矩阵范数详解.docx
矩阵范数计算
矩阵范数计算
矩阵范数是矩阵理论中的一个重要概念，用于衡量矩阵的大小和形状。
它在多个领域中都有广泛的应用，如线性代数、数值分析、控制理论等。
矩阵范数有多种定义方式，每种方式都有其独特的性质和应用场景。
一种常见的矩阵范数是谱范数，它等于矩阵的最大奇异值。
谱范数在矩阵的稳定性分析和控制系统设计中起着重要作用，能够帮助我们评估系统的稳定性和性能。
另一种常用的矩阵范数是弗罗贝尼乌斯范数，它等于矩阵所有元素的平方和的平方根。
弗罗贝尼乌斯范数常用于衡量矩阵之间的距离和相似度。
除了谱范数和弗罗贝尼乌斯范数外，还有一些其他常用的矩阵范数，如1-范数、∞-范数等。
不同的矩阵范数对矩阵的特征有不同的描述，可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。
在实际应用中，我们通常根据具体的问题和需求选择合适的矩阵范数来进行分析和计算。
矩阵范数的计算方法也多种多样，可以通过奇异值分解、特征分解等方式来求解不同范数下的矩阵值。
在数值计算中，我们通常会利用计算机算法来快速、准确地计算矩阵范数，以解决实际问题和优化算法性能。
总的来说，矩阵范数是矩阵理论中的重要内容，具有广泛的应用价值和理论意义。
通过深入理解矩阵范数的定义、性质和计算方法，
我们可以更好地应用矩阵理论于实际问题中，为科学研究和工程技术提供有力支撑。
希望通过本文的介绍，读者能对矩阵范数有更深入的了解，进一步拓展对矩阵理论的认识和应用。
2.2矩阵的范数
§2.2 矩阵的范数我们知道：向量本身可以看作是矩阵，而一般的矩阵又有自身的运算特点，比如矩阵的乘法运算。
因此，我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点，这就有了我们以下要讨论的内容：一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数，若它满足下述三个条件： （1） 非负性：,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= （2） 齐次性：,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= （3） 三角不等式：,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数，若||||i 还满足下述第四个性质： （4） 相容性：,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。
注：在相容性的定义中，n l B C ×∈，m l AB C ×∈，实数||||B ，||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。
2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样，对于矩阵序列而言，它也有极限的概念。
设矩阵序列(){}k A ，其中()k m n A C ×∈，若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ，则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =，或者说(){}k A 收敛到矩阵A ，记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。
当然，也可按照范数定义矩阵的收敛性。
即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。
由三角不等式，可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。
矩阵范数详解
向量和矩阵的范数的若干难点导引矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用mn C上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下，111||||||mniji j A a===∑∑()12tr()HA A =； （1.1）在2l -范数意义下，12211||||||mnF iji j A a ==⎛⎫=⎪⎝⎭∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：（1）非负性：||||0A ≥；（1a ）正定性：||||0m nA O A ⨯=⇔=（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m nA B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m nn l m l C C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||•，有（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C ⨯∈，则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们，三角不等式的验证。
矩阵的范数
矩阵的范数文章目录•前言•一、诱导范数（Induced norm）••谱范数•二、向量式范数（Entry-wise norm）••F-范数•三、Schatten 范数（Schatten norm）•四、矩阵2-范数•总结前言矩阵分析学习笔记之矩阵范数。
三类重要的矩阵范数：诱导范数（Induced norm），向量式范数（Entry-wise norm），Schatten 范数（Schatten norm）。
矩阵A ∈ K m × n A\in K^{m\times n}A∈Km×n表示其定义在实数域或者复数域上。
一、诱导范数（Induced norm）诱导范数也称算子范数（operator norm）。
诱导p-范数的定义如下：∥ A ∥ p = s u p x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert A\Vert_p=\underset{x\neq 0}{\rm sup}\frac{\Vert Ax \Vert_p}{\Vert x\Vert_p}∥A∥p=x=0sup∥x∥p∥Ax∥p特别的，当p = 1 p=1p=1时，有∥ A ∥ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}\vert a_{ij}\vert∥A∥1=1≤j≤nmax i=1∑m∣aij∣也就是绝对值的列和的最大值。
当p = ∞ p=\inftyp=∞时，有∥ A ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i\lem}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert∥A∥∞=1≤i≤mmax j=1∑n∣aij∣也就是绝对值的行和的最大值。
矩阵范数标准详解
《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一． 矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换），所以，直观上可用mn C上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下，111||||||mniji j A a===∑∑()12tr()HA A =； （）在2l -范数意义下，12211||||||mnF ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑， （） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：（1）非负性：||||0A ≥；（1a ）正定性：||||0m nA O A ⨯=⇔=（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m nA B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m nn l m l C C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||•，有（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C⨯∈，则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（）和（）定义的矩阵范数是否合法我们这里只考虑（）,把较容易的（）的验证留给同学们，三角不等式的验证。
矩阵的范数及相关数学含义
矩阵的范数及相关数学含义
矩阵的奇异值：
设A为复数域内m*n阶矩阵，A*表⽰A的共轭转置矩阵，A*·A的n个⾮负特征值的算术平⽅根（即A*·A的开根号值）叫作矩阵A的奇异值。
记为σi(A)。
如果把A*·A的特征值记为λi(A*·A)，则σi(A)=sqrt(λi(A*·A))。
或者说矩阵A的奇异值是A*·A 的特征值的平⽅根。
任意矩阵都有奇异值。
对于⼀般的⽅阵来说，其奇异值与是没有关系的。
奇异值的数⽬是矩阵的最⼩的维数。
当A是⽅阵时，其奇异值的⼏何意义是：若X是n维单位球⾯上的⼀点，则Ax是⼀个n维椭球⾯上的点，其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。
简单地说，在⼆维情况下，A将单位圆变成了椭圆，A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。
如果取维空间的单位球，⽤ × 矩阵乘其中对于每个点的向量，这将得到维空间的椭球体. 的奇异值给出椭球体主轴的长度.
