力，以B 点为重力势能及弹性势能零点．质点受面的支撑力不做功，设力F 做功为F A ．由质点的机械能定理k p k p ()()C C B B F E E E E A +-+=可得 22111[(R)](00)222F C A mv mgR k π=++-+ 2221128C mv mgR k R π=++4-19．接题4-18，质点到达C 点后，力F 被撤除，求质点运动到AB 之间的平衡位置时的速率．解 质点平衡时mg k l =∆，mg l k ∆=，即质点的平衡位置位于B 点下方mg k处． 在质点由C 到平衡位置的过程中，由于所受重力和弹簧弹性力为保守力，受面的支撑力不做功，所以机械能守恒．以B 点为重力势能及弹性势能零点，则()2222211112822C mv mgR k R mv mg l k l π++=-∆+∆ 22222122m g m g mv k k =-+222122m g mv k=- 即可求出质点运动到AB 之间的平衡位置时的速率2222121(2)4C k R mg v v gR m kπ=+++4-20．如题4-15图之装置．设小球质量0.5g m =，初态管外绳长12m l =，绳与竖直方向夹角130θ=，速度为1v ．末态绳与竖直方向夹角260θ=，速度为2v ．求：（1）1v 、2v ；（2）绳对小球所做的功．解 视小球为质点，受重力W 和绳的张力T F 如图．初态小球做水平圆周运动，合力T F W F =+指向圆轨道圆心，由牛顿第二定律2211111tg sin v v m m mg R l θθ== 所以 21111sin 1298238m s cos 23v l g ..θθ==⨯⨯= 设末态2l l =，小球做水平圆周运动，有22222tg sin v m mg l θθ= ，222222sin cos v l g θθ= 可知 22111212222122sin cos 1cos sin 33v l l v l l θθθθ== （1） 在由初态到末态的过程中，小球所受合力对竖直轴AB 的力矩为零，所以小球对轴AB 的角动量守恒111222sin sin mv l mv l θθ=所以 12222111sin 3sin v l l v l l θθ== （2） (1)(2)⨯得 313213v v = 可求出 13213343m s v v .==2(1)(2)得 313293l l = 13211()080m 93l l .== 由机械能定理，以O 点为势能零点，绳对小球所做的功为k p W E E =∆+∆2221121()(cos30cos60)2m v v mg l l =-+-000805J .=4-21．质量为0.2kg 的小球B 以弹性绳在光滑水平面上与固定点A 相连．弹性绳劲度系数为8N m ，其自由伸张长度为0.6m ．小球初位置和速度0v 如图所示．当小球速率变为v 时，它与A 点距离最大且等于0.8m ．求初态与末态之速率0v 和v ．解 小球在水平面上仅受弹性绳弹性力，弹性力作用线过A ，所以小球在运动过程中对过A 的竖直轴角动量守恒；注意到小球与A 点距离最大时其速度与弹性绳垂直；则004sin3008.mv .mv =小球在水平面内仅受弹性绳弹性力，弹性力为保守力，因此小球在运动过程中机械能守恒，以弹性绳自由伸张时为弹性势能零点；则2220111(0806)222mv mv k ..=+- 所以 04v v = ，22016v v .-=联立求解上述二式即可求出0131m s v .=，033m s v .=．4-22．如图，在升降机内有一和升降机固定的光滑斜面，斜面相对水平方向的倾角为θ．当升降机以匀加速度a 沿竖直方向上升时，质量为m 的物体沿斜面下滑，试以升降机为参考系，求：（1）物体相对升降机的加速度；（2）物体对斜面的压力；（3）物体对地面的加速度．解 以升降机为非惯性参考系，建立与斜面固连的坐标系Oxy 如图．视物体为质点，受重力mg 、支承力N F 和惯性力I F ma =-，物体在非惯性系中的动力学方程为()sin m g a mx θ+=()N cos 0F m g a θ-+=所以，物体相对升降机的加速度()sin a x i g a i θ'==+物体对斜面的压力()NN cos F F m g a j θ'=-=-+ 物体对地面的加速度sin cos ()sin sin cos a a a a i a j g a i g i a j θθθθθ'=+=-+++=+地4-23．如图，一理想定滑轮固定于升降机上，一不可伸长之轻绳跨过滑轮后，两端各悬挂一物体，物体质量为1m 和2m ，12m m ≠．升降机以加速度a 沿竖直方向下降时，试以升降机为参考系，求：两个物体相对地面的加速度及绳内张力．解 以升降机为非惯性参考系，建立与升降机固连的坐标系Ox 如图．视二物体为质点，物体受重力、绳张力和惯性力I11F m a =-、I22F m a =-，在非惯性系中的动力学方程为1T1111m g F m a m x --=2T2222m g F m a m x --=绳不可伸长 12x x =-根据牛顿第三定律 T1T2T F F F ==所以 12211212()()m m g m m a x x m m -+-=-=+ 绳内张力 12T 122()m m F g a m m =-+ 两个物体相对地面的加速度为1221122111212()()()2m m g m m a m m g m a a a x i ai i i m m m m -+--+=+=+=++ 1221211121212()()()2m m g m m a m m g m a a a x i ai i i m m m m -+--+=+=-=++ 4-24．