电容式传感器
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电容式传感器
1、特点： 1）温度稳定性好
电容值与电极材料无关，仅取决于电极的几何尺寸，且空 气等介质的损耗很小。因此仅需从强度、温度系数等机械性考 虑，合理选择尺寸即可，本身发热极小，影响稳定性甚微。 2）结构简单，适用性强。
3)动态响应好。 （固有频率很高，动态响应时间很短外，又由于其介质损耗小， 可以用较高频率供电，因此系统工作频率高。 4)可以实现非接触式测量，具有平均效应。
d d0
d d0
2
d d0
3
C
C1
C2
C0
2
d d0
2
d d0
3
2
d d0
C
0
1
d d0
2
d d0
4
略去高次项，则
C
2
d d0
C0
传感器的灵敏度为 K C 2C0 d d0
其非线性误差为
( d )3
d 0 (d /d 0)2 100%
( d ) d0
灵敏度较单组变极距型提高了一倍，非线性大大减小。
②等有U关sc ，与任电何源这电些压参U数的、波固动定都电将容使C0及输电出容特式性传产感生器误的差ε，0因、此A 固定电容C0必须稳定，且需要高精度的交流稳压源。 ③由于电容传感器的电容小，容抗很高，故传感器与放大器之 间的联结，需要有屏蔽措施。 ④不适用于差动式电容传感器的测量。
五、电容式传感器的特点及设计要点
主要缺点：
输出阻抗高，负载能力差 寄生电容影响大
输出特性是非线性
2、设计要点
设计时可从以下几个方面考虑：
1)减小环境温度、湿度等变化所产生的误差，保证绝缘材料
的绝缘性能；
2)消除和减小边缘效应 边缘效应不仅使电容传感器灵敏度降低而且产生非线性，
电容值与电极材料无关，仅取决于电极的几何尺寸，且空 气等介质的损耗很小。因此仅需从强度、温度系数等机械性考 虑，合理选择尺寸即可，本身发热极小，影响稳定性甚微。 2）结构简单，适用性强。
3)动态响应好。 （固有频率很高，动态响应时间很短外，又由于其介质损耗小， 可以用较高频率供电，因此系统工作频率高。 4)可以实现非接触式测量，具有平均效应。
d d0
d d0
2
d d0
3
C
C1
C2
C0
2
d d0
2
d d0
3
2
d d0
C
0
1
d d0
2
d d0
4
略去高次项，则
C
2
d d0
C0
传感器的灵敏度为 K C 2C0 d d0
其非线性误差为
( d )3
d 0 (d /d 0)2 100%
( d ) d0
灵敏度较单组变极距型提高了一倍，非线性大大减小。
②等有U关sc ，与任电何源这电些压参U数的、波固动定都电将容使C0及输电出容特式性传产感生器误的差ε，0因、此A 固定电容C0必须稳定，且需要高精度的交流稳压源。 ③由于电容传感器的电容小，容抗很高，故传感器与放大器之 间的联结，需要有屏蔽措施。 ④不适用于差动式电容传感器的测量。
五、电容式传感器的特点及设计要点
主要缺点：
输出阻抗高，负载能力差 寄生电容影响大
输出特性是非线性
2、设计要点
设计时可从以下几个方面考虑：
1)减小环境温度、湿度等变化所产生的误差，保证绝缘材料
的绝缘性能；
2)消除和减小边缘效应 边缘效应不仅使电容传感器灵敏度降低而且产生非线性，
电容式传感器介绍
演讲人
电容式传感器介绍
电容式传感器原理
电容式传感器分类
电容式传感器发展趋势
电容式传感器应用实例
电容式传感器原理
电容式传感器定义
电容式传感器是一种通过检测电容变化来测量物理量的传感器。
电容式传感器主要由两个平行电极板组成，其中一个电极板固定，另一个电极板可以移动。
当被测物体靠近或远离固定电极板时，两个电极板之间的电容会发生变化，从而实现对被测物体的测量。
01
工业自动化：用于检测和控制生产过程中的各种参数
02
消费电子：应用于手机、电脑等电子产品的触摸屏和按键控制
03
汽车电子：用于汽车安全气囊、刹车系统等安全设备的控制
04
医疗设备：用于医疗设备的检测和控制，如心电图仪、血压计等
电容式传感器分类
变极距式电容传感器
工作原理：通过改变两个极板之间的距离来改变电容量
4
谢谢
01
变介质式电容传感器
01
原理：利用介质的介电常数变化来检测目标物
02
应用：广泛应用于液位、压力、流量等测量领域
03
特点：结构简单、灵敏度高、响应速度快
04
局限性：受介质特性影响较大，需要选择合适的介质材料
电容式传感器应用实例
触摸屏应用
1
智能手机：电容式触摸屏广泛应用于智能手机，实现多点触控操作。
02
集成化：电容式传感器将与其他传感器进行集成，实现多参数测量，提高测量效果。
微型化：电容式传感器将向微型化方向发展，便于安装和使用，降低成本。
04
节能、环保
低功耗设计：降低能耗，提高能源利用率
1
环保材料：使用环保材料，减少对环境的影响
电容式传感器介绍
电容式传感器原理
电容式传感器分类
电容式传感器发展趋势
电容式传感器应用实例
电容式传感器原理
电容式传感器定义
电容式传感器是一种通过检测电容变化来测量物理量的传感器。
电容式传感器主要由两个平行电极板组成，其中一个电极板固定，另一个电极板可以移动。
当被测物体靠近或远离固定电极板时，两个电极板之间的电容会发生变化，从而实现对被测物体的测量。
01
工业自动化：用于检测和控制生产过程中的各种参数
02
消费电子：应用于手机、电脑等电子产品的触摸屏和按键控制
03
汽车电子：用于汽车安全气囊、刹车系统等安全设备的控制
04
医疗设备：用于医疗设备的检测和控制，如心电图仪、血压计等
电容式传感器分类
变极距式电容传感器
工作原理：通过改变两个极板之间的距离来改变电容量
4
谢谢
01
变介质式电容传感器
01
原理：利用介质的介电常数变化来检测目标物
02
应用：广泛应用于液位、压力、流量等测量领域
03
特点：结构简单、灵敏度高、响应速度快
04
局限性：受介质特性影响较大，需要选择合适的介质材料
电容式传感器应用实例
触摸屏应用
1
智能手机：电容式触摸屏广泛应用于智能手机，实现多点触控操作。
02
集成化：电容式传感器将与其他传感器进行集成，实现多参数测量，提高测量效果。
微型化：电容式传感器将向微型化方向发展，便于安装和使用，降低成本。