矩阵的2-范数 Norm 是椭球体的最⼤的主轴，等于矩阵最⼤的奇异值. 这也是对于任何可能的单位向量，的最⼤的2-范数长度.。
矩阵范数详解
《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一． 矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”,比如矩阵序列的收敛,解线性方程组时的误差分析等,具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉直”的变换)，所以,直观上可用mn C上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下,111||||||mniji j A a===∑∑()12tr()HA A =; （1.1)在2l -范数意义下,12211||||||mnF ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑,(1.2)注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”,这样一个矩阵范数,称为Fro ｂe ｎius 范数,或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了?因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来,矩阵之间有乘法运算,它在定义范数时应予以体现,也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈,对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件:（1）非负性:||||0A ≥;(１a )正定性:||||0m nA O A ⨯=⇔=(2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈;(3)三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步，若对,,m nn l m l CC C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||•,有（4)（矩阵相乘的)相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n lB C ⨯∈，则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面（１．1）和（1．2)定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1．2),把较容易的（1.1）的验证留给同学们,三角不等式的验证。
矩阵范数的表示形式
矩阵范数的表示形式矩阵范数是一种衡量矩阵性质的数学工具，它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。
在本文中，我们将介绍矩阵范数的表示形式，并探讨其在实际问题中的应用。
我们来定义矩阵范数。
矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负的实数。
矩阵范数满足以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，矩阵范数的值必须大于等于0。
2. 齐次性：对于任意矩阵A和标量c，矩阵范数满足∥cA∥=|c|∥A∥。
3. 三角不等式：对于任意矩阵A和B，矩阵范数满足∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥。
常见的矩阵范数有多种表示形式，每种表示形式都有其独特的特点和应用场景。
下面我们将介绍其中几种常见的矩阵范数表示形式。
1. 1-范数（L1范数）：矩阵的1-范数是矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，表示为∥A∥1=max_{1≤j≤n}∑_{i=1}^{m}|a_{ij}|。
2. ∞-范数（L∞范数）：矩阵的∞-范数是矩阵的每一行元素绝对值之和的最大值，表示为∥A∥∞=max_{1≤i≤m}∑_{j=1}^{n}|a_{ij}|。
3. 2-范数（L2范数）：矩阵的2-范数是矩阵的最大奇异值，表示为∥A∥2=σ_{max}，其中σ_{max}是矩阵A的最大奇异值。
这些矩阵范数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在机器学习领域，矩阵范数可以用来度量特征向量的稀疏性。
对于稀疏矩阵，其1-范数或∞-范数较小；而对于稠密矩阵，其2-范数较大。
矩阵范数还可以用于解决优化问题。
例如，在凸优化中，矩阵范数可以用来定义约束条件或目标函数，从而帮助我们找到最优解。
在信号处理中，矩阵范数可以用来估计信号的噪声水平或信号的复杂度。
除了上述常见的矩阵范数表示形式，还有其他一些矩阵范数，如Frobenius范数、核范数等。
每种范数都有其独特的性质和应用场景。
因此，在实际问题中，我们需要根据具体的需求选择合适的矩阵范数。
矩阵范数是一种重要的数学工具，它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。
矩阵的范数和条件数课件
02
条件数
定义与性质
定义
条件数是衡量矩阵数值稳定性的一个 重要指标，定义为矩阵A的谱范数与 Frobenius范数的比值，记为cond(A) 。
性质
条件数具有对称性，即cond(A) = cond(A^T)，且对于任意常数c，有 cond(cA) = |c| * cond(A)。
条件数的计算方法
考虑计算效率和精度
在选择范数和条件数时，需要权衡计算效率和精度。如果计算效率更重要，可以选择较小 的范数和条件数；如果精度更重要，可以选择较大的范数和条件数。
使用预处理技术改善计算的稳定性和精度
当矩阵的条件数较大时，可以考虑使用预处理技术来改善计算的稳定性和精度。例如，在 求解线性方程组时，可以使用不完全分解（Incomplete LU Factorization）或共轭梯度 法（Conjugate Gradient Method）等预处理技术来降低条件数的影响。
条件数对计算稳定性的影响
矩阵的条件数越大，计算过程中数值不稳定的程度越高，计 算结果可能偏离真实值。因此，在求解线性方程组时，如果 系数矩阵的条件数较大，则需要采取适当的预处理技术来改 善计算的稳定性。
如何选择合适的范数和条件数
根据问题需求选择合适的范数
在某些应用中，可能需要选择特定的范数来衡量矩阵的大小或稳定性。例如，在图像处理 中，可能需要使用Frobenius范数来衡量矩阵的大小。
THANKS
在数值分析中的应用
矩阵的范数可以用于求解线性方程组的迭代法和直接法中，以确定收敛性和误差控制。
条件数可以用于分析数值方法的稳定性和误差传播。
05
总结与展望
矩阵的范数和条件数的重要性和意义
矩阵的范数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如线性方程组的解、控制系统稳定性分析 、图像处理等。
矩阵分析与计算--07-矩阵范数
n2
相容矩阵范数的性质
设 为F
nn
上的自相容的矩阵范数，则F 上必
n
存在与之相容的向量范数
30
2. Frobenius范数
设A (aij ) nn C ，令 A
Matrix Analysis and Computations
矩 阵 分 析 与 计 算 ——矩阵范数
Matrix Norms 理学院 2011年10月
1
本讲主要内容 矩阵范数
向量范数 • 向量范数的定义与性质 • 几类向量范数 • 范数收敛概念 • 范数的等价 矩阵范数 • 范数相容的概念 • 几类矩阵范数的定义与性质 • 矩阵的F-范数、算子范数 • 行范数、 列范数、谱范数
n
n
2-范数
对于x ( x1 , x2 ,
n
, xn ) C
T 1 2
n
定义：
2 x 2 xi i 1
n
Euclid 范数
2 x 2 xi ( x, x) i 1
7
1 2
1-范数
对于x ( x1 , x2 , x 1 xi
n
17
xn en
1/2
序列收敛
定义3： 设 x1 , x2 , xn , 是线性空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
m
lim xm x 0
则称序列{xm }按 -范数收敛于x
m
lim xm x0
0
？
18
范数等价
矩阵范数解读
1-范数：，即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。
2-范数：，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。
∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。
-∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数
norm(x, -inf)。
p-范数：，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。
2、矩阵范数
1-范数：，列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。
2-范数：，谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。
matlab调用函数norm(x, 2)。
∞-范数：，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。
F-范数：，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。
矩阵分析第五章
例1：矩阵A 的Frobenius范数与向量2-范数相容
(∑ ∑ ) (∑ ) A = F
m i =1
n|
j =1
aij
|2
1/ 2
,
x= 2
n|
j =1
xj
|2
1/ 2
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ax 2 = 2
m i =1
a x n
j =1 ij j
2
≤
(4) 矩阵乘法相容性: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||, ∀A, B: AB可相乘
则称实数||A||为矩阵A的范数.