如图所示有一绕竖直z 轴以角速度k ωω=作匀角速度定轴转动的光滑水平大转台．在距z 轴R 的A 处立一竖直杆，杆端有一长度为l 的不可伸长的轻绳，绳末端挂一质量为m 的小球．当绳与竖直杆夹角θ保持不变时，以转台为参考系，求θ与ω的关系．解 以转台为非惯性参考系，视小球为质点，小球受重力mg ，绳的拉力T F ，惯性离心力It F ，2It (sin )F m R l ωθ=+．小球在非惯性系中受三个力平衡，水平方向的平衡方程为2(sin )tan m R l mg ωθθ+=所以 12tan ()sin g R l θωθ=+ 4-25．接题4-24，有人试图从O 点以初速0v 沿台面抛出一小球，而使小球沿转台上的直线OA 运动，此人的目的能否达到？试在转台参考系中加以说明．解 以转台为非惯性参考系，小球相对于转台具有速度，所以小球除受重力、支持力和惯性离心力以外，还受科里奥利力作用．由于科里奥利力与小球运动方向垂直，所以小球不可能沿转台上的直线OA 运动．（第四章题解结束）。
运动学方程及应用
运动学方程及应用运动学是物理学中研究物体运动的学科，是研究物体位置、速度和加速度与时间之间关系的一门学科。
运动学方程是描述物体运动状态的方程，通过运动学方程可以计算物体的位移、速度和加速度等参数，进而揭示物体运动的规律和特点。
运动学方程及其应用在物理学、工程学等领域具有重要的意义。
一维运动学方程是研究物体沿着一条直线运动时的方程。
其中最基本的方程是位移-时间关系方程，即x = x0 + v0t + (1/2)at^2。
这里x0表示起始位置，v0表示起始速度，t表示时间，a表示加速度。
该方程表达了物体的位移与时间的关系，可以计算在给定初始条件下物体的具体位置。
在应用中，运动学方程可以用于解决诸如自由落体、匀速直线运动、匀加速直线运动等问题。
例如，可以利用x = x0 + v0t + (1/2)at^2来计算一个物体自由落体的高度。
如果物体自由落体时没有起始速度，即v0为0，方程简化为x = (1/2)gt^2，其中g为重力加速度。
通过该方程，可以计算物体在任意时间下的高度，从而揭示物体自由落体运动的规律。
另一方面，运动学方程也可用于解决匀速直线运动的问题。
在匀速直线运动中，物体的加速度为0，所以运动学方程可以写成x = x0 + v0t。
这里x0表示起始位置，v0表示起始速度，t表示时间。
通过该方程，可以计算物体在匀速直线运动中的位置。
运动学方程在匀加速直线运动中的应用也非常广泛。
在匀加速直线运动中，物体的加速度是恒定的，所以运动学方程可以写成x = x0 + v0t + (1/2)at^2。
这里x0表示起始位置，v0表示起始速度，t表示时间，a表示加速度。
通过该方程，可以计算物体在匀加速直线运动中的位置。
除了一维运动之外，运动学方程还可以推广到二维和三维运动中。
在二维和三维运动中，物体在平面或空间中的位置可以用矢量表示。
对于二维运动，可以用位矢r = xi + yj来表示物体的位置，其中i和j分别是x轴和y轴的单位矢量。
运动学方程
运动学方程
1运动学方程
运动学方程是物理学中重要的概念，它能描述物体在力学系统中的运动规律。
它不仅用于物理学，而且在航天、机械及其他科学和工程领域被广泛使用。
广义的运动学方程由物理学家Leonhard Euler提出，数学家Joseph Louis Lagrange也提出了一种更普遍的版本。
2概念介绍
运动学方程是一组常微分方程，用于描述物体在动力系统中的运动，包括速度、加速度等等。
它可以解释物体位置、速度及总能量的变化，以及力学系统的行为，还可以用于形成物理模型，并用数值计算的方法表示物体运动的轨迹。
3典型应用
运动学方程在航天工程和机械工程中有广泛应用。
它可以用来模拟物体的运动，为轨道系统的设计提供依据，以及应用于机械系统的建模与设计。
此外，它还被广泛应用于波动方程、布朗运动等各种动力系统中。
4小结
运动学方程是物理学和机械工程中重要的概念，它可以解释物体在力学系统中的运动规律，被广泛应用于航天工程、机械工程和动力系统的建模与设计中。
流体力学
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
第四章机器人的运动学0905
3.5机器人位置与姿态描述
3.5.1手爪(末端执行器)坐标系
与手爪固接的坐标系叫手爪坐标系,图中的{B}. z轴为手指接近物体的方向,称接近矢量a(approach); y轴为两手指连线方向,称方位矢量O(orientation); X轴称法向矢量n(normal),由右手法则确定 n=O×a = ×
4.2机器人连杆坐标系变换矩阵
4.2.1相邻坐标系变换矩阵
1)符号 表示相邻两连杆坐标系间的齐次变换矩阵 上标(i-1)表示变换的目的(变换后)坐标系 下标( i )表示变换前的坐标系 机器人运动学正问题求解,变换总是向序号减少的 方向进行,所以 Aii 1 的上标可省略,简写为 Ai 只有相邻两坐标系间的齐次变换,且变换向序号减 少的方向进行,上标才可省略
连杆D-H参数见表3-10
连杆的D-H坐标变换矩阵为:
A64 = A5 A6
3 A6 = A4 A5 A6
3 A62 = A3 A6
1 A6 = A2 A62
运动学方程为:
