自动控制原理-3-3二阶系统的时域分析ppt2017
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第3讲 二阶系统的时域分析
18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平 面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2
n
n
j n 1 2 j d
n
称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比； 而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
3-3二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环极点分布
j
特征根： s1, 2 n n 2 1
j
n 1 2
j
n
n 1 2
n
0
n 1 2
0
1
0
n 1 2
0 1
1 0
j
s1 s 2 n 0
1
1
C1 C2 C3 L C1e S t C2 e S t C3 ( s s1 ) ( s s2 ) s
1
1 2
其中
C1
n2
( s1 s2 ) s1
; C2
n2
( s1 s2 ) s2
; C3 1
而s1，s2是ζ和ωn的函数，显然c(t)只与ζ ，ωn有关，即ζ ，ωn决
第三章 时域分析法
第三节 二阶系统时域分析
第三节 二阶系统的时域分析
项目
教学目的
内容
掌握二阶系统的数学模型和时域响应的特点。 能够计算欠阻尼时域性能指标。
欠阻尼时域性能指标的计算。阻尼系数和自 然频率对系输出的影响。
教学重点
教学难点 阻尼 系数 和自然频率 对系统输出 的影响 。 及 其 处 理 MATLAB作图、对比、总结。
①
环节；
比例+微分（引入零点）：在前向通路中串一个PD控制
② 采用测速反馈控制。 3) PD控制与测速反馈控制两种方案比较 （见下页附表）
附表： PD控制与测速反馈控制两种方案比较
性能指标
PD控制
方
案
测速反馈控制 增 大 降 低
阻尼比 自然频率 开环增益 稳态误差 超调量 性能 适用场合
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理的时域分析法ppt课件
精选课件PPT
13
系统的时域性能指标
• 稳定性 • 动态性能指标 • 稳态（静态）性能指标
精选课件PPT
14
单位阶跃响应性能指标：
H(t) 阶跃响应输出
1
0.9
误差带
0.5 Td
超调 稳态误差Ess
0.1 0
Tr Tp
Ts
上升时间
峰值时间 精选课调件PP整T 时间
t
15
1 延迟时间Td：指h(t)上升到稳态的50%所 需的时间。
稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与 系统的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响 应函数来描述，如果脉冲响应函数是收敛的，则 系统稳定。反之，系统不稳定。
精选课件PPT
22
设系统传递函数有 K 个实根 i(i 1K)
r 对共轭复根 (iji)(i1K)
则脉冲响应为：
K
r
y (t)C ie ite it(A ic o s it B isin it)
s 3 2 13 s 2 10 4
将s=z-1代入原方程得：
2 z 3 4 z 2 z 1 0
NEW ROUTH’S TABLE：
s3 2 1
s 1 12 . 2
s2 4 1
s0 4
s1 0 .5
故S右半平面无闭环
s0 1
极点。系统是稳定 的
精选课件PPT故有一个根在s=-1的右边33 。
精选课件PPT
27
劳斯判据
1、列出系统闭环特征方程：
F ( s ) a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0 上式中所有系数均为实数，并设 an 0
2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
3-3二阶系统的时域分析
输出为衰减振荡形 式(欠阻尼响应) ；
1：
s1, 2 n ；
c(t ) n te
2 t
C(t) t
；
输出为无振荡衰减形式(临界阻尼响应) ；
1 ： T11 n n 2 1 s1 ，T21 n n 2 1 s2 ； n t / T t / T
2
s ( s 2 n )
； ( s)
a2 s a1s a2
2
；
典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：
1
极点在S平面上的位置不同(值，见图3-9) ，系统 的性质不同，对输入信号的响应过程不同。
0
0
0
s1, 2 jd
(a ) 1 0
s1, 2 n 1
2
s1, 2 jd
(c) 0 1
(b) 1
0
0
0
s1, 2 jn
(d ) 0
s1, 2 n
(e) 1
s1, 2 n 1
2
(f ) 1
n
衰减系数， d n
1
2
(阻尼)振荡频率
图3-9 二阶系统的闭环极点分布
☆二阶系统的单位脉冲响应：
0：
s1, 2 jn ；
c(t ) n sin( nt ) ；
输出为等幅振荡形式(无阻尼响应) ；
0 1 ：s1, 2 jd ；c(t )
n
1
2
e
t
sin( d t ) ；
n
d
e
sin( d t 2 ) ；
二阶系统的时域分析.ppt
d ds
[C
(s
)(
s
n
)
2
]s
n
1
2 [C(s) (s n )2 ]sn n
C(t) 1 ent ntent 1 ent (1 nt) (t 0)
j [s]
