概率分布列
分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
高二概率分布列知识点总结
高二概率分布列知识点总结概率分布列是概率论中的一种重要工具，用于描述离散型随机变量的取值与其概率之间的关系。
在高二阶段，学生需要掌握概率分布列的概念、性质以及计算方法等知识点。
本文将从这些方面逐一进行总结。
一、概率分布列的概念概率分布列是指将随机变量的所有可能取值及其对应的概率按照一定的格式列出来，以便于统计和分析。
对于一个离散型随机变量X，概率分布列的一般形式为：X | x1 | x2 | ... | xnP(X) | p1 | p2 | ... | pn其中，x1、x2、...、xn 表示随机变量X的所有可能取值，p1、p2、...、pn 表示对应取值的概率。
二、概率分布列的性质1. 概率非负性：对于所有可能取值xi，其对应的概率pi必须大于等于零，即pi ≥ 0。
2. 概率和为1：概率分布列中的所有概率之和必须等于1，即p1 + p2 + ... + pn = 1。
三、概率分布列的计算方法1. 等可能事件的概率分布列：当随机变量的各个取值具有相同的概率时，可以使用等可能事件的概率分布列。
例如，抛硬币的结果是正面或反面，它们的概率都是1/2。
2. 频率概率的概率分布列：当通过实验或观察来确定随机变量的各个取值及其对应的概率时，可以使用频率概率的概率分布列。
例如，通过调查某班同学身高的分布情况，可以得到相应的概率分布列。
3. 几何概率的概率分布列：当随机变量的取值来自于几何概率的实验，如抽奖、投掷骰子等时，可以使用几何概率的概率分布列。
例如，抛硬币出现正面的次数，它的概率分布列为：X | 0 | 1 | 2P(X) | 1/2 | 1/2 | 0四、常见概率分布列1. 二项分布：二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数满足概率分布列。
例如，n次抛硬币的正面次数，其概率分布列可以通过二项分布计算得出。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一段时间或一定区域内，独立事件发生的次数满足概率分布列。
分布列概率公式
分布列概率公式好的，以下是为您生成的关于“分布列概率公式”的文章：咱先来说说啥是分布列概率公式哈。
简单来讲，这玩意儿就是在概率学里头帮咱们搞清楚各种可能情况出现的概率到底是多少的工具。
就拿我之前教过的一个班来说吧。
有次课堂上，我让同学们做一个小游戏，就是扔骰子。
咱假设骰子六个面分别标着1 到6 这几个数字。
那扔一次骰子，出现 1 的概率是 1/6，出现 2 的概率也是 1/6，以此类推。
这其实就是最简单的一种概率分布。
那分布列概率公式到底咋用呢？比如说，有个抽奖活动，奖券号码从 1 到 100，只有抽到特定的几个号码才能中奖。
那咱们就得算算每个号码中奖的概率是多少，这时候分布列概率公式就派上用场啦。
咱再深入一点，假如说有个袋子，里面装着红、蓝、绿三种颜色的球，红球有 3 个，蓝球 2 个，绿球 1 个。
那从袋子里随机摸一个球，摸到红球的概率就是 3/6，摸到蓝球的概率是 2/6，摸到绿球的概率是1/6。
如果咱们把这些概率整理成一个表格，这就是一个简单的分布列。
其实在生活里，分布列概率公式的应用可多了去了。
就像买彩票，虽然中奖的概率低得可怜，但咱也能通过这个公式大概算算自己的“幸运指数”。
还有像考试的时候，蒙个选择题，ABCD 四个选项，每个选项正确的概率理论上都是 1/4。
再比如说，学校组织运动会，报名参加跑步比赛的同学有 10 个。
其中小明平时跑步速度特别快，他夺冠的可能性比较大，咱们假设他夺冠的概率是 0.3，其他同学夺冠的概率分别是 0.1、0.15 等等。
这也能弄出个概率分布列来。
回到学习上，同学们刚开始接触这个分布列概率公式的时候，可能会觉得有点头疼，这很正常。
就像当初我学的时候，也迷糊了好一阵子。
但只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能搞明白了。
比如说，有道题是这样的：一个盒子里有 5 个白球，3 个黑球，每次随机取出一个球，不放回，求取到白球和黑球的概率分布。
这时候咱们就得好好想想了，第一次取到白球的概率是 5/8，取到黑球的概率是 3/8。
分布律和分布列
分布律和分布列分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域，包括统计学、工程学、金融学等。
本文将详细介绍分布律和分布列的概念、性质及其在实际应用中的意义。
一、分布律的定义与性质分布律又称分布函数，通常用F(x)来表示。
假设随机变量X的取值范围为实数轴上的所有实数，F(x)表示X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。
分布律具有以下性质：1. F(x)是一个非降函数，即F(x)在定义域内具有单调性。
2. F(x)的取值范围在[0,1]之间。
3. F(x)是一个右连续函数，即对于任意的x，F(x)在右侧连续。
4. F(x)在x处的导数等于X=x处的概率密度函数f(x)，即F'(x) = f(x)。
二、分布列的定义与性质分布列是离散随机变量的分布函数，通常用p(x)来表示。
假设随机变量X的取值范围为{x1,x2,…,xn}，则p(x)表示X等于x的概率，即：p(xi) = P{X=xi}分布列具有以下性质：1. 对于所有的i，有0 ≤ p(xi) ≤ 1。
2. ∑_i=1^n p(xi) = 1。
3. p(x)是一个非降函数。
三、分布律与分布列的区别分布律用来描述连续随机变量的概率分布，而分布列则用来描述离散随机变量的概率分布。
因为连续随机变量可以取无限多个值，所以概率密度函数f(x)是用来表示概率分布的。
分布律F(x)是f(x)的积分，表示随机变量小于等于某个值的概率。
而离散随机变量只能取有限个取值，所以概率可以用一个列表来表示。
分布列p(x)就是这个列表，它表示随机变量取某一特定值的概率。
四、分布律与分布列的应用分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域。
例如，在统计学中，分布律和分布列常常用来描述样本数据的概率分布，从而进行统计推断；在工程学中，分布律和分布列常常用来描述工程系统的性能分布，从而进行系统设计和优化；在金融学中，分布律和分布列常常用来描述金融资产的风险分布，从而进行投资决策和风险控制等。
概率统计分布列知识点总结
概率统计分布列知识点总结一、离散分布对于离散型随机变量，它取值为有限个或者可数个。
在概率统计中，常见的离散分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两种可能结果的随机实验的分布。
例如，抛一次硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个典型的伯努利分布。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=x) ={p, if x=11-p, if x=0}其中，p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
伯努利分布的期望值为p，方差为p(1-p)。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验的结果。
例如，抛n次硬币，其中正面的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示事件发生的次数，p表示事件发生的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
3. 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，单位时间内接到的电话数、单位时间内发生事故的次数等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差都等于λ。
二、连续分布对于连续型随机变量，它可以取任意的实数值。
在概率统计中，常见的连续分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
1. 均匀分布均匀分布描述了取值在一定范围内的随机变量的概率分布。
例如，在区间[a,b]内取值的随机变量就可以用均匀分布来描述。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) ={1 / (b-a), if x∈[a,b]0, otherwise}均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)^2 / 12。
2. 正态分布正态分布是最常见的连续分布之一，它具有许多重要的性质，例如中心极限定理。
概率分布列
