2020届全国金太阳联考新高考原创精准预测考试(六)理科数学
2020年金太阳大联考数学试卷参考答案(理科)
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金太阳高三数学试卷(理科)答案
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2020届金太阳高三数学试卷(理科)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．若 xy2 1 ，则 4x y2 的最小值为__________．
n
14．在数列 an 中， a4 4 ，且 an2 2an ，则 a2i __________． i 1
15． (
x
1 3x
3
18．（12 分） 已知函数 f (x) x 3 4 ln x ． x
（1）求 f x 的单调区间； （2）判断 f x 的零点的个数，并说明理由．
19．（12 分） 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA 底面 ABCD ． （1）证明：平面 PBD 平面 PAC ． （2）若 BAD 60 ，且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 2 7 ，求 PCA 7 的大小．
各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列 an ， a1 4 斤，则
a2
A．2.5 斤
B．2.75 斤
5．函数 f (x) |1 2sin 2x | 的最小正周期为
C．3 斤
D．3.5 斤
1
A． π 2
B． π
C． 3π 2
D． 2π
6．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
A． 25π 4
B． 64π 3
C． 25π
D． 32π
12．已知函数
f
(x)
1 2
x
x m ， g(x) x4 2x3 x2 2x 3 ，若 x R ， x2 0,1 ，
2
f x2 g x1 ，则 m 的取值范围为
A．
,
5 2
【试卷】【金太阳】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(六)
2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（六）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2,2,},{|(2)9}Z P x x k k k Q x x ==∈=+<≥，则P Q = （ ） A ．{4,2,0,1}--B ．{4,2,0}--C ．{|41}x x -<≤D ．{|45}x x -<≤2．已知复数z 满足1i z z +-=，在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．1y x =+B ．y x =C ．2y x =-D ．y x =-3．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．中国折叠扇有深厚的文化底蕴．如图（2），在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S ，当1S 与2S 的比OCD 的半径与半圆O 的半径之比为（ ） ABC．3 D25．函数ln ()sin xf x x x=+的部分图象大致是（ ）6．“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”，这是中国象棋中的部分下棋规则．其中“马走日”是指马走“日”字的对角线，如棋盘中，马从点A 处走出一步，只能到点B 或点C 或点D 或点E ．设马从点A 出发，必须经过点M ，N （点M ，N 不考虑先后顺序）到达点P ，则至少需走的步数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．87．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-， 则a 与a b -的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π8．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ） A ．414 B ．325 C ．256 D ．759．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3213,22(3)n n n a S S S n --=+=+≥，则（ ） A ．2n n S na n-=B ．2n n S na n+=C ．21n n S a n-=D ．21n n S a n+=10．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点为F ，圆222x y c +=（c 为双曲线的半焦距）与双曲线C 的一条渐近线交于,A B 两点，且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的方程是（ ）A ．22143x y -=B ．22133x y -=C ．22123x y -=D ．2213y x -=11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且2AB =．若三棱锥P ABC -的外接球的体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为（ ）A ．6+B ．8+C ．8+D ．6+12．已知函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且(0,1)ω∈，给出下述四个结论：①函数()f x 的最小正周期为3π；②将函数()f x 的图象向左平移6π所得图象关于原点对称；③函数()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()f x 在区间(0,100)π上有67个零点．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．①③④D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．函数2()(0)2xf x x x =>+的最大值为 ． 14．已知等比数列{}n a中，13543,a a a a ==24461335a a a a a a a a +=+ ．15．已知7件产品有5件合格品，2件次品．为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为 ；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为 ．16．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F的直线l 与椭圆交于,A B 两点（点B在第一象限），与y 轴交于E 点，若AF EB =，则椭圆的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设cos cos a B b A c -=． （1）求A ； （2）若a =，ABC △的面积为1，求以,2,2a b c 为边的111A B C △的面积．18．（本小题满分12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1//,1,3,EF AD AA AF AB AD ====．（1）求证：平面1C EF ⊥平面1D EF ． （2）求二面角11C D F E --的大小．119．（本小题满分12分）已知抛物线2:()N C y px p +=∈的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，其纵坐标为1p +，174PF =， 且(0,2),(1,0)M N ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过M 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AN BN ⊥，求直线l 的斜率． 20．（本小题满分12分）已知函数()sin ,()()x f x x x g x e f x =-=． （1）求证：函数()g x 是30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数． （2）若不等式()x e af x ≥对,2x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书．为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为12，市民之间选择意愿相互独立．