s1s2
n o
1
C(t) 1
1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通
常称为临界阻尼状态。
o
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
况，故称为阻尼系数。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
10
3.二阶系统的性能指标(1)－上升时间
根据定义，当 t tr时，c(tr ) 1。 令 c(t) 1 et sin (dt+ ) =1
sin
c(t) 1 et sin (dt+ ) , t 0 sin
e t sin (d t+ ) 0 sin
T1 T2
n
T2
1
n
h(t)= 1 -(1临+ω界n阻t)尼0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ξ＜1 1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξξ2 ＝0
jj 0
0
0
e - h(t)=
ξ＝1 0 1
2020/3/2√91-ξ2
-ξωSnt欠1s,2i阻n=(尼ω±d3t-j3+二ωβ阶n)系统的时域分析
为阻尼振荡圆频率。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
1 2 是振荡频率。称 d
5
2.二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼
极点：s1,2 n n 2 1
阶跃响应：c(t) 1
n
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
21
二阶系统单位阶跃响应定性分析
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
s1,2 n n 2 1
1 过阻尼
c(t)
1
T2 T1
1
1
e
1 T1
t
T1 T2
1
1
e
1 T2
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
特征方程的两个根（闭环极点）:
s1,2 n n 2 1 4
特征方程的两个根（闭环极点） s1,2 n n 2 1
若 0 则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为
t
1 临界阻尼
c(t) 1 ent (1 nt)
0 1 欠阻尼
c(t) 1
ent
1 2
sin
nt
1 2 cos1
0 零阻尼
c(t) 1 cosnt
22
3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 td ,tr，tp，ts，s %
在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统 外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速 度和较短的调节时间。
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
自动控制3.3~3.4二阶系统时域分析详解
e nt
1 2
sin(d t
) (t
0)
上升时间 tr
阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。
• 此时 •即
c(tr ) 1
entr
1 2
s in(d tr
)
0
•得
tr
d
n 1 2
dtr β arc cos
峰值时间 tp
c(t) 1
e nt
1 2
sin(d t
) (t
n
G0 (s)
s(s
n2 2
n)
s(s
/
2 2
n
1)
, K0
n 2
G(s) n2 (Td s 1)
n 2
(Td s 1)
, K n
s(s 2n ) s(s / 2n 1)
2
可见，比例－微分控制不改变开环增益。
R(s) (-) Tds+1
ωn2
s(s 2ωn )
Go(s)
C(s)
0 (s)
模 n 阻尼角 cos
sin 1 2
（1）单位阶跃响应：
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2n s
n2
.1 s
(s2
2ns n2 ) s2 2ns
s(s
n2
2n
)
.
1 s
1 s
(s
s n n )2 d 2
1 2
. (s
1 2n n )2 d 2
c(t ) 1 ent cosd t
n2 2n s
n2
1 s
n2 s(s2 n2 )
1 s
(s2
s
自动控制原理线性系统的时域分析法二阶系统详解演示文稿
(3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
②峰值时间 ——响应曲线到达第一个峰值所需的时间。
③调带整时时所间需要tt的—sp 最—短响时应间达。到并保持在终值的±5%（或± 2%）误差
④延滞时间 ——响应曲线到达稳态值50%所需的时间。
2 n
(s
1 )(s
T1
1 T2
)
第26页，共77页。
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
这里 T1 T2
，
2 n
1 T1T2
1
于是闭环传函为：
C(s)
T1T2
1
R(s) (s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2s 1)
T1 T2