∑ ∑ 例1：A =(aij)∈Cm×n, 定义 A =
m i =1
n|
j =1
aij
|
是A的范数,
是向量1-范数的推广
证明：(1)(2)(3)自然满足, 只需验证(4).
∑ (1) 若A = (α1, α2, L, αn), 则
A2 = F
α n
2
i=1 i 2 ;
∑ (2) A 2 = trace( AH A) = F
n i =1
λi
(
AH
A)
(3)
∀U
∈
U
m×m m
,
V
∈U
n×n n
,
A = UA = AH = AV = UAV
F
F
F
F
F
( ) ( ) 证明(3)： UA 2 = trace (UA)H (UA) = trace AH (U HU ) A
+
b n
k =1 k
ak
+ bk
矩阵范数详解
矩阵范数详解
矩阵A∈的范数||A||是一个非负实数，它也要满足：
（1）||A||≥0，||A|| = 0 A = 0;
（2）||A|| = ||||A||,∈ R;
（3）||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||
根据上面的满足条件，还可以加上更强的性质来得到更有用的矩阵范数，比如满足乘法性质的矩阵范数：||A|| ≤ ||A|| ||B||，这个性质可以进一步加上更强的性质来得到更有用的矩阵范数，比如可要求矩阵范数满足与向量范数的相容性:||Ax|| ≤||x||
由||Ax|| ≤||x||可推出= =
由此可推出矩阵范数如果满足==，则称为由向量范数的诱导范数/算子范数
诱导范数/算子范数有什么用呢？可以这样理解：诱导范数/算子范数表示单位圆/球/超球面上的所有向量x经过线性变换后得到的所有向量Ax中最长的那个范数，或者说表示任一向量经过矩阵A所代表的线性变换后得到的所有向量中最长的那个的范数与原向量x的范数的比值
（1）矩阵的列和范数
1范数引导出的诱导范数如下：
||A|| =
（2）矩阵的谱范数：所有特征值中最大的那个2范数引导出的诱导范数如下：
||A|| =
若A为实矩阵，则就是。
证明矩阵范数的三个公式
证明矩阵范数的三个公式一、矩阵的范数在线性代数中，范数（norm）是对向量或矩阵的度量，它可以衡量向量或矩阵的大小。
在矩阵范数（matrix norm）中，我们主要关注的是矩阵的大小。
矩阵范数有多种定义方式，其中常见的包括F范数、1范数和∞范数。
在本文中，我们将重点讨论这三种矩阵范数的定义和性质。
二、F范数的定义和性质F范数，也称为Frobenius范数，是矩阵范数中最常见的一种。
对于一个n行m列的矩阵A，其F范数定义为所有元素的平方和的平方根，即||A||F = sqrt(∑∑|aij|^2)，其中∑∑表示对矩阵中所有元素求和。
F范数有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，F范数始终大于等于0，即||A||F >= 0。
2. 齐次性：对于任意标量c，矩阵A和F范数，有||cA||F = |c| * ||A||F。
3. 三角不等式：对于任意矩阵A和B，有||A + B||F <= ||A||F + ||B||F。
4. 子多范数性质：对于任意矩阵A和B，有||AB||F <= ||A||F *||B||F。
三、1范数的定义和性质1范数是矩阵范数中的另一种常见形式。
对于一个n行m列的矩阵A，其1范数定义为矩阵的列向量的绝对值之和的最大值，即||A||1 = max{∑|aij|}，其中∑表示对矩阵中所有列向量求和。
1范数有以下性质：1. 非负性：对于任意矩阵A，1范数始终大于等于0，即||A||1 >= 0。
2. 齐次性：对于任意标量c，矩阵A和1范数，有||cA||1 = |c| * ||A||1。
3. 三角不等式：对于任意矩阵A和B，有||A + B||1 <= ||A||1 + ||B||1。
4. 子多范数性质：对于任意矩阵A和B，有||AB||1 <= ||A||1 * ||B||1。
四、∞范数的定义和性质∞范数是矩阵范数中的另一种常见形式。
对于一个n行m列的矩阵A，其∞范数定义为矩阵的行向量的绝对值之和的最大值，即||A||∞ = max{∑|aij|}，其中∑表示对矩阵中所有行向量求和。
矩阵范数详解
《周国标师死接流道席010》之阳早格格创做背量战矩阵的范数的若搞易面导引(二)一． 矩阵范数的定义引进矩阵范数的本果与背量范数的缘由是相似的，正在许多场合需要“丈量”矩阵的“大小”，比圆矩阵序列的支敛，解线性圆程组时的缺面分解等，简曲的情况正在那里没有再复述.最简单料到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ⨯∈不妨视为一个mn 维的背量（采与所谓“推曲”的变更），所以，曲瞅上可用mn C 上的背量范数去动做m n A C ⨯∈的矩阵范数.比圆正在1l -范数意思下，111||||||mnij i j A a ===∑∑()12tr()HAA =； （1.1）正在2l -范数意思下，12211||||||m n F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，（1.2）注意那里为了预防与以去的暗号殽杂，下标用“F ”，那样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，大概F-范数.不妨考证它们皆谦脚背量范数的3个条件.那么是可矩阵范数便那样办理了？果为数教上的任一定义皆要与其对付象的运算通联起去，矩阵之间有乘法运算，它正在定义范数时应给予体现，也即预计AB 的“大小”相对付于A B 与的“大小”闭系.定义1 设m n A C ⨯∈，对付每一个A ，如果对付应着一个真函数()N A ，记为||||A ，它谦脚以下条件：（1）非背性：||||0A ≥；（1a ）正定性：||||0m n A O A ⨯=⇔=（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；（3）三角没有等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数.进一步，若对付,,m n n l m l C C C ⨯⨯⨯上的共类广义矩阵范数||||•，有（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ⨯∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数.