04
节能、环保
低功耗设计：降低能耗，提高能源利用率
1
环保材料：使用环保材料，减少对环境的影响
电容式传感器
当电容式传感器的供电电源频率较高时，传感器的灵敏度由kg变 为ke，ke与传感器的固有电感（包括电缆电感）有关，且随ω变化 而变化。
0 r1 L0 b0
d0
当L=0时，传感器的初始电容 C 0
0 L0 b0
d0
当被测电介质进入极板间L深度后，引起电容相对变化量为
C C C 0 ( r 2 1) L 电容变化量与电介质移动量L呈线性关系 C0 C0 L0
4. 变极距型电容传感器
初始电容 C 0 若极距缩小△d
d ) C0 0 r s d C C 0 C 2 d d d d 1 1 d d C 0 (1
0 r s
d
非线性关系
若△d/d<<1时，则上式可简化为
d C C0 C0 d
最大位移应小于间距的1/10
差动式改善其非线性 差动式
1 1 Xc d C S
被测量与d 成线性关系 无需满足 d d
3.4 电容式传感器
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 电容式传感器的工作原理 电容式传感器主要性能 电容式传感器的特点和设计要点 电容式传感器等效电路 电容式传感器测量电路 电容式传感器的应用 容栅式传感器
由于电容传感器电容量一般都很小，电源频率即使采用几兆赫， 容抗仍很大，而R很小可以忽略，因此
1 1 1 LC 1 j L R j L jCe jC jC jC
2
Ce
C 1 2 LC
C C Ce Ce Ce 2 1 LC 1 2 L(C C ) C C C C C Ce Ce 2 2 1 L(C C ) 1 L(C C ) 1 2 LC
0 r1 L0 b0
d0
当L=0时，传感器的初始电容 C 0
0 L0 b0
d0
当被测电介质进入极板间L深度后，引起电容相对变化量为
C C C 0 ( r 2 1) L 电容变化量与电介质移动量L呈线性关系 C0 C0 L0
4. 变极距型电容传感器
初始电容 C 0 若极距缩小△d
d ) C0 0 r s d C C 0 C 2 d d d d 1 1 d d C 0 (1
0 r s
d
非线性关系
若△d/d<<1时，则上式可简化为
d C C0 C0 d
最大位移应小于间距的1/10
差动式改善其非线性 差动式
1 1 Xc d C S
被测量与d 成线性关系 无需满足 d d
3.4 电容式传感器
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 电容式传感器的工作原理 电容式传感器主要性能 电容式传感器的特点和设计要点 电容式传感器等效电路 电容式传感器测量电路 电容式传感器的应用 容栅式传感器
由于电容传感器电容量一般都很小，电源频率即使采用几兆赫， 容抗仍很大，而R很小可以忽略，因此
1 1 1 LC 1 j L R j L jCe jC jC jC
2
Ce
C 1 2 LC
C C Ce Ce Ce 2 1 LC 1 2 L(C C ) C C C C C Ce Ce 2 2 1 L(C C ) 1 L(C C ) 1 2 LC
电容式传感器
电容式传感器与电阻式、电感式传感器相比具有以下优点: ①测量范围大。 ②灵敏度高。 ③动态响应时间短。由于电容式传感器可动部分质量很小，
因此其固有频率很高，适用于动态信号的测量。 ④机械损失小。电容式传感器电极间相互吸引力十分微小，
又无摩擦存在，其自然热效应甚微，从而保证传感器具有较 高的精度。
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第三节 电气火灾消防知识
(3)接触不良引起过热如接头连接不牢或不紧密、动触点压 力过小等使接触电阻过大，在接触部位发生过热而引起火灾。
(4)通风散热不良大功率设备缺少通风散热设施或通风散热 设施损坏造成过热而引发火灾。
(5)电器使用不当如电炉、电熨斗、电烙铁等未按要求使用， 或用后忘记断开电源，引起过热而导致火灾。
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第一节 安全用电知识
正确使用绝缘操作用具，应注意以下两点:
(1)绝缘操作用具本身必须具备合格的绝缘性能和机械强度。
(2)只能在和其绝缘性能相适应的电气设备上使用。
2.绝缘防护用具
绝缘防护用具则对可能发生的有关电气伤害起到防护作用。 主要用于对泄漏电流、接触电压、跨步电压和其他接近电气 设备存在的危险等进行防护。常用的绝缘防护用具有绝缘手 套、绝缘靴、绝缘隔板、绝缘垫、绝缘站台等，如图7-3所示。 当绝缘防护用具的绝缘强度足以承受设备的运行电压时，才 可以用来直接接触运行的电气设备，一般不直接触及带电设 备。使用绝缘防护用具时，必须做到使用合格的绝缘用具， 并掌握正确的使用方法。
3.变介电常数式电容传感器 因为各种介质的相对介电常数不同，所以在电容器两极板间
插入不同介质时，电容器的电容量也就不同，利用这种原理 制作的电容传感器称为变介电常数式电容传感器，它们常用 来检测片状材料的厚度、性质，颗粒状物体的含水量以及测 量液体的液位等。
因此其固有频率很高，适用于动态信号的测量。 ④机械损失小。电容式传感器电极间相互吸引力十分微小，
又无摩擦存在，其自然热效应甚微，从而保证传感器具有较 高的精度。
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第三节 电气火灾消防知识
(3)接触不良引起过热如接头连接不牢或不紧密、动触点压 力过小等使接触电阻过大，在接触部位发生过热而引起火灾。
(4)通风散热不良大功率设备缺少通风散热设施或通风散热 设施损坏造成过热而引发火灾。
(5)电器使用不当如电炉、电熨斗、电烙铁等未按要求使用， 或用后忘记断开电源，引起过热而导致火灾。
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第一节 安全用电知识
正确使用绝缘操作用具，应注意以下两点:
(1)绝缘操作用具本身必须具备合格的绝缘性能和机械强度。