离散型随机变量及其分布1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示例1：抛掷一枚均匀骰子一次，随机变量为( )A ．掷骰子的次数B ．骰子出现的点数C ．出现1点或2点的次数D ．以上都不正确例2： 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果⑴一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量 叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量 就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序 一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）例：①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ； ②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③5. 概率分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表例：已知随机变量ξ的概率分布列如下表所示，分别求下列随机变量的概率分布列⑴ η=2ξ+1 ⑵ η=ξ26. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的 概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴ P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵ P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ例1：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于 ( A ．1 B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋22例2：已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝12k ，k ＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于( )A.316 B.14 C.116 D.5167.两点分布列:在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列(0一1分布或伯努利分布．)．8. 超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次 品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列 例．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： ⑴取到的次品数X 的分布列； ⑵至少取到1件次品的概率．巩固提高1.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是( )A ．2B ．2或1C ．1或0D ．2或1或03．随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ） A ．3n =； B ．4n =； C ．10n =； D ．不能确定 4.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．112 5.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数； B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和6．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数， 则P(ξ＝0)＝( ) A ．0B.12C.13D.237．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P(ξ＝2)B ．P(ξ＝3)C ．P(ξ≤2)D ．P(ξ≤3)8．已知随机变量X 的分布列为：P(X ＝k)＝12k ，k ＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝( )A.316B.14C.116D.5169．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝ck ＋1，k ＝0、1、2、3，则c ＝____ ____.10．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck(k ＋1)，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52则值为( )A.23B.34C.45D.5611．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．12．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．13． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 ⑴一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η14． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？15．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．16．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续取3次球，每次取1个，求：⑴不放回抽样时，取到黑球的个数ξ的分布列；⑵放回抽样时，取到黑球个数η的分布列．17．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为18．一个口袋有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3个，以ξ表示取出球最小的号码，求ξ的分布列．19．将4个小球任意地放入5个大的玻璃杯中去，杯子中球的最大个数记为ξ，求ξ的分布列．20．箱中装有10个苹果，其中有6个合格品，4个是次品，从箱子中任意抽取4个苹果，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．21．盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：⑴取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；⑵随机变量ξ的概率分布．。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x i ,x 2,…3X …x 若取每一个值x i (i=1,2, , -n)的概率为P( x i ) P i ，则称表为随机变量的概率分布，简称 的分布列 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) P i > 0,i=1,2 …，n ; (2) P i +P 2+n+P n =1要点四、两类特殊的分布列1. 两点分布随机变量X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列.要点诠释：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1)为成功率. (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛 ，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究2. 超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，则则事件{X=k }n N,M N,n, M,N N •称分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列， 则称随机变量 X 服 从超几何分布1. 定义设A 、B 为两个事件，且P(A) 0，在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概 率叫做条件概率。
用符号 P(B | A) 表示。
发生的概率为P(Xk)k n kC M C N MC N,k 0,1,2,L ,m ,其中min{ M , n},且P(B| A)读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的. 而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.2 . P ( A | B)、P (AB)、P (B)的区别P (A | B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
高考数学复习：概率与分布列题型
高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。
高中数学总结归纳 概率分布列的求解策略