（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）（i ）若从问卷市民中随机抽取()N m m +∈人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；（ii ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B （比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，N n +∈），试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A -，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22(13cos )4ρθ+=．（1）当2πϕ=时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）若直线l 与曲线C 相切于点B ，求AB 的值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知222,,,1R a b c a b c ∈++=． （1）证明：112ab bc ca -++≤≤． （2）证明：2222222222()()()3a b c b c a c a b +++++≤．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x=-<≤，所以{|22}A B x x=-<≤．2．答案：C 解析：2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---，公式：11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=．3．答案：D 解析：因为70412212π≈，故选D．4．答案：B 解析：当0a≤时，1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减，当0a>时，1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．答案：A 解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP ∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．13．答案：160- 解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭． 14 解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）．…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ，所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立； 所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±， 由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-， 则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦． 若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQMN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分 22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=； 由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分 当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分 当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分。
2020届全国百校联考新高三原创精准预测考试(六)理科数学
2020届全国百校联考新高三原创精准预测考试（六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（）A．梯形B．菱形C．平行四边形 D．四边形2.如图，O A B△的面积是（）△的直观图，则AOB'''△是OAB（第2题图）（第4题图）A．6 B．32C．62D．123．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．以上均可能4．在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A ．B ．C ．D ．5．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是（ ） A ．396cm B ． 380cm C ．()380162cm + D ．3224cm 36．已知P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱DD 1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP 平行的有( )A ．3个B ．6个C ．9个D ．12个7、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )．ππ221.+A ππ441.+B ππ21.+C ππ241.+D8．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果，，交于一点，则（ ） A ．一定在直线上 B ．一定在直线上C ．一定在直线或上 D ．既不在直线上，也不在直线上9．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. 12πB.323π C. 8π D. 4π10.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）2444正视图俯视图左视图（第5题图）（第10题图）（第11题图）A. 217B. 25C. 3D. 211.如图，E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点(不与端点重合)，BD 1∥平面B 1CE ，则 ( )A.BD 1∥CEB.AC 1⊥BD 1C.D 1E=2EC 1D.D 1E=EC 112.在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是 14．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为 。
【金太阳】2020年全国100所名校最新高考模拟卷理科数学试卷(六)
．
a1a3 a3a5
15．已知 7 件产品有 5 件合格品，2 件次品．为找出这 2 件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则
第一次和第二次都检验出次品的概率为
；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件
次品的概率为
．
x2 y2
2
16．椭圆 1(a b 0) 的左焦点为 F ，过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点（点 B
A． 6 6 3
B．8 6 3
C．8 8 5
D． 6 8 5
12．已知函数
f
(x)
2sin x
6
的图象的一条对称轴为
x
，其中
为常数，且
(0,1)
，给出
下述四个结论：
①函数 f (x) 的最小正周期为 3 ；②将函数 f (x) 的图象向左平移 所得图象关于原点对称；
6
③函数
f
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x sin x, g(x) ex f (x) ．
3 （1）求证：函数 g(x) 是 0, 2 上的增函数．
（2）若不等式
e
x
≥
af
(
x)
对
x
,
2
恒成立，求实数
a
的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）
在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书．为了丰富图书资源，
一条渐近线交于 A, B 两点，且线段 AF 的中点 M 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的方程是（ ）
x2 y2 A． 1
43
x2 y2 B． 1
33