(2)只能在和其绝缘性能相适应的电气设备上使用。
2.绝缘防护用具
绝缘防护用具则对可能发生的有关电气伤害起到防护作用。 主要用于对泄漏电流、接触电压、跨步电压和其他接近电气 设备存在的危险等进行防护。常用的绝缘防护用具有绝缘手 套、绝缘靴、绝缘隔板、绝缘垫、绝缘站台等，如图7-3所示。 当绝缘防护用具的绝缘强度足以承受设备的运行电压时，才 可以用来直接接触运行的电气设备，一般不直接触及带电设 备。使用绝缘防护用具时，必须做到使用合格的绝缘用具， 并掌握正确的使用方法。
3.变介电常数式电容传感器 因为各种介质的相对介电常数不同，所以在电容器两极板间
插入不同介质时，电容器的电容量也就不同，利用这种原理 制作的电容传感器称为变介电常数式电容传感器，它们常用 来检测片状材料的厚度、性质，颗粒状物体的含水量以及测 量液体的液位等。
电容式传感器
C
电容量发生变化。
ΔC
o
传感器的输出特性 不是线性关系，而是如图所示的双曲线Δ关系。
(a)
(b)
工程上常采用以下两种近似处理方法： C
① 近似线性处理
② 近似非线性处理
ΔC
o
Δ
分析表明，提高传感器的灵
敏度和减小非线性误差是相互矛
1
盾的。在实际应用中，为了解决
这一矛盾，常采用如图所示的差
2
动结构。
12
3
1－被测带材； 2－轧辊； 3－电容极板
传感器与测试技术
1－电镀层（定极板）；
5
1
2－膜片（动极板）；
3－焊接密封圈；
p1
p2
4－隔离膜；5－硅油
4
2
3
2．电容式加速度传感器
加速度传感器均采用弹簧－质量－阻尼系统将被测加速度变换成力或 位移量，然后再通过传感器转换成相应的电参量。下图所示为电容式加速 度传感器的结构示意图。电容式加速度传感器的频率响应快、量程范围大， 阻尼物质采用空气或其他气体。
如图所示。
l
l
ax
x x
hx h
(a)
（a）测量介质厚度
(b)
（b）测量介质位置
d DБайду номын сангаас
(c)
（c）测量介质液位
1.2 电容式传感器的应用
1．电容式压差传感器
下图所示为电容式压差传感器的结构示意图，由一个金属膜片动极板和 两个在凹形玻璃圆盘上电镀成的定极板组成。电容式压差传感器的分辨率很 高，不仅用来测量压差，也可用来测量真空或微小绝对压力（0~0.75 Pa）， 响应速度为100 ms。
传感器与测试技术
电容量发生变化。
ΔC
o
传感器的输出特性 不是线性关系，而是如图所示的双曲线Δ关系。
(a)
(b)
工程上常采用以下两种近似处理方法： C
① 近似线性处理
② 近似非线性处理
ΔC
o
Δ
分析表明，提高传感器的灵
敏度和减小非线性误差是相互矛
1
盾的。在实际应用中，为了解决
这一矛盾，常采用如图所示的差
2
动结构。
12
3
1－被测带材； 2－轧辊； 3－电容极板
传感器与测试技术
1－电镀层（定极板）；
5
1
2－膜片（动极板）；
3－焊接密封圈；
p1
p2
4－隔离膜；5－硅油
4
2
3
2．电容式加速度传感器
加速度传感器均采用弹簧－质量－阻尼系统将被测加速度变换成力或 位移量，然后再通过传感器转换成相应的电参量。下图所示为电容式加速 度传感器的结构示意图。电容式加速度传感器的频率响应快、量程范围大， 阻尼物质采用空气或其他气体。
如图所示。
l
l
ax
x x
hx h
(a)
（a）测量介质厚度
(b)
（b）测量介质位置
d DБайду номын сангаас
(c)
（c）测量介质液位
1.2 电容式传感器的应用
1．电容式压差传感器
下图所示为电容式压差传感器的结构示意图，由一个金属膜片动极板和 两个在凹形玻璃圆盘上电镀成的定极板组成。电容式压差传感器的分辨率很 高，不仅用来测量压差，也可用来测量真空或微小绝对压力（0~0.75 Pa）， 响应速度为100 ms。
传感器与测试技术
电容式传感器
传感器技术及应用
电容式传感器
电容式传感器是把被测量的变化转换为电容量 变化的一类传感器。实质上是一个具有可变参数 的电容器。最常用的是平行板电容传感器和圆柱 形电容传感器。
可用来测量压力、力、位移、振动、液位、 成份含量等。
1.1 平行板电容式传感器工作原理
设两极板相互覆盖的有效面积为S（m2），两极板间 的距离为d0（m），极板间介质的介电常数为ε（F/m）。若 忽略板极边缘的影响，平板电容器的电容量C（F）为:
式中：f0为等效电路谐振频率，
f0
2
1 LC
一般当f≤10MHz时，还可忽略L的影响，并且 实际使用时，只要使用条件能保证与传感器标定时 的接线条件，L可不考虑。
ZC
(RS
RP
)
1 2 RP2C 2
j( RP2C 1 2 RP2C 2
L)
由于传感器的并联电阻Rp很大，串联电阻RS很
小，忽略这两项，则等效阻抗ZC为：
ZC 1 jL jC
因此，电容传感器的等效电容Ce可由下式求得：
1 1 jL jCe jC
Ce
C
1 2LC
1
（
C f
f0 ）2
2.变介质圆柱形电容式传感器（变介电常数型）
当被测液体的液面在 同心圆柱形电极间发生变 化时，将导致电容的变化。
此时，相当于两个同 轴圆柱形电容C0、C1并联：
C
C0
C1
20 (h
ln R2
x)
21x
ln R2
2 0 h
ln R2
2
(1
ln
0
R2
)x
R1
R1
R1
R1
电容式液位计属于该类。输出电容与液面高度呈线性关系。
电容式传感器
电容式传感器是把被测量的变化转换为电容量 变化的一类传感器。实质上是一个具有可变参数 的电容器。最常用的是平行板电容传感器和圆柱 形电容传感器。
可用来测量压力、力、位移、振动、液位、 成份含量等。
1.1 平行板电容式传感器工作原理
设两极板相互覆盖的有效面积为S（m2），两极板间 的距离为d0（m），极板间介质的介电常数为ε（F/m）。若 忽略板极边缘的影响，平板电容器的电容量C（F）为:
式中：f0为等效电路谐振频率，
f0
2
1 LC
一般当f≤10MHz时，还可忽略L的影响，并且 实际使用时，只要使用条件能保证与传感器标定时 的接线条件，L可不考虑。
ZC
(RS
RP
)
1 2 RP2C 2
j( RP2C 1 2 RP2C 2