因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串 联，其单位阶跃响应为
阶跃响应函数为：C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
h(t) 1
0
t
第25页，共77页。
➢当 1 时，极点为：s1,2 n n 2 1
即特征方程为
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
规律适用于一般的线性定常系统。
第15页，共77页。
r(t) R(s) C(s)= (s§) R(3s) .2.3 一c(t)阶系统的一阶典系统型典型响响应应
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
②峰值时间 ——响应曲线到达第一个峰值所需的时间。
③调带整时时所间需要tt的—sp 最—短响时应间达。到并保持在终值的±5%（或± 2%）误差
④延滞时间 ——响应曲线到达稳态值50%所需的时间。
2 n
(s
1 )(s
T1
1 T2
)
第26页，共77页。
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
这里 T1 T2
，
2 n
1 T1T2
1
于是闭环传函为：
C(s)
T1T2
1
R(s) (s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2s 1)
T1 T2
因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串 联，其单位阶跃响应为
阶跃响应函数为：C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
h(t) 1
0
t
第25页，共77页。
➢当 1 时，极点为：s1,2 n n 2 1
即特征方程为
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
规律适用于一般的线性定常系统。
第15页，共77页。
r(t) R(s) C(s)= (s§) R(3s) .2.3 一c(t)阶系统的一阶典系统型典型响响应应
自动控制原理 第三章 时域分析法ppt
离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小， 有时甚至可以忽略不计。
过阻尼系统单位阶跃响应
与一阶系统阶跃响应的比较
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析 ( 1 ).稳 态 误 差 e s s l ti m [r (t) c (t)] 0
(2 ).响 应 没 有 振 荡 σ ％ = 0
2.欠阻尼 (0 1) 二阶系统的单位阶跃 响应
KKHH
一阶系统如图所示，试求：
1. 当KH＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍
数K，稳态误差ess。
2. 如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？ 3. 讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系。
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
• 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统
第三章 时域分析法
主要内容
•3.1 •3.2 •3.3 •3.4 •3.5
时域分析基础 一、二阶系统分析与计算 高阶系统动态响应及简化分析 控制系统的稳定性分析及其代数判据 稳态误差分析计算
3.1 时域分析基础
1. 时域分析：根据系统微分方程，通过拉氏
变换，直接求出系统的时间响应。依据响应 的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性 能，并找出系统结构、参数与这些性能之间 的关系。
3－2 一、二阶系统分析与计算
1.一阶系统的数学模型及单位阶跃响应
微分方程：
动态结构图：
传递函数：
一阶系统单位阶跃响应
输入： 输出：
初始斜率：
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0
2. 快速性ts：
3. 准确性 ess：
例3-1
R(s) E(s) 110000 C(s)
过阻尼系统单位阶跃响应
与一阶系统阶跃响应的比较
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析 ( 1 ).稳 态 误 差 e s s l ti m [r (t) c (t)] 0
(2 ).响 应 没 有 振 荡 σ ％ = 0
2.欠阻尼 (0 1) 二阶系统的单位阶跃 响应
KKHH
一阶系统如图所示，试求：
1. 当KH＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍
数K，稳态误差ess。
2. 如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？ 3. 讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系。
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
• 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统
第三章 时域分析法
