收敛数列的性质和函数极限的性质

定理 2.2 若在 x 的某个极限过程中, f ( x)有
极限,则存在这个过程的一个时刻, 在此时刻以
后 f ( x)有界.
如：(1 )若 lim f(x )A ,A R
x x 0
则U(x0,),
f(x)在U(x0,)上有.界
(2) 若 limf(x)存在，
x
则 X > 0,
使得当 x X 时，
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 ab.
证法1 ( 用反证法) 假设
nl im xna
及
limxnb且
n
ab.
因
nl im xna
取 ba,
2
N1 N+,
使当 n > N1 时,
即当 n > N1 时,
从而
使当
n
>
N1 时,
xn
a
2
b,
xn
a
b, 2
xn
1 n
Biblioteka Baidu0,
但n l i m xnn l i m n 10.
a0.
推论2.3 (保序性)
(1)若NN， 使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lix n m a , liy n m b ， a b . 则
n
n
(2) 若
时, 有
证 ( 用反证法) 假设 ab.
取 a2b,
因
limxna,
即收敛数列必有界.
注 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件.
关系： { xn } 收敛
{ xn } 有界
例如, 数列 {(1)n1} 虽有界，但不收敛 . 推论 无界数列必发散.
3. 保号性、保序性
定理2.3 (收敛数列的保号性)
(1) 若 n l i x m n a , 且 a (< )0 ,
这与 x2Nx2N1(1)12 矛盾！ 因此该数列发散 .
2. 有界性
定义 对数列xn, 若存在正数 M, 使得一切正整 数n, 恒有xn M成立, 则称数列 xn有界；否则, 称为{xn}无界.
例如: 数xn 列 （ 1 ） n1 有界
数列 xn2n 无界
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点xn都 落 在 闭 区 间 [M,M]上 .
xna2byn,
与已知矛盾, 于是定理得证.
4. 收敛数列与其子数列的关系 (1) 子数列的概念
x n 1 ,x n 2 ,..x .n k ,,... 其 1 n 1 中 n 2 . .n k . ... 则{xnk}：称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。
例如, 从数列 { 1 } 中抽出所有的偶数项 n
例1 证明数列 x n ( 1 )n 1 (n 1 ,2 , )是发散的.
证 用反证法.
假设数列{ xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
对于
1 2
,
则存在
N
,
使当
n
>
N
时, 有
ax n 1 2 x( na x1 2 n a, a a121 2 )1 2
于是推得 x2Nx2N 11, 区间长度为1
定理2.2 (收敛数列的有界性)
收敛的数列必定有界.
即若 limxna,
n
则 常M 数 0,
使 xn M (n =1,2,…).
证设
取 1,则 N,当nN时, 有
xna1,
从而有
xnaa1 a
取 M m x 1 , a x 2 , x ,x N ,1 a
则有 x n M (n 1 ,2 , ).
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
且存在
f(x)0， (f(x)0), 则 A 0 .( A 0 ).
定理 n l i mxna
k l i x m 2 k k l i x m 2 k 1 a .
例如，
发散 !
kl im x2k1kl im x2k11
二、函数极限的性质
1. 唯一性 定理2.1' ( 函数极限的唯一性)
若lim f(x)(如： limf(x)存 ) 在，则.极
xx0
2. 局部有界性
从而
使当
n
>
N1
时,
xn
a
b, 2
同理, 因 nl im xnb
故 N2 N+, 使当 n > N2 时, 有
a
2
b
xn
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
a
2
b
取 N m a x N 1 ,N 2 ,则当 n > N 时,
既 x n有 a 2b ，x 又 na 2 有 b矛盾！故假设不真 !
xna
取正整数 K , 使
于是当 kK时, 有
nk nK N 从而有
kl i m xnka.
xnk a ,
注 1° 某{ xnk }收敛
{xn}收敛
例如， 数 x n （ 列 1 ） n 1 ，k l 虽 ix m 2 k 然 1
但{ xn} 发散.
2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限， 则原数列一定发散 .
n
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
则 NN，使当n > N 时，
恒有 xn 0. (<)
(2) 若 x n 0 ( n N 0 ), (<)
且 limxna, 则 a 0.
n
()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
a (2) 用反证法证明.
注 由 x n 0 ( n N 0 ) ， n l ix 且 n m a
如：