2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届金太阳高三4月联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个答案：C解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 解：由{}{}{}2230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元素，因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ． 点评：本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题．2．已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1答案：D 计算出11ii i+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 解：()()()21121112i i i i i i i ++===--+Q ，又41i =，()202050520204111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭. 故选：D. 点评：本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()ni n N *∈的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题.3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元B ．5000元C ．5500元D ．6000元答案：B根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果. 解：刚退休时就医费用为400015%600⨯=元，现在的就医费用为600100500-=元，占退休金的10%，因此，目前该教师的月退休金为50050000.1=元. 故选：B ． 点评：本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属简单题．4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．27B ．37C ．17D ．314答案：B分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C =种方法．所以满足条件的概率为2548337C C =，故选：B ． 点评：本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F和抛物线上一点(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D．答案：C求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM的值.解：抛物线的焦点为()1,0F，所以31FM k ==-由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213x =，2121113214323px FN MN x x p ++∴===++++，故选：C ． 点评：本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（ ）A．10B．20C．20D．10答案：C设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值.解：设正三棱柱111ABC A B C-的所有边长均为2，取11A C的中点F，连接EF，以点E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点()1,0,0A-、()3,0B、()1,0,1D、()0,0,0E、()13,2B，()1,0,1ED=u u u r，()13,2EB=u u u r，()3,0AB=u u u r，设平面1B DE的法向量为(),,n x y z=r，由1n EDn EB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vvu u u vv，得320x zz+=⎧⎪+=，取3z=3x=2y=，3,2,3n∴=-r，设直线AB与平面1B DE所成角为θ，则33330sin cos,210AB nAB nAB nθ⋅=<>===⨯⋅u u u r ru u u r ru u u r r，则2130cos1sinθθ=-=故选：C.点评：本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．7．已知点()4,3A ，点B为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B ．45C ．5D ．25答案：C作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值. 解：作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 点评：本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．8．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：D根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 解：对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=， 该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =， 所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 点评：本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．9．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.52c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：A由题意得出1m >，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 解：log 30log 1m m >=Q ，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m >，0.54331log 2log log 2122==<<<Q ， 又指数函数xy m =为R 上的增函数，故0.534log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ． 点评：本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题．10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 答案：B先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 解：共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 点评：本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a Ba Ab B+的最大值为（ ）AB．2C．2D．3答案：B利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值. 解：cos cos 3ca Bb A -=Q ，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin 2cos sin A BB A====+， 故选：B ． 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．12．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．332log 2-C ．2D ．33log 212- 答案：B根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30gx f x t --≥得出()33231log3xxt +≤，换元30xp =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值.解：Q 函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31x f x g x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，② ①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2xf x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-， 由()()30gx f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3x x xt g x f x x +-=+-=≤，令30xp =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ． 