0 A6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6
若令θl=90°, θ2=0°, θ3=90°, θ4=0°, θ5=0°, θ6=0°, 并将有关常量代人矩阵 T ,则有
2)数学表达式
在数学上,机器人终端手 爪的广义位置(位姿)矢量P 可写成:
4.5.2雅可比矩阵的物理意义 4.5.2雅可比矩阵的物理意义
对于有n个关节的机器人,其雅可比矩阵.J(q)是 对于有n个关节的机器人,其雅可比矩阵.J(q)是6×n阶矩阵, 阶矩阵, 其前三行称为线速度(位置)雅可比矩阵, 其前三行称为线速度(位置)雅可比矩阵,代表对手爪线速度 的传递比,后三行称为角速度(方位)矩阵, 的传递比,后三行称为角速度(方位)矩阵,代表相应的关节 速度,对手爪的角速度的传递比.因此, 速度,对手爪的角速度的传递比.因此,可将雅可比矩阵 J(q)分块 分块, J(q)分块,即: J= J L = J L1 J L2 J L3 J L4 J L5 J L6 JL 称为与平移速度相关的雅可比矩阵. . JA 称为与角速度相关的雅可比矩阵
机器人 (7)
机器人动力学的研究有
牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法
拉格朗日(Langrange)法
高斯(Gauss)法
凯恩(Kane)法
罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。
角度设定法
“角度设定法”就是 采用相对参考坐标系或相对运动坐标系作三次连续转动来规
定姿态的方法，。
手部位姿可用一个6维列矢量来表示
X [ px py pz x y z ]T
φx、 φy、 φz表 示绕x、y、z轴的
转角。
4
设q为广义关节变量 q [q1 q2 ... qn ]T
x x(q1,q2,..., qn ) x(q)
τ
τ
2
M
τ n
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，利用虚功原理则可得广 义关节力矩τ与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ=JTF 式中： JT为n*6阶机器人力雅可比矩阵。 机器人力雅克比是机器人速度雅可比J的转置矩阵。是机 器人静力计算的基础。
23
• 机器人静力计算的两类问题
– (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，求相应的满足 静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
–运动学方程x=x(q)可以看成是由关节空间向操作空 间的映射；
–而运动学反解则是由其映像求其关节空间的原像。
6
二.机器人的雅可比矩阵
机器人的雅可比矩阵揭示了操作空间与关节空间的映射关系。 雅可比矩阵不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系， 也表示两者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力 矩及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的 方法。
大一物理运动学方程知识点
大一物理运动学方程知识点物理学是一门研究物质运动规律和物质相互关系的科学。
而运动学是物理学中的一个重要分支，它研究运动物体的运动方式、速度、加速度等参数的变化规律。
在大一的学习中，我们不可避免地要学习和掌握运动学方程，以便更好地理解和分析物体的运动。
在运动学中，最基本的方程就是运动学方程。
它是一组用来描述物体运动的数学表达式，包括位置-时间方程、速度-时间方程和加速度-时间方程。
理解这些方程的含义和应用，对于解决与物体运动相关的问题至关重要。
首先，我们来看一下位置-时间方程。
它描述了物体在运动过程中位置随时间变化的关系。
一般而言，位置-时间方程可以通过已知的初始位置、初始速度和加速度来求解。
比如，如果一个物体的初始位置为x0，初始速度为v0，加速度为a，那么它在时间t 时的位置x可以通过下面的方程得到：x = x0 + v0t + 0.5at^2在这个方程中，x表示物体的位置，t表示时间。
v0t项表示物体在时间t内的位移，0.5at^2表示物体在时间t内由于加速度的作用而产生的位移。
了解和应用这个方程，可以帮助我们计算物体在给定时间内的位置，进而分析与物体位置和时间有关的问题。
接下来，我们来看一下速度-时间方程。
它描述了物体在运动过程中速度随时间变化的关系。
一般而言，速度-时间方程可以通过已知初始速度和加速度来求解。
比如，如果一个物体的初始速度为v0，加速度为a，那么它在时间t时的速度v可以通过下面的方程得到：v = v0 + at在这个方程中，v表示物体的速度，t表示时间。
v0表示物体的初始速度，at表示物体在时间t内由于加速度的作用而产生的速度变化。
了解和应用这个方程，可以帮助我们计算物体在给定时间内的速度，进而分析与物体速度和时间有关的问题。
最后，我们来看一下加速度-时间方程。
它描述了物体在运动过程中加速度随时间变化的关系。
一般而言，加速度-时间方程可以通过已知初始速度和加速度来求解。
比如，如果一个物体的初始速度为v0，加速度为a，那么它在时间t时的加速度可以通过下面的方程得到：a = a在这个方程中，a表示物体的加速度，t表示时间。
