含参二次函数的最值问题

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二次函数相关的定义域与最值问题

二次函数相关的定义域与最值问题一.定义域为R的含参不等式题型例1.函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为( )A．k<0或k>4 B．0≤k<4C．0<k<4 D．k≥4或k≤0变式：函数y＝√ax²+ax+2的定义域为R,则实数a的取值范围为练习：1.函数f(x)＝1ax2＋4ax＋3的定义域为R，求实数a的取值范围。

2.不等式ax²-2ax+3≥0的解集为R，求实数a的取值范围。

二．求二次函数在某一闭区间上的最值（定轴定区间型）例2．求函数y=x²-2x-3在x∈[-2,2]上的最大值与最小值。

练习：(1)求函数y=x²-6x+1在[0,4]的最值。

（2）求函数y=-2x²-4x+7在下列范围内的最值①x∈[-3,0]② x∈[0,4]三．含参二次函数在某一闭区间上的最值（动轴定区间型）二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况为“动二次函数在定区间上的最值”例3.求函数f(x)＝x²-2a x+3在x∈[0,4]上的最值变式：已知函数f(x)＝-x²+2a x+1-a,在x∈[0,1]上的最大值为2，求实数a的值。

练习：求函数f(x)＝-2x²+2ax+1在x∈[-1,1]上的最大值四．二次函数在动闭区间上的最值（定轴动区间型）二次函数是确定的，但它的定义域区间是随着参数的变化而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”例4.求函数f(x)＝x²-2x-5在x∈[t,t+1]上的最小值（其中t为常数）练习：求函数f(x)＝x²-2x+3在x∈[a,a+3]上的最值课后练习1.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )A.f32，f −32B.f(0)，f32C.f −32，f(0) D.f(0)，f(3)2.若函数f(x)=2x+6,x∈[1,2],x+7,x∈[−1,1),则f(x)的最大值为，最小值为.3.若不等式a≤x2-4x对任意x∈[0，4]恒成立，则a的取值范围为.4.设函数y=f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f13=1.(1)求f(1)的值.(2)若存在实数m，使得f(m)=2，求m的值.(3)若f(x-2)>2，求x的取值范围.。

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。

这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。

由于参数的存在，这个函数是动态的。

为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。

对于这个问题，需要分类讨论。

在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。

因此，我们需要分别考虑这些情况。

具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。

这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。

当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。

因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。

代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。

因此，最大值为$-8$。

接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。

这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。

我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。

首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。

其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。

另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。

对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。

1.含参数二次函数的最值问题

含参数二次函数的最值问题一、二次函数2y ax bx c =++在α≤x ≤β范围内的最值。

对称轴为2b x a=- 1. 求最大值（1）当a ＞0时：①当+22b a αβ-≤时，x β=，y 取得最大值，最大值为2y a b c ββ=++②当2b a -＞+2αβ 时，x α=，y 取得最大值，最大值为2y a b c αα=++（2）当a ＜0时：①当2b a-＜α时，x α=，y 取得最大值，最大值为2y a b c αα=++②当α≤x ≤β时，2bx a=-，y 取得最大值，最大值为244ac b y a -=.③当2b a-＞β时，x β=，y 取得最大值，最大值为2y a b c ββ=++x=-2ax=-2a2a2a2. 求最小值（1）当a ＞0时：①当2b a-＜α时，x α=，y 取得最小值，最小值为2y a b c αα=++②当α≤x ≤β时，2bx a=-，y 取得最小值，最小值为244ac b y a -=.③当2b a-＞β时，x β=，y 取得最小值，最小值为2y a b c ββ=++（2）当a ＜0时：①当+22b a αβ-≤时，x β=，y 取得最小值，最小值为2y a b c ββ=++ ②当2b a -＞+2αβ 时，x α=，y 取得最小值，最小值为2y a b c αα=++二、例题与练习例1. 已知22y x x =-+，当x 在以下取值范围时，求y 的最大值和最小值. （1）-1≤x≤0 （2）0≤x≤1 （3）1≤x≤2练习1. 已知245y x x =-+，当x 在以下取值范围时，求y 的最大值和最小值. （1）-1≤x≤1 （2）-1≤x≤3 （3）3≤x≤42. 求y =.3. 求y 的最值.4. 求函数2283y x x =--+，当-2≤x≤3时的最值.例2. 已知函数224422y x ax a a =-+-+，当0≤x≤2时有最小值3，求a 的值. 练习1. 当x ≥0时，求22y x ax =+的最小值.2. 已知243y x x a b =-+-，当0≤x≤5时有最小值-1，最大值为4a ，求a ，b 的值.3.若函数21y x ax =+-，当-1≤x≤1时有最大值14，求a 的值.三、中考模拟真题1．（2019台州）已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b ，c 满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．2.（2017海宁模拟）二次函数2224231y x ax a a =-+-+，当0≤x≤1时，y 的最小值为1，则a 的值为（）A. 0B. 0C. 32D. 32。

含参数二次函数最值问题解法

含参数二次函数最值问题解法作者：温春桃来源：《理科考试研究·高中》2013年第11期引起二次函数最值变化的是对称轴和区间，根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类，通常分为三类，即对称轴在区间左边，对称轴在区间中间（有时对中间再分两类）及在区间右边。

常见的有以下几种类型：一种是“动区间定轴” 型二次函数求最值。

如：已知f （x）=x2-2x+2在x∈[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式。

解f（x）=（x-1）2+1。

（1）当t+1（2）当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g（t）=f（1）=1。

（3）当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t+2。

综合（1）、（2）、（3）得：g（t）=t2+1，1，t2-2t+2，t0≤t≤1，t>1。

第二种是“动轴定区间”型，如：已知f（x）=x2+ax+3-a，若x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.解f（x）≥0恒成立，等价于f（x）的最小值≥0，即转化为求f（x）在[-2，2]上的最小值.令f（x）的最小值为g（a），则（1）当-21a4，g（a）=f（-2）=7-3a≥0，得a≤713，又a>4，故a不存在。

（2）当-a12∈[-2，2]，即-4≤a≤4时，g（a）=f（-a12）=3-a-a214≥0，得-6≤a≤2，又-4≤a≤4，故-4≤a≤2。

（3）当-a12>2，即a综上可得-7≤a≤2。

第三种是“开口不确定，对称轴也变动”的类型。

如：设函数f（x）=ax2-2x+2，对于满足10，求实数a的取值范围.解当a>0时，f（x）=（x-11a）2+2-11a。

所以11a≤1，f（1）=a-2+2≥0，或1f（11a）=2-11a>0，或11a≥4，f（4）=16a-8+2≥0。

所以a≥1，a≥0，或114a>112，或a≤114，a≤318。

《二次函数的最值问题》教案

二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究时含参二次函数在内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。

二次函数方程不等式的含参问题

二次含参模块已知单调区间求参问题............................................................................................................. - 2 - 含参二次函数在闭区间内最值问题........................................................................................... - 3 - 解含参一元二次不等式........................................................................................................... - 12 - 一元二次不等式恒成立问题................................................................................................... - 17 - 二次方程根的分布..................................................................................................................... - 27 -已知单调区间求参问题【例1】,对称轴为,判断,,的大小?【答案】【例2】,在上单调递增，上单调递减，则下列说法正确的是不确定【答案】B.【例3】在上单调，求的范围?【答案】∞，，.含参二次函数在闭区间内最值问题一、含参求最值........................................................................................................................... - 4 -（一）轴定区间定............................................................................................................... - 4 - （二）轴动区间定............................................................................................................... - 5 - （三）轴定区间动............................................................................................................... - 6 - （四）相关练习................................................................................................................... - 6 - 二、已知最值求参....................................................................................................................... - 8 -（一）已知最值求参——先斩后奏................................................................................... - 8 - （二）已知值域求参......................................................................................................... - 10 -一、含参求最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-+≤-=22)(22)()(maxn m a b m f n m a b n f x f()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-<-=n a b n f n a b m a b f m abm f x f 2)(2)2(2)(min；（一）轴定区间定【例1】函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