概率分布列的求解策略一、弄清“随机变量的取值”是第一步确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能不能取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．搞清这些，是求离散型问题最基本的要求．例1 写出下面随机变量可能的取值，并指出随机变量的试验结果．如从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和． 解：ξ的可能取值为3，4，5，6，7，其中ξ＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片． 二、弄清“事件的类型”是关键随机事件包括互斥事件，独立事件等，在计算相应的概率前要确定事件类型． 例2 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求答对试题数ξ的概率分布． 分析：答对试题数ξ的可能取值为：0，1，2，3四种情况．解：因343101(0)30C P C ξ===；12643103(1)10C C P C ξ===；21643101(2)2C C P C ξ===；363101(3)6C P C ξ===．所以答对试题数ξ的概率分布列为三、最后“运用排列组合知识求出相应事件的概率”求离散型随机变量的分布列，要求必须正确地求出相应事件的个数，即正确求出相应的排列组合数，也就是正确的计算相应事件的概率，所以必须掌握好排列组合知识． 例3 盒中的零件有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布．分析：题设中要求取出的次品不放回，应仔细分析每一个ξ所对应的事件的准确含义，再结合排列组合的知识正确计算概率()P ξ．解：ξ的可能取值为0，1，2，3这四个数，而k ξ=表示：共取了1k +次零件，前k 次取得的都是次品，第1k +次才是正品，其中0123k =，，，．当0ξ=时，即第一次取得正品，试验终止，此时，191123(0)4C P C ξ===；当1ξ=时，即第一次取得次品，第二次取得正品，11391112119(1)44C C P C C ξ===·；同理可得1113921111211109(2)220C C C P C C C ξ===··；1113211111211101(3)220C C C P C C C ξ===··．故ξ的分布列为点评：注意题设中“取出的次品不再放回”这一要求，在本题中很容易忽视这点而致误．。
概率统计与分布列计算
概率统计与分布列计算概率统计是数学统计的一个重要分支，用来研究随机现象发生的规律性。
在概率统计中，常用到的一个重要概念是概率分布。
概率分布是指随机变量取各个取值的概率，并且这些概率之和为1、概率分布可以分为离散分布和连续分布两种类型。
首先，我们来介绍离散概率分布。
离散概率分布指的是随机变量只能取到一些特定的值，而不能取到其它的值。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布等。
伯努利分布是最简单的离散分布，它只有两个取值，常用来描述只有成功和失败两种结果的随机试验。
记随机变量X取值为1表示成功，取值为0表示失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
则伯努利分布的概率分布列为：P(X=x)=p^x(1-p)^(1-x)，其中x=0或1二项分布是多次独立重复进行伯努利试验的概率分布。
记随机变量X为n次试验中成功的次数，则二项分布的概率分布列为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中取k次成功的组合数。
泊松分布是描述单位时间或单位空间中事件发生的次数的概率分布。
如果一个事件在单位时间内或单位空间中发生的次数近似服从泊松分布，那么该事件的平均发生率就是泊松分布的参数。
泊松分布的概率分布列为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中λ为平均发生率，k为随机变量X的取值。
除了离散概率分布外，还有连续概率分布。
连续概率分布指的是随机变量可以取任意的实数值。
常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。
均匀分布是最简单的连续分布，其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，其中a为随机变量X的最小取值，b为最大取值。
正态分布也称为高斯分布，是自然界中许多现象呈现的分布。
f(x)=(1/(σ√(2π)))·e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为平均数，σ为标准差。
指数分布用于描述事件发生的时间间隔，其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，其中λ为事件发生率。
概率与分布列
概率与分布列概率与分布列是统计学中非常重要的两个概念。
概率是指某个事件发生的可能性，而分布列则是表示事件发生的可能性分布情况。
在现实生活和科学研究中，我们经常会遇到需要计算概率和分布列的情况，因此掌握这两个概念是必不可少的。
一、概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
其中，0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生，而0和1之间的数则表示该事件有一定概率发生。
我们可以通过概率的计算来预测事件的发生情况，从而更好的做出决策。
例如，我们可以通过掷骰子的概率来预测在6次掷骰子中，得到6点的次数有多少。
假设我们用P(x)表示得到x点的概率，那么掷一次骰子得到6点的概率是1/6，即P(6)=1/6。
在6次掷骰子中，得到6点的次数可以是0次、1次、2次、3次、4次、5次或6次，因此我们可以用如下公式计算得到6点的次数的概率分布情况：P(0)=（5/6）^6≈0.33P(1)=6×（1/6）×（5/6）^5≈0.41P(2)=15×（1/6）^2×（5/6）^4≈0.22P(3)=20×（1/6）^3×（5/6）^3≈0.07P(4)=15×（1/6）^4×（5/6）^2≈0.01P(5)=6×（1/6）^5×（5/6）≈0.001P(6)（得到6点6次）≈10^-6可以看出，得到6点的概率最大的情况是1次，其概率为0.41。
而得到6点的概率最小的情况则是6次，其概率非常小，只有10^-6。
二、分布列分布列是指将所有可能的事件及其概率列出来的表格。
在实际生活中，我们经常需要根据分布列来做出决策。
例如，我们可能需要根据某个产品的销售情况来预测未来的销售情况，并决定是否生产更多的产品来满足市场需求。
当我们需要绘制分布列时，通常需要知道每个事件发生的概率以及事件的数量。
例如，我们可以用下表表示掷骰子得到不同点数的概率分布情况：|点数|概率||---|---||1|1/6||2|1/6||3|1/6||4|1/6||5|1/6||6|1/6|在分布列中，我们可以看出掷骰子得到不同点数的概率分布情况，并且可以根据分布列来预测某个事件的发生情况。
概率分布列--归纳
概率分布列的性质
n
①0 Pi 1② Pi 1 i 1
概率分布列的种类
• 1、两点分布 • 2、超几何分布 • 3、二项分布 • 4、几何分布—试验n次，第k次才首次成功
的概率分布列 • 5、相互独立的两个事件发生次数X的分布
列
1、两点分布
• 一个盒子中大小相同的2白球，3个黑球， 从中任取一个小球记取到白球得1分，取到 黑球得0分，求随机变量得分X的分布列。
5、相互独立的两个事件发生次数的 分布列
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9 个，其中 甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2、 3 、4 ，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均 为 3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球 颜色不同的概率；
（II）若左右手依次各取两球，称同一手中两球 颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功 取法次数为随机变量X ，求 X的分布列和数学期 望
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每车租车时间不超过两小时免费， 超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）。 有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。
设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 1 ，1 ； 42
两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 1 ，1 ； 24
2、超几何布
• 一个盒子中有大小相同的2个白球，3个黑 球，从中任取两个小球，求取到白球个数X 的分布列。
3、二项分布
• 一个盒子中大小相同的2白球，3个黑球， 有放回的从中任取一个小球，取3次。记取 到白球得1分，取到黑球得0分，求随机变 量得分X的分布列。
分布列概率的三大最值问题(解析版)