咱们当前去考证前里（1.1）战（1.2）定义的矩阵范数是可合法？咱们那里只思量（1.2）,把较简单的（1.1）的考证留给共教们，三角没有等式的考证.按列分块，记1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b ==.对付上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 没有等式，则有222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2(||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，二边启圆，即得三角没有等式. 再考证矩阵乘法相容性.221111||||mlnn iksj i j k s a b ====⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ （那一步用了Cauchy 没有等式）22221111||||||||||||m nn l ik sj F F i k s j a b A B ====⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ （1.4） 可睹，矩阵相容性谦脚.那样便完毕了对付矩阵F-范数的考证.是没有是那样间接将背量范数使用到矩阵范数便不妨了吗？No!使用l ∞-范数于矩阵范数时便出了问题.如果11||||max ||ij i mj nA a ∞≤≤≤≤=，那么,那样的矩阵范数正在底下一个例子上便止短亨.设21122,21122A A A ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.果此，按上述矩阵∞-范数的定义，||||1,||A A ∞=2||||1,||||2A A ∞∞==，于是然而那是冲突的.所以简朴天将l ∞-范数使用于矩阵范数，是没有成止的.虽然那仅是一个反例，然而是数教的定义是没有成以有例中的.由此，咱们必须认识到，没有克没有及随便套用背量范数的形式去构制矩阵范数. 为此,咱们仅给出矩阵范数的定义是没有敷的，还需要钻研怎么样形成简曲的矩阵范数的要领.天然，您也不妨没有去思量形成要领，一个函数一个函数去试，只消谦脚条件便止.没有过那样搞的处事量太大，也很盲目.第二，正在本量预计时，往往矩阵与背量出当前共一个预计问题中，所以正在思量构制矩阵范数时，该当使它与背量范数相容.比圆要思量Ax 的“大小”，Ax 是一个背量，然而它由A 与x 相乘而得的，它与A 的“大小”战x 的“大小”的闭系怎么样？ 那提出了二类范数相容的观念.定义2 对付于m n C ⨯上的矩阵范数||||M •战,m n C C 上的共类背量范数||||V •，如果创制||||||||||||,,m n n V M V Ax A x A C x C ⨯≤⋅∀∈∀∈ （1.5）则称矩阵范数||||M •与背量范数||||V •是相容的. 例1．1 不妨道明 12211||||||mnF ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑()12tr()HA A = 是与背量范数2||||•相容.究竟上，正在（1.2）中，与1n B x C ⨯=∈，那么 二． 矩阵算子范数当前给出一种构制矩阵范数的普遍要领，它不妨使构制出的矩阵范数与背量范数相容，天然，它也谦脚定义1确定的4个条件.定义3 设,m n C C 上的共类背量范数为||||V •，m n A C ⨯∈，定义正在m n C ⨯空间上的矩阵A 的由背量范数||||V •诱导给出的矩阵范数为||||||||max||||V V x VAx A x ≠= （2.1）不妨考证，那样定义出的矩阵范数||||V A 谦脚定义1确定的4个条件，共时又谦脚矩阵范数与背量范数相容性央供（定义2）.由于有什么样的背量范数||||V •，便有什么样的矩阵范数，所以，那样的矩阵范数称为由背量范数诱导出的，简称诱导范数；又果为（2.1）本量上确定了一个函数（大概算子），故又称为算子范数.（2.1）给定的范数本量是觅供一个最劣化问题的最劣值，供目标函数||||||||V VAx x 的最大值，拘束条件是0x ≠，也便正在n C 空间中除本面中的面中，找一个n 维背量x ，使||||||||VVAx x 博得最大值.如果间接思量那样一个劣化问题,仍旧有艰易的. 不妨道明，它不妨下列等价办法定义,使问题的处理简朴.0||||||||max ||||V V x VAx A x ≠=||||1||||1||||max max ||||||||VVVV x x VAx Ax x ==== （2.2）究竟上, 分母上的||||V x 是一个正数(0x ≠), 那么根据背量范数的齐次性有上头第3个等号创制是果为背量||||Vx z x =为一个单位背量.底下咱们从表里上道明那样的矩阵范数||||V A 谦脚定义1确定的4个条件，共时又谦脚矩阵范数与背量范数相容性央供.定理2.1 由（2.1）大概（2.2）给定的m n C ⨯上的矩阵范数谦脚矩阵范数定义1的4个条件，且与相映的背量范数相容. 道明： 最先，矩阵范数与背量范数的相容性是没有易道明的，究竟上，对付||||V x =1, ||||1||||||||||||max ||||||||VV V V V V z A x A Az Ax ===≥, 果此,矩阵范数与背量范数的相容性条件（1.5）创制.咱们底下去考证（2.1）大概（2.2）谦脚矩阵范数的4个条件.那4个条件中，前2个也简单考证，果此那里只去观察第3,4个条件.三角没有等式的考证: 对付于任一m n B C ⨯∈矩阵相乘相容性的考证: 由（1.5），没有易有当0x ≠时，||||||||||||||||VV V VABx A B x ≤ 所以 0||||||||max||||||||||||VV V V x VABx AB A B x ≠=≤至此，证据了用算子范数确能给出谦脚矩阵范数定义战矩阵范数与背量范数的相容性 的矩阵范数.推论1 对付于n n C ⨯上的任一种背量诱导范数，皆有 ||||1||||max ||||1x I Ix === （2.3）然而是要注意的是，对付普遍的矩阵范数，对付任一背量n x C ∈，有故有 ||||1I ≥.比圆，||||F A 没有是诱导矩阵范数，所以 ||||1F I ≥. 