点评：本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题．二、填空题13．已知向量(2,a =r，(1,b =r ，则b r 在a r方向上的投影等于__________．答案：83-设a r 与b r 的夹角θ，利用向量的数量积的坐标运算可求得b r 在a r方向上的投影为cos a b b aθ⋅=r rr r .解：设a r 与b r 的夹角θ，则b r 在a r方向上的投影为2108cos 33a b b aθ⋅-===-r rr r ．故答案为：83-. 点评：本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题． 14．在ABC V 中，2π3B ∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且12BC AB =，则E 的离心率为__________．答案：13利用余弦定理求出AC ，利用双曲线的定义建立a 与c 的等量关系，进而可求得双曲线的离心率. 解：由题意，2AB c =，BC c =，ABC V 中，2π3B ∠=，AC ∴===．2c a -=，得：13c e a ==．.. 点评：本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题． 15．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________． 答案：2先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 解：Q 函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤Q ，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. Q 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2. 点评：本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD ==，AB AD ==A BCD -的外接球的体积为__________．答案：92π 作出图形，求BD 的中点为E ，连接AE ，确定外接球球心在线段AE 上，设外接球的半径为R ，可得出2OE R =-，然后在Rt ODE △中利用勾股定理可求得R 的值，最后利用球体体积公式可求得结果. 解：Q 平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，取BD 的中点为E ，连接AE ，BCD V 的外接圆圆心为点E ，则外接球的球心O 在AE 上，且22BD =，2ED =222AE AD DE =-=，设外接球半径为R ，则2OE R =-，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()22222R R =+-，得32R =， 因此，三棱锥A BCD -的外接球的体积为3344393322V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：92π. 点评：本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 答案：（1）()*1n a n n N=+∈．（2）见解析 （1）令1n =求得1a 的值，令2n ≥，由112n n n S na a =+-得出()1111112n n n S n a a ---=-+-，两式相减得出11n n a a n n -=+，由此可得出数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用放缩法得出()()2222211221n a n n n n n =<=-+++，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立. 解：（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++L .点评：本题第（1）问通过给出数列的项n a 与其前n 项和n S 的关系，求n a 的递推关系式，进一步求数列{}n a 的前n 项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， 22AF FD =，45DFE CEF ∠=∠=o ．（1）证明//DC EF ；（2）求二面角D BE C --的平面角的余弦值． 答案：（1）见解析；（225.（1）证明出//AB 平面EFDC ，然后利用线面平行的性质定理可证明出//DC AB ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；（2）证明出平面ABEF ⊥平面EFDC ，然后作DG EF ⊥，垂足为G ，可得出DG ⊥平面ABEF ，由此以点G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，GD u u u r的方向为z 轴正方向，GF u u u r为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D BE C--的平面角的余弦值. 解：（1）Q 四边形ABEF 为正方形，//AB FE ∴，AB ⊄Q 平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，//AB ∴平面EFDC ，AB ⊂Q 平面ABCD ，平面ABCD I 平面EFDC DC =，//DC AB ∴，因此，//DC EF ；（2）AFEF ⊥Q ，AF DF ⊥，EF DF F =I ，AF ∴⊥平面EFDC ，AF ⊂Q 平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG EF ⊥，垂足为G ，DG ⊂Q 平面EFDC ，平面ABEF I 平面EFDC EF =，DG ∴⊥平面ABEF ，以点G 为坐标原点，GF uuu r 方向为x 轴正方向，GD u u u r为z 轴正方向，GF u u u r 为单位长，如图建立空间直角坐标系，则45DFG CEF ∠=∠=o ，()0,0,1D ∴，()3,0,0E -，()2,0,1C -，()3,4,0B -． ()3,4,1BD ∴=-u u u r ，()3,0,1ED =u u u r， 设平面DBE 的法向量为()111,,m x y z =u r，则00m BD m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111134030x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，取13z =，则11x =-，10y =，所以，()1,0,3m =-u r，又()1,4,1BC =-u u u r ，()1,0,1EC =u u u r， 设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =r，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222400x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，令21z =，则21x =-，20y =，()1,0,1n ∴=-r ，设二面角D BE C --的平面角为θ，cos 5m n m nθ⋅∴===⋅u r r ur r ．即二面角D BE C --． 点评：本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．19．已知点P 在圆:O 229xy +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ =u u u r u u u r .（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.答案：(1) 22198x y +=;(2)是定值为12.