分布列概率的三大最值问题题型解密题型一：二项分布的转化为数列问题求最值①当p 给定时，可得到函数f (k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，这个是数列的最值问题.p k p k −1=C n k p k (1−p )n −k C k −1n p k −1(1−p )n −k +1=(n −k +1)p k (1−p )=k (1−p )+(n +1)p −k k (1−p )=1+(n +1)p −kk (1−p ).分析：当k <(n +1)p 时，p k >p k −1，p k 随k 值的增加而增加；当k >(n +1)p 时，p k <p k −1，p k 随k 值的增加而减少.如果(n +1)p 为正整数，当k =(n +1)p 时，p k =p k −1，此时这两项概率均为最大值.如果(n +1)p 为非整数，而k 取(n +1)p 的整数部分，则p k 是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k 等于期望时，概率最大.【精选例题】1某人在11次射击中击中目标的次数为X ，若X ~B 11,0.8 ，若P X =k 最大，则k =()A.7B.8C.9D.10【答案】C 【详解】因为P X =k =C k n p k1-p n -k ，若P X =k 最大，则P X =k ≥P X =k +1 P X =k ≥PX =k -1，化简得：np +p -1≤k ≤np +p ，k ∈N .代入已知数值得：8.6≤k≤9.6，所以k =9时P X =k 最大.故选：C .2(多选题)下列选项中正确的是()A.已知随机变量X 服从二项分布B 10,12，则D 2X =5B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X ，则X 的数学期望E X =75C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为Ω=1,2,3,4,5,6 ，令事件A =2,3,4 ，事件B =1,2 ，则事件A 与事件B 相互独立D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次【答案】BC 【详解】A 选项，X ~B 10,12 ，D X =10×12×1-12 =52，D 2X =4D X =10，A 错误；B 选项，X 服从超几何分布，N =10，M =7，n =2，E X =np =n ⋅M N=2×710=75；C选项，P A =12，P B =13，AB ={2}，P AB =16=P A P B ，A ，B 相互独立；D 选项，设9次射击击中k 次概率P X =k =C k9⋅0.8k⋅0.29-k最大，则C k 9⋅0.8k ⋅0.29-k ≥C k -19⋅0.8k -1⋅0.210-kC k 9⋅0.8k ⋅0.29-k ≥C k +19⋅0.8k +1⋅0.28-k ，解得7≤k ≤8，P (X =7)=P (X =8)同时最大，故k =7或8，D 错误．故选：BC ．3高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间(x 小时/周)00<x ≤0.50.5<x ≤1x >1人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P X =k 表示这10名学生中恰有k k ∈N ,0≤k ≤10 名学生数学阅读时间在0,0.5 小时的概率，求P X =k 取最大值时对应的k 的值．【答案】(1)815；(2)4【分析】(1)抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为C 14C 16C 210=815(2)周阅读时间在0,0.5 小时的频率为25，故概率为25，则k ~B 10,25，所以P (k )=C k1025 k3510-k，由P (k )≥P (k +1)P (k )≥P (k -1) 得：C k 1025 k3510-k≥C k +11025k +1359-kC k 1025 k 35 10-k ≥C k -11025 k -13511-k，化简得C k 1035 ≥C k +11025 Ck 1025 ≥C k -11035；解得175≤k ≤225，又k ∈Z ，故k =4，【题型专练】1(多选题)某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X ，下列选项中正确的是()A.X ~B 12,0.8B.E X =9.6C.D 2X =3.84D.该同学投篮最有可能命中9次【答案】AB 【详解】由二项分布的定义可知，X ~B 12，0.8 ，E X =12×0.8=9.6，D 2X =22D X =4×12×0.81-0.8 =7.68，故AB 正确，C 错误；设该同学投篮最有可能命中m 次，则P (X =m )≥P (X =m +1)P (X =m )≥P (X =m -1) C m 120.8m 0.212-m ≥C m +1120.8m +10.211-m C m 120.8m 0.212-m ≥C m -1120.8m -10.213-m ，即475≤m ≤525，因为m 为正整数，所以m =10，故D 错误；故选：AB2若随机变量X 服从二项分布B 15,14，则使P X =k 取得最大值时，k =．【答案】3或4【详解】依题意0≤k ≤15,k ∈N ，依题意P X =k =C k15⋅14k⋅1-1415-k=C k15⋅14k ⋅315-k 415-k =1415⋅C k 15⋅315-k ，P X =0 =1415⋅C 015⋅315=3415,P X =1 =1415⋅C 115⋅314=5×3415，P X =15 =1415，P X =15 <P X =0 <P X =1 ，所以P X =0 、P X =15 不是P X =k的最大项，当1≤k ≤14时，由1415⋅C k 15⋅315-k ≥1415⋅C k -115⋅316-k1415⋅C k 15⋅315-k ≥1415⋅C k +115⋅314-k，整理得C k 15≥3C k -1153C k 15≥C k +115 ，即15!k !×15-k !≥3×15!k -1 !×16-k !3×15!k !×15-k !≥15!k +1 !×14-k !，整理得1k≥316-k315-k ≥1k +1，16-k ≥3k3k +3≥15-k ⇒3≤k ≤4，所以当k 为3或4时，P X =k 取得最大值.故答案为：3或43已知随机变量X ∼B 6,0.8 ，若P X =k 最大，则D kX +1 =．【答案】24【详解】由题意知：P X =k =C k 6⋅0.2 6-k ⋅(0.8)k ，要使P X =k 最大，有C k 6⋅0.2 6-k ⋅0.8 k ≥C k -16⋅0.2 7-k ⋅0.8 k -1C k 6⋅0.2 6-k ⋅0.8 k ≥C k +16⋅0.2 5-k ⋅0.8 k +1 ，化简得0.8×7-k k ≥0.20.2≥0.8×6-k k +1，解得235≤k ≤285，故k =5，又D (X )=6×0.8×0.2=0.96，故D kX +1 =D 5X +1 =52D (X )=24.故答案为：24.4一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为．【答案】 5或6516【详解】对一个坑而言，要补播种的概率P =C 03123+C 13123=12，所以补播种坑的数量服从B n ,12，则3个坑要补播种的概率为C 3n 123⋅12n -3=C 3n12n．要使C 3n12n最大，只需C 3n 12 n ≥C 2n 12nC 3n12 n≥C 4n12n ，解得5≤n ≤7，当n =5或n =6，C 35125=C 36126=516>C 37127=35128.所以，当n =5或n =6时有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516．故答案为：5或6，516.5小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在[3,6](单位：kg )的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6](单位：kg )的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值.【答案】(1)答案见解析；(2)k =3.【详解】(1)随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2.则P ξ=0 =C 33C 35=110，P ξ=1 =C 23C 12C 35=35，P ξ=2 =C 13C 22C 35=310，ξ012P ξ11035310所以E ξ =1×35+2×310=65.(2)根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.5×0.10+2.5×0.30+3.5×0.25+4.5×0.20+5.5×0.15=3.5(kg )，则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为4,6 ，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p =0.20+0.15=0.35.若从小区随机抽取10户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则X ~B 10,0.35 ，若k 户的可能性最大，则P X =k =C k 10p k1-p10-k，k =0,1,⋅⋅⋅,10，P X =k ≥PX =k -1 P X =k ≥PX =k +1，得C k 100.35 k 0.65 10-k ≥C k -1100.35 k -10.65 11-kC k 100.35 k 0.65 10-k ≥C k +1100.35 k +10.659-k ，即711-k ≥13k13k +1 ≥710-k，解得2.85≤k ≤3.85，由于k ∈N ∗，故k =3.题型二：二项分布的转化为导数问题求最值当k 给定时，可得到函数f (p )=C k n p k (1−p )n −k ,p ∈(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：f '(p )=C kn kp k −1(1−p )n −k −p k (n −k )(1−p )n −k −1=C k n p k −1(1−p )n −k −1k (1−p )−(n −k )p =C k n p k −1(1−p )n −k −1(k −np ).