L)
由于传感器的并联电阻Rp很大，串联电阻RS很
小，忽略这两项，则等效阻抗ZC为：
ZC 1 jL jC
因此，电容传感器的等效电容Ce可由下式求得：
1 1 jL jCe jC
Ce
C
1 2LC
1
（
C f
f0 ）2
2.变介质圆柱形电容式传感器（变介电常数型）
当被测液体的液面在 同心圆柱形电极间发生变 化时，将导致电容的变化。
此时，相当于两个同 轴圆柱形电容C0、C1并联：
C
C0
C1
20 (h
ln R2
x)
21x
ln R2
2 0 h
ln R2
2
(1
ln
0
R2
)x
R1
R1
R1
R1
电容式液位计属于该类。输出电容与液面高度呈线性关系。
第三章 电容式传感器
C d 2 C0 d0 非线性误差为： d 3 2 d0 d r 100% 100% d d0 d0
减小
C C0 A 2 2 2 灵敏度： S d d0 d0
提高一倍
18
差动式比单极式灵敏度提高一倍，且非线性误差大为减 小。由于结构上的对称性，它还能有效地补偿温度变化所 造成的误差。
弹性体
绝缘材料 定极板
极板支架
动极板
36
在弹性钢体上高度相同处打一排孔，在孔内形成一排平行 的平板电容，当称重时，钢体上端面受力，圆孔变形，每
个孔中的电容极板间隙变小，其电容相应增大。由于在电
路上各电容是并联的， 因而输出反映的结果 是平均作用力的变化， 测量误差大大减小 F
（误差平均效应）
电容式称重传感器
T1 T2 UA U 1 ，U B U1 T1 T2 T1 T2
UA、UB—A点和B点的矩形脉冲的直流分量； T1、T2 —C1和C2充电至Ur的所需时间； U1—触发器输出的高电位。
29
C1、C2的充电时间T1、T2为：
U1 T1 R1C1 ln U1 U r U1 T2 R2C2 ln U1 U r
0 A
dg
g
d0
云母片的相对介电常数是空气的7倍，其击穿电压不小于 1000 kV/mm，而空气的仅为3kV/mm。 有了云母片，极板间起始距离可大大减小,同时传感器的输 出特性的线性度得到改善。
12
13
14பைடு நூலகம்
差动电容式传感器
定极板 动极板 C1 d1 C2 d2 定极板
15
初始位置时，
3
电容式传感器可分为变极距型、变面积型和变介质型三 种类型。
电容式传感器
2.5 运算放大器电路
由前述已知，极距变化型电容传感器的极距变化 与电容变化量成非线性关系，这一缺点使电容传 感器的应用受到一定限制。为此采用比例运算放 大器电路可以得到输出电压u g 与位移量的线性关系。
C0 ug =-u 0 0 A
输出电压ug与电容传感器间隙 成线性关系。这种电路用于位移测量传感器。
4.温度影响
环境温度的变化将改变电容传感器的输出相对被测输入量的单值函数关系， 从而引入温度干扰误差。温度影响主要包括温度对结构尺寸和对介质的影响两 方面。
24
四、电容式传感器的研究现状
1.PT800型压力变送器
PT系列产品中的标准型号，内置陶瓷电容式传感器。可以自由选 配模拟、数字现场显示表头。有多种过程连接件，可以现场调零 点、满量程。广泛用于自动化工业中对液体、气体和蒸汽的测量。
27
9
1.2.2 角位移型
当动板转动一角度时，与定板之间的覆盖面积就发生 变化，导致电容量随之改变。
覆盖面积
A
r2
2
其中， 为覆盖面积对应的中心角，r为极板半径。
r 2 所以，电容量为 C 2
C r 2 灵敏度S 常数 2
由上式可知，角位移型电容传感器的输出C与输入也为线性关系。
电容式传感器
目录
一、电容式传感器的工作原理及分类
二、电容式传感器的测量电路
三、电容式传感器在应用中的注意事项
四、电容式传感器的研究现状
2
一、电容式传感器的工作原理及分类
由物理学可知，两块平行金属板构成的电容器，其电容量C为
0 A C
3
当被测参数（如位移、压力等）使公式中的、A、 变化时，都将引起 电容器电容量C的变化，从而达到从被测参数到电容的变换。
电容式传感器
图5-5 电容式传感器等效电路
L 为引线电感和电容电感之和，是电容式传感器的标定电感。 Rs 包括引线电阻、极
板电阻和金属支架电阻。 Rp 为并联损耗电阻，它代表了极板间的泄漏电阻及介质损耗。
电容式传感器的有效电容 Ce 可以近似表示为
C Ce 1 2LC
式中， 2πf 为电源的角频率（f 为电源频率）。
3．减小外界温度的影响
（1）对结构尺寸的影响。电容式传感器极板间距 很小，因此对结构尺寸的变化非常敏感。 （2）对介质介电常数的影响。温度对介电常数的 影响由于介质不同而不同，空气及云母片的介电常 数温度系数近似为零；而某些液体介质，如硅油、 蓖麻油、煤油等，其介电常数的温度系数较大。
1.5 应用实践——简易液位指示及报警系统设计
图5-12 简易液位指示及报警系统
传感器原理与应用
1.5 应用实践——简易液位指示及报警系统设计
3．实践过程 系统采用柱状电容式传感器采集液体的液位。该传感器的介电质随被测液体液位的 变化而变化，从而引起对应电容的变化。由于电容式传感器的电压变化微弱且存在非线 性，所以要通过放大整形电路进行放大和整形。 放大整形后的信号通过A/D转换电路后送至单片机。单片机对信号处理后送至显示 电路，用于显示液位的高度，当液位达到报警极限时，单片机向报警电路发出报警信号。
1．实践目的
（1）了解电容式传感器的工作原理。 （2）能根据系统需求选择合适的电容式传感器。
2．应用描述
液位监测和控制在生产、生活中应用非常广泛， 如自动注水系统、恒压供水系统、水文监测系统和油 位检测系统等。简易液位指示及报警系统通常采用柱 状电容式传感器作为测量器件，结合单片机及其他外 围电路设计而成。
（5-10）
第3章 电容式传感器
ε r1 ( L0 − L) + ε r 2 L
d0
当L=0时，传感器的初始电容
C0 =
ε 0 ε r1 L0 b0
d0
=
ε 0 L0 b0
d0
当被测电介质进入极板间L深度后，引起电容相对变化量为
∆C C − C 0 (ε r 2 − 1) L 电容变化量与电介质移动量L呈线性关系 = = C0 C0 L0
∆d 3 相对非线性误差为： = ( δ ) d0