求解含参二次函数最值问题的步骤

解题宝典∴椭圆离心率：e =c a=,∴正确答案为选项C .该题是与弦中点有关的圆锥曲线离心率问题，需首先设出交点A 和B 的坐标，将其代入椭圆的方程中并作差，求得直线的斜率的表达式，便可根据中点的坐标建立关于a 、b 的等式，求得椭圆的离心率.运用点差法解答中点弦问题，关键是将两个交点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并作差，据此建立关系式.三、弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题比较常见，通常要利用弦长公式求解.若斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线的交点为A ()x 1,y 1，B (x 2,y 2)，则弦AB 的长|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2，这就是弦长公式.运用弦长公式求弦长，通常要将直线与圆锥曲线的方程联立，构造一元二次方程，利用韦达定理来求得x 1+x 2和y 1+y 2.例3.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为,焦距为22.一条斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于A 、B 两点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若k =1，试求|AB |的最大值.解：(1)椭圆M 的方程为：x 23+y 2=1(过程略)；(2)设直线l 的方程为y =x +m ,A ()x 1,y 1，B (x 2,y 2),由ìíîïïy =x +m ，x 23+y 2=1，消去y 可得4x 2+6mx +3m 2-3=0,则x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34,可得||AB =()x 2-x 12+()y 2-y 122()x 2-x 12=2[]()x 2-x 12-4x 1x 2=.当m =0，即直线l 过原点时，||AB 最大，故||AB 的最大值为6.求直线l 被椭圆所截的弦长的最值，关键要求||AB 的表达式.联立直线与椭圆的方程，消去y 得到一元二次方程后，便可运用弦长公式求得||AB 的表达式，根据二次函数的性质即可求得|AB |的最大值.综上可见，无论是求直线的斜率、解答中点弦问题，还是解答弦长问题，都需重点研究直线与圆锥曲线的方程，可将两个方程联立，构造一元二次方程，也可将交点的坐标代入圆锥曲线的方程,并将两个方程作差.（作者单位：江苏省徐州市铜山区夹河中学）含参二次函数最值问题比较常见，通常要求求含参二次函数在给定区间或实数集R 上的最值.由于问题中涉及参数，所以解答此类问题通常需要利用分类讨论思想来对参数进行分类讨论，进而求得函数的最值.对于二次函数f ()x =ax 2+bx +c （x ∈R ，a ≠0），当a >0时，在对称轴x =-b2a左侧的函数单调递减，在对称轴x =-b2a 右侧的函数单调递增；当a <0时，在对称轴x =-b2a左侧的函数单调递增，在对称轴x =-b 2a右侧的函数单调递减.根据函数的定义域和单调性即可求得函数的最值.而对于含参二次函数在给定区间上的最值问题，需要讨论函数图象的对称轴与定义域的位置关系，以便利用二次函数的单调性求函数的最值.求二次函数f ()x =ax 2+bx +c （a ≠0）在区间[]m ,n 上的最值的步骤如下：1.根据函数的解析式求得函数图象的对称轴x =-b 2a，并判断a 的符号；2.判断-b2a 与m 、n 之间的大小关系，即确定函数的对称轴x =-b2a 在[]m ,n 内、在[]m ,n 左侧、在[]m ,n 右侧；3.画出相应的函数图象，结合图象寻找取得最值的点，并求得最值.（1）若a >0，则函数图象的开口向上，（ⅰ）当-b2a ∈[]m ,n 时，函数图象的对称轴在所给李令军41解题宝典区间内，由二次函数的性质可知f()x的最小值在对称轴处取得，其值是fæèöø-b2a=4ac-b24a，f()x的最大值在离对称轴较远的端点处取得，即f()m、f()n中的较大者,如上图；（ⅱ）当-b2a<m时，对称轴在给定区间的左侧，f()x在区间[]m,n上单调递增，此时f()x的最小值是f()m，最大值是f()n；（ⅲ）当n<-b2a时，对称轴在给定区间的右侧，f()x在区间[]m,n上单调递减，此时f()x的最小值是f()n，最大值是f()m.（1）若a<0，则函数图象的开口向下，（ⅰ）当-b2a∈[]m,n时，函数图象的对称轴在所给区间内，由二次函数的性质可知f()x的最大值在对称轴处取得，其值是fæèöø-b2a=4ac-b24a，f()x的最小值在离对称轴较远的端点处取得，即f()m、f()n中的较小者；（ⅱ）当-b2a<m时，对称轴在给定区间的左侧，f()x在区间[]m,n上单调递减，此时f()x的最大值是f()m，最小值是f()n；（ⅲ）当n<-b2a时，对称轴在给定区间的右侧，f()x在区间[]m,n上单调递增，此时f()x的最大值是f()n，最小值是f()m.下面举例说明.例1.求f()x=ax2-2x在0≤x≤1上的最小值.解：（1）当a=0时，f()x=-2x为一次函数，在[]0,1上单调递减，所以f()x min=f()1=-2，即函数的最小值为-2.（2）当a>0时，函数f()x=ax2-2x图象的开口向上，且对称轴为x=1a>0.①当1a≤1，即a≥1时，函数f()x=ax2-2x图象的对称轴x=1a在[]0,1内，由函数的图象可知f()x在éëùû0,1a上单调递减，在éëùû1a,1上单调递增，所以f()x min=fæèöø1a=-1a，即函数的最小值为-1a.②当1a>1，即0<a<1时，函数f()x=ax2-2x图象的对称轴在[]0,1的右侧，所以f()x在[]0,1上单调递减，所以f()x min=f()1=a-2，即函数的最小值为a-2.（3）当a<0时，f()x=ax2-2x图象的开口向下，且对称轴x=1a<0，在y轴的左侧，所以f()x=ax2-2x在[]0,1上单调递减，所以f()x min=f()1=a-2，即函数的最小值为a-2.综上所述，f()x min=ìíîïïa-2,a<1,-1a,a≥1.本题中a为参数，需利用分类讨论思想，分a=0、a>0、a<0三种情况进行讨论.尤其要注意a=0的情形，此时函数为一次函数，需利用一次函数的单调性来求最值.当a>0、a<0时，函数为二次函数，再利用分类讨论思想讨论对称轴与定义域[]0,1的位置关系，结合二次函数的图象，即可判断出函数的单调性，根据函数的单调性便能求得函数的最值.例2.已知函数f()x=ax2+2ax+1在区间[]-1,2上有最大值4，求实数a的值.解：f()x=ax2+2ax+1=a()x+12+1-a.可知其图象的对称轴为x=-1，在[]-1,2的左侧，（1）当a=0时，f()x=1，函数无最大值，所以a=0不符合题意，舍去；（2）当a>0时，函数f()x图象的开口向上，在区间[]-1,2上单调递增，所以函数的最大值为f()2=8a+1=4，解得a=38；（3）当a<0时，函数f()x图象的开口向下，在区间[]-1,2上单调递减，所以函数f()x最大值为f()-1=1-a=4，解得a=-3.综上可知，a的值为38或-3.本题中函数的对称轴和定义域固定，而函数的开口方向不确定，所以只需讨论a>0,a<0时函数的单调性，即可解题.若函数的定义域中含有参数，则需根据参数的取值确定定义域端点值的大小，进而将其与函数图象的对称轴进行比较，以确定定义域与函数图象的对称轴的位置关系，判断函数的单调性.可见，解答含参二次函数最值问题，往往要灵活运用分类讨论思想和数形结合思想，这样能有效地提升解题的效率.在运用分类讨论思想解题时，要注意两点：一是对二次项的系数进行讨论；二是要对对称轴与定义域的位置关系进行讨论.而结合二次函数的图象来分析函数的对称轴与所给区间之间的位置关系，往往能达到事半功倍的效果.（作者单位：扬州大学附属中学）42。

微专题13 含参数二次函数的最值问题(解析版)