当k =1,2,⋯,n −1时，由于当p <k n 时，f '(p )>0，f (p )单调递增，当p >kn时，f '(p )<0，f (p )单调递减，故当p =k n 时，f (p )取得最大值，f (p )max =f kn.又当p →0,f (p )→1，当p →0时，f (p )→0，从而f (p )无最小值.【精选例题】1(2018年全国1卷)．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p ),求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(i )若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;(ii )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f p =C 220p 21-p 18.因此f p =C 2202p 1-p18-18p 21-p 17 =2C 220p 1-p 171-10p .令f p =0，得p =0.1.当p ∈0,0.1 时，fp >0；当p ∈0.1,1 时，fp <0.所以f p 的最大值点为p 0=0.1；(2)由(1)知，p =0.1.(i )令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ∼B 180,0.1 ，X =20×2+25Y ，即X =40+25Y .所以EX =E 40+25Y =40+25EY =490.(ii )如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX >400，故应该对余下的产品作检验.2设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为P X =a k =x k ，P Y =a k =y k ，x k >0，y k >0，k =1,2,⋯,n ,n k =1x k =nk =1y k =1．指标D (X ‖Y )可用来刻画X 和Y 的相似程度，其定义为D (X ‖Y )=nk =1x k lnx ky k．设X ~B (n ,p ),0<p <1．(1)若Y ~B (n ,q ),0<q <1，求D (X ‖Y )；(2)若n =2,P (Y =k -1)=13,k =1,2,3，求D (X ‖Y )的最小值；(3)对任意与X 有相同可能取值的随机变量Y ，证明：D (X ‖Y )≥0，并指出取等号的充要条件【答案】(1)np lnp (1-q )q (1-p )+n ln 1-p 1-q ；(2)ln3-32ln2；(3)证明见解析【详解】(1)不妨设a k =k ，则x k =C k n p k (1-p )n -k ,y k =C k n q k(1-q )n -k .所以D (X ‖Y )=ni =1C k np k1-pn -klnp k 1-p n -k q k 1-q n -k =ln p (1-q )q (1-p )⋅n k =0k C k n p k (1-p )n -k+n ln 1-p 1-q ⋅n k =0C k n p k (1-p )n -k =np lnp (1-q )q (1-p )+n ln 1-p1-q .(2)当n =2时，P (X =2)=p 2,P (X =1)=2p (1-p ),P (X =0)=(1-p )2，记f (p )=D (X ‖Y )=p 2ln3p 2+2p (1-p )ln6p (1-p )+(1-p )2ln3(1-p )2=p 2ln p 2+2p (1-p )ln2p (1-p )+(1-p )2ln (1-p )2+ln3，则f (p )=4p ln p +2p +(2-4p )[ln2p (1-p )+1]-4(1-p )ln (1-p )-2(1-p )=2[ln p -ln (1-p )+(1-2p )ln2]，令g (p )=ln p -ln (1-p )+(1-2p )ln2，则g (p )=1p +11-p-2ln2>0，令φp =1p +11-p -2ln2，则φ p =2p -1p 21-p2，当0<p <12时，φ p <0，φp 单调递减；当12<p <1时，φ p >0，φp 单调递增；所以φp >φ12 =4-2ln2>0，则g (p )单调递增，而g 12=0，所以f(p )在0,12 为负数，在12,1 为正数，则f (p )在0,12 单调递减，在12,1 单调递增，所以D (X ‖Y )的最小值为ln3-32ln2.(3)令h x =ln x -x +1，则h x =1x -1=1-xx ，当0<x <1时，h x >0，h x 单调递增；当x>1时，h x <0，h x 单调递减；所以h x ≤h 1 =0，即ln x -x +1≤0，当且仅当x =1时，等号成立，则当x >0时，ln x ≤x -1，所以ln 1x ≤1x -1，即ln x ≥1-1x ，故D (X ‖Y )=nk =1x k ln x k y k ≥nk =1x k 1-y kx k=n k =1x k -y k =n k =1x k -nk =1y k =0，当且仅当对所有的k ,x k =y k 时等号成立.【跟踪训练】1某超市推出了一项优惠活动，规则如下：规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p ．记中奖2次的概率为f (p )，求f (p )取得最大值时，p 的值p 0．(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为p 0，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．【答案】(1)p 0=23；(2)选择规则二更有利，理由见解析【详解】(1)由题意知，3次抽奖有2次中奖的概率f p =C 23p 21-p =-3p 3+3p 2(0<p <1)，则f p=-9p 2+6p =-9p p -23 ．当p ∈0,23 时，f ′(p )>0，则f (p )单调递增，当p ∈23,1 时，f ′(p )<0，则f (p )单调递减．所以当p =23时，f (p )取得最大值，则p 0=23．(2)①该顾客选择规则一，其获利为30元；②该顾客选择规则二，由第一问知p 0=23，则其中奖次数X 服从二项分布B 3,23 ，所以E (X )=3×23=2，所以该顾客获得奖品金额的期望值为2×20=40(元)．因为40>30，所以该顾客选择规则二更有利．2某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP 中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p (0<p <1)，12，且各局比赛互不影响.(1)若p =23，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f p ，试问当p 为何值时，f p 取得最大值.【答案】(1)分布列见解析，E (X )=236；(2)p =35【详解】(1)由题可知，X 的可能取值为2，3，4，5.因为p =23，所以P (X =2)=13×12=16，P (X =3)=13×12=16，P (X =4)=23×12=13，P (X =5)=23×12=13.故X 的分布列为X 2345P16161313E (X )=2×16+3×16+4×13+5×13=236.(2)设一天得分不低于4分为事件A ，则P (A )=p 2+p 2=p ，则f (p )=C 35p 3(1-p )2=10p 3(1-p )2,0<p <1，则f (p )=30p 2(1-p )2-20p 3(1-p )=10p 2(1-p )(3-5p ).当0<p <35时，f (p )>0；当35<p <1时，f (p )<0所以f (p )在0,35 上单调递增，在35,1 上单调递减，故当p =35时，f (p )取得最大值.题型三：超几何分布的概率最值将从(a +b )件产品中取出n 件产品的可能组合全体作为样本点，总数为C na +b .其中，次品出现k 次的可能为C ka C n −k b.令N =a +b ，则所求概率为h k (N )=C k a C n −k N −aC nN即h k (N )h k (N −1)=C k a C n −k N −aC n N C k a C n −k N −1−aC n N −1=N 2−aN −nN +anN 2−aN −nN +kN .令h k (N )h k(N −1)=λ,则当an >kN 时，λ>1；当an <kN 时，λ<1，即当N <an k 时，h k (N )是关于N 的增函数；当N >ank时，h k (N )是关于N 的减函数.所以当N =an k时，h k (N )达到最大值.【精选例题】1设随机变量X ∼H (10,M ,1000)(2≤M ≤992且M ∈N ∗)，H (2;10,M ,1000)最大时，E (X )=()A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01【答案】C 【详解】随机变量X ∼H (10,M ,1000)，则H 2;10,M ,1000 =P X =2 =C 2M C 81000-MC 101000，因H (2;10,M ,1000)最大，则有H (2;10,M ,1000)≥H (2;10,M +1,1000)H (2;10,M ,1000)≥H (2;10,M -1,1000) ，即C 2M C 81000-M C 101000≥C 2M +1C 8999-MC 101000C 2M C 81000-MC 101000≥C 2M -1C 81001-MC 101000，M (M -1)2⋅(1000-M )!8!