主要内容
•3.1 •3.2 •3.3 •3.4 •3.5
时域分析基础 一、二阶系统分析与计算 高阶系统动态响应及简化分析 控制系统的稳定性分析及其代数判据 稳态误差分析计算
3.1 时域分析基础
1. 时域分析：根据系统微分方程，通过拉氏
变换，直接求出系统的时间响应。依据响应 的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性 能，并找出系统结构、参数与这些性能之间 的关系。
3－2 一、二阶系统分析与计算
1.一阶系统的数学模型及单位阶跃响应
微分方程：
动态结构图：
传递函数：
一阶系统单位阶跃响应
输入： 输出：
初始斜率：
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0
2. 快速性ts：
3. 准确性 ess：
例3-1
R(s) E(s) 110000 C(s)
自动控制原理第三章(2)
n
dh(t ) t>0 >0 dt dh(t ) t = ∞ h(t ) = 1 =0 dt
二阶
小结： 小结：过、临界阻尼无振荡。 临界阻尼无振荡。
三、欠阻尼二阶系统 0 < ζ < 1
1 r(t)=1(t) R ( s ) = 单位阶跃响应： 单位阶跃响应： s 2 ωn 1 β C ( s) = 2 ⋅ 2 s + 2ζωn s + ωn s −ζωn s + ζωn ζωn 1 = − − 2 2 2 2 s ( s + ζωn ) + ωd ( s + ζωn ) + ωd
dh(t ) 1 =− [−ζωn e −ζωnt sin(ωd t + β ) + e −ζωnt cos(ωd t + β )ωd ] 2 dt 1− ζ
jωn 1 −−ζωn
β
= jωd
− jωn 1 − ζ 2
= − jωd
π π ∴t p = = ωd ωn 1 − ζ 2
h(t ) = 1 −
e
− ζωnt
σ %
p
tt
1− ζ 2
sin(ωd t + β )
∴ζωn sin(ωd t + β ) − ωd cos(ωd t + β ) = 0
1− ζ ωd ∴ tan(ωd t + β ) = = = tan β ζωn ζ ∴ωd t = 0, π , 2π ⋯
2
1− ζ
2
包络线进入误差带的时间近似
ts =
3
ζωn
(±5%)或
4
ζωn
(±2%)
讨论： (1)ωn一定,ζ 讨论：
dh(t ) t>0 >0 dt dh(t ) t = ∞ h(t ) = 1 =0 dt
二阶
小结： 小结：过、临界阻尼无振荡。 临界阻尼无振荡。
三、欠阻尼二阶系统 0 < ζ < 1
1 r(t)=1(t) R ( s ) = 单位阶跃响应： 单位阶跃响应： s 2 ωn 1 β C ( s) = 2 ⋅ 2 s + 2ζωn s + ωn s −ζωn s + ζωn ζωn 1 = − − 2 2 2 2 s ( s + ζωn ) + ωd ( s + ζωn ) + ωd
dh(t ) 1 =− [−ζωn e −ζωnt sin(ωd t + β ) + e −ζωnt cos(ωd t + β )ωd ] 2 dt 1− ζ
jωn 1 −−ζωn
β
= jωd
− jωn 1 − ζ 2
= − jωd
π π ∴t p = = ωd ωn 1 − ζ 2
h(t ) = 1 −
e
− ζωnt
σ %
p
tt
1− ζ 2
sin(ωd t + β )
∴ζωn sin(ωd t + β ) − ωd cos(ωd t + β ) = 0
1− ζ ωd ∴ tan(ωd t + β ) = = = tan β ζωn ζ ∴ωd t = 0, π , 2π ⋯
2
1− ζ
2
包络线进入误差带的时间近似
ts =
3
ζωn
(±5%)或
4
ζωn
(±2%)
讨论： (1)ωn一定,ζ 讨论：
自动控制原理-第3章 时域分析法82页PPT文档
因为劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右 半S平面。
11
特殊情况（1）：劳思表中某一行的第一列数为0，其余不为0。 解决办法：用一个很小的正数（也可以是负数） 然后继续列劳思表。
例3.4 已知系统的特征方程为 D (s)s43 s3s23 s 10
用劳思稳定判据判别系统稳定性。
b3an 1 1a a nn 1
an6an 1an6anan7
an7
an 1
直至其余 全为0。
c1b 11ab n1 1
an3b1an3b2an1
b2
b1
c2b 1 1ab n1 1
an5b1an5b3an1
b3
b1
c3b 1 1ab n1 1
an7b1an7b4an1
b4
b1
直至其余 c i 全为0。
系统的脉冲响应为
k
r
y(t) C ieit eit(A icods tiB isin dt)i
i 1
i 1
6
系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础。 但直接检查全部特征根是否都具有负实部是困难的。 因此，后面将陆续介绍各种稳定性判据。如：
• 稳定性的代数稳定判据 • 李雅普诺夫稳定判据 • 奈奎斯特稳定判据
劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。
12
特殊情况（2）：劳思表中某一行的数全为0
解决办法：用上一行的数构成辅助多项式，将辅助多项式对变量
得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为0 一行的数，继续列劳斯表。
例3.5 已知系统的特征方程为
D (s ) s 6 s 5 2 s 4 3 s 3 7 s 2 4 s 4 0