(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据4PQ =u u u ru u u r,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 解：(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--u u u r u u u u r. 4PQ=u u u ru u u r Q )0004x x y⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩ 解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y Q在229x y +=上, 229x ∴+=⎝⎭,整理得22198x y +=故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=.(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++ 所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 点评：本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+.20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？答案：（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵.（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解. 解：（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3， 则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元． 点评：本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 21．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a 的值； （2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．答案：（1）2a =；（2）m 的最大值为3．（1）由题意得出()24f e '=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值. 解：（1）()()1ln f x a x x x =-+Q ，()ln f x x a ∴'=+，Q 函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =； （2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<Q 对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'， 令()ln 3u x x x =--，则()11u x x'=-， 1x >Q ，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，()41ln 40u =-<Q ，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---，故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈Q ，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．点评：本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题．22．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为,22ρθππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．答案：（1）点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）{}44122⎛+ ⎝⎦U . （1）求出曲线C 的普通方程，根据题意求出直线OA 的方程，再将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，即可求得点A 的坐标；（2）设直线l 的方程为()24y k x =-+（其中k 为直线l 的斜率），求出直线l 与半圆C 相切时直线l 的斜率k 的值，设点(B，(0,D ，()2,4P --，求出直线PB 、PD 的斜率，利用数形结合思想可求得直线l 的斜率的取值范围.解： （1）由,22ππρθ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，所以，曲线C 的直角坐标方程为：()2220x y x +=≥，Q 点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，∴直线OA 与直线：210x y ++=平行， ∴直线OA 的斜率12-，即OA 的方程为12y x =-， 由222120x y y x x ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪≥⎪⎩，得：5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 即点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）将直线l 化为普通方程：()24y kx =-+（k 为直线l 的斜率）， 当直线l 与半圆()2220x y x +=≥相切时，则有22421k k -=+．2870k k ∴-+=，1k ∴=或7k =，设点()0,2B ，()0,2D -，()2,4P --，则422PB k +=，422PC k -=． 由图象知，当直线l 与半圆C 相切时，则PD k k <，此时1k =.因此，当直线l 与半圆C 有且只有一个公共点时，直线l 的斜率的取值范围是{}4242,122⎛⎤-+⋃ ⎥ ⎝⎦．点评：本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题． 23．设函数()121f x x x =-++，x ∈R .（1）求不等式()5f x <的解集； （2）若关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围． 答案：（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）将函数()y f x =表示为分段函数的形式，然后分1x <-、11x -≤≤、1x >三段解不等式()5f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由题意可知关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，进而得出()min 212f x t ≥--，求出函数()y f x =的最小值，然后解不等式()min 212f x t ≥--即可求得实数t 的取值范围.解：（1）函数()y f x =可化为()31,13,1131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩．当1x <-时，由()5f x <，可得315x --<，解得2x >-，此时21x -<<-； 当11x -≤≤时，由()5f x <，可得35x +<，解得2x <，此时11x -≤≤； 当1x >时，由()5f x <，得315x +<，解得43x <，此时413x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，则关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，所以，()min 212f x t ≥--.当1x <-时，()31f x x =--，此时，函数()y f x =单调递减，则()()12f x f >-=； 当11x -≤≤时，()3f x x =+，此时，函数()y f x =单调递增，则()()()11f f x f -≤≤，即()24f x ≤≤；当1x >时，()31f x x =+，此时函数()y f x =单调递增，则()()14f x f >=. 综上所述，()()min 12f x f =-=.2122t ∴--≤，即4214t -≤-≤，解得3522t -≤≤. 因此，实数t 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 点评：本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知a ，b 均为单位向量，若23a b -=，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.23π D.56π 3.已知{}n a 是正项等比数列，若1a 是2a ，3a 的等差中项，则公比q = A. -2B. 1C. 0D. 1，-24.直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =A. -3B. 3C. 5-D. 225.