(992-M )!≥M (M +1)2⋅(999-M )!8!(991-M )!M (M -1)2⋅(1000-M )!8!(992-M )!≥(M -1)(M -2)2⋅(1001-M )!8!(993-M )!，整理得(M -1)(1000-M )≥(M +1)(992-M )M (993-M )≥(M -2)(1001-M ) ，解得199.2≤M ≤200.2，而M ∈N ∗，则M =200，所以E (X )=10M 1000=10×2001000=2.00.故选：C 2(2023届四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N ，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X 表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．(1)若N =5000，求X 的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N 的估计值(以使得P (X =15)最大的N 的值作为N 的估计值)．解析：(1)依题意X 服从超几何分布，且N =5000,M =200,n =500，故E (X )=N ×Mn=500×2005000=20．(2)当N <685时，P (X =15)=0，当N ≥685时，P (X =15)=C 15200C 485N -200C 500N ，记a (N )=C 15200C 485N -200C 500N ，则a (N +1)a (N )=C 485N +1-200C 500N C 500N +1C 485N -200=(N +1-500)(N +1-200)(N +1)(N +1-200-485)=(N -499)(N -199)(N +1)(N -684)=N 2-698N +499×199N 2-683N -684．由N 2-698N +499×199>N 2-683N -684，当且仅当N <499×199+68415≈6665.7，则可知当685≤N ≤6665时，a (N +1)>a (N )；当N ≥6666时，a (N +1)<a (N )，故N =6666时，a (N )最大，所以N 的估计值为6666．【跟踪训练】12023年中央一号文件指出,艮旋要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专部.(公众号浙江省高中数学)直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验调本向卷.已知有N (N >30)名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这N 名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X (不重复计数).(1)若甲是这N 名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为925，求N ;(2)求使P (X =30)取得最大值时的整数N .解析：(1)记A =“甲被抽中”,A i =“第i 次被抽中”(i =1,2),则P (A )=P A 1A 2 =C 20N -1C 20N ⋅C 20N -1C 20N=N -20N ⋅N -20N =1625,解得：N =100(2)由于P (X =30)=C 20N C 10N -20C 1020C 20N C 20N =C 10N -20C 1020C 20N ，记f (N )=C 10N -20C 20N,即求f (N )在何时取到最大值，下面讨论f (N )的单调性：f (N +1)f (N )=C 10N -19C20N C 20N +1C 10N -20=(N -19)!10!(N -29)!N !20!(N -20)!(N +1)!20!(N -19)!10!(N -30)!=(N -19)(N -19)(N +1)(N -29)≥1解得N ≤39，所以，当N =39或40时,P (X =30)取到最大值.考点过关练1随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A ，B 两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此往复.记同学甲第n 天选择B 套餐的概率为P n .(1)求同学甲第二天选择B 套餐的概率；(2)证明：数列P n -35为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A 餐厅就餐的人数X ，用P X =k 表示这100名学生中恰有k 名学生选择去A 餐厅就餐的概率，求P X =k 取最大值时对应的k 的值.【答案】(1)23；(2)证明见解析；(3)33【分析】(1)根据题意结合全概率公式运算求解；(2)根据题意结合全概率公式可得P n +1=-14P n +34，结合等比数列的定义分析证明；(3)根据题意分析可得X ∼B 100,13，结合二项分布的概率公式列式求解.【详解】(1)设B 1=“第1天选择B 套餐”，B 2=“第2天选择B 套餐”，则B 1=“第1天不选择B 套餐”.根据题意可知：P B 1 =23,P B 1 =13,P B 2∣B 1 =12,P B 2∣B 1 =34.由全概率公式可得P B 2 =P B 1 P B 2∣B 1 +P B 1 P B 2∣B 1 =13×12+23×34=23.(2)设B n =“第n 天选择B 套餐”，则P n =P B n ,P Bn =1-P n ，根据题意P B n +1∣B n =12,P B n +1∣B n =34.由全概率公式可得P n +1=P B n +1 =P B n P B n +1∣B n +P B n P B n +1∣Bn =12P n +341-P n =-14P n +34，整理得P n +1-35=-14P n -35 ，且P 1-35=-415≠0，所以P n -35 是以-415为首项，-14为公比的等比数列.(3)第二天选择A 类套餐的概率P A =23×14+13×12=13由题意可得：同学甲第二天选择A 类套餐的概率为13，则不选择A 类套餐的概率为23，所以X ∼B 100,13 ，则P X =k =C k10013k⋅23100-k,k =0,1,2,⋯,100，当P X =k 取最大值时，则P X =k ≥P X =k +1P X =k ≥P X =k -1，即C k 10013 k⋅23100-k≥C k +110013 k +1⋅2399-kCk 10013 k ⋅23 100-k ≥C k -110013 k -1⋅23101-k，解得32.6≤k ≤33.6，且k ∈N ，所以k =33.2某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量X i i =1,2,⋯,5 表示第i 组被感染的白鼠数，并将随机变量X i 的观测值x i i =1,2,⋯,5 绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为p p ∈0,1 ，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记A i 为事件“X i =x i i =1,2,⋯,5 ”.(1)写出P A 1 (用p 表示，组合数不必计算)；(2)研究团队发现概率p 与参数θ(0<θ<1)之间的关系为p =12θ2-56θ+1945.在统计学中，若参数θ=θ0时的p 值使得概率P A 1A 2A 3A 4A 5 最大，称θ0是θ的最大似然估计，求θ0.【答案】(1)P A 1 =C 210p 2(1-p )8；(2)13【分析】(1)由题知随机变量X 1∼B 10,p ，然后利用二项分布的概率公式求解；(2)设事件A =A 1A 2A 3A 4A 5，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出P (A )，令g p =ln P A ，化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的p ，代入p =12θ2-56θ+1945中可求得θ0.【详解】(1)由题知随机变量X 1∼B 10,p ，所以P A 1 =C 210p 2(1-p )8.(2)设事件A =A 1A 2A 3A 4A 5，由题图可知x 1=2,x 2=1,x 3=1,x 4=3,x 5=3，则P A =C 210p 2(1-p )8 ⋅C 110p (1-p )9 2⋅C 310p 3(1-p )7 2，即P A =C 110 2C 210 C 310 2p 10(1-p )40.设g p =ln P A =ln C 110 2C 210 C 310 2 +10ln p +40ln 1-p ,p ∈0,1 ，则g p =10p -401-p=10-50pp 1-p ，所以当0<p <15时，g p >0，所以g p 在0,15上单调递增；当15<p <1时，g p <0，所以g p 在15,1 上单调递减；所以当p =15时，g p 取得最大值，即P A 取得最大值，所以12θ20-56θ0+1945=15，即9θ20-15θ0+4=0，解得θ0=13或θ0=43，因为0<θ0<1，所以θ0=13.