11
特殊情况（1）：劳思表中某一行的第一列数为0，其余不为0。 解决办法：用一个很小的正数（也可以是负数） 然后继续列劳思表。
例3.4 已知系统的特征方程为 D (s)s43 s3s23 s 10
用劳思稳定判据判别系统稳定性。
b3an 1 1a a nn 1
an6an 1an6anan7
an7
an 1
直至其余 全为0。
c1b 11ab n1 1
an3b1an3b2an1
b2
b1
c2b 1 1ab n1 1
an5b1an5b3an1
b3
b1
c3b 1 1ab n1 1
an7b1an7b4an1
b4
b1
直至其余 c i 全为0。
系统的脉冲响应为
k
r
y(t) C ieit eit(A icods tiB isin dt)i
i 1
i 1
6
系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础。 但直接检查全部特征根是否都具有负实部是困难的。 因此，后面将陆续介绍各种稳定性判据。如：
• 稳定性的代数稳定判据 • 李雅普诺夫稳定判据 • 奈奎斯特稳定判据
劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。
12
特殊情况（2）：劳思表中某一行的数全为0
解决办法：用上一行的数构成辅助多项式，将辅助多项式对变量
得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为0 一行的数，继续列劳斯表。
例3.5 已知系统的特征方程为
D (s ) s 6 s 5 2 s 4 3 s 3 7 s 2 4 s 4 0
自动控制原理第三章 二阶系统PPT
c(∞)
(4) 调节时间t s
0 tr tp
ts t
±(5上5)超%稳峰升系调（态值时统量或误时间输：±差间：出2输 离e%：输 升响s出量系s）一出 到应系 最响占统误次响 稳达统 终应稳输差到应 态到期 稳超态出范达从 值并望 态出值响围峰零所保值值稳的应内值开需持与之态百由，所始的在实间值分零所需第时稳际的的比开需时一间态输差最。始时间次。值出值大，间。上的的。偏第。
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
c(t)=1-e-t/T
第二节 一阶系统性能分析
一阶系统单位阶跃响应曲线
c(t)
0.98 1
0.95 0.86
0.632
0 T 2T3T4T
t
第二节 一阶系统性能分析
2．单位斜坡响应
c(t)
1 T
单位脉冲响应为:
0
c(t)=g(t)=
1 T
e-t/T
t
第二节 一阶系统性能分析
根据一阶系统三种响应的输入输出信号:
r(t)=δ(t)
r(t)=1(t)
c(t)=
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
得： ζωn= 0.5 ωd = 1.9
β=tg-1
1-ζ2 ζ
=75o
第三节 二阶系统性能分析
三、二阶系统的性能指标
自动控制原理 第3章时域分析
该曲线的特点是：在t＝0处曲线的斜率最大，其值为 1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当t＝T时输出 就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过 4T的时间，响应达到稳态值的98％。显然，时间常数T反映 了系统的响应速度。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
自动控制原理 3-3二阶系统的时域分析
σ%=33% 无振荡有超调
相当于无零点时 0.333
j
ts可能大了可能小了
上升时间减小
0
结论：
1 零点有削弱阻尼的作用
2 零点越靠近原点该作用越明显
证明(补充)
ab (s c) (s) c
(s a)(s b)
h(t) 1 b(c a) eat a(c b) ebt c(b a) c(a b)
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)
3. ＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比 ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
s1,2 ( 2 1)n 对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.27)
C(s) 1 [2 2 1(
2 1)]1 [2 2 1(
2 1)]1
3.917 3.932 3.959
0.4 3.083
0.4 3.999
0.5 3.140 0.6 3.219
20.5
0.6
4.056 4.135
0.7 3.332
0.7 4.269
0.8 3.506
ts
ln
1
1 2 h(
)e5%nt
n 1h(2 ) 2%
0.8
4.423
1 1 ent 12
ts
2%， 0.78； 5%， 0.7
当０＜ ＜0.9时，则
ts
3
n
3T
(按到达稳态值的95%~105%计)
或
ts
4
n
4T
(按到达稳态值的98%~102%计)
(3.40)
由此可见, n大，ts就小，当n一定，则ts与成反比，这与tp， tr与的关系正好相反。
自动控制原理第三章3
ω n =1/ LC
RC ζ= 2L
ω n2 = 1/LC
第三节 二阶系统性能分析
二、二阶系统的单位阶跃响应 2 ωn C(s)=Ф(s)R(s)= 2 ζ (S +2 ω n S+ω n2 )S
