土力学与地基基础(土中的应力计算)

γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
地下水位的升降会引起土中自重应力的变化
σ z = αt 2 p
附加应力系数按l/b ,z/b查表 附加应力系数按 查表
(四)均布的圆形荷载 四 均布的圆形荷载
σ z = αr p
αr
由r/R, z/R的比值查表 的比值查表
（五）线荷载作用下的地基附加应力
σz = 2pz3 π(x2 + z2)2 2px2z π(x2 + z2)2
2pxz2 π(x2 + z2)2
附加应力系数由x/bபைடு நூலகம்,z/b查表，式中 为计 查表， 附加应力系数由 查表 式中x为计 算点至条形基础中心竖轴线的水平距离
水平向、竖向附加应力及剪应力等值线图所得结论： 水平向、竖向附加应力及剪应力等值线图所得结论：
b
x o z x z .M
相同荷载作用下，条形基础影响深度大于方形基础影响深度； 相同荷载作用下，条形基础影响深度大于方形基础影响深度； 地基竖向变形大而深，侧向变形和剪切变形发生在浅层； 地基竖向变形大而深，侧向变形和剪切变形发生在浅层； 基础边缘的土易出现塑性变形，地基破坏从基础边缘开始。 基础边缘的土易出现塑性变形，地基破坏从基础边缘开始。
Z γ2 H2
γ3 H 3
4、水位以下有不透水层：按上覆水土的总重 、水位以下有不透水层： 计算，不透水层界面处有应力的突变（见下图） 计算，不透水层界面处有应力的突变（见下图）
不透水层界面讨论： 不透水层界面讨论： （1）在水中
σcz = γ1h1 +γ 2h2 +γ h +γ h
/ 3 3
/ 4 4
地下水位升降对土中自重应力的影响
[例题] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于 例题] 例题 例图中。试计算地面下深度为2.5m 5m和9m处的自重应 2.5m、 例图中。试计算地面下深度为2.5m、5m和9m处的自重应 并绘出分布图。 力，并绘出分布图。 本例天然地面下第一层粉土厚6m 6m， [解] 本例天然地面下第一层粉土厚6m，其中地下 水位以上和以下的厚度分别为3.6m 2.4m， 3.6m和 水位以上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m，第二层为粉 质粘土层。依次计算2.5m 3.6m、5m、6m、9m各深度处 2.5m、 质粘土层。依次计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处 的土中竖向自重应力， 的土中竖向自重应力，计算过程及自重应力分布图一并 列于例图中。 列于例图中。
Ⅰ Ⅳ Ⅱ
（1）o点在荷载面边上 ） 点在荷载面边上
σ z = (α1 +α2 ) p
（2）o点在荷载面积内 ） 点在荷载面积内 注意问题： 注意问题： 划分的矩形，都应通过计算点； 划分的矩形，都应通过计算点； 矩形面积总和等于原有受荷面积； 矩形面积总和等于原有受荷面积； 每一个矩形，长边为l,短边为b 每一个矩形，长边为l,短边为b l,短边为
地基土中应力的计算： 地基土中应力的计算：弹性理论 对象为理想弹性体即连续 完全弹性、均质和各向同性。 连续、 对象为理想弹性体即连续、完全弹性、均质和各向同性。 土体不符合理想弹性体含义， 土体不符合理想弹性体含义，但在一定条件下引用弹性 理论能满足工程需要。 理论能满足工程需要。
二、自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而 定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而 有效重量 产生的应力。 产生的应力。 假定：水平地基→半无限空间体→ 假定：水平地基→半无限空间体→半无限弹性体
p k max p k min
Fk + G k M k = ± A w
Fk + Gk 6e = (1 ± ) lb l
1 2 w = bl 6
M k = ( Fk + Gk ) ⋅ e
pk max pk min
分布讨论： 分布讨论： e<l/6 梯形分布 e=l/6 三角形分布 e＞l/6 重新分布三角 ＞ 形，使 pk min = 0
y
式中x 式中x为计算点至线荷载方向的水平距离
p
σx =
τzx =
x
z x z
M
（六）条形荷载作用下的地基附加应力
荷载面积的长宽比l/b≥10时 对于条形基础，如墙基、 荷载面积的长宽比l/b≥10时，对于条形基础，如墙基、挡土墙 l/b≥10 基础、路基、坝基等. 基础、路基、坝基等.