微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值【答案】C【解析】22313224y x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，抛物线的开口向上，对称轴为32x =-，∴在区间[]55－，上，当32x =-时，y 有最小值14-；5x =时，y 有最大值42，函数()232f x x x =++在区间[]55-，上的最大值、最小值分别是：42，14-．故选：C ．例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对【答案】B【解析】因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2，3]，所以当x ＝1时，ymin ＝1，当x ＝－2时，ymax ＝(－2－1)2＋1＝10. 故选：B.例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________. 【答案】92-【解析】由题知，()()()002044f a =+-=-，解得12a = 则()()()211924(1)222f x x x x =+-=--，所以当1x =时，()f x 有最小值9(1)2f =-.故答案为：92-例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________ 【答案】-2 【解析】2242(2)2y x x x =-+-=--+，则二次函数在(),2-∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减， ∴在14x ≤≤上，当4x =时有最小值－2，故答案为：-2.例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______ 【答案】80【解析】因为22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以当1x =时，min ()(1)4f x f ==，当5x =时，2max ()(5)(51)420f x f ==-+=，所以最大值和最小值之积为42080⨯=.故答案为：80题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．【解析】（1）因为()()222024m m f x x mx x m ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，所以当04m <≤时，022m <≤，此时()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当4m >时，22m >，此时函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-．综上，()2,04442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩（2）因为0x >时，()()h x g x =，所以当0x >时，()2,04442,4x x h x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，易知函数()h x 在()0,∞+上单调递减，因为定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h ≥，所以04t<<，解得40t -<<或04t <<，所以实数t 的取值范围为()()4,00,4-．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（） A ．14B ．0C ．14-D ．1-【答案】C【解析】由22()()f x x m m m =--++，故()f x 在(,)m -∞上递增，在(,)m +∞上递减，当1m ≤-，则[1,1]x ∈-上递减，故最大值(1)10M f m =-=--≥，当11m -<<，则最大值22111()()[,2)244M f m m m m ==+=+-∈-，当m 1≥，则[1,1]x ∈-上递增，故最大值(1)312M f m ==-≥，综上，M 的最小值为14-.故选：C例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．【解析】（1）因为定义在R 上的函数2()2(1)3f x x k x =-++为偶函数，所以R x ∀∈，都有()()f x f x -=成立，即R x ∀∈，都有222(1)32(1)3x k x x k x +++=-++成立，解得1k =-．（2）因为函数2()2(1)3f x x k x =-++图象的对称轴为1x k =+，所以要使函数()f x 在[]1,3-上具有单调性，则13k +≥，或11k +≤-，即2k ≥或2k ≤-，则k 的取值范围为(][),22,-∞-+∞．（3）①若函数()f x 在[]22-,上单调递减，则12k +≥，即1k，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为()234f k=-．②若函数()f x 在[]22-,上单调递增，则12k +≤-，即3k ≤-，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为()2114f k -=+．③若函数()f x 在[]22-,上不单调，则212k -<+<，即31k -<<，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为2(1)22f k k k +=--．综上所述，函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为2min 34,1()22,31114,3k k f x k k k k k -≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩. 例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．【解析】(1)1m =时，()()22211f x x x x =++=+，结合函数图像得：()f x 在13x -≤≤上的最大值是316f =（），最小值是()10f -=；(2)()221f x x mx =++的对称轴是x m =-，①当2-<-m ，即2m >时，函数在22x -≤≤上递增，当2x =-时，取到最小值()245f m -=-+；②当22m -≤-≤，即22m -≤≤时，函数在22x -≤≤上先递减后递增，当x m =-时，取到最小值()21f m m -=-+；③当2m ->，即2m <-时，函数在22x -≤≤上递减，当2x =时，取到最小值()245f m =+，综上所得，当2m >时，最小值()245f m -=-+；当22m -≤≤时，取到最小值()21f m m -=-+；当2m <-时，取到最小值()245f m =+.(3)由（2）的讨论思路结合函数图像在12x -≤≤内的可能情况知()1f -，2f （）中必有一个是最大值；若()12241f m m -=-==-，，代回验证： ()()22211f x x x x =-+=-，符合()1f -最大；若2544f m =+=（），14m =-，代回验证： ()2211151()2416f x x x x =-+=-+，符合2f （）最大；1m ∴=-或14-．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【解析】(1)由题知，函数22,0()(),0x ax x f x x x a x ax x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，其中0a > 当0x ≥时，222()()24a a f x x ax x =-=--则函数()f x 在区间(0,)2a 单调递减，在区间(,)2a+∞单调递增；当0x <时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+，则函数()f x 在区间(,0)-∞递增∴综上，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(,)2a +∞，单调递减区间为(0,)2a.(2)因为0a >，所以当12a ≥即2a ≥时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,1]递减且 11()242af -=--，(1)1f a =-，若1()(1)2f f -≥，即52a ≥时，min ()(1)1f x f a ==-，若1()(1)2f f -<，即522a ≤<时，min 11()()242a f x f =-=--，当012a <<即02a <<时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,]2a 递减，在(,1]2a 递增，且11()242a f -=--， 2()24a a f =-，而02a <<时，21424a a --<-，即1()()22a f f -<，所以02a <<时，min 11()()242af x f =-=--，∴综上所述，当502a ≤<时，min 1()42a f x =--；当52a ≥时， min ()1f x a =-.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）. (1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.【解析】(1)当2a =时，函数21()2f x x x =+，设[]12,1,2x x ∈且12x x <，则222221212121211111()()222()()f x f x x x x x x x x x -=+--=-+- 1221212121121212()()()[2()]x x x x x x x x x x x x x x -=-++=-+-，因为12x x <，可得210x x -> 又由[]12,1,2x x ∈，可得()2111124,1x x x x +><，所以211112()0x x x x +->所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以函数()y f x =是[]1,2上是严格增函数.(2)由函数21()f x ax x=+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞关于原点对称，当0a =时，函数1()f x x =，可得11()()f x f x x x-==-=--，此时函数()f x 为奇函数；当0a ≠时，2211()()f x a x ax x x-=⋅-+=--，此时()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，所以0a ≠时，函数()y f x =为非奇非偶函数.(3)2211()()2221f x h x x a ax x a ax x a x x x=--+=+--+=-+，当0a =时, ()f x x =-,函数()f x 在区间[1,2]的最小值为(2)2f =-；当0a >时,函数的对称轴为：12x a=. 若112024a a ≥⇒<≤,()f x 在区间[1,2]的最小值为(2)62,()62f a g a a =-∴=-；若11112242a a <<⇒<<,()f x 在区间[1,2]的最小值为 111()2,()2244f a g a a a a a=-+∴=-+; 若11122a a ≤⇒≥,()f x 在区间[1,2]的最小值为(1)31,()31f a g a a =-∴=-；当0a <时, 102x a=<,()f x 在区间[1,2]的最小值为(2)62,()62f a g a a =-∴=-. 综上所述：162,4111()2,442131,2a a g a a a aa a ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩；例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．【解析】(1)()22211121x x x f x x x x x x ⎧+≥=+-+=⎨-+<⎩，，，由()()()2211124f x x x f x x x ⎛⎫=+⇒=+-≥ ⎪⎝⎭，可知()2f x ≥;由()()22172(1)24f x x x f x x x ⎛⎫=-+⇒=-+< ⎪⎝⎭，可知()74f x ≥.所以()min 1724f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．(2)()2211x x a x af x x x a x a ⎧+-+≥=⎨-++<⎩，，，1)当12a ≥，()f x 在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，故()min 1324f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；2)当1122a -<<，()f x 在()a -∞，单调递减，在()a ∞+，单调递增，()()2min 1f x f a a ==+ , 3)当12a ≤-，()f x 在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，-单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭-，单调递增，()min 1324f x f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；所以()23142111223142a a g a a a a a ⎧+≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，，，例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．【解析】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，由对称性即可补充完整图象，如图所示：由图可知，函数()f x 的递增区间为(1,0)-和(1,)+∞；（2）根据题意，当0x >时，0x -<，所以22()()22f x x x x x -=--=-，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()2()()20f x f x x x x =-=->，所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩，（3）当[]1,2x ∈时，222()221(1)2g x x x ax x a a a =--+=----，对称轴为1x a =+，当11a +，即0a 时，()g x 在[]1,2上递增，所以()min ()12g x g a ==-；当12a +，即1a 时，()g x 在[]1,2上递减，所以()min ()214g x g a ==-；当112a <+<，即01a <<时，()g x 在[]1,1a +上递减，在[]1,2a +上递增，所以m n 2i ()(1)2g x a a g a =+=--，综上，函数()g x 的最小值2min2,0()2,0114,1a a g x a a a a a -⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．【解析】(1)22()(2)34f x x a a =-+-，()f x 在区间[1,3]上单调，则21a ≤或23a ≥，所以12a ≤或32a ≥； (2)12a ≤时，21a ≤，()f x 在[1,3]上是增函数，()(1)44h a f a ==-， 1322a <<时，2()(2)34h a f a a ==-， 32a ≥时()f x 在[1,3]上是减函数，()(3)1212h a f a ==-，综上，2144,213()34,2231212,2a a h a a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪->⎪⎩，题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；【解析】（1）因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，所以1n =- 又(1)(2)f f -=，所以1224m-+=-，解得2m =-，所以2()221f x x x =--；（2）2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤时，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+时，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增，所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．【解析】(1)设()2f x ax bx c=++，0a ≠．则()()21(1)1f x a x b x c +=++++．从而，()()()(()221[1)12f x f x a x b x c ax bx c ax a b ⎤+-=++++-++=++⎦，又()()12f x f x x +-=，22101a a a b b ==⎧⎧∴⇒⎨⎨+==-⎩⎩，又()01f c ==，()21f x x x ∴=-+．(2)因为当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，所以231m x x <-+在[]11x ∈-，上恒成立．令()231g x x x =-+，[]11x ∈-，， ()min m g x ∴<．当[]11x ∈-，时，()231g x x x =-+单调递减，∴当1x =时，()()11min g x g ==-，所以1m <-． (3)当112a +≤，即12a ≤-时，()f x 在[]1a a +，单调递减，()2min ()11f x f a a a ∴=+=++；当112a a <<+，即1122a -<<时，则()f x 在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，112a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，单调递增， min 13()24f x f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭；当12a ≥时，则()f x 在[]1a a +，单调递增， ()2min ()1f x f a a a ∴==-+．()2211,2311,42211,2a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪∴=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【解析】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+，所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数，当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==，综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．【解析】（1）当1a =时，()()222211f x x x x =++=++，函数在[)21－，－上单调递减，在()1,3-上单调递增， ()()min 11317x f x f ∴===－，，，∴函数()f x 在区间[)23-，上的值域是[)1,17；（2）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，12t ，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()()211f t t =-+； 12t ≥，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()211f t t +=+； ∴函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，；（3）函数()()222222f x x ax x a a =++=++- 的对称轴为x a =-，①当5a -<-，即5a >时，函数y 在[]55－，上是增函数，当5x =-时，函数y 取得最小值为2710a -；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ②当50a -≤<，即05a <≤时，当x a =-时，函数y 取得最小值为22-a ；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ③当05a ≤≤－，即50a ≤≤－时，x =－a 时，函数y 取得最小值为22a －；当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －．④当5a >－，即5a <－时，函数y 在[]55－，上是减函数，故当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －；当5x =时，函数y 取得最小值为2710a +．综上，当5a >时，函数的最大值为2710a +，最小值为2710a -，当05a <≤时，函数的最大值为2710a +，最小值为22-a ，当50a ≤≤－时，函数的最大值为2710a －，最小值为22a －，当5a <－时，函数的最大值为2710a －，最小值为2710a +例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．【解析】（1）因为22224()4y x mx x m m =-+=-+-，对称轴为x m =，开口向上，若12m <，则当3x =时，函数224y x mx =-+有最大值为136m -，若12m ≥，则当2x =-时，函数224y x mx =-+有最大值为84.m + （2）若2m <-，则当2x =-时函数224y x mx =-+有最小值为84m +，即842m +=，32m =-，不符合条件；若23m -≤≤，则当x m =时函数224y x mx =-+有最小值为242m -=，可得2m =若3m >，则当3x =时函数224y x mx =-+有最小值为136m -，即1362m -=，解得1136m =<，不符合条件；综上，m 的值为 2.±例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．【解析】(1)()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是()05，，∴可设()()5(0)f x ax x a =>－，对称轴为 2.5x =，()f x ∴在区间[]24－，上的最大值是()214f a -=．由已知得14282a a =∴=，， ()()()225210f x x x x x x ∴=-=∈－R ．