三．几个时常使用的诱导矩阵范数上头的叙述标明，诱导矩阵范数与背量范数稀切相闭，有何种背量范数，便有什么样的诱导矩阵范数.底下便去简曲天构制几个时常使用的诱导矩阵范数.设m n A C ⨯∈.例3．1 设m n A C ⨯∈，由背量1l -范数诱导而去的最大列战诱导矩阵范数111||||max ||mi j j ni A a ≤≤==∑ （3.1）道明：按列分块，记12(,,,)n A a a a =，则由（3.1）战背量1l -范数的定义可知设12(,,,)n n n x x x x C =∈，且有1||||1x =果此, 111||||1||||max ||||x A Ax ==1max ||mij ji a =≤∑ (+) 另一圆里,采用k ,使得令0x 为第k 的单位背量(0,0,1,0,,0)Tk e =,那么012(,,,)T k k k mk Ax a a a a ==11101||||111||||max ||||||||||max ||mmik ij x ji i A Ax Ax a a ====≥==∑∑ (++)概括(+)与(++)可知, 由背量1l -范数诱导出的矩阵范数既是1||||A 的上界,又是其下界,果此必有(3.1).设m n A C ⨯∈，矩阵谱范数由2l -范数诱导得出的矩阵范数，定义为21||||max{|}H A A A λλ==是的特征值 (3.2)其中 1σ为A 的最大偶同值, 当n n A R ⨯∈时, 2||||A = (3.3)道明:最先由线性代数, H A A 是半正定矩阵, 究竟上,对付任一n x C ∈,有果此,H A A 的特性值皆为非背真数,记为 120n λλλ≥≥≥≥,而且H A A 具备n 个相互正接的,2l -范数等于1(即尺度化了的)特性背量(1)(2)(),,,n x x x ,它们分别对付应于特性值120n λλλ≥≥≥≥.故那组特性背量形成了一组尺度正接基，用它们可表示任一个范数2||||1x =的背量x ：()1ni i i x x α==∑而且，由2||||1x =， 可得到 211ni i α==∑.那样， ()()()111()n n nHHi Hi i i i i i i i i A Ax A A x A Ax x αααλ======∑∑∑.由此22221122111||||||n n n i i λαλαλαλαλ=⎛⎫=+++≤= ⎪⎝⎭∑，也便是2||||Ax ≤由x 的任性性战算子范数的定义2221||||1||||max ||||x A Ax λ==≤ （*）另一圆里，由2||||1x =，而且与1λ对付应的特性背量(1)x ，思量 所以2(1)2221||||1||||max ||||||||x A Ax Ax λ==≥= （**）概括（*）战（**），由2l -范数诱导得出的矩阵范数应为21||||max{|}H A A A λλ==是的特征值.例3．3 设m n A C ⨯∈，l ∞-范数诱导得出的矩阵范数11||||max ||nij i mj A a ∞≤≤==∑ （3.4）道明：设12||||1(,,,),T n x x x x x =∞=且，即 max ||1i ix =.由算子范数，||||1||||max ||||x A Ax ∞∞∞==≤1max ||nij ij a =∑ （*）另一圆里，采用k ，使得 令12(,,,),T n y y y y =其中1,0||,0kj kj j kj kjif a a y if a a =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，则 ||||max ||1j jy y ∞==，进而有 1**||**n kj j a Ay =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑，由算子范数||||111||||max ||||||||||max ||nnkj ij x ij j A Ax Ay a a ∞∞∞∞====≥≥=∑∑. （**）概括（*）战（**），便得11||||max ||nij i mj A a ∞≤≤==∑.除了上述3种时常使用的矩阵范数中，Frobenius 范数虽然没有是算子范数，然而也时常所用，正在计划序列支敛等问题上是等价的.例3．4 设1234A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，供其百般矩阵范数.解： 1||||A =最大列战 = 6；||||A ∞=最大止战 = 7；|||| 5.477F A ==≈；四． 由矩阵范数推出的背量范数矩阵范数可由背量范数诱导，反过去，背量范数偶尔也可从矩阵范数推出.例4．1 设||||M •是n n C ⨯上的矩阵范数，任与n C 中的非整背量y ，则函数||||||||,H n V M x xy x C =∀∈ （4.1）是n C 上的背量范数，且矩阵范数||||M •与背量范数||||V •相容. 道明：欲证 ||||V x 是一个背量范数，只须考证它谦脚背量范数得个条件.非背性：当x ≠时，由于y非整，故||||||||0,H n V M x xy x C =>∀∈；当0x =时，H n n xy O ⨯=，故||||||||0H V M x xy ==. 齐次性：对付任一常数c C ∈，有 ||||||||||||||||||||H H V M M V cx cxy c xy c x ===.三角没有等式： 对付任性的,n x z C ∈，有 ||||||||V M x z =+.果此由背量范数的定义知，||||V x 是一个背量范数.底下再证二种范数的相容性.如果,n n n A C x C ⨯∈∈，那么 ||||||()||||()||||||||||||||||||H H H V M M M M M V Ax Ax y A xy A xy A x ==≤=. 可睹，矩阵范数||||M •与背量范数||||V •相容.五． 范数的若搞应用范数的应用很广大，那里只举2例. 1． 矩阵偶同性的条件对付于矩阵n n A C ⨯∈，是可根据其范数的大小，去判别的()I A -偶同性？判别一个矩阵的偶同性，本去没有便当（比圆预计A 的止列式的值是可非整，推断A 的诸列是可线性无闭等，均没有大简单），然而矩阵的范数的预计，如1||||,||||A A ∞，仍旧便当的.