σz =αzp σx =αxp τ xz = α xz p
（2）在不透水层中
/ / σcz =γ1h1 +γ2h2 +γ3h3 +γ4h4 +γw(h3 +h4)
不透水层界面有应力的突变 第五层土底面 的自重应力： 的自重应力： 水重产生的应 力 γ (h +h ) +
w 3 4
/ / σcz =γ1h +γ2h2 +γ3h3 +γ4h4 +γw(h3 +h4)+γ5h5 1
分布有：马鞍形、抛物线形、 分布有：马鞍形、抛物线形、钟形 由于受地基承载力限制，荷载一般较小， 由于受地基承载力限制，荷载一般较小，大多属于马鞍 形分布，近似直线进行简化计算 形分布，近似直线进行简化计算 直线
（一）基底压力的简化计算 1、中心荷载下的基底压力 中心荷载下的基础，其所受荷载的合力通过基底形 中心荷载下的基础，其所受荷载的合力通过基底形 基底压力假定为均匀分布。条形基础：A=b× 心。基底压力假定为均匀分布。条形基础：A=b×1
0.1P 0.05P 0.02P 附加 应力 分布 曲线 0.01P 应力 等值 线
3、等代荷载法 、 当荷载平面形状或分布不规则，可分成若干面积单元 若干面积单元， 当荷载平面形状或分布不规则，可分成若干面积单元， 把每个单元上的分布荷载视为集中力计算 然后叠加。 分布荷载视为集中力计算， 把每个单元上的分布荷载视为集中力计算，然后叠加。 若干个竖向集中力作用在地基表面上， 若干个竖向集中力作用在地基表面上，按叠加原理则地面下深 度处某点的附加应力应为各集中力单独作用时在该点所引起的 度处某点的附加应力应为各集中力单独作用时在该点所引起的 附加应力之和
γ5 , h5
有地下水位时成层土中（含不透水层）自重应力分 布
5、分布规律
自重应力分布线的斜率是重度； 自重应力分布线的斜率是重度； 斜率是重度 自重应力在同一土层中随深度呈直线分布； 直线分布 自重应力在同一土层中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 折线分布 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。 分界面处和地下水位处发生转折 在土层分界面处和地下水位处发生转折。
p =α 2 z
在集中力作用点处 应力趋于无穷大, 应力趋于无穷大 客观上不存在
α是附加应力系 α是附加应力系 数，由r/z查表。 查表。 查表
通过公式可求任一点的 附加应力， 附加应力，可得附加应 分布曲线。 力的分布曲线 力的分布曲线。 把附加应力相等的点连 起来，可得应力等值线 起来，可得应力等值线
P1
P2
（二）均布矩形荷载作用下的地基附加应力 1、角点下的应力 、
σ z = αp
α角点附加应力系数， 角点附加应力系数， 角点附加应力系数 由l/b,z/b查表 查表 2、任意点下的应力——角点法 、任意点下的应力 角点法 通过做辅助线， 通过做辅助线，把矩形分成几个小 矩形， 矩形，使要计算的点成为矩形的角 点，利用角点下的附加应力计算公 进行叠加而得。 式，进行叠加而得。
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
σ z = (α1 + α2 + α3 + α4 ) p
（3）o点在荷载面积外 ） 点在荷载面积外
σz = (α1 +α2 −α3 −α4 ) p
(三)三角形分布的矩形荷载 荷载为0 角点1下附加应力计算： 荷载为0边，角点1下附加应力计算：
σ z = α t1 p
荷载最大值边的角点2下任意深度 处的竖向附加应力为 荷载最大值边的角点 下任意深度z处的竖向附加应力为： 下任意深度 处的竖向附加应力为：
e pl/6 e =l /6
e f l/6
pk max
m ax
=
2(F + G ) 3b k
（二）基底附加压力 基底附加压力：建筑物的修建，新增于或附加于基础底 基底附加压力：建筑物的修建， 面的压力。 面的压力。 为什么研究基底附加压力 基底附加压力： 为什么研究基底附加压力：只有基底附加压力才能引起 地基的附加应力和变形。 地基的附加应力和变形。 实际上， 实际上，一般浅基础总是埋置在天然地面下一定 深度处，该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除。因 深度处，该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除。 由建筑物建造后的基底压力中扣除基底标高处原有 此，由建筑物建造后的基底压力中扣除基底标高处原有 的土中自重应力后，才是基底平面处新增加于地基的基 的土中自重应力后，才是基底平面处新增加于地基的基 底附加压力， 底附加压力，基底附加压力值
例图
三、基底压力
定义：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力， 定义：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，同时也 是地基作用于基础底面的反力。 是地基作用于基础底面的反力。 分布： 分布： Ⅰ柔性基础 （与上部荷载分布相同） 与上部荷载分布相同） 基础抗弯刚度EI=0 M=0； 基础抗弯刚度EI=0 → M=0； 基础变形能完全适应地基表面的变形; 基础变形能完全适应地基表面的变形; 基底压力分布与上部荷载分布相同， 基底压力分布与上部荷载分布相同， Ⅱ刚性基础 抗弯刚度远超过土的刚度，趋于∞ 抗弯刚度远超过土的刚度，趋于
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk = γ G A 2
Fk +Gk P= k A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
（一）竖向自重应力 取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自 取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自 重计算 直线型 1、均质地基 ： σcz = γz 、 2、成层地基： 、成层地基：
σcz = ∑ i Hi γ
折线型
γ1 H 1
3、有地下水（采用有效重度计算） 、有地下水（采用有效重度计算）
σcz =γ1H1 +γ 2H2 +γ 3H3;
2、分布特征 、 （1）任一水平面，随水平距离增大，附加应力减小； ）任一水平面，随水平距离增大，附加应力减小； （2）不同水平面，浅处，附加应力大衰减得快；深处，附加应力 ）不同水平面，浅处，附加应力大衰减得快；深处， 小衰减得慢扩散得远； 小衰减得慢扩散得远； （3）在力的作用线上，随深度增加附加应力减小； ）在力的作用线上，随深度增加附加应力减小； （4）不过集中力作用点的任一竖直面，地表面为 ，随深度增加逐 ）不过集中力作用点的任一竖直面，地表面为0， 渐增加达最大值又逐渐减小。 渐增加达最大值又逐渐减小。 P P