(2)由(1)得()()22 2.512.5f x x =--，函数图象的开口向上，对称轴为 2.5x =(讨论对称轴 2.5x =与闭区间[] 1t t +，的相对位置) ①当1 2.5t +≤时，即 1.5t ≤时，()f x 在[] 1t t +，上单调递减，(对称轴在区间右侧) 此时()f x 的最小值()()()()22121101268g t f t t t t t =+=+-+=--；②当 2.5t ≥时，()f x 在[] 1t t +，上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时()f x 的最小值()()2210g t f t t t ==-；③当1.5 2.5t <<时，函数()y f x =在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，()()2.512.5g t f ==－综上所述，得()g t 的表达式为：()22268 1.512.51.5 2.5210 2.5t t t g t t t t t ⎧--≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，，，．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．【解析】(1)不等式为2345x x -<-<，即22450430x x x x ⎧--<⎨-+>⎩，由2450x x --<可得15x -<<；由2430x x -+>可得1x <或3x >，故原不等式解集为()()1,13,5-⋃. (2)因为()()2222f x x ax x a a =-=--由于(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，若0t =时，则1a t ≥+，且()()min 4f x f a ==-或()()min 24f x f ==-，当()24f a a =-=-时，2a =±，2a =-不满足题意，舍去；当()2444f a =-=-时，2a =；若22t a +=，则1a t ≤+，且()()min 4f x f a ==-或()()min 224f x f a =-=-当()24f a a =-=-时，2a =±，当2,2a t ==，符合题意；当2a =-，与题设矛盾，故舍去；当()()()222222224f a a a a -=---=-时，2,2a t ==；综上所述：2,0a t ==或2,2a t ==，符合题意.例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）【解析】(1)当1a =时，()22,11,1x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，其图象如图所示：由图象知：函数()f x 既不是奇函数也不偶函数；(2)()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a >时，由()224a x ax x a -=≥，解得12x +=，因为函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，如图所示：所以02a m ≤<，12a n +<≤，当0a <时，由()224a x ax x a -+=-<，解得12x +=，因为函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，如图所示：12m a +≤<，02a n <≤.例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【解析】(1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0），所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |，又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0，此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ），所以f （x ）为奇函数,故m ＝0.(2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，2111212()()(24f n f n n n n +--=--=，令214n n >+得，12n +>12n +>1()()2f n f >，2max ()f x n =.121n +<≤时1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪⎪⎩.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-，(1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）【解析】（1）当2a =时，(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x -⎧=-=⎨-<⎩由二次函数的性质知，单调递增区间为(-∞，1]，[2，)∞+.（2）因为2a >，[1x ∈，2]时，所以222()()()24a a f x x a x x ax x =-=-+=--+当3122a <，即23a <时，()min f x f =（2）24a =-当322a >，即3a >时，()min f x f =（1）1a =-∴24,23()1,3min a a f x a a -<⎧=⎨->⎩ （3）(),()(),x x a x a f x x a x x a -⎧=⎨-<⎩①当0a >时，图象如上图左所示由24()a y y x x a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得(21)a x +=02a m <，212a n a +<②当0a <时，图象如上图右所示由24()a y y x a x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得(12)x +=∴12m a +<，02a n < 例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．【答案】16-【解析】()()2244f x x a a =-+--⎡⎤⎣⎦，()()22124g x x a a =---+-⎡⎤⎣⎦，令()()f x g x =，得2x a =+或2=-x a ．因为()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，所以()1H x 的最小值(2)44A f a a =+=--，()2H x 的最大值(2)124B g a a =-=-，所以()()4412416A B a a -=----=-．故答案为：16-.例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）【解析】（1）因为()f x 在R 上是奇函数，所以()()f x f x -=-恒成立，即x x a x x a -+=--恒成立.所以x a x a +=-恒成立，所以0a =.（2）当2a =时，()()222,(02)22,24x x x f x x x x x x ⎧-+<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎩ 函数22y x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以22y x x =-+在(]0,2上的值得范围为[]0,1，其中2x =时，()0f x =，函数22y x x =-在(]2,4上单调递增，所以函数22y x x =-在(]2,4上的值域为(]0,8，其中当4x =时，()8f x =；所以当4x =时，max ()8f x =，当2x =时，min ()0f x =.（3）()()()22,,x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-+≤⎪=-=⎨->⎪⎩ 因为0a >，所以函数2y x ax =-+在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数2y x ax =-在(),a +∞上单调递增，当2a x =时，24a y =当x a >时，令224a x ax -=，可得12x +=因为当0a >，m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，所以120,2m a a n +<<≤≤. 题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．【解析】（1）方法一：∵抛物线经过（2，c ）和（0，c ）， ∴抛物线的对称轴为直线1x =， ∴（－1，0）的对称点为（3，0），即抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）；方法二：将（－1，0），（2，c ）分别代入2y x bx c =-++得0142b c c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++，令0y =得，2023x x =-++，解得11x =-，23x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）．（2）∵2t t ≤-，∴1t ≤，21t -≥，∴当2t x t ≤≤-时，当1x =时取得最大值4，即4M =，当x t =或2x t =-时取得最小值N ， ∵3M N -=，∴1N =，令1y =得，2123x x =-++，解得131x =（舍去），231x =-， ∴31t =-．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4【答案】C【解析】由题意得f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a ．①当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得38a =；③当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3．综上可知，a 的值为38或－3．故选：C ．例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．)222,0⎡-⎣B ．()0,222C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣【答案】D【解析】易得函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，若0a =，则()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，且函数()f x 在()0,1上单调递增，所以函数()f x 在()0,1上无最值．若0a <，作出函数()f x 的大致图像，如图1所示，易得函数()f x 在区间()0,1上无最值．若0a >，作出函数()f x 的大致图像，如图2所示，要使函数()f x 在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即2201122a a a a <<⎧⎪⎨⎛⎫-≤-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得:2221a ≤<．综上，实数a 的取值范围是)222,1⎡⎣．故选: D.例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】[]1,2【解析】二次函数()2224133y x x x =-+=-+≥，由2244x x -+=解得0x =或2x =，画出二次函数()2240y x x x =-+≥的图象如下图所示，由图可知，m 的取值范围是[]1,2. 故答案为：[]1,2例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【答案】2-【解析】因为()22111()1222f x x x x =-+=--+，对称轴为1x =，当1m n ≤<时：()f x 在[,]m n 上单调递减，所以221()221()22f m m m n f n n n m⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，无解；当1m n <≤时：()f x 在[,]m n 上单调递增，所以221()221()22f m m m m f n n n n⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，解得：2m =-或0m =，2n =-或0n =，又1m n <≤，所以2m =-，0n =; 当1m n <<时：()f x 在[,1]m 上单调递增，在[1,]n 上单调递减，此时111(1)12224f n n =-+==⇒=，与1n >矛盾；综上所述：2m =-，0n =，此时2m n +=- 故答案为：2-. 【过关测试】一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③【答案】B【解析】①设幂函数为()a f x x =，因为()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以122a=，解得1a =-，则()1f x x =，在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递减，所以()()1322f f <=，故错误； ②令10x -=，解得1x =，此时2y =，所以函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2，故正确； ③令()1221log 0f x x x =--=，得1221log x x -=，在同一坐标系中作出1221,log y x y x =-=的图象，如图所示，由图象知：1221,log y x y x =-=有1个交点，即函数()1221log f x x x =--有1个零点，故错误； ④函数()224f x x x =-+的图象，如图所示：，由图象知：若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2，故正确．故选：B2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】A【解析】函数2()23f x x bx a =-+的图象开口朝上，且对称轴为直线x b =， ①当1b >时，()f x 在[0,1]上单调递减，则(0)3M f a ==，()1123m f b a ==-+，此时21M m b -=-，故M m -的值与a 无关，与b 有关，②当0b <时，()f x 在[0,1]上单调递增，则(1)123M f b a ==-+，()03m f a ==，此时12M m b -=-，故M m -的值与a 无关，与b 有关，③当01b ≤≤时，()23m f b a b ==-，若102b ≤≤时，(1)(0)f f ≥，有(1)123M f b a ==-+，221M m b b ∴-=-+，故M m -的值与a 无关，与b 有关，若12b >时，(1)(0)f f <，有(0)3M f a ==， 2M m b ∴-=，故M m -的值与a 无关，与b 有关，综上：M m -的值与a 无关，与b 有关. 故选：A.3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2 D ．单调递减且最小值为-2【答案】A【解析】因为2()42f x x x =-+的图象开口向上，且对称轴为2x =，所以()f x 在区间[2，4]上单调递增，最小值为(2)2f =-，最大值为(4)2f =，又因为()f x 是奇函数，所以()f x 在区间[]4,2--上单调递增，且最小值为-2，最大值为2. 故选：A4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】将函数()()()22211f x x x a a x a a =-++=-+-+的图象向左平移一个单位，得到函数()21g x x a a =+-+.则()f x 在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数()g x 在区间[-1，1]上的最大值是1. 由11x -≤≤，201x ≤≤，当10a -≥，1a ≥时，()22121211g x x a a x a a =+-+=+-≥-≥，此时函数()g x 的最小值为1，不合题意；当11a -≤-，0a ≤时，()()22111g x x a a x =-+-+=-+≤，符合题意；当110a -<-<，01a <<时，()()()22221,011,11x a a x a g x x a a a x ⎧-+-+≤≤-⎪=⎨+-+-<≤⎪⎩，化简得()22221,0121,11x x a g x x a a x ⎧-≤≤-=⎨+--<≤⎩ 又由当201x a ≤≤-时，根据二次函数的性质，()g x 的值域为()()2111a g x --≤≤，当211a x -<≤时，()()21212a a g x a -+-≤≤，必有21a ≤，可得102a <≤. 综上，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B.5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0， ∴2404b a -=，∴24a b =， ∴函数222224a y x ax b x ax x a ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭，其图像的对称轴为2a x =-．∵不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+， ∴方程2204a c x ax ++-=的根为m ，4m +，∴4m m a ++=-，解得42a m --=，22a m ∴+=-，又∵2204a m am c ++-=，∴222442a a c m am m ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭．故A ，B ，C 错误.故选：D ．6．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】D【解析】当(]01x ∈，时，()()22141444()12f x x x x x x =-=-=--，易知当12x =时，min ()1f x =-，因为()()13f x f x +=，所以()()113f x f x -=，所以当()10x ∈-，时，()min 11133y =⨯-=-；当(]21x ∈--，时，()2min 11()139y =⨯-=-，综上，当(]20x ∈-，时，min 13y =-．故选：D ．7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（）. A ．7 B ．11 C ．12 D ．16【答案】D【解析】∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根， ∴m +n =2t ，mn =t 2﹣2t +4，∴（m +2)(n +2）=mn +2（m +n ）+4=t 2+2t +8=（t +1)2+7． ∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2t )2﹣4（t 2﹣2t +4）=8t ﹣16≥0， ∴t ≥2，∴（t +1）2+7≥（2+1)2+7=16．故选：D ．8．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（） A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1【答案】C【解析】由题得1018b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得4b =-，3c =，所以()()224321f x x x x =-+=--，因为(1)0,1f b c =∴+=-，所以选项A 正确；所以(3)=0f ，所以选项B 正确；因为min ()1f x =-，所以选项D 正确；因为()f x 的对称轴为2x =，所以选项C 错误．故选：C 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（） A ．2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】BC【解析】当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值，若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值，若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数，则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.10．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（） A ．()00f = B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-【答案】ABC【解析】由题可知，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，已知()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则当0x >时，0x -<，则()()()1f x x x f x -=--=-，所以当[)0,x ∈+∞时，()()2211124f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，可知()00f =，()10f =，且最大值为14，无最小值，所以()f x 在[)0,∞+上正确的结论是ABC. 故选：ABC.11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f 【答案】BCD【解析】二次函数()f x 图象的对称轴为直线x m =.①当1m 时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，则()()min 1f x f =，()()max 2f x f =； ②当12m <<时，函数()f x 在区间[)1,m 上单调递减，在区间(],2m 上单调递增，则()()min f x f m =，()()(){}()()max31,22max 1,232,12f m f x f f f m ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩；③当2m ≥时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时()()max 1f x f =，()()min 2f x f =. 故A 错误，BCD 可能正确. 故选：BCD.12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182【答案】AC【解析】因为[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，所以21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得13x ≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,3，所以()22221322222()112g x x x x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭=+++=，所以()213222g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]1,3上单调递增，所。