∆d 2 ∆d ( ) = ( ) × 100% d0 d0
结论：差动式电容传感器，不仅使灵敏度提高一倍， 结论 而且非线性误差可以减小一个数量级。
3.2 电容式传感器的测量电路
一、等效电路 如图，C为传感器电容，RP 为并联电阻，它包括电极间 直流电阻和气隙中介质损耗 的等效电阻。串联电感L表 示传感器各连线端间的总电 感。串联电阻RS表示引线电 阻、金属接线柱电阻及电容 极板电阻之和。
C max − C min 87.07 pF − 41.46 pF = = 0.19 pF / L K= V 235.6 L
三、变极板间距（d）型
图中极板1固定不动，极板2为可动电极(动片)，当动片随被测量 变化而移动时，使两极板间距变化，从而使电容量产生变化 。 设动片2未动时极板间距为d0，板间 介质为空气，初始电容为C0，则
d0 d1 ε0 ε1
变ε的电容传感器 ε
ε 0S ε 1S ⋅ 3 . 6π d 0 3 . 6π d 1 C 0 C1 S = C= = ε 0S d1 d 0 ε 1S C 0 + C1 3 . 6π ( + ) + 3 . 6π d 0 3 .6π d 1 ε1 ε 0
电容式传感器资料课件
软件校准
通过修改传感器的软件算 法，如补偿算法、滤波算 法等，来提高传感器的测 量精度。
综合校准
结合硬件和软件两种方式 ，对传感器进行全面校准 。
电容式传感器的标定实验及数据处理
实验设计
根据传感器的工作原理和实际应用场景，设 计标定实验方案。
数据采集
在实验过程中，采集传感器在不同条件下的 输出数据。
电容式传感器在温度测量中的应用
总结词
高精度、快速响应、稳定性好
详细描述
电容式传感器可将温度变化转化为电容量的变化，从而实现 对温度的精确测量。具有高精度、快速响应、稳定性好等优 点，适用于各种需要温度测量的场合，如环境监测、医疗设 备、工业生产等。
05
电容式传感器的校准与标 定
电容式传感器的误差来源及影响分析
展望电容式传感器的未来发展方向
高性能化 随着科技的不断进步，电容式传 感器的性能将不断提高，测量精 度和灵敏度将得到进一步提升。
微型化 随着微纳制造技术的发展，未来 的电容式传感器将更加微型化， 能够应用于更小的空间和更复杂 的场景。
智能化 未来的电容式传感器将更加智能 化，具备自校准、自补偿、自诊 断等功能，能够更好地适应复杂 环境下的测量需求。
电容式传感器所面临的挑战与对策
温度影响
电容式传感器的电容值会随温度变化而变化，给测量带来误差。为了减小温度影响，需要 采用温度补偿技术、选用具有良好温度特性的材料以及优化传感器结构设计等措施。
交叉灵敏
交叉灵敏是指电容式传感器对不同方向的干扰敏感，导致测量误差。为了减小交叉灵敏影 响，需要优化传感器结构设计、选用具有良好方向特性的材料以及采用信号处理技术等措 施。
电极材料
根据应用场景和敏感材料 选择电极材料，如金、银 、不锈钢等。
电容式传感器
电容式传感器电容式传感器是以各种类型的电容器作为传感元件，将被测物理量或机械量转换成为电容量变化的一种转换装置，实际上就是一个具有可变参数的电容器。
电容式传感器广泛用于位移、角度、振动、速度、压力、成分分析、介质特性等方面的测量。
最常用的是平行板型电容器或圆筒型电容器。
[1]中文名；电容式传感器；外文名capacitive type transducer电容计算公式：εS/d应用：测量简介70年代末以来，随着集成电路技术的发展,出现了与微型测量仪表封装在一起的电容式传感器。
这种新型的传感器能使分布电容的影响大为减小，使其固有的缺点得到克服。
电容式传感器是一种用途极广，很有发展潜力的传感器。
典型的电容式传感器由上下电极、绝缘体和衬底构成。
当薄膜受压力作用时，薄膜会发生一定的变形，因此，上下电极之间的距离发生一定的变化，从而使电容发生变化。
但电容式压力传感器的电容与上下电极之间的距离的关系是非线性关系，因此，要用具有补偿功能的测量电路对输出电容进行非线性补偿。
原理电容式传感器也常常被人们称为电容式物位计，电容式物位计的电容检测元件是根据圆筒形电容器原理进行工作的，电容器由两个绝缘的同轴圆柱极板内电极和外电极组成，在两筒之间充以介电常数为ε的电解质时，两圆筒间的电容量为式中L为两筒相互重合部分的长度；D为外筒电极的直径；d为内筒电极的直径；e为中间介质的电介常数。
在实际测量中D、d、e是基本不变的，故测得C即可知道液位的高低，这也是电容式传感器具有使用方便，结构简单和灵敏度高，价格便宜等特点的原因之一。
电容式传感器是以各种类型的电容器作为传感元件，由于被测量变化将导致电容器电容量变化，通过测量电路，可把电容量的变化转换为电信号输出。
测知电信号的大小，可判断被测量的大小。
这就是电容式传感器的基本工作原理。
[2]分类根据传感器的工作原理可把电容式传感器分为变极距型、变面积型和变介质型三种类型。
根据传感器的结构可把电容式传感器分为三种类型的结构形式。
第4.2章 电容式传感器
检测出这种电容量的变化就可测定物料在罐内的高度。 传感器的静 电电容可由下式表示： k ( s 0 )h
C
式中： k ——比例常数； s ——被测物料的相对介电常数； 0——空气的相对介电常数； D——储罐的内径； d ——测定电极的直径； h ——被测物料的高度。
D ln d
传感器测量电路包括自激多谐振荡器、脉宽调制电路、频率/电压 转换器电路F/V和A/D转换器。如下图所示。
电容式传感器的应用
2 差动式电容测厚传感器
3 电容式料位传感器
下图是电容式料位传感器结构示意图。测定电极安装在罐 的顶部，这样在罐壁和测定电极之间就形成了一个电容 器。
图 电容式料位传感器结构示意图
电容式传感器
原理：被测非电量转换为电容量的变化
A
δ
介电常数ε 电容式传感器结构图
A C
种类：变极距δ、变面积A、变介质 ε
δ 、A或ε发生变化时，都会引起电容的变化。
变间隙式电容传感器 变间隙式电容传感器
2 3 C0 S C0 C C0 1 0 1 0 0 0
2 d d d [1 ( ) 2 ( ) 4 ...] d0 d0 d0
电容值相对变化量为： C
略去高次项，则：