力学运动与运动学方程
力学运动与运动学方程力学运动是物体在受到力作用下的运动，而运动学方程则是描述物体运动的方程。
通过对力学运动和运动学方程的研究和应用，我们可以深入了解物体的运动规律，并利用这些规律解决实际问题。
一、力学运动力学运动是研究物体受到力作用下的运动规律的学科。
在力学运动中，主要考虑物体的速度、加速度以及运动的轨迹等因素。
力学运动可以分为匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等不同类型。
1. 匀速直线运动在匀速直线运动中，物体的速度保持恒定，而加速度为零。
这意味着物体在单位时间内所经过的路程相等。
匀速直线运动的运动学方程为：\[v = v_0\]\[s = v_0t\]其中，\(v\)表示物体的末速度，\(v_0\)表示物体的初速度，\(s\)表示物体的位移，\(t\)表示经过的时间。
2. 变速直线运动在变速直线运动中，物体的速度随时间而变化，加速度不为零。
变速直线运动的运动学方程为：\[v = v_0 + at\]\[s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\]其中，\(a\)表示物体的加速度。
3. 曲线运动曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线的运动。
在曲线运动中，物体的速度和加速度都是矢量，需要考虑其方向。
曲线运动常涉及到极坐标、曲线的参数方程等数学工具来描述。
二、运动学方程的应用运动学方程不仅是研究物体运动的基础，也是解决实际问题的重要工具。
以下是运动学方程的一些应用。
1. 路程-时间图运动学方程中的位移-时间方程可以用于绘制物体的路程-时间图。
通过分析路程-时间图，我们可以得到物体的运动方式，例如匀速运动、加速运动或者减速运动。
2. 速度-时间图在运动学方程中，速度-时间方程可以用于绘制物体的速度-时间图。
通过分析速度-时间图，我们可以了解物体的速度变化规律，例如加速度大小、正负号等。
3. 解决实际问题通过运动学方程，我们可以解决一系列与物体运动相关的实际问题。
例如，我们可以通过已知的位移和时间求解物体的平均速度、通过已知的加速度和时间求解物体的位移，或者求解加速度的大小等。
运动学方程
Z1 X1
Y1
第一根杆长l1,第二根杆长l2,两杆之间夹角为θ。
在每个连杆都建立一个坐标系，x 轴为连杆方向，连杆可以绕Z 轴旋转，y 轴由x 轴和Z 轴决定。
第一个连杆的坐标系设为O1，第二个为o2.o2相对于o1的变化由四个变化完成。
1绕o1的x 轴旋转a 角。
使o1o2z 轴平行。
2沿x 轴移动L1。
4沿o1z 移动d ，使两坐标系完全重合。
可以得到矩阵T12=（图中（ai-1）为a ，ai-1为l1,）
上式中θ即为所求旋转角度。
若存在多个连杆，则将上述矩阵（T23,T34…）进行连乘。
最终得到终点坐标矩阵。
即T12*T23*T34…=P
求出θ1：求出T12的逆矩阵T21，并在等式两端进行左乘。
寻找合适的对应元素进行运算。
如计算。
左乘后左右两边第二列，第X2 Z2 Y2
三行相等。
可求出θ1=ARCtan（ox/oy）。
同理可求出θ2，θ3。
第4章 机器人逆运动学方程
nx ox ax n o a y y T = y 6 nz oz az 0 0 0
px py pz 1
（3）由T6 和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn 或 dn。
4.2 逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations） 逆运动学方程的解（ ）
Байду номын сангаас
（4.48）
式中
f11 = cosφ x +sin φ y
（4.49） （4.50） （4.51） （4.52）
f12 = −sin φ x +cosφ y
f13 = z
f12(a) = −sin φ ax +cosφ ay
同样，上面三个式子中的x、y、z分别表示n、o、a、p矢量的各个分量，如
比较式（4.48）等号两边矩阵的第2行第3列元素可知
这里 f11 = C1 x＋S1 y f12 = - z f13 = - S1 x＋C1 y 其中 x =[ nx ox ax px ]T， y =[ ny oy ay py ]T， z =[ nz oz az pz ]T 由第三章得到的斯坦福机械手运动学方程式（3.48）为 C2( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 -C2( C4C5S6 + S4C6 )+ S2S5S6 C + S2( C4C5C6 - S4S6 ) + C2S5C6 -S2( C4C5 S6+ S4C6 )- C2S5S6 S4C5C6 + C4C6 -S4C5S6 + C4C6 0 0 C2C4S5 + S2C5 S2C4S5 - C2C5 S4S5 0 S2d3 -C2d3 d2 1 (4.10) (4.11) (4.12)
4第四章 刚体的定轴转动
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
流体力学四章节流体运动学
（4.6）
w
iw x
jw y
k
w
z
w
w
2 x
w
2 y
w
2 z
ppx,y,z,t
（4.7）
x,y,z,t
第7页