定理5.1 (Banach 引理)设矩阵n n A C ⨯∈,且对付矩阵n n C ⨯上的某种矩阵范数||||•,有||||1A <,则矩阵()I A ±非偶同,且有1||||||()||1||||I I A A --≤- (5.1)道明: 假设矩阵范数||||A 与背量范数||||x 相容.欲证矩阵()I A ±非偶同，可通过det()0I A ±≠.用反证法.假设det()0I A ±=，则齐次线性圆程组 ()0I A x ±= 有非整解0x ，即 于是， 00x Ax =.二边与范数 0000||||||||||||||||||||V V V V x Ax A x x =≤<其中末尾一个没有等号是由于 ||||1A <. 然而上式是冲突的，假设det()0I A ±=没有创制，进而矩阵()I A ±非偶同，故有顺.再由 1()()I A I A I -±±= 可得 11()()I A I I A A --±=±二边与范数，得111||()||||()||||||||()||||||I A I I A A I I A A ---±=±≤+± 再移项，有 1||()||(1||||)||||I A A I -±-≤ 进而 1||||||()||1||||I I A A -±≤-那正是咱们要念道明的.正在推演分解Ax b =的间接法的缺面分解时起要害的效率.请共教们自止道明底下类似的截止.定理5.2 设矩阵n n A C ⨯∈,且对付矩阵n n C ⨯上的某种矩阵范数||||•,有||||1A <，则2．近似顺矩阵的缺面——顺矩阵的摄动正在数值预计中，缺面无处没有正在，思量由于那些缺面存留而戴去的成果，是一项要害的课题.设矩阵n n A C ⨯∈的元素ij a 戴有缺面,(,1,2,,)ij a i j n δ=，则矩阵的真正在的值应为A A δ+，其中()ij A a δδ=称为缺面矩阵，又喊摄动矩阵.若A 为非偶同，其顺阵为1A -.问题是：1()A A δ-+与1A -的近似程度怎么样呢？大概者道，1()A A δ-+与1A -的“距离”大小为几？底下是回问上述问题的摄动定理.设矩阵n n A C ⨯∈非偶同，n n B C ⨯∈，且对付n n C ⨯上的某种矩阵范数||||•，有1||||1A B -<，则（1）A B +非偶同； （2）记11()F I I A B --=-+，那么 11||||||||1||||A B F A B --≤-； （3）11111||()||||||||||1||||A AB A B A A B ------+≤-. 道明：由于1||||1A B -<，所以1||||1A B --<.由定理 5.1，1()I A B -+非偶同，故1()A B A I A B -+=+非偶同.正在定理5.2中，将A 换成1A B --，即得（2）. 又果为 11111()(())A A B I I A B A ------+=-+， 二边与范数，并利用（2）的论断，可得11111||||||()||||||1||||A B A A B A A B ------+≤-， 即可得到（3）. □ 3．矩阵谱半径及其本量矩阵谱半径是一个要害的观念，正在特性值预计，广义顺矩阵，数值预计（特天正在数值线性代数）等表里中，皆占有极其要害的职位.定义4 设矩阵n n A C ⨯∈的n 个特性值为12,,,n λλλ（含沉根），称max ||i iλ为矩阵A 的谱半径，记为()A ρ. 闭于矩阵谱半径的最道明也是最要害的论断是，矩阵A 的谱半径没有超出其任一种矩阵范数.那个截止已经正在课堂上道明过了.动做训练，请共教们对付 1321i A i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭考证那个论断.闭于矩阵谱半径的第2个要害论断是，如果矩阵A 为Hermite 矩阵，则2||||()A A ρ=.道明留给大家.虽然Hermite 矩阵的谱半径与其谱范数相等，然而是，普遍矩阵的谱半径与其谱范数大概出进很大.底下闭于矩阵谱半径的第3个要害论断，刻绘了谱半径与矩阵范数之间的另一种定量闭系.，定理5.4 设矩阵n n A C ⨯∈，对付任性正数ε，存留一种矩阵范数||||M •，使得道明： 根据Jordan 尺度型，对付n n A C ⨯∈，存留非偶同的n n P C ⨯∈，使如果记 12(,,,)n diag λλλΛ= 战123100000n I δδδδ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 01i δ=或 则 Jordan 尺度型 J I =Λ+，其中12,,,n λλλ 为A 的特性值. 又记 21(1,,,,)n D diag εεε-=，则有1111()()PD A PD D P APD D JD Iε----===Λ+1122331n n λεδλεδλεδεδλ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，记 S PD =，那么S 为非偶同，且有111||||||||()S AS I A ερε-=Λ+≤+.另一圆里，简单考证，11||||||||M A S AS -= 是n n C ⨯上的矩阵范数，所以11||||||||()M A S AS A ρε-=≤+. □5．背量战矩阵范数正在供解Ax b =的间接法的缺面分解中应用那一真量尔正在课堂上道的比较小心，那里便略去了.。
矩阵与范数—扫盲（DOC）[精选多篇]
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矩阵与范数—扫盲（DOC）[精选多篇]第一篇：矩阵与范数—扫盲(DOC)矩阵与范数、谱半径、奇异值矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。
当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。
如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。
而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。
作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。