C0
C d 2 C0 d0
电容传感器做成差动式之后，灵敏度提高一倍，而 且非线性误差大大降低了。
变面积式电容传感器
输入输出特性：
C A 0
平板式
电容变化与电介质的移动量L成 线性关系
8
r ( L0 L) r L c c1 c2 0b0 d0 0 ( r 2 r1 ) Lb0 C0 d0
第四章-电容式传感器
第四章 电容式传感器
电容式传感器是将被测量（如尺寸、压力等）的变化转换 成电容变化量的一种传感器。实际上，它本身（或和被测物） 就是一个可变电容器。
电容式传感器具有结构简单，动态响应快、易实现非接触 测量等优点。也存在易受干扰、分布电容等影响。
它广泛应用于压力、位移、加速度、液位及成分含量等的 测量。
6、 脉冲宽度调制电路
脉冲宽度调制电路如图所示。 图中C1、C2为差动式电 容传感器, 电阻R1=R2, A1、A2为比较器。当双稳态触发器处 于某一状态, Q=1, Q =0, A点高电位通过R1对C1充电, 时间常 数为τ1 = R1 C1, 直至F点电位高于参比电位Ur, 比较器A1输出
正跳变信号。与此同时, 因 Q= 0, 电容器C2上已充电流通过
在实际应用中，为了提高灵敏度，减小非线性误差，大都采 用差动式结构。下图是变极距型差动平板电容传感器结构示意图。
在差动式平板电容器中, 当动极板位移Δd时, 电容器C1的间隙d1变
为d0－Δd, 电容器C2的间隙d2变为d0+Δd, 则
0
d1
C1
0
d2
C2
S
差动平板式电容传感器结构图
c1
c0 1
S——两平行板所覆盖的面积;
d——两平行板之间的距离。
真空
4.2 结构类型
改变电容C的方法有三种，其一为改变介质的介电常数 ε；其二为改变形成电容的有效面积；其三为改变两个极板 间的距离,而得到电参数的输出为电容值的增量ΔC，这就成 了电容式传感器。
因此电容式传感器可分为变极距型、 变面积型和变介电常数 型三种。
下图是二极管双T形交流电桥电路原理图。e是高频电源， 它提供了幅值为U的对称方波，VD1、VD2为特性完全相同的两只 二极管，固定电阻R1=R2=R，C1、C2为传感器的两个差动电容。
电容式传感器是将被测量（如尺寸、压力等）的变化转换 成电容变化量的一种传感器。实际上，它本身（或和被测物） 就是一个可变电容器。
电容式传感器具有结构简单，动态响应快、易实现非接触 测量等优点。也存在易受干扰、分布电容等影响。
它广泛应用于压力、位移、加速度、液位及成分含量等的 测量。
6、 脉冲宽度调制电路
脉冲宽度调制电路如图所示。 图中C1、C2为差动式电 容传感器, 电阻R1=R2, A1、A2为比较器。当双稳态触发器处 于某一状态, Q=1, Q =0, A点高电位通过R1对C1充电, 时间常 数为τ1 = R1 C1, 直至F点电位高于参比电位Ur, 比较器A1输出
正跳变信号。与此同时, 因 Q= 0, 电容器C2上已充电流通过
在实际应用中，为了提高灵敏度，减小非线性误差，大都采 用差动式结构。下图是变极距型差动平板电容传感器结构示意图。
在差动式平板电容器中, 当动极板位移Δd时, 电容器C1的间隙d1变
为d0－Δd, 电容器C2的间隙d2变为d0+Δd, 则
0
d1
C1
0
d2
C2
S
差动平板式电容传感器结构图
c1
c0 1
S——两平行板所覆盖的面积;
d——两平行板之间的距离。
真空
4.2 结构类型
改变电容C的方法有三种，其一为改变介质的介电常数 ε；其二为改变形成电容的有效面积；其三为改变两个极板 间的距离,而得到电参数的输出为电容值的增量ΔC，这就成 了电容式传感器。
因此电容式传感器可分为变极距型、 变面积型和变介电常数 型三种。
下图是二极管双T形交流电桥电路原理图。e是高频电源， 它提供了幅值为U的对称方波，VD1、VD2为特性完全相同的两只 二极管，固定电阻R1=R2=R，C1、C2为传感器的两个差动电容。
电容式传感器
器 -解决方法：采用耐高压的材料作介质（如云母、 塑料膜等）。
▪适合于微位移的测量。
进一步分析： 22
电
C
C C0
s 0
s 0
非线性分析：
容
s 0 0
C0
1
/
/
0
0
式 传
C C
0
0
1
1
0
感 器
C C0
0
1
0
0
2
若： 1 0
略去2次方以上高次项：
( ) 2 2
0
0
式 传 感
1 2
m
最大绝对误差：
ym
1 4
m
2 0
2
器
最大相对误差为：
2
ef
ym C C F.S
100%
1 4
m 0
m 0
1
m 0
1 4
m 0
100%
26
电
非线性误差：
ef
1 4
m 0
100%
灵敏度：
容
式 k (C C0 ) F .S . 1 (1 m )
式
➢ 容抗大：几十兆欧～几百兆欧
➢ 视在功率小：mW级
传
➢ 信号弱，一般情况需放大
感
➢ 易受环境电磁场和寄生电容的干扰
器
➢ 当工作频率很高时，容抗将减小，视在 功率增大。
38
四、静电吸力
电
容 原理：克服电场力所做的功与电场能量W的增加
相等。 式
传
F d dW
F dW
d
感
对平板电容器的分析计算：
电
被测物理量 , S, C
电容式传感器
A
A
1 A A 1 C0 C2 d 0 d d 0 1 d 1 d d0 d0
d 若位移量d 很小，且 1 ，上两式可按级数 d0 展开，得:
d d 2 d 3 C1 C0 [1 ( ) ( ) ...] d0 d0 d0
电容式传感器中电容值以及电容变化值都十分微 小，这样微小的电容量还不能直接为目前的显示 仪表所显示，也很难为记录仪所接受，不便于传 输。
这就必须借助于测量电路检出这一微小电容增量， 并将其转换成与其成单值函数关系的电压、电流 或者频率。 电容转换电路有调频电路、运算放大器式电路、 二极管双T型交流电桥、脉冲宽度调制电路等。
RS 代表串联损耗，即引线电阻，电容器支架和极板
的电阻。
电感 L 由电容器本身的电感和外部引线电感组成。 由等效电路可知，等效电路有一个谐振领率，通常 为几十兆赫，当工作频率等于或接近谐振频率时， 谐振频率破坏了电容的正常作用。因此，应该选择 低于谐振频率的工作频率，否则电容传感器不能正 常工作。