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（4.8）
第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为质点在流场内是连续的，所以流体加速度的各分量为
同样
dwx wx wx x wx y wx z dt t x t y t z t
A
a
t0 et0
1
B
b
t0 1 et0
将A，B，C值代入前式得到
Cc
xaett00 1et t1
ybet0t01et t1 zc
这就是流场中的迹线方程式，也就是质点空间坐标的拉格朗日表达式，它
表示一迹线族。若某一个质点，当 t0 0时其起始位置 a 1，b2，c 3，
则这个质点的迹线方程式为 x2et t1 y3et t1 z 3
D D B t B tw x B xw y B yw z B zB t wBtwB （4.11）
（三）两种描述方法的关系 拉格朗日法和欧拉法两种表达式可以互换。例如，从拉格朗日法的坐标 位置表达式（4.1），可以求出用x，y，z，t 表示的拉格朗日变数a，b， c 的关系式
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第四章 流体运动学
y,
z, t
wz
z t
wz x,
y,
z,
t
（b）
第10页 退出 返回
第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
将（b）式进行积分，则
x F1C1, C2, C3, t
第四章运动学
2、平面运动分解为平动和转动
如图，分析平面图形S的 运动，当图形上的A点不动时， 刚体作定轴转动；刚不变时， 刚体作平动。
刚体的平面运动是平动和转动的合成运动。
平面运动
平动 图中，选择A点为基点，车 轮的平面运动可以看成是车轮 随同车的平动和相对车厢的转 动合成。 刚体的平面运动可以分解为随基 点的平动和绕基点的转动。 转动
2）有关加速度瞬心 在图形中总能找到一点，其加速度为零，该点称 为加速度瞬心。 ①一般情况下，加速度瞬心和速度瞬心不是同一 个点； ②一般情况下，对于加速度没有类似速度投影定 理的关系式。
通常：
在某瞬时，当图形ω=0时，图形瞬时平动，有：
例：半径为R的车轮沿直线作纯滚 动，已知轮心O速度vO及加速度aO， 求车轮与轨道接触点P的加速度。 分析：由加速度基点合成法
合成运动就是把相对于某一参考系的运动由相对 于其它参考系的几个运动进行组合。
1）基本概念
动点：研究分析对象；
定参考系：与地面固定的参考系，用Oxyz 表示；
动参考系：相对于定系运动的参考系，用O'x'y'z' 表示； 绝对运动：动点相对于定系的运动；
相对运动：动点相对于动系的运动；
牵连运动：动系相对于定系的运动；
5、平面图形内各点的加速度
1）基点法： 某一瞬时，平面图形内A点的 加速度为aA，图形的角速度和角加 速度分别为ω和ε
以A点为基点，B点的运动可 以看成是随图形的平动和绕A点的 转动，根据加速度合成定理，有：
由：a= at+an 得：
得： 其中：aBA=AB· ε，为切向加速度 aBAn=AB· 2，为法向加速度 ω 平面图形内任意一点的加速度等于基点的加速度 与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度 的矢量和。
第四章 流体动力学微分形式的基本方程
第四章流体动力学微分形式的基本方程§4-1运动流体中的应力张量流体中的应力一、运动流体中的应力张量作微元四面体，如图()cos ,x n nA A n x A Δ=Δ=Δx n ()cos ,y n nA A n y A Δ=Δ=Δy n ()cos ,z n nA A n z A Δ=Δ=Δz n00当()00,0,0dv dx dy dz →→→→n x y zA A A A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p p n x n y n z nA n A n A n A Δ=Δ+Δ+Δn x y z p p p pn n n =++x y zxx xy xzp p p =++n x y z x p p p p p i j k yx yy yzzx zy zzp p p p p p =++=++y z p i j k p i j k y 分量公式：nx ny nzp p p =++n p i j k nx x xx y yx z zxp n p n p n p =++ny x xy y yy z zynz x xz y yz z zz p n p n p n p p n p n p n p =++=++⎛xx xy xz p p p ⎞⎜⎟=为对称张量yxyyyz zxzy zz P p p p p p p ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 为对称张量P =++x y z ip jp kp x y z n n n P=++=i 依赖于通过某点的面元方位P是的函数n x y z p p p p n (),t 依赖于通过某点的面元方位，P是的函数.n p r二、理想流体中的应力00p αβαβ≠⎧=⎨1111222233330= nn nn nn p n n p p n n p p n n p βαβ≠⎩===112233nn p p p p ∴===理想流体任一方向应力分量都相等p P p δ=−=−n p n+∇i V =0()t ρ∂t∂:适用惯性坐标系,非惯性坐标系,理想流体和非理想流体.