【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第(2)问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出P A 1A 2A 3A 4A 5 ，然后构造函数，利用导数求出其最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.3N 95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N 95型口罩对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率服从正态分布N 0.97,9.025×10-5 ．(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率为93．6%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据．(2)该厂将对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率达到95．1%以上的N 95型口罩定义为“优质品”．(ⅰ)求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；(ⅱ)该企业生产了1000只这种N 95型口罩，且每只口罩互相独立，记X 为这1000只口罩中“优质品”的件数，当X 为多少时可能性最大(即概率最大)？【答案】(1)生产的口罩出现过滤效果在3σ之外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应该停止生产(2)(ⅰ)0.9772；(ⅱ)当k =978时，P X =k 取得最大值【解析】(1)已知过滤效率服从N 0.97,9.025×10-5 ．而90.25×10-6=9.5×10-3 2，所以σ=9.5×10-3=0.0095，则0.936<0.97-0.0095×3=0.9415，即生产的口罩出现过滤效果在3σ之外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应该停止生产．(2)(ⅰ)不妨记“N 95口罩的过滤效果”为Y ，则一只口罩为“优质品”的概率为P Y >0.951 =P Y >0.97-2σ =1-12-P 0.97-2σ<Y <0.97+2σ 2=0.9772．(ⅱ)依题意X ~B 1000,0.9772 ，记n =1000，p =0.9772，则P X =k =C k n p k1-p n -kk =0,1,2,⋯,1000 ．问题等价于求当k 取何值时P X =k =C k n p k 1-p n -k 取得最大值．(解法1)由C k n p k1-p n -k≥C k -1np k -11-p n -k +1,C k n p k1-p n -k ≥Ck +1n p k +11-p n -k -1,化简得p k ≥1-pn +1-k ,1-p n -k ≥pk +1,即n +1 p -1≤k ≤n +1 p ，从而1001p -1≤k ≤1001p ，解得k =978．(解法2)由于对0<p <1，P X =k P X =k -1 =n -k +1 p k 1-p =1+n +1 p -kk 1-p ，因此：当k <n +1 p时，P X =k >P X =k -1 ；当k =n +1 p 时，P X =k =P X =k -1 ；当k >n +1 p 时，P X =k <P X =k -1 ．由以上分析知，P X =k 在0,n +1 p 上单调递增，在n +1 p ,n 上单调递减．代入数据得n +1 p =1001×0.9772=978.1772，而k 是正整数，所以P X =978 >P X =977 且P X =979 <P X =978 ，故当k =978时，P X =k 取得最大值．4汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码x x =t -201612345销量y /万辆1012172026(1)统计表明销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若w =95，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用(1)中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人)；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为f p ，求当w 为何值时，f p 最大．附：y =b x +a 为回归方程，b =ni =1x i y i -nxyni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．【答案】(1)y =4x +5，2028年；(2)①15.5万人；②w =30【分析】(1)根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令y >50求解即可；(2)①计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；②根据二项分布的概率公式可得f (p )=C 35p 3(1-p )2=10p 5-2p 4+p 3 ，再求导分析f (p )的最大值即可.【详解】(1)解：由题意得x =1+2+3+4+55=3，ni =1x i y i =1×10+2×12+3×17+4×20+5×26=295，y =10+12+17+20+265=17，ni =1x 2i =12+22+32+42+52=55．所以b =ni =1x i y i -nx ⋅yni =1x 2i -nx2=295-5×3×1755-45=4，a =y -b x =17-4×3=5．所以y 关于x 的线性回归方程为y =4x +5，令y =4x +5>50，得x >11.25，所以最小的整数为12，2016+12=2028，所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．(2)解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有200-95-45=60名，故其中购置新能源汽车的女性车主的有60-20=40名．所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为4040+45=817．所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817．预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为817×33≈15.5万人②由题意知，p =45w +45,0≤w ≤135，则f (p )=C 35p 3(1-p )2=10p 5-2p 4+p 3f (p )=105p 4-8p 3+3p 2 =10p 25p 2-8p +3 =10p 2(p -1)(5p -3)当p ∈0,35时，知f p >0所以函数f (p )单调递增当p ∈35,1时，知f p <0所以函数f (p )单调递减所以当p =35,f p 取得最大值f 35 =C 3535 31-35 2=216625．此时45w +45=35，解得w =30，所以当w =30时f (p )取得最大值216625．5学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p ，13．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X 的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f p ．求p 为何值时，f p 取得最大值．【答案】(1)分布列见解析，E X =7.5(分)；(2)p =25【分析】(1)X 可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；(2)先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为f p ，再根据导出求出函数f p 的单调区间，即可得出答案.【详解】(1)解：X 可取5，6，7，8，9，10，P X =5 =C 05·125=132，P X =6 =C 15×12×124=532，P X =7 =C 25·12 2×123=516，P X =8 =C 35·123×122=516，P X =9 =C 45·124×12=532，P X =10 =C 55·125=132，分布列如下：X5678910P132532516516532132所以E X =5×132+6×532+7×516+8×516+9×532+10×132=7.5(分)；(2)解：设一天得分不低于3分为事件A ，则P A =1-1-p 1-13 =1-231-p =2p +13，则恰有3天每天得分不低于3分的概率f p =C 352p +13 3⋅1-2p +13 2=402432p +1 31-p 2，0<p <1则f p =40243×62p +1 21-p 2-40243×22p +1 31-p=402432p +1 21-p 4-10p ，当0<p <25时，f p >0，当25<p <1时，f p <0，所以函数f p 在0,25上递增，在25,1 上递减，所以当p =25时，f p 取得最大值.6某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯年用气量(立方米)价格(元/立方米)第一阶梯不超过228的部分 3.25第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过348的部分4.70从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：居民用气编号12345678910年用气量(立方米)95106112161210227256313325457(1)求一户居民年用气费y (元)关于年用气量x (立方米)的函数关系式；(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为P k ，求P k 取最大值时的值．