二次函数专题——含参二次函数

含参的二次函数二次函数在初中的时候就比较重要，那么在高中阶段二次函数的考点更加重要，难度也会加大。

高中阶段比较喜欢考含有参数的二次函数，参数就会让函数形成一种动态，随着参数不同，函数是不一样的，这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例1. 求2()2f x x ax =-在[2,4]上的最大值和最小值。

解析：这道题因为参数的存在使得函数的本身是动的，在动的情况下考虑这个函数最大值和最小值的问题，这就涉及到高中比较爱考的一类问题，动轴定区间问题。

这道题中对称轴正好是x a =，随着a 不同，这个对称轴在变化，但是在给定区间上问最大值和最小值，那么就会有下面几种情况，在[2,4]这个区间上，有可能（1）这个对称轴不在这个区间里面这个时候的最大值最小值；也有可能（2）这个对称轴就在区间里面，这个时候的最值，还可能（3）对称轴在区间右侧这几个图针对这个函数并不严谨，上面的是一般函数的示意图，这道题中的函数一定是过原点的。

可以感受，随着a 的不同，最大值和最小值是不一样的，所以这种含参的动态的问题往往需要我们做的一个工作就是分类讨论。

那么函数在什么时候取到最大值呢，比如说（1），就会在4的地方取得最大值，（2）在4的地方取得最大值，（3）就会在2的地方取得最大值。

那么在整个函数的区间上，什么时候能取得最大值呢，我们就要看在这个区间上，哪个数离对称轴最远。

那么就有两种情况了，有的时候是2离得比较远，有的时候是4离得比较远，是怎么分界的呢？这个分界线就应该在2和4中间的位置上是3，当对称轴在3x =这条线左边的时候，对称轴离2就比较近，离4就比较远，对称轴在右边的时候，离2就比较近，离4就比较远。

因此这个函数的最大值，经过分类讨论之后，就会得到一个分段函数：max (4)=168(3)()(2)44(3)f a a f x f a a -≤⎧=⎨=->⎩也就是如果这个对称轴在3的左侧，也就是3a ≤的时候，离4远，在4处取得最大值，如果在右侧的话，也就是3a >的时候，离2远，在2处取得最大值。

含参二次函数的最值问题

例2：
求函数f (x) x2 2x 5在区间t,t 2上的最大值
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时，函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
二次函数含参问题
求最值
第一类：：函数对称轴不固定，区间固定
例1：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间
[0,2]上的最小值？
y
分析：对称轴 x=a是个动直线，有可能位于0的
左侧，有可能位于0与2之间，有可能位于2的右侧
O
x
X=a
解：由题知，函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
(2)t<1<t+2,即-1<t<1时当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
（3）t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减，
当x=t时，y有最大值， y max = f(t)= -t2+2t+5
y
x (2)
y
x
(1)
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
若0 a 2，则函数f(x)的最小值为f (a) a2 1
若 a 2 ，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.
所以，
1, (a 0) f (x)min a2 1, (0 a 2)

含参数二次函数最值问题

针对性练习
练习 3：求f ( x) x 2a 1x 2，x 1,3的最小值 .
2
1当a 1 1,即a 2时，f ( x) min f (3) 6a 13 2当a 1 1,即a 2时，f ( x) min f (1) 1 2a，
典型例题解析
解：对称轴 x 1,图像开口向上 , 1 、当 1 t 1, 即t 2时， f ( x ) max f (t 2) t 2 6t 4 2、当 1 t 1, 即t 2时， f ( x ) max f (t ) t 2 2t 4 所以：f ( x ) min
针对性练习
练习2：求f ( x) x 4ax 2，x 2,1 的最大值 .
2
1当 2a 2,即a 1时，f ( x)在 2,1单调递减，f ( x) max
2 在 2a,1单调递减，f ( x) max f (2a ) 4a 2 2 2
1当a 1时，f ( x)在 1,2单调递增，f ( x) min f (1) 2a 3 2当 1 a 2时，f ( x)在 1, a 单调递减，在a,2 单调递增，f ( x) min f (a ) a 2 2 3当a 2时，f ( x)在 1,2单调递减，f ( x) min f (2) 2 4a
典型例题解析
例1 ：求f ( x) x 2 2 x 3在下列区间上的最小值； 1x 2,0， 2x 2,5， 3x 2,2
分析： .定轴定区间，通过对称轴与区间的位置关系的分析，确定函数在区间上的单调性，进而确定函数在区间上的最值； b 解：对称轴x 1, a 1 0,图像开口向上 2a 1 f ( x)在 2,0单调递减，f ( x) min f (0) 3

初中含参二次函数的最值问题

初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。

其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。

在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。

1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。

我们来考虑这个函数的最值问题。

（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。

其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。

（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。

其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。

可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。

具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。

下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。

2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。

【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。

实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。

具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。

（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。

（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。

2020 中考数学含参二次函数最值讨论

使用日期：2020年月日2020 中考数学培优压轴题训练【含参二次函数最值讨论问题】模型分析：【1】具体例子：已知二次函数y=-x2+4x+6．（1）当x为何值时，y有最值？是多少？（2）当一2≤x≤1时，求函数的最值．（3）当x≥4时．求函数的最值；（4）当0≤x≤5时，求函数的最值.【2】讨论：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当m≤x≤n时，求其最值.（一）当a＞0（a＜0）时，求最小（大）值.（二）当a＞0（a＜0）时，求最大（小）值.例1例2 （2018•黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．-1 B．2 C．0或2 D．-1或2例3（2018•潍坊）已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6例5（2019秋•昌江区校级期末）已知函数y=（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当-2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当-2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m=-1，n=2，当-2≤x≤2时，此函数有最小值-4，求实数k的值.例6 （2020 白云广雅九下月考）如图①,将抛物线y=ax2(−1<a<0)平移到顶点恰好落在直线y=x−3上，设此时抛物线顶点的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式(用含a、m的代数式表示)(2)如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、 C三点，∠B=90∘,AB∥x轴，AD=2，BD:BC=1:2 .①求△ADC的面积(用含a的代数式表示)②若△ADC的面积为1，当2m−1⩽x⩽2m+1时，y的最大值为−3，求m的值。

使用日期：2020年月日 2020 中考数学培优压轴题训练例7 （2020 七中九下月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：()0122≠-+=a x ax y 和直线b kx y l +=:，点A （-3，-3），B （1，-1）均在直线l 上.（1）若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的值；（2）当a=-1时，二次函数()0122≠-+=a x ax y 的自变量x 满足m ≤x ≤m+2时，函数y 的最大值为-4，求m 的值；（3）若抛物线C 与线段AB 有两个交点，请直接写出a 的取值范围.例8 （2019 广州二中九上月考）已知抛物线y=x 2+(2m-1)x-2m(2321≤≤-m )，直线l 的解析式为 y=（k-1）x+2m-k+2.（1）若抛物线与y 轴交点的纵坐标为-3，试求抛物线的顶点坐标；（2）试证明：抛物线与直线l 必有两个交点；（3）若抛物线经过点（x 0，-4），且对于任意实数x ，不等式x 2+（2m-1）x-2m≥-4都成立；当k≤x≤k +4时，抛物线的最小值为2k+1．求直线l 的解析式．【巩固练习】1．（2017•乐山）已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m 的值是 .2．（2017秋•余杭区期末）已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c-2，y在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值。

二次函数含参问题

一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。

一．含参二次函数最值问题。

例1. 函数2()44f x x x =--在闭区间[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值记为g （t ）。

（I ）试写出g （t ）的函数表达式；（II ）求出g （t ）的最小值。

变式训练1：讨论函数2()44f x x tx =--在定义域[0，1]上的最小值。

变式训练2：20443p p x px x p x ≤≤+>+-对于满足的所有实数，是不等式都成立，求的取值范围。

二．二次函数根的区间分布归纳。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

变式训练1：已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

变式训练2：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，其横坐标一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

例3. 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

变式训练1：已知关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的根在区间[0，1]内，求实数m 的取值范围。

变式训练2 （2007年广东卷）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。

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含参二次函数在闭区间上最值问题的解题策略

含参二次函数在闭区间上最值问题的解题策
略
含参二次函数在闭区间上最值问题是高中数学中比较常见的一类
应用题型，解题需要一定的技巧和策略。

以下是解决这类问题的步骤
和方法：
一、列出含参二次函数的解析式
在解决含参二次函数在闭区间上最值问题前，首先要列出函数的
解析式。

一般来说，含参二次函数可表示为 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）。

其中，a、b、c为常数，x为自变量，f(x)为函数值。

二、确定闭区间
在这一步骤中，需要根据问题描述，确定函数所在的闭区间，常
见的闭区间如[0,1]，[1,2]等，不同的闭区间对所求的解有直接影响。

三、确定函数的最值
确定函数的最值是整个求解过程中最重要的一步，需要按照以下
几个步骤来处理：
1. 求出函数的极值点
通过求导数并将函数的导数等于0来计算函数的极值点。

即
f'(x)=2ax+b=0。

解出x的值，即可得到函数的极值点。

2. 判断极值点是否在所求的闭区间内
将极值点带入原函数来计算函数值，判断函数的最值是否在所求
的闭区间内。

3. 比较区间端点和极值点的函数值
求出闭区间端点的函数值f(a)和f(b)，并将它们与极值点的函
数值进行比较。

找出函数值最大或最小的点，即为所求的最值。

四、解答问题
最后，将求得的函数最值带入题目中，解答出最终问题。

总结：在解决含参二次函数在闭区间上最值的问题时，需要先列
出含参二次函数的解析式，确定闭区间，进而求出函数的最值，最后将所求的函数最值带入题目中进行解答。

专题二次函数含参数最值问题(解析版)