⎛()()200v e ,t ,A A t 2φφφττ⎞==×=+==⎜⎟⎝⎠V, r V ，d d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V VD ∫∫∫∫∫∫∫∫ A Dt ττD ⎛⎞V ∴0d Dt τρρτ−−∇=⎜⎟⎝⎠∫∫∫f P i1yz xz zz z P P w w w w P u v w f t x y z x y z ρ∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂+++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠=+各项物理意义y x dx dy ∂⎛⎞∂⎛⎞⎟⎟P P z dxdydz+dydz+dxdz x y D +dz dxdy dxdydz ρρ⎜⎜∂∂⎝⎠⎝⎠∂⎛⎞ =f P V （牛顿第二定律）z Dt ⎜⎟∂⎝⎠2Dt ⎝⎠()()()221122R V V e e +q T t λρρ⎛⎞⎛⎞∂++∇+=∇+∇∇⎜⎟⎜⎟∂i i i i i V f V +P V 或⎝⎠⎝⎠§4-5 方程组的封闭性三大方程连续方程动量方程（个）能量方程：连续方程、动量方程（3个）、能量方程。
第四章_微分运动和雅可比矩阵
雅可比矩阵的求解（矢量积法）：
Jli的求法： (1) 第i关节为移动关节时
qi di
qi di
仅平移关节产生的线速度
设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：
ve JLiqi
设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下的 平移速度di转换成基础坐标下的速度：
ve bi1d i
例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节 外，其余5个关节为转动关节。此处用微分法计算 TJ(q)
d2[c2(c4c5c6 s4s6)s2s5c6]s2d3(s4c5c6 c4s6) d2[c2(c4c5s6 s4c6)s2s5s6]s2d3(s4c5s6 c4c5)
T J1
d2(c2c4s5 s2c5)s2d3s4s5 s2(c2c4s6 s4s6)c2s5c6
s2(c2c4s6 s4c6)c2s5s6
s2c4s5 c2c5
d 3(c4c5c6 s4s6 )
d
3 (c4c5c6
s
4
c
6
)
T4c6
s4s5
s5c6
s5s6
T J3
c5 0
0
0
4.1 雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 q i 定义为：
q[q1 q2
qn]T
式中， qi(i=1,2,...,n) 为连杆i相对i-1的角
速度或线速度。
手抓在基坐标系中的广义速度向量为：
V[x y z x y z]T
式中， v为线速度，ω为角速度分量。
从关节空间速度向操作空间速度映射的 线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：
三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/绕
第四章 逆运动学
s123 0 l1c1 l2 c2 c123 0 l1s1 l2 s12 0 1 0 0 0 1
1、求2 对比两个变换矩阵使相应的元素相等
最后应用2幅角的反正切公式得： 2 A tan 2( s2 , c2 )
四、逆运动学的解法
2、求 1
c s B WT 0 0
s c 0 0
0 x 0 y 1 0 0 1
例：试描述两自由度操作臂
ˆ ˆ Z Z 1 0
ˆ Y 1
0 2
T 的子空间
已知：
0
ˆ Z 2
ˆ ˆ X X 1 0
ˆ X 2
P2ORG
ˆ Y 2
X Y 0
三、操作臂子空间的描述
疑惑：对于0坐标系的位置？
ˆ Z 1
ˆ Y 1
ˆ Z 0
0
ˆ X 2
ˆ Z 2
ˆ Y 2
P2ORG
ˆ X 1
ˆ X 0
ˆ Y 0
X Y 0
四、逆运动学的解法
1、解法 我们把操作臂的全部求解方法分成两大类：封 闭解法和数值解法。 数值解法：通过大量的迭代公式进行计算，它的求 解速度相对较慢。 封闭解法：意指对于不高于四次的多项式不用迭代 便可以完全求解。
灵巧工作空间：机器人的末端执行器能够 从各个方向到达的空间区域。 可达工作空间：机器人的末端执行器至少 从一个方向上有一个方位可达的空间。
二、解的存在性以及多解问题
多解问题 一个具有3个旋转关节的平面操作臂，由 于从任何方位均可以到达工作空间内的任何 位置。因此在平面内有较大的灵巧空间。从 而存在多个解。
1 =A tan 2( y, x) A tan 2(k2 , k1 ) 2 A tan 2( s2 , c2 ) 1 2 3
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图4.9 连杆参数
表4.2 连杆参数 连杆本身 的参数 连杆之间 的参数 连杆长度 连杆扭转角 连杆之间的距离 连杆之间的夹角 an αn dn θn 连杆两个轴的公垂线距离（x方向） 连杆两个轴的夹角（x轴的扭转角） 相连两连杆公垂线距离（z方向平移距） 相连两连杆公垂线的夹角（z轴旋转角）