闭环特征方程： 闭环特征方程： S2+2 ωn S+ω n2= 0 ζ 闭环极点： 闭环极点： S1.2 = -ζ ωn ± ω n ζ
欠阻尼二阶系统动态性能指标（总结）： 欠阻尼二阶系统动态性能指标（总结）：
1）上升时间tr ）上升时间
π −β π -β tr = = ωd ωn 1 − ξ 2
2）峰值时间tp ）峰值时间 3）超调量σ% ）超调量σ% 4）调节时间ts ）调节时间
π π tp = = ωd ω n 1 − ξ 2
[
c(t)=1sin(ωd n sin(ω 1-ζ2 cos(ωdt2p+β) -ζ ωt+β) dtp+β)]
e
− ζω n t
sin(ωdc(tp) -ζ ωntp -1 1-ζ2ωne tg(ωdsin(ωdtp+β) dtp+β) tp+β)=tgβ = 1-ζ2 [-ζ = 即 dt ζ cos(ωdtp+β) π -ζ ωntp π cos(ωdtp+β)]=0 ωdtp = 0,π,2π…+ωde tp= ωd =ωn 1-ζ2
第三节 二阶系统性能分析
三、二阶系统的性能指标
）、欠阻尼二阶系统的性能指标 （一）、欠阻尼二阶系统的性能指标 主要性能 指标有
1
c(t)
σ%
ess
性能指标 求取如下
0
tr t
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封面
3-3 二阶系统的时域分析
1、二阶系统数学模型 2、二阶系统的单位阶跃响应 3、过阻尼二阶系统的动态过程分析 4、欠阻尼二阶系统的动态过程分析 5、二阶系统的单位斜坡响应 6、二阶系统性能的改善
1、二阶系统的数学模型
Ф(s)=
C(s) R(s) =
S2+2ζ ωωnn2S+ωn2
ζ 二—阶阻微尼分比方程描ωn述—的系无统阻称尼为自二然阶振系荡统频。率
h(t) 1
1
1
2
e nt
sin(
dt
)
欠阻尼二阶系统动态性能计算
h(t) 1
1
12
e nt
sin(d t
)
弧度
令h(t)=1取其解中的最小值，
tr d
友令情h(提t)一醒阶：co导s 为0，， 取其解中的最小值
所
以得tp
二阶系统的典型S2结+2构ζω: n S+ωn2 = 0
S1.2 = -ζωn ±ωn ζ 2 -1
R(s)
_
ω
2 n
C(s)
S(S+2ξ ω n)
2、二阶系统单位阶跃响应
1）ζ >1 过阻尼
S1.2 = -ζωn ±ωn ζ 2 -1
两个不相等 的负实数根
C(s)=
ωn
S(S-S1)(S-S2)
)中 的s in(dt
)
1
再说欠阻尼二阶系统动态性能(补充)
峰值时间tp B
hmax (1 %)h( )
上升 时间tr
调节时间ts
t
Rise Time
peak amplitude
Settling Time
4、欠阻尼二阶系统动态性能分析
j
n
β
n
0
(s)
s2
n2 2 ns
n2
cos
0 1时：
s1,2 n jn 1 2
ξ不变时,ωn越大，调节时间ts越小 nts
ωn不变时,ξ越大，调节时间ts越大 0
0.707 1
整体而言 a点离虚轴越远越快！
ts=4.75T1,ξ=1 ts=3T1,ξ>1
T1=1/a
动态性能指标定义2(回顾)
h(t)
h(t)
% h(tp ) h() 100%
A 超调量σ% = hAB(1)00%
0.1 0.2 0.3
3.001 3.016 3.043
ts
31.5 n
，取5% e 1
n t
12
ts
4.5 n
，取2%
0.1 0.2 0.3
3.917 3.932 3.959
0.4 3.083
0.4 3.999
0.5 3.140 0.6 3.219
2 0.5
0.6
4.056 4.135
得： ζωn= 0.5 ωd = 1.9
β=tg-1
1-ζ2 ζ
=75o
3、过阻尼二阶系统动态性能分析
j
-b -a 0
(s)
s2
n2 2 ns
n2
s1,2 n n 2 1
e bt
e at
j
-b n -a 0
无零点的过阻尼二阶系统阶跃响应无振荡无超调
0.7 3.332
0.7 4.269
0.8 3.506
1h()e5%nt 0.8
4.423
1h(2 ) 2%
1 1 ent 12
ln 1 2
ts
n
ts
令h(t) 1
1 12
etnst 的sin计(算dt
cos 1 d
由σ% =
h(tp) －h(∞) 100% h(∞)
% e 12 100%
e 或 %
tg
100%
取5%
ln
1 2
h(t) 由包络线求调节时间ts
取2%
ln 1 2
0.05 2.997
0.05 3.913
欠阻尼系统单位阶跃响应曲线
c(t) ζ<1
1
0
t
4）ζ =0 无阻尼 S1.2 =±jω n
C(s)=
ω
2 n
(S2+ω n2)S
=
1 S
-
S
S2+ωn2
单位阶跃响应:
c(t) = 1-cosω nt
单位阶跃响应曲线
c(t) ζ=0
1大，系统的平稳 性越好不；同ζ值ζ值越时小系，统输的出单响位应阶振跃荡响越应强。
=
A1 S
+
A2 S-S1
+
A3 S-S2
拉氏反变换 c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和 超调，输出响应最终趋于稳态值1。
过阻尼系统单位阶跃响应曲线
c(t)
1
ζ >1
0
t
2）ζ =1 临界阻尼
S1.2 =-ω n 两个相等的负实数根
C(s)=
ω
2 n
(S+ω n)2 S
c(t) ζ=0
ζ<1
1
ζ=1
ζ>1
0
t
二阶系统
单位阶跃响应定性分析
1 1j
T2
T1
0
过阻尼
j 0
欠阻尼
jj 00 j
0
临界阻尼
j j0 0 j
零0 阻尼
例3-3 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应.