培优专题01 二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c ，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c ，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩ ，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩. 【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）． (3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【答案】(1)()234f x x x =--；(2)332m ≤≤；(3)4t =-或5t =．【分析】（1）利用换元法即得；（2）由题可得()232524f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可得函数的最小值()254f x =-，结合条件进而即得；（3）分类讨论结合二次函数的性质即得.（1）∵()226f x x x -=--，令2u x =-，则2x u =-，∵()()()222226442634f u u u u u u u u =----=-+-+-=--，所以()234f x x x =--；（2）∵()2299325344424f x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭， ∵当32x =时，32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当()4f x =-时，2434x x -=--，解得：0x =或3x =，∵()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， ∵332m ≤≤；（3）∵()234f x x x =--，对称轴为32x =，当322t +<时，则21t <-，函数在[],2t t +上单调递减，当2x t =+时，函数的最小值()()()2223246f t t t +=+-+-=，解得4t =-或3t =（舍）；当322t t ≤≤+时，则1322t -≤≤，则此时，当32x =时，函数的最小值()2564f x =-≠，不符合题意；当32t >时，函数在[],2t t +上单调递增，当x t =时，()2346f t t t =--=，解得：2t =-或5t =，∵32t >， ∵2t =-（舍），故5t =；综上：4t =-或5t =．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【答案】(1)23a b =-⎧⎨=-⎩，()224f x x x =--+ (2)()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩【分析】（1）根据不动点可列方程求解,a b ，（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.（1）依题意得()()2211f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，即()42242241a b a b ⎧-++=-⎨+++=⎩ ，解得23a b =-⎧⎨=-⎩. ()224f x x x ∴=--+.（2）∵当区间[],1t t +在对称轴14x =-左侧时，即114t +≤-，也即54t ≤-时，()f x 在[],1t t +单调递增，则最大值为()21251f t t t +=--+；∵当对称轴14x =-在[],1t t +内时，即114t t <-<+也即5144t -<<-时，()f x 的最大值为13348f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵当[],1t t +在14x =-右侧时，即14t ≥-时，()f x 在[],1t t +单调递减，则最大值为()224f t t t =--+. 所以()225251,43351,844124,4t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪--+>-⎪⎩. 【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t +时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．(1)解：因为不等式()0f x >的解集是()1,5，所以()0f x =的两根为1和5，且函数开口向下，故可设()()()15f x a x x =--()0a <，所以函数的对称轴为1532x +==，所以当[]1,4x ∈-时，()()min 11212f x f a =-==-，解得1a =-，故()()()15f x x x =---，即()265f x x x =-+-(2)解：因为()()226534f x x x x =-+-=--+，当13t +≤时，即2t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增，所以 ()()214g t f t t t =+=-+，当31t t <<+时，即23t <<时，()f x 在[],3t 上单调递增，在(]3,1t +上单调递减，所以()()34g t f ==；当3t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以()()265g t f t t t ==-+-；综合以上得()224,24,2365,3t t t g t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)2m ≤-；(2)()225-∞+，；(3)存在，6m =. 【分析】（1）根据对称轴和区间端点的相对位置即可求得m 的取值范围.（2）分类讨论当1x >时函数的最大值小于4恒成立即可求得m 的取值范围.（3）分类讨论得函数的值域结合已知条件求得m 的值.【详解】（1）函数()f x 图象开口向下且对称轴是2m x =，要使()f x 在[1,0]-上单调递减，应满足12-≤m ，解得2-≤m .（2）函数()f x 图象的对称轴是2m x =. 当12m ≤时，()4f x <恒成立，故()114f =-<，所以2m ≤；当12m >时，()4f x <恒成立，故22244160242m m m f m m m ⎛⎫=-+-<⇒--< ⎪⎝⎭；所以2225m <<+综上所述：m 的取值范围()225-∞+，（3）当22≤m ，即4≤m 时，()f x 在[2,3]上递减，若存在实数m ，使()f x 在[2,3]上的值域是[2,3]，则(2)3,(3)2,f f =⎧⎨=⎩即423,932,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩，此时m 无解. 当32≥m ，即6≥m 时，()f x 在[2,3]上递增，则(2)2,(3)3,f f =⎧⎨=⎩即422,933,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩解得6m =. 当232m <<，即46m <<时，()f x 在[2,3]上先递增，再递减，所以()f x 在2m x =处取得最大值，则23222m m m f m m ⎛⎫⎛⎫=-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =-或6，舍去. 综上可得，存在实数6m =，使得()f x 在[2,3]上的值域恰好是[2,3].【例2】已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,3，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{}13x x ≤≤.(1)求()f x 的解析式：(2)若()()()24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.【答案】(1)()243f x x x =-+；(2)1±【分析】（1）根据题意得()30f c ==，又由一元二次不等式的解可知，1和3是方程230ax bx ++=的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式；（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t ≤−1、−1＜t ＜2、t ≥2三种情况下求符合条件的t 值即可．（1）由题意可得：()30f c ==∵不等式230ax bx ++≤的解集为{}13x x ≤≤，则230ax bx ++=的两根为1,3，且0a >∵=43=3b a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=1=4a b -⎧⎨⎩故()243f x x x =-+（2）由（1）可得()()()22423g x f x t x x tx =--=-+的对称轴为=x t当1t ≤-时，则()g x 在[]1,2-上单调递增∵()()1242g x g t ≥-=+=，则1t =-当12t -<<时，则()g x 在[]1,t -上单调递减，在(],2t 上单调递增∵()()232g x g t t ≥=-=，则=1t 或1t =-（舍去）当2t ≥时，则()g x 在[]1,2-上单调递减∵()()2742g x g t ≥=-=，则54t =（舍去）综上所述：实数t 的值为1±.【例3】已知函数2()f x x ax b =++．(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；(3)若1b =时，求[0,3]x ∈时()f x 的最小值()g a ．【答案】(1)[2,)-+∞；(2)2a =-，0b =；(3)21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【分析】（1）根据函数()f x 的对称轴为2a x =-，且在(1,)+∞上是增函数，可得12a -≤，由此求得a 的范围；（2）由题意得0，2是方程的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，求出,ab 的值；（3）根据()f x 的对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得()g a ．（1）∵函数2()f x x ax b =++的对称轴为2a x =-，且()f x 在(1,)+∞上是增函数， ∵12a -≤，解得2a ≥-， ∵实数a 的取值范围是[2,)-+∞．（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，则0，2是方程20x ax b ++=的两个实数根，∵0202a b +=-⎧⎨⨯=⎩，∵20a b =-⎧⎨=⎩．（3）若1b =，则2()1=++f x x ax ，对称轴为2a x =-，当02a -≤，即0a ≥时，函数()f x 在到[0,3]单调递增，则()()min 01f x f ==，当032a <-<，即60a -<<时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，则()222min112424a a a a f x f ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，当32a -≥，即6a ≤-时，函数()f x 在[0,3]单调递减，则()()min 3103f x f a ==+，综上，21,0()1,604103,6a a g a a a a ≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩．【例4】已知函数()223f x x bx =-+，Rb ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；(3)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【答案】(1)2b =；(2){}13x x <<；(3)当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【分析】（1）由题可得()43f =，进而即得；（2）利用二次不等式的解法即得；（3）对()f x 的对称轴与区间[]1,2-的关系进行分情况讨论，判断()f x 的单调性，利用单调性解出b ，再求出最大值．（1）由题可得()244833f b =-+=，∵2b =；（2）由()2430f x x x =-+<，解得13x <<，所以不等式()0f x <的解集为{}13x x <<；（3）因为2()23f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，∵若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上是增函数，∵min ()(1)421f x f b =-=+=，解得32b =-， ∵max ()(2)7413f x f b ==-=；∵若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上是减函数，∵min ()(2)741f x f b ==-=，解得32b =（舍）； ∵若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上是减函数，在(],2b 上是增函数；∵2min ()()31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）．∵max ()(1)42422f x f b =-=+=+；综上，当1b ≤-时，()f x 的最大值为13，当12b -<<时，()f x 最大值为422+．【例5】在∵[]2,2x ∀∈-，∵[]1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间[]22-,上的值域； (2)若______，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】(1)[]3,12(2)答案见解析【分析】（1）利用二次函数的性质直接求解其值域，（2）若选条件∵，求出抛物线的对称轴，分22a -≤-，222a -<-<和22a -≥三种情况求出函数的最小值，使最小值大于等于零，即可求出a 的取值范围，若选条件∵，则()max 0f x ≥，由抛物线的性质可得()10f ≥或()30f ≥，从而可求出a 的取值范围.（1）当2a =-时，()()222413f x x x x =-+=-+，∵()f x 在[]2,1-上单调递减，在[]1,2上单调递增，∵()()min 13f x f ==，()()max 212f x f =-=，∵函数()f x 在区间[]22-,上的值域为[]3,12．（2）方案一：选条件∵．由题意，得()22424a a f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．若22a -≤-，即4a ≥，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递增， ∵()()min 2820f x f a =-=-≥，解得4a ≤，又4a ≥，∵a ＝4．若222a -<-<，即44a -<<，则函数()f x 在区间2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∵()2min 4024a a f x f ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭，解得44a -≤≤，∵44a -<<．若22a -≥，即4a ≤-，则函数()f x 在区间[]22-,上单调递减， ∵()()min 2820f x f a ==+≥，解得4a ≥-，又4a ≤-，∵a ＝－4．综上所述，实数a 的取值范围为[]4,4-．方案二：选条件∵． ∵[]1,3x ∃∈，()0f x ≥， ∵()max 0f x ≥，∵函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得． ∵()10f ≥或()30f ≥，解得5a ≥-或133a ≥-， ∵5a ≥-．故实数a 的取值范围为[)5,-+∞．【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立． (1)求二次函数()f x 的解析式；(2)若函数()()42g x f x x x λ=++-的最小值为5，求实数λ的值．【答案】(1)()2111424f x x x =-+，(2)174λ=± 【分析】（1）根据()()2f x f x +=-得到420a b +=，根据()0f x x +≥恒成立得到a c =，结合()11f a b c -=-+=，求出11,42a b ==-，14c =，求出二次函数解析式；（2）结合第一问，将()()42g x f x x x λ=++-写出分段函数，分12λ<-，1122λ-≤≤与12λ>三种情况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程，求出实数λ的值. 【详解】（1）由题意得：()11f a b c -=-+=，且0a ≠，()()210f x x ax b x c +=+++≥恒成立，故()2Δ140a b ac >⎧⎪⎨=+-≤⎪⎩，将1b a c +=+代入()2140b ac +-≤中，()20a c -≤，故a c =，从而21a b c a b -+=-=，由()()2f x f x +=-得：()()()22222f x a x b x c ax bx c +=++++=-+，整理得()42420a b x a b +++=，故420a b +=，联立21a b -=与420a b +=，解得：11,42a b ==-，故14c a ==，二次函数解析式为()2111424f x x x =-+；（2）函数()()2421g x f x x x x x λλ=++-=++-的最小值为5，()2222131,24131,24x x x x g x x x x x λλλλλλ⎧⎛⎫+-+=+-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，且()21g λλ=+，即在端点处分段函数的函数值相等，当12λ<-时，()g x 在12x <-上单调递减，在21x ≥-上单调递增，故()g x 在12x =-处取得最小值，即354λ-+=，解得：17142λ=-<-，符合要求；当1122λ-≤≤时，()g x 在x λ<上单调递减，在x λ≥上单调递增，故()g x 在x λ=处取得最小值，即215λ+=，解得：2λ=±，不合题意，舍去；当12λ>时，()g x 在12x <上单调递减，在12x ≥上单调递增，故()g x 在12x =处取得最小值，即354λ+=，解得：17142λ=>，符合要求；综上：174λ=±. 【例2】已知函数()R a a x x x f ∈-+=,22． (1)若()x f 为偶函数，求a 的值；(2)若函数()()2+=x af x g 的最小值为8，求a 的值．