为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。
第四章 运动学分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.7 引言 姿态描述 欧拉角 摇摆、 摇摆、俯仰和偏转 圆柱坐标 球坐标 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 各种A 各种A矩阵的说明 根据A矩阵来确定T6 根据A矩阵来确定T6 斯坦福机械手的运动方程 肘机械手的运动方程 逆运动学 斯坦福机械手的逆运动方程 小结
4.３欧拉角 ( Euler Angles ) ３
姿态变更常用绕x,y或z轴的一系列旋转来确定。欧拉角描述方 法是：先绕z轴旋转ø，然后绕新的y(即y/)轴旋转θ，最后绕更新 的z(z//)轴旋转 ψ （见图4.2）欧拉变换Euler(ø,θ,ψ)可以通过 连乘三个旋转矩阵来求得 Euler(ø,θ,ψ) ＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(z,ψ) （4.10）
4.1 引言 ( Introduction )
本章，我们采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍各种 正交坐标系的齐次变换。然后介绍在非正交关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换。 注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。 描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵是描述连杆坐标系 之间的相对平移和旋转的齐次变换。 连续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一个六连杆（六自由度）机械手有 T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （4.1） 六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自由度用来确 定方向。Ｔ６表示机械手在基坐标中的位置与方向。则变换矩阵Ｔ６有下列元素 nx ox ax px ny oy ay py T6 = nz oz az α,β,γ) =
（4.26）
4.8 各种 矩阵的确定 ( Specification of matrices A ) 各种A矩阵的确定
Zn坐标轴是沿着n+1关节的坐标轴。 Xn轴是沿着Zn和Zn-1的公法线，指向离开Zn-1轴的方向。
图4.9 连杆参数
公法线长度an称为连杆长度。 xn-1轴和xn轴之间的夹角θn，以绕zn-1轴右旋为正，为连杆夹角。 两公法线an-1和an之间的距离称连杆距离dn。 zn-1轴与zn轴之间的夹角αn，以绕xn轴右旋为正，为扭转角。
根据A矩阵来确定T6 4.9 根据A矩阵来确定T6 ( Specification of T6 in Terms of the A matrices ) 机械手的坐标变换图如图4.11所示，机械手的末端（即连杆坐标系6）相对 于连杆坐标系n-1的描述用n-1T6表示，即： n-1T = A A （4.34） 6 n n+1 • • • A6
机械手的末端相对于基坐标系（用T6表示）用下式
4.10 斯坦福机械手的运动方程 (Kinematic Equations for the Stanford Manipulator)
an-1
图4.10 棱型关节的连杆参数
根据上述模式用下列旋转和位移我们可以建立相邻的n-1和n坐标系之间的关系： 绕 zn-1 旋转一个角度θn 沿 zn-1 位移一个距离 dn 沿着被旋转的 xn-1 即 xn 位移 an 绕 xn 旋转的扭转角为αn 这四个齐次变换的积为A矩阵，即 An= Rot(z,θ) Trans(0,0,d) Trans(a,0,0) Rot(x,α) cosθ -sinθ 0 0 1 0 0 a 1 0 0 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 0 0 0 cosα -sinα 0 An = 0 0 1 0 0 0 1 d 0 sinα cosα 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cosθ -sinθcosα sinθsinα acosθ sinθ cosθcosα -cosθsinα asinθ An = 0 sinα cosα 0 0 0 （4.30）
（4.31）
d 1
（4.32）
对于棱形关节，an = 0，则式（4.32）A矩阵简化为 cosθ -sinθcosα sinθsinα 0 sinθ cosθcosα -cosθsinα 0 An = 0 sinα cosα 0 0 0
d 1
（4.33）
一旦给机械手各连杆坐标系都赋了值，各种固定的连杆参数可以确 定：对于后面是旋转关节的连杆参数为d, a和α，对于后面是棱形关节的 连杆参数为θ和α。根据这些参数，α的正弦和余弦也可以求出。这样， θ α α 对于旋转关节，A矩阵变成了关节变量θ的函数。或在棱形关节的情况下， 变成了d的函数。一旦这些值给出，对于六个Ai 变换矩阵的值就可以确 定。