将解参：数可c代(知t)入==11公ω--2C1Rn式ζ1.ω(2(0-sesζ=:3n))2=e=4-S01n.t52St+si4niSm(+ω(41d.tζ9+ω=tβ+n0)7=.522o5)
=
1 S
-
1
S+ω n
-
ωn (S+ω n)2
输出响应: c(t) =1- e-ω nt(1+ω nt)
输出响应无振荡和超调。ζ=1时系 统的响应速度 比 ζ >1 时快。
临界阻尼系统单位阶跃响应曲线
c(t) ζ=1
1
0
t
3. 0< ζ <1 欠阻尼
jω
拉Cc(O系 单氏t令 则 单)Sc=统位ββ反==S(1=响：：位=t1参阶-)tζS1S1变ω.g=2=应阶1+--=111数跃d换-e-((-ζ：跃=--SS=ζ2ζ间响ee1S：ωω++--S1ω1-iζ-ζnζζnζ-ζω(ωt-1的 应nζωωSSβ2.[nnn2C2tts=++1±c=关:i1ζζnn([-noes))-ζωω-βω22ζs)1-系ζ21ζ++=2ωc=-ωω-nnζωωζon(n:d)(t22SstSSnζω-2±idd++—cζn2ζ22dω-o2ω(tζ-ω-ζjSSωω1sωω+阻12dω(ωnndnS)cωtdnde尼+2+oωζt-βnS+ζζ+ωβωs2nωnω两+ω振β)2ζnωtsdnns个ω荡ids0)in-ωn2n2inω2ω•n+复频ω)nω1dSSωd1d数t率-dt1ζ]tσd-2]根ζ22
3-3 二阶系统的时域分析
1、二阶系统数学模型 2、二阶系统的单位阶跃响应 3、过阻尼二阶系统的动态过程分析 4、欠阻尼二阶系统的动态过程分析 5、二阶系统的单位斜坡响应 6、二阶系统性能的改善
1、二阶系统的数学模型
Ф(s)=
C(s) R(s) =
S2+2ζ ωωnn2S+ωn2
ζ 二—阶阻微尼分比方程描ωn述—的系无统阻称尼为自二然阶振系荡统频。率
h(t) 1
1
1
2
e nt
sin(
dt
)
欠阻尼二阶系统动态性能计算
h(t) 1
1
12
e nt
sin(d t
)
弧度
令h(t)=1取其解中的最小值，
tr d
友令情h(提t)一醒阶：co导s 为0，， 取其解中的最小值
所
以得tp
二阶系统的典型S2结+2构ζω: n S+ωn2 = 0
S1.2 = -ζωn ±ωn ζ 2 -1
R(s)
_
ω
2 n
C(s)
S(S+2ξ ω n)
2、二阶系统单位阶跃响应
1）ζ >1 过阻尼
S1.2 = -ζωn ±ωn ζ 2 -1
两个不相等 的负实数根
C(s)=
ωn
S(S-S1)(S-S2)
)中 的s in(dt
)
1
再说欠阻尼二阶系统动态性能(补充)
峰值时间tp B
hmax (1 %)h( )
上升 时间tr
调节时间ts
t
Rise Time
peak amplitude
Settling Time
4、欠阻尼二阶系统动态性能分析
j
n
β
n
0
(s)
s2
n2 2 ns
n2
cos
0 1时：
s1,2 n jn 1 2
ξ不变时,ωn越大，调节时间ts越小 nts
ωn不变时,ξ越大，调节时间ts越大 0
0.707 1
整体而言 a点离虚轴越远越快！
ts=4.75T1,ξ=1 ts=3T1,ξ>1
T1=1/a
动态性能指标定义2(回顾)
h(t)
h(t)
% h(tp ) h() 100%
A 超调量σ% = hAB(1)00%
0.1 0.2 0.3
3.001 3.016 3.043
ts
31.5 n
，取5% e 1
n t
12
ts
4.5 n
，取2%
0.1 0.2 0.3
3.917 3.932 3.959
0.4 3.083
0.4 3.999