在的二项展开式中，的系数等于A. -180B.C. D. 1806.设向量，，若，则A.B. -1C.D.7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位8.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的，则输人k 的值为A. 10B. 11C. 12D. 139.已知，，，则a ，b ，c 的大小为A.B.C.D.10.若函数为自然对数的底数有两个极值点，则实数a 的取值范围是A.B.C.D.11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A. 2a b =B. 2b a =C. 2A B =D. 2B A =12.在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当-三棱锥A BCDA. 5πB. 6πC. 7πD. 8π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知随机变量服从正态分布，则_____.14.函数在的零点个数为________．15.若函数为偶函数，则a＝_______.16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若恒成立，求的最小值.18.（本大题满分12分）在四棱锥中，四边形为菱形，且，，分别为棱，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面，，求平面与平面所成二面角的正弦值．19.（本大题满分12分）某工厂抽取了一台设备A 在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）计算该样本的平均值x ，方差2s ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （Ⅱ）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均值，2σ近似为样本方差2s .任取一个产品，记其质量指标值为X .若X μσ-≤，则认为该产品为一等品；2X σμσ<-≤，则认为该产品为二等品；若2X μσ->，则认为该产品为不合格品.已知设备A 正常状态下每天生产这种产品1000个.（i ）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%？（ii ）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A 换得生产相同产品的改进设备B .经测试，设备B 正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B ？参考数据：①()0.6826P X μσμσ-<≤+=；②()220.9544P X μσμσ-<≤+=；③()330.9974P X μσμσ-<≤+=12.2≈.20.（本大题满分12分） 已知函数.（Ⅰ）求在处的切线方程;（Ⅱ）若时,恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.21.（本大题满分12分）在中，，，其周长是，是的中点，在线段上，满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）若，在的延长线上，过点的直线交轨迹于两点，直线与轨迹交于另一点，若，求的值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为 (t为参数)，直线的参数方程为(为参数)．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（Ⅰ）写出的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．23.已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，对，使成立，求实数取值范围．理科数学试题答案1.A2.B3.B4.A5.D6.C7.D8.C9.A 10.A 11.A 12.B12.根据两个射影，结合球的图形，可知二面角A BC D --的平面角为AMD ∠；根据题意可知当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大。
根据体积的最大值可求得BC 的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积。
如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O 则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形设BC a =，则2AM DM a ==，2BCD S ∆=sin()3h AM AMD a π=-∠=313124A BCD DBC V S h a -∆=⋅==解得a =32DM =21DO =，212O M =，设2AMD θ∠= 则21cos 22cos 13θθ=-=-解得tan θ=∴22tan OO O M θ==球O 的半径2R ==所求外接球的表面积为246S R ππ== 故选B.13.8 14.15.16.617.（1）由，得解得，或，（舍）.所以.（2）由（1）可知：.因为，所以单调递增.所以，恒成立时，又因为，故的最小值为8. 18.（1）证明：设的中点为，连接，.∵，分别是，的中点，∴，且.由已知得，且.∴，且.∴四边形是平行四边形.∴. ∵平面，平面，∴平面.（2）连接，，设，连接，连接.设菱形的边长为，由题设得，，，平面，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设得，，，，，∴，.设是平面的法向量，则，化简得，令，则，.∴.同理可求得平面的一个法向量.∴.∴平面与平面所成二面角的正弦值为.19.（1）由频率分布直方图可得1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200,x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222222(30)0.02(20)0.09(10)0.200.33100.24200.083020.02s =-⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯+⨯-⨯150=.（2）（i ）方法一：由（1）得(2,2)(175.6,224.4)x s x s -+=，由图可得质量指标值在(165,175)和(225,235)的频率为0.02+0.02=0.04>0.03， 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%.方法二：由于(||2)1(22)P x P x μσμσμσ->=--<+…=1-0.9544=0.0456>0.03. 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. （ii ）设，分别为设备A ，B 一天为工厂创造的利润，则()11000(500.6826300.2718400.0456)E W =⨯⨯+⨯-⨯1000(34.138.154 1.824)40460=⨯+-=，()21200(500.7300.26400.04)E W =⨯⨯+⨯-⨯1200(357.8 1.6)49440=⨯+-=，所以采用新设备利润每天增加()()21()49440404608980E W E W E W ∆=-=-=， 因此，只需56天使用设备B 产生的利润就超过使用设备A 产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备B . 20.（1），=1+1+a=2+a ，又，在处的切线方程为y -0=，即.（2）若时, 则，在上单调递增，则在上单调递增，① 当，即时，，则在上单调递增，此时，满足题意②若,由在上单调递增由于，，故,使得. 则当时,∴函数在上单调递减. ∴,不恒成立.舍去综上所述,实数的取值范围是.（3）证明:由(Ⅰ)知,当时,在上单调递增.则,即. ∴. ∴,即21.（1）设则又所以A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，从而有（2）设，而显然直线不与x轴重合，故设其方程为代入椭圆方程得22.(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k，得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以l与C的交点M的极径为.23.（1）解：不等式等价于或或，又无解，所以或，故不等式的解集为（2）由f(x)==，可知当x=时，f(x)最小，无最大值，求得，设A＝{y|y＝f（x）}，B＝{y|y＝g（x）}，则A={y|y}, 又=，即B＝{y| y}，由题意知A⊆B，所以，所以.。