§4.4电容传感器的测量电路
结构形式二
电容传感器分类比较
§2电容式传感器的输出特性
差动电容传感器的结构如图3—4所示( )其输出特性 曲线如图 3—5 所示。在零点位置上设置一个可动的接 地中心电极，它离两块极板的距离均为d。当中心电极 在机械位移的作用下发生位移 d 时，则传感器电容 量分别为
1 1 C0 C1 d 0 d d 0 1 d 1 d d0 d0
具有以下特点：
一、 体积小，精度高，重量轻。能在极小的空间里实现多
种功能；
二、 性能稳定，可靠性高。由于MEMS器件的体积极小，
第4章电容式传感器
4.1 电
传感器 工
结构
由绝缘介质分开的两个平行金属板组成的平 板电容器,如果不考虑边缘效应,其电容量为: 板电容器,如果不考虑边缘效应,其电容量为:
式中: 式中: d ——电容极板间介质的介电常数 ε 电容极板间介质的介电常数, 其中ε ε——电容极板间介质的介电常数, = ε 0 ε r,其中ε0 为真空介电常数, 为极板间介质相对介电常数; 为真空介电常数,εr为极板间介质相对介电常数; ——两平行板所覆盖的面积 两平行板所覆盖的面积; A——两平行板所覆盖的面积; ——两平行板之间的距离 两平行板之间的距离. d——两平行板之间的距离.
4.1电
传感器 工
结构
为防止击穿或短路, 为防止击穿或短路,极板间可采用高介电常数 的材料(云母,塑料膜等)作介质. 的材料(云母,塑料膜等)作介质.云母片的 相对介电常数是空气的7 相对介电常数是空气的7倍,其击穿电压不小于 kV/mm,而空气的仅为3kV/mm 3kV/mm. 1000 kV/mm,而空气的仅为3kV/mm.因此有 了云母片,极板间起始距离可大大减小. 了云母片,极板间起始距离可大大减小.同时 传感器的输出特性的线性度得到改善. 传感器的输出特性的线性度得到改善. 一般变极距型电容式传感器的起始电容在20 变极距型电容式传感器的起始电容在20～ 一般变极距型电容式传感器的起始电容在20～ pF之间 极板间距离在25 200μm的范围内 之间, 25～ 的范围内, 30 pF之间,极板间距离在25～200μm的范围内, 最大位移应小于间距的1/10 1/10, 最大位移应小于间距的1/10,故在微位移测量 中应用最广. 中应用最广.
式中: 式中: ——空气介电常数 空气介电常数; ε ——空气介电常数; ——由变换器的基本尺寸决定的初始电容值 由变换器的基本尺寸决定的初始电容值, C0 ——由变换器的基本尺寸决定的初始电容值,即: 2πε H
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C0
d0
d0
d0
d0
d0
差动电容式传感器的相对非线性误差为：
r
（
C C0
）实际
（
C C0
（
C C0
）线性
）线性
C 2 d
C0
d0
2 d d0
( d )2 ( d )4 ... ( d )2
d0
d0
d0
灵敏度
若略去高次项，则 C与 d
C0
d0
C 2 d
C0
d0
则灵敏度为
近似呈线性关系
C 2 d
d
A(1 d )
C1
A
d0 d
A
d0
(1
d d0
)
d0 (1
d0
d 2 d02
)
（3—3）
当 d
d 2
d0 时，
1
C1
d02
1
A(1 d0
，则式（3—3）可以简化为：
d
d0
)
C0
C0
d d0
（3—4）
C
C1
C2
0
d
d1
d2
图3-2 电容量与极板距离的关系
由图3—2可以看出，当 d0 较小时，对于同样的
§1 电容传感器的工作原理和结构 一、基本工作原理 ：
电容式传感器是一个具有可变参数的电容器。 多数场合下，电容是由两个金属平行板组成并且以 空气为介质，如图3—1所示。
d
平行板电容器的电容量为： C A
d
（3-1）
式中 ——电容极板问介质的介电常数
A——两平行板所覆盖的面积；
d——两平行板之间的距离；
一、电容式气体压力传感器：
二、电容式加速度传惑器：
1一固定电极，2一绝缘垫；3一质量块；4一弹簧； 5一输出端：6一壳体
三、荷重传感器
四、液位传感器：
五、电容式振动传感器
六、由差动式电容测厚传感器构建检测厚仪 ：
电容式测厚仪的关键部件之一就是电容测厚传感 器。在板材轧制过程中由它监测金属板材的厚度变 化情况，该厚度量的变化现阶段常采用独立双电容 测厚传感器来检测。它能克服两电容并联或串联式 传感器的缺点。应用独立双电容传感器，通过对被 测板材在同一位置、同一时刻实时取样能使其测量 精度大大提高。独立双电容测厚传感器一般分为运 算型电容传感器和频率变换型电容传感器两种。前 者对0．5—1.0mm厚度的簿钢板进行测量，其测量误 差小于20 ；后m者其测量误差小于0.3m 。
由于上述多种优点，MEMS器件及产品在科技发展和经济 生活中的意义日益突出，受到世界各国和组织的高高重视，美 国、德国、欧盟、日本和中国等纷纷制定MEMS发展计划，政府 部门、企业、科研机械等的积极参与，使MEMS的发展速度日益 增快，各种材料、工艺、工具等被应用到MEMS器件及产品的生 产中，从而推动了MEMS在医疗、汽车、国防、航空航天等领域 得到广泛应用。
§3电容式传感器的等效电路
电容式传感器的等效电路可以用图3—6所示电路表示：
RS
L
C
RP
图中考虑了电容器的损耗和电感效应，RP为并联损
耗电阻，它代表极板间的泄漏电阻和介质损耗。这 些损耗在低频时影响较大，随着工作频率增高，容 抗减小，其影响就减弱。
RS代表串联损耗，即引线电阻，电容器支架和极板
的电阻。
这就必须借助于测量电路检出这一微小电容增量， 并将其转换成与其成单值函数关系的电压、电流 或者频率。
电容转换电路有调频电路、运算放大器式电路、 二极管双T型交流电桥、脉冲宽度调制电路等。
一、调频测量电路：
调频测量电路把电容式传感器作为振荡器谐振回路 的一部分。如下图所示：
f
Cx L
u
f
振荡器
限幅放大器
C
C1
C2
C0[2
d d0
2( d )3 ...] d0
电容量的相对变化为 :
C [2 d 2(d )3 ...] 2 d [1 ( d )2 ( d )4 ...]
