第三章-几何光学

保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要
求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保
证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问
题。
一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保
持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的
两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持
费马原理
取决于相位差
2 取决于光程 l
B
B
nds极值 ,或： nds0
1657年 提出
A
A
泛函：函数的函数 . 光程是路径的函数，路径又是空间坐
标的函数.
i. 费马原理可证明折射、反射定律 ii. 费马原理可证明直线传播定律和光路可逆原理
费马原理 与几何三 定律等价
ii. 实际应用中，直接用折、反定律更方便
费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创 造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分 的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理 论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律， 从而成为古典概率论的奠基人之一。
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三、费马原理
（一）、理论基础: 光波的叠加原理
1）均匀、各向同性介质： n =常量 ，
2）光强不太强，线性介质
3）光学元件的线度: D >>l
几何光学的例子： 光线的传播.
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本影，半影及日食的形成
日
半影1
月 本影 地 半影地3
半影2
在本影区看到日全食
在半影1、半影2看到日偏食 在半影3看到日环食
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月食的形成
日
月
地
当月亮部分进入地球的本影区时，形成月偏食； 当月亮全部进入地球的本影区时，形成月全食； 在半影区不会产生月食；没有月环食。
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费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职 业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文 学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病 逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、 著作，主要通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子 通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动 笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点， 勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并 且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非 浅，赞誉他为“业余数学家之王”。
当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持 了其单心性。该顶点称为 象点。
对能保持单心性的光束，一个物点能且只 能形成一个像点， 即物与像形成一一对应关系。
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实象：有实际光线会聚的象点。
虚象：无实际光线会聚的象点.（光束反向延 实 像
长线的交点）。
物：入射光束的心
实物→发散
P
P‘
虚物→会聚
所以，光束内任一条光线 与Y轴的交点均处在直线 P1P2（弧矢象线）内，但 不相交；交点P‘也处在直 线P’P‘（子午象线）上， 也不相交。即：发光点经
z O●
i2 A1
B1i2＋△i2 B2 A2
P2
●
P`
i1
i1+△i1
P1
n2 n1 x
折射后，成象为两条相互 垂直的象线而不是象点，
P y
称为象散。
条件：衍射效应可忽略
即：
1
1.22l 0
D
所以：几何光学是波动光学在 D >>l 条件下的近似.
3
教学目的：
1. 牢固掌握新笛卡尔符号法则、高斯公式、牛顿公式； 2. 掌握光具组基点基面的物理意义和作用； 3. 能正确运用物象公式和作图求象法求解成象问题；
4. 理解虚物、实象、虚象概念及其性质。
内容分析：
折射后，光束的单心性已被破坏。 25
单心光束的波面是球 面．光在平面折射后， 波面的形状发生变化， 不是平面了．而是波面 上的每一点是由两个曲 率半径所决定的．
第一单元： §1～§4 几何光学的基本原理、实验规律
第二单元： §5～§8 光在球面界面上的反射、折射及薄透镜的成象
第三单元 ： §9～§11 理想光具组的基点基面
4
§3.1 几个基本概念和定律 费马原理
一. 光线与波面
1. 光线: 表示光能量传播方向的几何线. 为强调方向, 又称 “光束”
3. 光线与波面的 联系:在均匀介 质中，波面法 线与光线重合.
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光程为常数
光程为极大值
光程为极小值
结 连接空间两点之间的光线,不论是直线、折线或者曲线,其所 论 经历的光程与邻近光程相比，是极值,即遵守费马原理．
（二）、费马原理的证明
1、直线传播定律：（在均匀介质中）
在均匀介,质 n中 const
B
ndsn
B
ds
而由公 :两理点间直线距离最短
A
A
Bds的极小值为A直B线 A
情况。
一. 光在平面上的反射：
成像: 完善成像，无色散.
如图示：点光源P发出单心光束，
P
C D
经平面镜反射后，形成一束发散光
束，其反向延长线交于一点P‘，且 M
AB
M’
与P点对称。
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P‘
显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持 了其单心性，是一个理想成像过程—— P‘是P的虚像。
∴平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善 的光学系统。并且也是唯一的一个。
平行光束， 单心光束
会聚光束 发散光束
不是由一 像散光束 点发出的
光束.
2. 波面： 某时刻波扰动等相位点组成的面
平面波， 球面波
会聚 发散
曲面波
曲面上的任 一点有两个 主曲面半径. 5
二. 几何光学的基本实验定律
1. 直线传播定律 2. 光的反射、折射定律
3. 光的独立传播定律 和光路可逆原理
成立条件:
有AC ' AC '' ,C'BC''B(r t中斜边 ) 最 A 长 M
光程AC,B AC''B而非要极小 , 值O
i1 C
这与费马原理,因不而符假设错误
n
A’ C‘
C‘’ i2
B
‘
即:折射点应在 O交 O'上线
n1 Z2
故:折射线在入射线 所和 决法 定线 的平 . 面内 B
P
O
’
X
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②折射线、入射线分居法线两侧
O●
A1
x', y'
0, 0,
y2 y1
P2 P1
●
P`
i1
A2x2,0
i1+△i1
n2 n1 x
P y0, y
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如果光束是单心的,只要作出任意两条光线的交点,就能确定所 有其它光线都将通过这个交点,这个交点就是光束的顶点.
如果光束不是单心的,那么就必须考虑到光束中光线的空间分布. 将PA1、PA2沿OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则：P、P1、 P2三点不动，而交点P’将画出一小圆弧（近似视为垂直于XOY平 面的一小段直线）。
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17世纪的一位法国数学家，提出了一个 数学难题，使得后来的数学家一筹莫展， 这个人就是费马(1601—1665)。
这道题是这样的：当n>2时，xn+yn=zn没 有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。 为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上 几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都 曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终 证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只 能证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确 的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是 他没有公布结果，于是留下数学难题中少有的千古 之谜。
大家好
1
引言
光的干涉、衍射现象，提示了光的波动性；光的传播过程就 是无穷次波的相干迭加；光的行为可用其时空周期性——波长、 振幅和位相来描述。因此，波动光学从光的本性出发，精确地 描述了光现象。
事实上，在很多情况下，不考虑光的波动性，不用光的时 空周期性，而代之以简单的几何方法，就可得到与实际基本 相符的结论（如光的反射、折射成像等）。
故:光在均匀介质中沿传直播线 . 得证. 12
2、折射定律：（在非均匀介质中） 如图示：Ａ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上， 折射后到达Ｂ点。
① 折射线在入射线和法线决定的平面内
只需证明折射点C点在交线OO’上即可.
利用反:设 证有 法另一C折 '位射 于 OO '线 点外 ,
则:必可O 在O'上找到其C垂'' 足 Y
这种撇开光的波动本性，研究光在透明介质中有传播规律、 以几何定律和某些基本实验 定律为基础光学称为几何光学，也 称为光线光学。
由于直线传播仅是波动的近似，所以，几何光学只能用于有 限的范围和给出近似的结论。
2
几何光学的基本原理
光既然是电磁波，那么光学现象原则上能用波 动概念来解释，但为了简单，用光线、波面的概念， 纯粹几何学的方法来研究共轴球面系统的成像问题 更方便。
d n 1xx1 n2x2x dxxx12y1 2 x2x2y2 2
同理：也可证
明反射定律。 n1 A A 'C C n2 C C'B B n1sii1n n2sii2 n0
n2sii2nn2sii1n YAx1,y1
M
由于反射、折射定律是由实 验得出的定律，是公认的正 确的结论，所以，费马原理
O n1 A’
P
P‘
P’‘
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注意：