矩阵范数详解.docx

《周国标师生交流讲席010》

向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)

一.矩阵范数的定义

引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。

最容易想到的矩阵范数，是把矩阵A C m n可以视为一个mn维的向量(采用所谓“拉

直”的变换)，所以，直观上可用C mn上的向量范数来作为A C m n的矩阵范数。比如

m n 1

在∣1 -范数意义下，IIAl1 ；二Ia ijI= tr(A H A) 2; (1.1 )

1

Zl mn A2

在I2-范数意义下，∣∣A∣∣F=∑∑同|2，(1.2)

Iy j A J

注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius

范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。

那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB的“大小”相对于A与B

的“大小”关系。

定义1设A C mn,对每一个A ,如果对应着一个实函数N(A),记为IlAll ,它满足以下条件：

(1)非负性：|| A||_0 ;

(1 a)正定性：A=O mn= IIAII= 0

(2)齐次性：||〉A||=| |||A||, • C ;

(3)三角不等式:||A||A B||—||A|| ||B||, -B C m n

则称N(A)=|| A||为A的广义矩阵范数。进一步，若对C m n,C n 1C m l上的同类广义矩阵

范数|| || ,有

(4)(矩阵相乘的)相容性:|| A || AB ||_|| A|||| B ||, B C n I , 则称N(A) =||A||为A的矩阵范数。

我们现在来验证前面(1.1 )和(1.2 )定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑(1.2 ),把较容易的(1.1 )的验证留给同学们，

三角不等式的验证。按列分块，记A=√a1,a2,…,a n), B=√b1,b2,…,b n)。

||A BII F=Ig bj,® b2), ,(a. b n)||F

*1 UII2 IIa2 b2||2 Ha n g ||2

(IIa1II2 +IIdIb ) +…+(IIa n Ib +||b n ||2)

2 2 兰

二険||2 IIa n II；2 || q II2II d ||2 …IIa n II2II b n ||2 IIdII2IIb n II2

对上式中第2个括号内的诸项，应用CaUChy不等式，则有

IIA + BIIF≤IIAII F +2||A||F||B||F +IIBII2=(IIAI F +IIBII F)2(1.3 )于是，两边开方，即得三角不等式。

再验证矩阵乘法相容性。

虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。

由此，我们必须认识到，

不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。 为此,我们仅给出矩阵范数的定义是不够 的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。

当然，你也可以不去考虑构成方法，一个

函数一个函数去试，只要满足条件就行。不过这样做的工作量太大，也很盲目。

第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中， 所以在考虑构造矩阵 范数时，应该使它与向量范数相容。比如要考虑 AX 的“大小”，AX 是一个向量，但它由 A

与X 相乘而得的，它与 A 的“大小”和X 的“大小”的关系如何？

这提出了两类范数相容

的概念。

定义2对于C mn 上的矩阵范数∣∣∙∣∣M 和C m ,C n 上的同类向量范数∣∣∙∣V ,如果成立 IIAx II V ≤ll A ∣∣M Il X I V , ^A C mn

,-x C n

（ 1.5）

则称矩阵范数Il *∣∣M 与向量范数II-I V 是相容的。

1

'm n

X 2 1

例1. 1可以证明

∣∣A ∣∣F = ∑∑ Ia ij I 2

=（tr （A H

A ）F 是与向量范数IW 相容。

Iimg

丿

事实上，在（1。2）中，取B =X ∙ C n1 ,那么

∣∣A X ∣∣2 =II AB ∣∣√≤∣∣ AII F II B ∣∣F =∣∣A ∣∣F ∣∣X ∣∣2

二.矩阵算子范数

现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容, 当然，它

也满足定义 1规定的4个条件。

定义3设C m ,C n 上的同类向量范数为∣∣∙∣∣V ,A C mn ,定义在C m n 空间上的矩阵A 的由向量范数∣∣∙∣V 诱导给出的矩阵范数为

m l 12

一一

2

m IFn

IlABI A∑∑ Σ a k b

j ≤∑∑ ∣∑

Ia i

i 4 j 4 k z 1

i 4 j ⊂1 Jk 二

Iik

Ilb ki I

m l n

：工二二 Ia

i 4 j 4

m n 2

= ∖ ∑∑ I a

k I

i 4 k 4

可见，矩阵相容性满足。

ik 4

I 2

'n Ib sj l 2

.s4

（这一步用了 CaUChy 不等式）

∑∑ Ib sj I 2

H ∣A ∣2∣∣B ∣∣F

(1.4 )

这样就完成了对矩阵 F-范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可 以了吗？ No!

运用L 一-范数于矩阵范数时便出了问题。如果

数在下面一个例子上就行不通。设

A=

-范数的定义，I ∣A ∣∣j 1, ∣∣A ∣∣A ∣"1,

2・・ ・・■ ■・・ ・・■・・

1

仃

IIA 2

Il A I U=: max Ia ij I ,那么，这样的矩阵范

2

=2A 。因此，按上述矩阵∞ 2

曰

'2

,2 II ： ：= 2，于是

2 咄 A 2

IQIIA A Il 上Il All 』A ∣Q1

但这是矛盾的。所以 简单地将L.-范数运用于矩阵范数，是不可行的

。