【答案】(1)0，(2)2【分析】（1）利用偶函数的定义，列出关系式，即可求出a 的值；（2）化简函数为分段函数，通过讨论a 的范围，列出关系式求解即可．【详解】（1）因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，故x 2＋2|－x －a |＝x 2＋2|x －a |，所以|x ＋a |＝|x －a |，即x 2＋2ax ＋a 2＝x 2－2ax ＋a 2，化简得4ax ＝0，因为x ∵R ，所以a ＝0．（2）22222(1)22,()()222(1)22,a x a a x ag x af x ax a x a a x a a x a ⎧+--+=+=+-+=⎨-+-+<⎩∵若a ＝0，则g (x )＝2，不合题意； ∵若a ＜0，则g (x )无最小值，不合题意； ∵若0＜a ≤1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )；当x ＜a 时，g (x )在(－∞，a )上单调递减，g (x )＞g (a )．所以，g (x )的最小值为g (a )＝a 3＋2＝8，所以a ＝36＞1，舍去； ∵若a ＞1，当x ≥a 时，g (x )在[a ，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (a )；当x ＜a 时，g (x )在(－∞，1]上单调递减，在(1，a )内单调递增，所以g (x )≥g (1)，因为g (1)＜g (a )，所以g (x )的最小值为g (1)＝2a 2－a ＋2＝8，所以a ＝32-(舍去)或a ＝2，综上所述，a ＝2．【例3】已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间； (2)若函数()f x 在[1,4]上的最小值是3-，求a 的值【答案】(1)单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)3或4【分析】（1）当2a =时，求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；（2）分1a <，12a ≤<，24a ≤<，48a ≤<和8a ≥五种情况进行讨论，结合函数的图象得到对应的最小值，即可得到答案（1）当2a =时，()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩, 所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩, 当2x <时，231y x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =，所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当2x ≥时，21y x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减，综上可知，()g x 的单调递增区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭；（2）当1a <时，()224()124a a f x x x a x +⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭，因为122a <，所以()min ()44153f x f a ==-=-，解得3a =，故舍去；当12a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为1122a≤<，所以()f x 在[]1a ，递增，在[],4a 递减，所以()f x 的最小值在()1f 或()4f 中取，且()22411224a a f a -⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2244441524a a f a +⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，若()f x 的最小值为()123f a =-=-，解得5a =，故舍去；若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =，故舍去；当24a ≤<时，()22224,4244,124a a x a x f x a a x x a ⎧+⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为122a ≤<，所以()f x 在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，在,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在[],4a 递减，所以()f x 的最小值在2a f ⎛⎫⎪⎝⎭或()4f 中取，若()f x 的最小值为24324a af -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得4a =±，故舍去；若()f x 的最小值为()44153f a =-=-，解得3a =，检验：353224a f f ⎛⎫⎛⎫==->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故满足；当48a ≤<时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为242a ≤<，所以2min 4()324a af x f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，因为48a ≤<，解得4a =；当8a ≥时，()224()124a a f x x a x x -⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为42a≥，所以()min ()41743f x f a ==-=-，解得5a =，故舍去；综上所述，a 的值为3或4【点睛】关键点睛：这道题的关键在于比较对称轴2a和a 与区间[]1,4的关系，分成了5种情况，数形结合，利用二次函数的图象与性质得到对应的最小值【例4】已知函数() 2.f x x x a =-+ (1)当2a =时，求()f x 的单调增区间；(2)若12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，求实数a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞ (2)(,1)(22,)-∞⋃+∞【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()f x 的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围．（1）当2a =时，()2222,22222,2x x x f x x x x x x ⎧-+=-+=⎨-++<⎩，2≥x 时，()f x 单调递增，2x <时，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，（2）12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->所以()()12max 2f x f x ->，即()()max min 2f x f x ->，∵当2≤a 时，()22f x x ax =-++，对称轴2a x =， (i)当221≤≤a 即42≤≤a 时，()2max224a a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ()()min 02f x f ==，所以()20224a a f f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以22a >或22a <-，因为42≤≤a ，所以224a < ， (ii)当22a>即4a >时，()()max 222f x f a ==-， ()()min 02f x f ==，所以()()20242f f a -=->，3a >，因为4a >，所以4a >，∵当0a 时，()22f x x ax =-+，对称轴02ax =<，所以()()max 262f x f a ==-，()()min 02f x f ==，所以()()20422f f a -=->，1a <，所以0a ，∵当02a <<时，()222,02,2x ax x af x x ax a x ⎧-++<<=⎨-+<<⎩，因为()()()min 022f x f f ===，因为()220124a a f f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以2a f ⎛⎫⎪⎝⎭不可能是函数的最大值，所以()()max 262f x f a ==-，所以()()20422f f a -=->，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(,1)(22,)-∞⋃+∞ .【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]x x ∃∈，使()()122f x f x ->，转化为()()max min 2f x f x ->，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力【例5】已知函数()f x x m =-.(1)若函数()f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若函数()()2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【答案】(1)(],1-∞ (2)2m =-或231m =-【分析】（1）化为分段函数，结合单调性得到实数m 的取值范围；（2）化为分段函数，对m 分类讨论，结合最小值为7，求出实数m 的值，注意舍去不合要求的值. (1)(),,x m x m f x x m m x x m -≥⎧=-=⎨-<⎩，即()f x 在()m -∞，上单调递减，在[),m +∞上单调递增，若函数()f x 在[]1,2上单调递增，则1m ，所以实数m 的取值范围是(],1-∞；(2)()()222222,,x mx m x mg x xf x m x x m m x mx m x m ⎧-+≥=+=-+=⎨-++<⎩, ∵当1m 时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-或3（舍去）；∵当12m <≤时，()()2min 7g x g m m ===，解得：7m =±（舍去）；∵当23m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近1，所以()()2min 2247g x g m m ==+-=，解得：231m =-或231--（舍去）；∵当34m <≤时，()g x 在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2m x =更靠近2，所以()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；∵当4m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，故()()2min 117g x g m m ==-+=，解得：2m =-（舍去）或3（舍去）；综上：2m =-或231m =-.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)12a =-，1b =(2)存在，2,0m n =-=【分析】（1）由()20f =、()210ax b x +-=有两个相等的实数根可得答案；（2）假设存在符合条件的m ，n ．21122f x x x ，得14n ≤，由一元二次函数图象的特征结合定义域和值域可得答案. （1）由()2f x ax bx =+，()20f =，得420a b +=，又方程()f x x =，即()210ax b x +-=有两个相等的实数根，所以()2140--=b a ，解得1b =，12a =-；（2）假设存在符合条件的,m n ，由（1）知22111112222f xx x x ，则有122n ≤，即14n ≤，由一元二次函数图象的特征，得14()2()2m n f m m f n n ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即2214122122m n m m m n n n⎧<≤⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，解得20m n =-⎧⎨=⎩，所以存在2m =-，0n =，使得函数()f x 在[]2,0-上的值域为[]4,0-．【例2】已知函数()11,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩. (1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值； (2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2； (2)104m <<.【分析】（1）根据函数()f x 的单调性可知，()()f a f b =可等价于1111a b -=-，即可解得11a b+的值；（2）根据函数()y f x =在[,]a b 上的单调性，即可确定()y f x =在[,]a b 上的值域，从而根据根的分布建立方程组，即可解出m 的取值范围． (1)由题意得()y f x =在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，由0a b <<，且0a b <<，可得01a b <<<且1111a b-=-因此112a b+=.(2)当[),1,a b ∞∈+时，则()y f x =在[)1,+∞上为增函数故1111ma amb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 即a b ､是方程210mx x -+=的两个根即关于x 的方程210mx x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实数根. 设()21g x mx x =-+，则()Δ0101120g m m >⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩ 解得104m <<. 【例3】已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠． (1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；(2)设0m n <<且0a >时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【答案】(1)()f x 在[],m n 上单调递增，理由见解析 (2)433【分析】（1）由定义法直接证明可得；（2）由题知,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根，然后整理成一元二次方程，由判别式和韦达定理列不等式组求解可得a 的范围，再用韦达定理表示出所求，然后可解. (1)设120<m x x n ≤<≤，则()()1212222121211x x f x f x a x a x a x x --=-+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；(2)由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，则,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根，即()222210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，则222222Δ2402010a a a a a m n a mn a ⎧=+->⎪⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩（），解得12a >，222222241216()4333a a n m n m mn a aa ⎛⎫+⎛⎫∴-=+-=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1,2a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，32a ∴=时，n m -最大值为433；【例4】已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 的图像经过原点O ，满足对任意实数x 都有(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2()2f x x x =-+ (2)存在，0,1m n ==【分析】（1）由题意列方程求解,,a b c（2）根据定义域与对称轴关系，讨论()f x 值域后求解 (1)()f x 经过原点，故0c，()2f x x =，即2(2)0ax b x +-=有两个相等的实数根，由Δ0=知2b =，(3)(1)f x f x -=-，故()f x 的对称轴为1x =，即12ba-=，1a =-，函数()f x 的解析式为2()2f x x x =-+．(2)2()(1)11f x x =--+≤，故11n -≤≤，故()f x 在[,]m n 上单调递增，由题意得222222m m m n n n ⎧-+=⎨-+=⎩又m n <，解得01m n =⎧⎨=⎩ 存在0,1m n ==满足题意【例5】已知函数()f x =x 2－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；(2)若函数f (x )的保值区间为[m ，n ]()m n <，且f (x )在[m ，n ]上单调，求实数b 的取值范围．【答案】(1)[1,)-+∞和[3,)+∞ (2)591,2,44⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】（1）根据对称轴为标准分类讨论，使其满足定义即可求解；（2）以对称轴为界分类讨论，依据单调性建立等式，再将问题转化为二次函数或一元二次方程问题求解. (1)当0b =时，2()2f x x x =-，其对称轴为1x =.当1t ≤时，()[1,)f x ∈-+∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则1t =-，区间为[1,)-+∞；当1t >时，2()[2,)f x t t ∈-+∞，定义域为[,)t +∞，此时，要满足函数f (x )是形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间，则22t t t -=，解得3t =或0=t （舍），因此，此时区间为[3,)+∞.