在一系列旋转中，旋转的次序是重要的。应注意，旋转序列如 果按相反的顺序进行，则是绕基坐标中的轴旋转：
4.4 摇摆、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw ) 摇摆、
摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转。如图4.4所示，就像水中航行的一条小船一样， 绕着它前进的方向（z轴）旋转 ø 称为摇摆，绕着它的横向中轴（y轴）旋转θ 称为 俯仰，绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转ψ 称为偏转。借助于这种旋转来 描述机械手的末端执行器如图4.5所示。规定旋转的次序为 RPY(ø,θ,ψ)＝Ｒot(z,ø)Ｒot(y,θ)Ｒot(x,ψ) 即，绕x轴旋转ψ，接着绕y轴旋转θ，最后绕z轴旋转ø ，这个变换如下 cosθ 0 –sinθ 0 0 0 sinθ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 cosψ –sinψ 0 cosθ 0 0 sinψ cosψ 0 （4.13） 0 0 1 0 0 0 1 （4.12）
0 0 0 1
（4.15）
4.6 圆柱坐标 ( Cylindrical Coordinates )
如图4.6所示，在圆柱坐标中确定机械手的位置是沿x轴 平移r，接着绕z轴旋转α，最后沿着z轴平移z。 Cyl(z, α,r) = Trans(0,0,z)Rot(z, α) Trans(r,0,0) cosα -sinα 0 0 1 0 0 r sinα cosα 0 0 0 1 0 0 Cyl(z, α,r) = Trans(0,0,z) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 （4.17） 1 0 0 0 cosα -sinα 0 rcosα 0 1 0 0 sinα cosα 0 rsinα Cyl(z, α,r) = 0 0 1 z 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 A x （4.18） cosα -sinα 0 rcosα Cyl(z,α,r) = sinα cosα 0 0 0 0 0 rsinα 1 z 0 1 （4.19）
棱形关节： 棱形关节：关节变量为dn。关节轴的方向就是关节的运动方向。与转动关节不同，轴的运动方向被确 定了，但在空间的位置并没有确定（见图2.10）。对于棱形关节，连杆长度an没有意义，所以被 设置为0。x轴（xn ）平行或逆平行棱形关节轴的方向（zn-1）与zn 的叉积。对于棱形关节，当 dn=0时，定义为0位置（即坐标原点）。棱形关节坐标原点与下一个关节坐标原点重合，关节长 度an-1为上一个关节的轴线与zn-1的公垂线长度，xn-1轴向为公垂线向下一个关节延伸的方向。
y α
Sph(α,β,γ) =
cosα -sinα 0 0 cosβ 0 sinβ rsinβ sinα cosα 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -sinβ 0 cosβ rcosβ 0 0 0 1 0 0 0 1 cosαcosβ -sinα cosαsinβ γcosαsinβ sinαcosβ cosα sinαsinβ γsinαsinβ -sinβ 0 cosβ γcosβ 0 0 0 1
z
C
a o n z
α
r
B
y
图4.6 圆柱坐标
注意：圆柱坐标只能绕 z 轴旋转
4.7 球坐标 ( Spherical Coordinates )
如图4.7所示，用球坐标来确定位置向量的方法是： 沿着z轴平移γ，然后绕y轴旋转β，最后绕z轴旋转α。 z Sph(α,β,γ) = Rot(z,α) Rot(y,β) Trans(0,0,γ) （4.23） γ β cosβ 0 sinβ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 Sph(α,β,γ) = Rot(z,α) -sinβ 0 cosβ 0 0 0 1 γ 0 0 0 1 0 0 0 1 （4.24） x 图4.7 球坐标 a o n
RPY(ø,θ,ψ) = Ｒot(z,ø)
RPY(ø,θ,ψ) =
cosø –sinø sinø cosø 0 0 1 0 0
0 0 cosθ sinθsinψ sinθcosψ 0 0 0 0 cosψ –sinψ 0 -sinθ cosθsinψ cosθcosψ 0 0 1 0 0 0
0 （4.14） 1
图4.4 摇摆、俯仰和偏 转角
图4.5 机械手的末端执行器 的摇摆、俯仰和偏 转
RPY(ø，θ，ψ) = cosø cosθ cosø sinθsinψ – sinø cosψ cosø sinθcosψ + sinø sinψ sinø cosθ sinø sinθsinψ + cosø cosψ sinø sinθcosψ–cosø sinψ -sinθ cosθsinψ cosθcosψ 0 0 0
如图4.1所示，机 器人的末端执行器（手 爪）的姿态（方向）由 n、o、a 三个旋转矢量 描述，其坐标位置由平 移矢量 p 描述，这就构 成了式（4.2）中的变换 矩阵 T。 由于 n、o、a 三 个旋转矢量是正交矢量， 所以有 n = o×a