0.5 3.140 0.6 3.219
2 0.5
0.6
4.056 4.135
得： ζωn= 0.5 ωd = 1.9
β=tg-1
1-ζ2 ζ
=75o
3、过阻尼二阶系统动态性能分析
j
-b -a 0
(s)
s2
n2 2 ns
n2
s1,2 n n 2 1
e bt
e at
j
-b n -a 0
无零点的过阻尼二阶系统阶跃响应无振荡无超调
0.7 3.332
0.7 4.269
0.8 3.506
1h()e5%nt 0.8
4.423
1h(2 ) 2%
1 1 ent 12
ln 1 2
ts
n
ts
令h(t) 1
1 12
etnst 的sin计(算dt
cos 1 d
由σ% =
h(tp) －h(∞) 100% h(∞)
% e 12 100%
e 或 %
tg
100%
取5%
ln
1 2
h(t) 由包络线求调节时间ts
取2%
ln 1 2
0.05 2.997
0.05 3.913
欠阻尼系统单位阶跃响应曲线
c(t) ζ<1
1
0
t
4）ζ =0 无阻尼 S1.2 =±jω n
C(s)=
ω
2 n
(S2+ω n2)S
=
1 S
-
S
S2+ωn2
单位阶跃响应:
c(t) = 1-cosω nt
单位阶跃响应曲线
c(t) ζ=0
1大，系统的平稳 性越好不；同ζ值ζ值越时小系，统输的出单响位应阶振跃荡响越应强。
=
A1 S
+
A2 S-S1
+
A3 S-S2
拉氏反变换 c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和 超调，输出响应最终趋于稳态值1。
过阻尼系统单位阶跃响应曲线
c(t)
1
ζ >1
0
t
2）ζ =1 临界阻尼
S1.2 =-ω n 两个相等的负实数根
C(s)=
ω
2 n
(S+ω n)2 S
c(t) ζ=0
ζ<1
1
ζ=1
ζ>1
0
t
二阶系统
单位阶跃响应定性分析
1 1j
T2
T1
0
过阻尼
j 0
欠阻尼
jj 00 j
0
临界阻尼
j j0 0 j
零0 阻尼
例3-3 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统 的单位阶跃响应.
将解参：数可c代(知t)入==11公ω--2C1Rn式ζ1.ω(2(0-sesζ=:3n))2=e=4-S01n.t52St+si4niSm(+ω(41d.tζ9+ω=tβ+n0)7=.522o5)
=
1 S
-
1
S+ω n
-
ωn (S+ω n)2
输出响应: c(t) =1- e-ω nt(1+ω nt)
输出响应无振荡和超调。ζ=1时系 统的响应速度 比 ζ >1 时快。
临界阻尼系统单位阶跃响应曲线
c(t) ζ=1
1
0
t
3. 0< ζ <1 欠阻尼
jω
拉Cc(O系 单氏t令 则 单)Sc=统位ββ反==S(1=响：：位=t1参阶-)tζS1S1变ω.g=2=应阶1+--=111数跃d换-e-((-ζ：跃=--SS=ζ2ζ间响ee1S：ωω++--S1ω1-iζ-ζnζζnζ-ζω(ωt-1的 应nζωωSSβ2.[nnn2C2tts=++1±c=关:i1ζζnn([-noes))-ζωω-βω22ζs)1-系ζ21ζ++=2ωc=-ωω-nnζωωζon(n:d)(t22SstSSnζω-2±idd++—cζn2ζ22dω-o2ω(tζ-ω-ζjSSωω1sωω+阻12dω(ωnndnS)cωtdnde尼+2+oωζt-βnS+ζζ+ωβωs2nωnω两+ω振β)2ζnωtsdnns个ω荡ids0)in-ωn2n2inω2ω•n+复频ω)nω1dSSωd1d数t率-dt1ζ]tσd-2]根ζ22