首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示有基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束：１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。
基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。
在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。
这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。
为了保持与空间的一致性，我们也同样是在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。
到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。
这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。
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《周国标师生交流讲席010》向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)一.矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数，是把矩阵A C m n可以视为一个mn维的向量(采用所谓“拉直”的变换)，所以，直观上可用C mn上的向量范数来作为A C m n的矩阵范数。
比如m n 1在∣1 -范数意义下，IIAl1 ；二Ia ijI= tr(A H A) 2; (1.1 )1Zl mn A2在I2-范数意义下，∣∣A∣∣F=∑∑同|2，(1.2)Iy j A J注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius范数，或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB的“大小”相对于A与B的“大小”关系。
定义1设A C mn,对每一个A ,如果对应着一个实函数N(A),记为IlAll ,它满足以下条件：(1)非负性：|| A||_0 ;(1 a)正定性：A=O mn= IIAII= 0(2)齐次性：||〉A||=| |||A||, • C ;(3)三角不等式:||A||A B||—||A|| ||B||, -B C m n则称N(A)=|| A||为A的广义矩阵范数。
进一步，若对C m n,C n 1C m l上的同类广义矩阵范数|| || ,有(4)(矩阵相乘的)相容性:|| A || AB ||_|| A|||| B ||, B C n I , 则称N(A) =||A||为A的矩阵范数。
我们现在来验证前面(1.1 )和(1.2 )定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑(1.2 ),把较容易的(1.1 )的验证留给同学们，三角不等式的验证。
按列分块，记A=√a1,a2,…,a n), B=√b1,b2,…,b n)。
||A BII F=Ig bj,® b2), ,(a. b n)||F*1 UII2 IIa2 b2||2 Ha n g ||2(IIa1II2 +IIdIb ) +…+(IIa n Ib +||b n ||2)2 2 兰二険||2 IIa n II；2 || q II2II d ||2 …IIa n II2II b n ||2 IIdII2IIb n II2对上式中第2个括号内的诸项，应用CaUChy不等式，则有IIA + BIIF≤IIAII F +2||A||F||B||F +IIBII2=(IIAI F +IIBII F)2(1.3 )于是，两边开方，即得三角不等式。
再验证矩阵乘法相容性。
虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。
由此，我们必须认识到，不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。
为此,我们仅给出矩阵范数的定义是不够 的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。
当然，你也可以不去考虑构成方法，一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。
不过这样做的工作量太大，也很盲目。
第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中， 所以在考虑构造矩阵 范数时，应该使它与向量范数相容。
比如要考虑 AX 的“大小”，AX 是一个向量，但它由 A与X 相乘而得的，它与 A 的“大小”和X 的“大小”的关系如何？这提出了两类范数相容的概念。
定义2对于C mn 上的矩阵范数∣∣∙∣∣M 和C m ,C n 上的同类向量范数∣∣∙∣V ,如果成立 IIAx II V ≤ll A ∣∣M Il X I V , ^A C mn,-x C n（ 1.5）则称矩阵范数Il *∣∣M 与向量范数II-I V 是相容的。
1'm nX 2 1例1. 1可以证明∣∣A ∣∣F = ∑∑ Ia ij I 2=（tr （A HA ）F 是与向量范数IW 相容。
Iimg丿事实上，在（1。
2）中，取B =X ∙ C n1 ,那么∣∣A X ∣∣2 =II AB ∣∣√≤∣∣ AII F II B ∣∣F =∣∣A ∣∣F ∣∣X ∣∣2二.矩阵算子范数现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容, 当然，它也满足定义 1规定的4个条件。
定义3设C m ,C n 上的同类向量范数为∣∣∙∣∣V ,A C mn ,定义在C m n 空间上的矩阵A 的由向量范数∣∣∙∣V 诱导给出的矩阵范数为m l 12一一2m IFnIlABI A∑∑ Σ a k bj ≤∑∑ ∣∑Ia ii 4 j 4 k z 1i 4 j ⊂1 Jk 二IikIlb ki Im l n：工二二 Iai 4 j 4m n 2= ∖ ∑∑ I ak Ii 4 k 4可见，矩阵相容性满足。