综上可知，函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间为[1,)-+∞和[3,)+∞； (2)因为函数f (x )的定义域、值域都为[m ，n ]，且f (x )在[m ，n ]上单调，当m ≥1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，此时()()f m m f n n =⎧⎨=⎩即222,2,m m b m n n b n ⎧-+=⎨-+=⎩等价于方程x 2－3x ＋b ＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，令g (x )＝x 2－3x ＋b ，则有Δ940,(1)20,31,2b g b ⎧⎪=->⎪=-+≥⎨⎪⎪>⎩解得924b ≤<；当n ≤1时，函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，此时()()f m n f n m =⎧⎨=⎩即2222m m b n n n b m ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减得：(m －n )(m ＋n －1)＝0，即m ＝n (舍)或m ＋n －1＝0，也即m ＝1－n ，由m <n 可得112n <≤，将m ＝1－n 代入n 2－2n ＋b ＝m 可得方程n 2－n ＋b －1＝0在1(,1]2上有解，即为函数b ＝－n 2＋n ＋1在1(,1]2上的值域问题，因为22151()24b n n n =-++=--+在1(,1]2上单调递减，所以b 5[1,)4∈．综上所述，b 的取值范围是59[1,)[2,)44⋃．【例6】已知函数()221x f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数t 的取值范围．【答案】(1)(,1)-∞ (2)2- (3)(0,1)【分析】（1）化简函数得21()1(0)f x x x=-≠，由20x >，可求出2111x -<，从而可求得函数的值域，（2）等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，转化为2k x x ≤-+在[]1,2x ∈时恒成立，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，可得()h x 在[]1,2上单调递减，从而可求出其最小值，进而可求得实数k 的最大值，（3）由题意得min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得,m n 是方程2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，则有Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，从而可求出实数t 的取值范围（1）由题意得21()1(0)f x x x =-≠，因为20x >，所以210x >，则2111x -<，所以函数()f x 的值域为(,1)-∞ （2）因为[]1,2x ∈，所以不等式可化为2311kx x x ≤-+-，所以2k x x ≤-+，令2211()24h x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，则()h x 在[]1,2上单调递减，所以min ()(2)422h x h ==-+=-，所以2k ≤-，所以实数k 的取值范围为(,2]-∞-，所以实数k 的最大值为2- （3）由题意得2()1tg x t x =-++，因为0t >，所以()g x 在11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min max 11()23,()23g x g m g x g n m n ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()221123,1123t m m t n n -+=--+=-，所以,m n 是方程()21123t x x -+=-，即2310(0)tx x t t -+-=>的两个不相等的正根，令2()310(0)x tx x t t ϕ=-+-=>，其图象开口向上，对称轴为直线32x t=，且有两个不相等的正零点，所以Δ94(1)0302(0)10t t t t ϕ=-->⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，即01t R t t ∈⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得01t <<所以实数t 的取值范围为(0,1)【例7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，当0x >时，()22f x x x =-，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不存在，说明理由．【答案】(1)()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，； (2)[)3,∞+； (3)存在，151,2a b +==.【分析】（1）根据函数是奇函数以及大于零时()f x 的解析式，即可容易求得结果；（2）根据（1）中所求，结合()f x 的单调性，列出不等关系，即可求得参数范围；（3）根据()h x 的单调性，结合,a b 是方程32210x x -+=的两个正根，求解即可. (1)由题意，任取0x <，则0x ->，故有()22f x x x -=--，因为()f x 是定义在R 上的函数，且()()0f x f x +-=，即函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，0x ∴<时，()()22f x f x x x =--=+，又0x =时，()()000f f +=，即()00f =，所以()222020x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，，． (2)当[)1,x ∞∈+时，()()2(1)1g x f x x ==--+，在[)1,+∞单调递减，又当(),1x ∞∈-时，()223g x x mx m =-+-，且()g x 在R 上单调递减，所以121231m m m ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩，解得3m ≥，即m 的取值范围为[)3,∞+. (3)当0x >时，()2(1)11f x x =--+≤，若存在这样的正数a ,b ，则当[]()max 1,[]1x a b f x a∈=≤时，，故1a ≥， ()f x ∴在[],a b 内单调递减，()()221212f b b b bf a a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，所以,a b 是方程32210x x -+=的两个正根， ()()32221110x x x x x -+=---=， 12151,2x x +∴==，故存在正数1512a b +==，满足题意. 【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-． (1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．(2)证明：对任意[]11,2x ∈，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立．【答案】(1)2 (2)证明见解析【分析】（1）由题意，可得Δ0=，从而即可求解；（2）利用对勾函数单调性求出()f x 在[1,2]上的值域，再分三种情况讨论二次函数()g x 在闭区间[]1,3-上的值域，然后证明()f x 的值域是()g x 值域的子集恒成立即可得证. （1）解：因为()g x 的值域为[)0,∞+，所以()()222414420a a a a a ∆=--=-+=-=，解得2a =．（2）证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得()1111f x x x =+在[]1,2上单调递增，所以()152,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．设()21g x x ax a =-+-在[]1,3-上的值域为M ，当12a≤-，即2a -时，()g x 在[1,3]-上单调递增，因为max ()(3)8212g x g a =-=，min ()(1)24g x g a -==-，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当32a，即6a 时，()g x 在[1,3]-上单调递减，因为max ()(1)212g x g a -==，min ()(3) 824g x g a =--=，所以2,52M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；当132a -<<，即26a -<<时，22min 11()1(2)(4,0]244a g x g a a a ⎛⎫==-+-=--∈- ⎪⎝⎭，max ()max{2, 82}[4,12)g x a a =-∈，所以52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦；综上，52,2M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在[1,2]上的值域是()g x 在[1,3]-上值域的子集恒成立，所以对任意1[1,2]x ∈总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立.【例2】函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x . (1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：∵()11+-g x 是奇函数；∵当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1,1-- (2)[]2,4-【分析】（1）设()f x 的对称中心为(),a b ，根据对称性得到关于,a b 的方程，解得即可得解；（2）易求得()f x 的值域为[]2,4-，设函数()g x 的值域为集合A ，则问题可转化为[]2,4A ⊆-，分0m ≤，2m ≥和02m <<三种情况讨论，从而可得出答案.【详解】（1）解：()()()2211666111x x x x f x x x x x +-+-+-===-+++，设()f x 的对称中心为(),a b ，由题意，得函数()y f x a b =+-为奇函数，则()()f x a b f x a b -+-=-++，即()()20f x a f x a b ++-+-=，即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()221610a b x a b a a ⎡⎤---+-+=⎣⎦，所以()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1,1a b =-=-，所以函数()f x 的对称中心为()1,1--；（2）解：因为对任意的[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，所以函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集，因为函数6,1y x y x ==-+在[]1,5上都是增函数，所以函数()61f x x x =-+在[]1,5上是增函数，所以()f x 的值域为[]2,4-，设函数()g x 的值域为集合A ，则原问题转化为[]2,4A ⊆-，因为函数()11+-g x 是奇函数，所以函数()g x 关于()1,1对称，又因为()11g =，所以函数()g x 恒过点()1,1，当02m≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1上递增，则函数()g x 在(]1,2上也是增函数，所以函数()g x 在[]0,2上递增，又()()()0,2202g m g g m ==-=-，所以()g x 的值域为[],2m m -，即[],2A m m =-，又[][],22,4A m m =-⊆-，所以2240m m m ≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，解得20m -≤≤，当12m≥即2m ≥时，()g x 在[]0,1上递减，则函数()g x 在(]1,2上也是减函数，所以函数()g x 在[]0,2上递减，则[]2,A m m =-，又[][]2,2,4A m m =-⊆-，所以2224m m m ≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得24m ≤≤，当012m<<即02m <<时， ()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，又因函数()g x 过对称中心()1,1，所以函数()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，故此时()()min min 2,2m g x g g ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()()max max 0,22m g x g g ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，要使[]2,4A ⊆-，只需要()()()222202222404222422402g g m m m g m g m m m m g g m m ⎧=-=-≥-⎪⎛⎫⎪=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎪=≤⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪<<⎩，解得02m <<，综上所述实数m 的取值范围为[]2,4-.【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数()g x 的值域是函数()f x 的值域的子集，有一定的难度. 【例3】已知函数2()3,()221()f x x g x x ax a a =-+=-+-∈R ． (1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；(2)若对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a = (2)1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二次函数的图像与性质，得到Δ0=，求解即可.（2）将问题转化为()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，然后利用二次函数的性质以及一次函数的性质，求解两个函数的最值，求解不等式组，即可得出答案. （1）∵函数2()221g x x ax a =-+-的值域为[0,)+∞，∵2(2)4(21)0a a ∆=--=，解得1a =；（2）由题意可知()()()()min minmax max f x g x f x g x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩对于函数()3f x x =-+在[2,2]-上是减函数，∵min max ()(2)1,()(2)5f x f f x f ===-=，函数2()221g x xax a =-+-图象开口向上，对称轴为直线x a =．∵当2a ≤-时，函数()g x 在[2,2]-上为增函数，min max?()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+，∵163,523,a a ≥+⎧⎨≤-+⎩此时2a ≤-； ∵当20a -<≤时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)23g x g a a a g x g a ==-+-==-+，∵2121,523,a a a ⎧≥-+-⎨≤-+⎩此时21a -<≤-；∵当02a <<时，函数()g x 在区间[2,]a -上为减函数，在[],2a 上为增函数，2min max ()()21,()(2)63g x g a a a g x g a ==-+-=-=+， ∵2121,563,a a a ⎧≥-+-⎨≤+⎩此时123a ≤<； ∵当2a ≥时，函数()g x 在[2,2]-上是减函数，∵max min ()(2)63,()(2)23g x g a g x g a =-=+==-+， ∵123,563,a a ≥-+⎧⎨≤+⎩此时2a ≥；综上所述，实数a 的取值范围是1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．。

含参二次函数的最值问题

(2)t<1<t+2,即-1<t<1时当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
y
x (2)
（3）t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减，当x=t时，y有最大值， y max = f(t)= -t2+2t+5
y
x
(1)
y
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
变式作业上第9题已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值 2，求a？
第2类:函数对称轴固定，动区间
例2：
t, t 2上的最大值求函数f ( x) x2 2x 5在区间
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时，函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
x
(3)
例3：求二次函数f(x)=x2-2x-3 在[-3,a] (a>-3)上的最值
y
(1)当 3 a 1时
a -3 o
1
f ( x)min =f(a)=a2-2a-3
x
f ( x)max =f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y
y
-3 o1Leabharlann a5x-3 o
1
5a
x

含参二次函数的最值问题

二次函数相关的定义域与最值问题

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总

1.含参数二次函数的最值问题

含参数二次函数最值问题解法

《二次函数的最值问题》教案

二次函数方程不等式的含参问题

求解含参二次函数最值问题的步骤

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