C0
d0
d0
d0
d0
d0
图3—5 差动电容传感器输出特性曲线
非线性误差：
C [2 d 2(d )3 ...] 2 d [1 ( d )2 ( d )4 ...]
电感L由电容器本身的电感和外部引线电感组成。 由等效电路可知，等效电路有一个谐振领率，通常 为几十兆赫，当工作频率等于或接近谐振频率时， 谐振频率破坏了电容的正常作用。因此，应该选择 低于谐振频率的工作频率，否则电容传感器不能正 常工作。
§4.4电容传感器的测量电路
电容式传感器中电容值以及电容变化值都十分微 小，这样微小的电容量还不能直接为目前的显示 仪表所显示，也很难为记录仪所接受，不便于传 输。
每课一新
新型传感器技术面临战略机遇期
中国科学院院士、大连理工大学教授王立鼎在日 前举行的“2004中国传感器产业发展论坛暨东北 MEMS(Micro-Electro-Mechanic-System)研发联合体 研讨会”上指出，未来10至20年将是我国新型传感器 技术得到全面、协调、持续发展的战略机遇期.
三、电容式位移传感器的结构形式：
电容式位移传感器的基本结构形式，按照将机 械位移转变为电容变化的基本原理，通常把它们分 为面积变化型、极距变化型和介质变化型三类。这 三种类型又可按位移的形式分为线位移和角位移两 种。每一种又依据传感器的形状分成平板型和圆筒 型两种。电容式传感器也还有其他的形状，但一般 很少见 。
结构形式二
电容传感器分类比较
§2电容式传感器的输出特性
差动电容传感器的结构如图3—4所示( )其输出特性
曲线如图3—5所示。在零点位置上设置一个可动的接
地中心电极，它离两块极板的距离均为d。当中心电极
在机械位移的作用下发生位移 d 时，则传感器电容
量分别为
C1
A
d0 d
A
1
d0
1
d d0
d变化所引起的电容变化量 C可以增大，从而使传感 器的灵敏度提高；
在实际应用中，为了提高传感器的灵敏度和克服某 些外界因素(例如电源电压、环境温度、分布电容等) 对测量的影响，常常把传感器做成差动的形式，其原 理如图3—4所示。
C1 d1 C2 d2
定极板 动极板
定极板
图3—4 差动电容传感器原理
由于实际使用的运算放大器的放大倍数K和输入
阻抗 Zi总是一个有限值，所以，该测量电路仍然存 在是一相当定小的的非，线可性以误使差测；量当误K，差Z在i 足要够求大范时围，之这内种，误因差
此，这种电路仍不失其优点。
当然除了这些测量电路外还有交流不平衡电桥、
二极管环形检波电路、这些电路由于时间原因 不一一讲授，请大家参考相关参考书目。
具有以下特点：
一、 体积小，精度高，重量轻。能在极小的空间里实现多
种功能；
二、 性能稳定，可靠性高。由于MEMS器件的体积极小，
有些几乎不受热膨胀、噪声和挠曲等因素的影响，具有较高的抗 干扰性，可在较差的情况下稳定工作。
三、能耗低，灵敏性和工作效率高。完成相同的工作，
微机电系统所消耗的能量仅为传统机械的十分之一或几十分之一， 而运作速度却可达其10倍以上，如微型泵的体积可以做到 5mm×5mm×0.7mm，远小于小型泵，但其流速却可以达到小型泵 的1000倍。由于机电一体的MEMS基本上不存在信号延迟等问题， 从而更适合高速工作。
程：
Ui
Ii
jCi
U0
Ix
jCx
Ii Ix
解上面三式得 ：
U0
Ui
Ci Cx
如果传感器是平板电容，则
Cx
0A
d
U0
Ui
Ci
0 A
d
把该式代入上式得： （式3-23）
从式(3—23)可知．运算放大器的输出电压 U0 与动 极板机械位移d(即极板距离)成线性关系，运算放大器 电路解决了单个变极板距离式电容传感器的非线性问 题。式(3—23)是Zi K 的前提下得到的。
二、运算放大器式电路 ：
由于运算放大器的放大倍数K非常大．而且输入阻 抗很高．运算放大器的这一特点可以作为电容传感器 的比较理想的测量电路，其电路如图3—8所示：
Cx
Ci
Ix
a -k
Ui
I
U0
Ii
图3-8运算放大器式电路
Cx为电容传感器。图中a点为虚地点，由于输入阻抗
Zi 很高，所以 I 0 ，根据克希霍夫定律，可列出如下方
世界上传感器品种达3万余种，研究、生产单位 5000余家。我国近年来在国家“大力加强传感器的开 发和在国民经济中的普遍应用”等一系列政策导向和 支持下，传感器技术和产业取得了长足发展。目前国 内有1600余家企事业单位从事传感器的研制、生产和 应用，产品3000多种，年总产量超过13亿只，销售总 额100多亿元。
四、多功能和智能化。许多MEMS产品体传感器
（Sensor）、执行器（Actuator）和电子控制电路等为一体， 特别是应用智能材料和智能结构后，更利于实现微机械的多功 能和智能化。
五、可能实现低成本、大批量生产。MEMS能够采用与
半导体制造工艺类似的生产方法，像超大规模集成电路芯片一 样，一次制成大量完全相同的零部件制造成本比传统机械加工 显著降低。
C0
1
1
d d0
C2Leabharlann Ad0 dA
1
d0 1 d
C0
1
1 d
d0
d0
若位移量d很小，且 d 1 ，上两式可按级数
展开，得:
d0
C1
C0 [1
d d0
( d d0