ik 4I 2'n Ib sj l 2.s4（这一步用了 CaUChy 不等式）∑∑ Ib sj I 2H ∣A ∣2∣∣B ∣∣F(1.4 )这样就完成了对矩阵 F-范数的验证。
是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可 以了吗？ No!运用L 一-范数于矩阵范数时便出了问题。
如果数在下面一个例子上就行不通。
设A=-范数的定义，I ∣A ∣∣j 1, ∣∣A ∣∣A ∣"1,2・・ ・・■ ■・・ ・・■・・1仃IIA 2Il A I U=: max Ia ij I ,那么，这样的矩阵范2=2A 。
因此，按上述矩阵∞ 2曰'2,2 II ： ：= 2，于是2 咄 A 2IQIIA A Il 上Il All 』A ∣Q1但这是矛盾的。
所以 简单地将L.-范数运用于矩阵范数，是不可行的。
I∣A∣V=max共Il AXI VIlX I L(2.1 )可以验证，这样定义出的矩阵范数IlAl V 满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数 与向量范数相容性要求（定义2）。
由于有什么样的向量范数IIJ V ，就有什么样的矩阵范数， 所以，这样的矩阵范数称为由向量范数诱导出的，简称诱导范数；又因为（2.1 ）实际上规定了一个函数（或算子），故又称为 算子范数。
（2.1 ）给定的范数实际是寻求一个最优化问题的最优值，求目标函数山AX 也的最大Xll v值，约束条件是x = 0，也就在C n 空间中除原点外的点中”个n 维向量X ,使I LA X i V VX上面第3个等号成立是因为向量Z为一个单位向量。
xI V下面我们从理论上证明这样的矩阵范数 IIAI V 满足定义1规定的4个条件，同时又满足矩阵范数与向量范数相容性要求。
定理2。
1由（2.1 ）或（2.2 ）给定的C m 浦上的矩阵范数满足矩阵范数定义1的4个条件，且与相应的向量范数相容。
证明：首先，矩阵范数与向量范数的相容性是不难证明的，事实上，对IIxI V =1,II A I V II XI V HI AI V = max IIAz I V -II Axh ,因此，矩阵范数与向量范数的相容性条件IIzIV T（1.5 ）成立。
我们下面来验证（2.1 ）或（2.2 ）满足矩阵范数的4个条件。
这4个条件中，前2个也 容易验证，因此这里只来考察第 3,4个条件。
三角不等式的验证：对于任一 ^C mnIIA BII = maxII （A B ）XI^max II Ax BxIkmax IIAII II BIIII 刈#IIxIUIIxIIT=max II AxII max IIBx I^II AII IIBII IIxII 1II 刈 T1矩阵相乘相容性的验证：由（1.5 ），不难有IIABxI V 勻IAI V IIBxI VW IAIbIIBIbIIxI V当 X=O 时，II A B X IV 判AII V IIB I VIIxI V所以 Il AB Il v = ma 0x ll AB X IV 引 A ∣V I ∣B I VX R||x|V至此，证实了用算子范数确能给出满足矩阵范数定义和矩阵范数与向量范数的相容性 的矩阵范数。
取得最大值。
如果直接考虑这样一个优化问题 方式定义，使问题的处理简单。
IIAII v =max X=0 IIAxI VIIxII v max I I X V TIIAxI VI IxI V,还是有困难的.可以证明，它可以下列等价 弋鴛宀儿 （2.2）事实上，分母上的IIxII V是一个正数（XHO ）, 那么根据向量范数的齐次性有 max≡V=max X=0IIxIL X=0IIxI V 1AX=max AF X [I ∣x ∣V X 式 VJIXI V J^maxV=mαx ∣Aχ∣VV推论1对于C nn 上的任一种向量诱导范数，都有 Illll =max Il Ix 11=1(2。
3)Il 刈 1 1但是要注意的是，对一般的矩阵范数，对任一向量X 三C n,有I ∣X ∣I=II ∣X ∣凶l ∣ llllxll故有Il I ll_1。
比如，IIAI F 不是诱导矩阵范数，所以 Ill Ik-I 。
几个常用的诱导矩阵范数上面的论述表明，诱导矩阵范数与向量范数密切相关，有何种向量范数，就有什么样的诱导矩阵范数。
下面就来具体地构造几个常用的诱导矩阵范数。
设 A C mn。
mnm nn/ mΛ∣∣A X ∣为 a ij X j ≤Σ Σ Ia Iij IlX j ∣=∑ ∣X j I ∣∑ Ia j |id ： j 壬y j Λ j I i mJn≤ max I a j I 'T X jI m .max Ia j Ij =1mA I L = max I I AX I 1 込 max' Ia j1 I I X I l 1吕1 j i J另一方面，选取k ,使得m7 l4k I = max'，Ia j Ii dj i =1令 X o 为第 k 的单位向量 e 1. =(0,…0,1,0,…，0)T ,那么 Ax^a^(a 1k ,a 2k/ ,a r υk )τmmI IAI =n n ax I IAxIg AX 011 =迟 la jk l = max∑ & I (++)Xl 1 =1i =Ij y综合(+)与(++)可知，由向量l 1-范数诱导出的矩阵范数既是 I IAI 1的上界，又是其下界，因此必有(3.1).例3.2 设A ^C m "n ,矩阵谱范数由l 2-范数诱导得出的矩阵范数，定义为Il A Il 2= max ｛丸 I 扎是 A HA 的特征值｝ = Jh maX (A H A) =σ1(3.2) 其中S 为A 的最大奇异值，当时，l IAI 〔2= J 扎max (A T A)(3.3)证明：首先由线性代数，A H A 是半正定矩阵，事实上，对任一 C n ,有(x, A HAX)= X HA HAX = (AX)H(AX) =∣∣A X ∣∣-0因此，A A 的特征值都为非负实数，记为 2 V ≥ ⅛ ≥ 0 ,而且A A 具有n 个相互 正交的,∣2-范数等于例3. 1设A C m n ,由向量h-范数诱导而来的mIIAI^nτj ax∑ 冋 I1沁V证明：按列分块，记A = (a ∣,a 2,…,a n ),则由(Il Alh = max I Ia j Il1 g 鱼最大列和诱导矩阵范数3.1 )和向量I i -范数的定义可知(3.1)(+)1(即标准化了的)特征向量X(I),x⑵,…,x(n),它们分别对应于特征值'1 _ '2〉■：「n _0。