【答案】(1)y = 3.25x ,x ∈0,2283.83x -132.24,x ∈228,3484.7x -435,x ∈348,+∞；(2)分布列见解析，数学期望为910；(3)6．【分析】(1)由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y (元)关于年用气量x (立方米)的函数关系式；(2)由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；(3)由P k =C k1035k2510-k，列出不等式组由C k 1035 k2510-k≥C k +11035k +12510-k -1Ck 1035 k 25 10-k≥C k -11035 k -12510-k +1 ，求得k 的值，即可求解.【详解】(1)由题意，当x ∈0,228 时，y =3.25x ；当x ∈228,348 时，y =3.83x -132.24；当x ∈348,+∞ 时，y =4.7x -435，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为y = 3.25x ,x ∈0,2283.83x -132.24,x ∈228,3484.7x -435,x ∈348,+∞.(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则P ξ=0 =C 37C 310=724，P ξ=1 =C 27C 13C 310=2140，P ξ=2 =C 17C 23C 310=740，P ξ=3 =C 33C 310=1120，故随机变量ξ的分布列为：ξ0123P72421407401120所以E ξ =0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.(3)由题意知P k =C k1035k2510-kk =0,1,2,3⋯,10 ，由C k 1035 k2510-k≥C k +11035k +12510-k -1C k 1035 k 25 10-k ≥C k -11035 k -12510-k +1，解得285≤k ≤335，k ∈N *，所以当k =6时，概率P k 最大，所以k =6.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3,4 (单位：kg )的概率是多少？②若抽取的5户中购买量在3,6 (单位：kg )的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在3,6 (单位：kg )的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值.【答案】(1)①47128；②详见解析；(2)k =3.【解析】(1)事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在[3，4)”发生的概率为p =14．①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在[3，4)”为A ，利用独立重复实验的概率求解即可．②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．(2)每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p =0.35，判断X ~B (10,0.35)，通过若k 户的可能性最大，列出不等式组，求解k 即可．【详解】(1)由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在3,4 ”发生的概率为p =14.①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在3,4 ”为A ，则P A =1-C 15141-144-1-145=47128.②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2.则。
概率分布列方差的计算公式
概率分布列方差的计算公式1. 引言概率分布是统计学中非常重要的概念，它描述了一个随机变量的取值概率。
在进行概率分布的分析时，我们需要考虑诸如期望和方差等指标。
其中，方差是衡量变量离其均值的距离的重要统计量。
因此，本文将介绍概率分布列方差的计算公式。
2. 离散型随机变量对于一离散型的随机变量X，其概率分布列为：$P(X=x_i)=p_i$。
方差的计算公式为：$Var(X)=E((X-E(X))^2)=\sum_{i=1}^n[(x_i-E(X))^2p_i]$其中，$E(X)$表示随机变量X的期望。
具体计算步骤为：1. 计算出X的期望$E(X)=\sum_{i=1}^nx_ip_i$。
2. 对于每个取值$x_i$，计算$(x_i-E(X))^2p_i$。
3. 将每个$(x_i-E(X))^2p_i$相加，得到方差$Var(X)$。
3. 连续型随机变量对于一个连续型的随机变量X，其概率密度函数为$f(x)$。
方差的计算公式为：$Var(X)=E((X-E(X))^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$具体计算步骤为：1. 计算出X的期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$。
2. 对于每个取值$x$，计算$(x-E(X))^2f(x)$。
3. 将每个$(x-E(X))^2f(x)$相加，得到方差$Var(X)$。
4. 结论概率分布列方差的计算公式为$Var(X)=E((X-E(X))^2)$。
对于离散型随机变量，公式可以表示为$\sum_{i=1}^n[(x_i-E(X))^2p_i]$；对于连续型随机变量，公式可以表示为$\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$。
理解和熟练掌握方差的计算公式对于进行概率分布的分析是非常重要的。
1.5 概率论——离散型随机变量的概率分布
1
即，kk00
np np
p p
1
因此 np p 1 k0 np p
于是
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时 当np p是整数时
其它
二项分布的概率计算;
B(k;n, p) P( X k) Cnk pk (1 p)nk
1.直接计算; n 较小 2.查表 n 较大时,ｐ不太大或小时 3.利用泊松分布; n 较大, p较小 4.利用中心极限定理; n 较大
二项分布的概率最大值(众数); 二项分布中 X 可以取值 0,1,2, , n,使概率 Pk 取最大值
的 k记作 k0 , 称 k0为二项分布的最可能取值。已知 n, p 来求 k0
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时 当np p是整数时
其它
设P( X k0 )为最大，则有下面不等式组：
因此 X概率分布为 X -1
0
1
2
P 0.3 0.3 0.2 0.2
P( X 1 X 0) P( X 1, X 0) P( X 0)
P( X 1) 0.3 3 1 P( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{X a} 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
(1)P( X 10) 0.9510 0.599
(2)P( X 8) C180 0.958 0.052 0.075 (3)P( X 9) C190 0.959 0.05 0.9510 0.914
4.超几何分布
模型: 一般地，如果有 N个元素分为两大类，第一类 N1个 元素，第二类 N2个元素(N1 N2 N ), 采用不重复抽样， 从N个元素中取出n个元素，那么所取到的第一类元素的 个数 X的分布称为超几何分布。
分布列知识点与应用举例
1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x 1，x 2，…，xi ，…，xn X 取每一个xi (i =1，2，…，n )的概率P (X =xi )=Pi ，则称表：为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列. 2、分布列的构成：（1）列出了离散型随机变量X 的所有取值； （2）求出了X 的每一个取值的概率； （3）列表小结：定值 求概率 列表3、分布列的性质: 4.两点分布列 如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p =P(X =1)为成功概率。
5.超几何分布列:(离散型分布列的一种)一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为：,,.....,2,1,0,)(m k C C C k X P nNk n MN k M ===--则称分布列 为超几何分布列6.独立重复试验与二项分布列（1）独立重复试验：在相同条件下重复做n 次的试验（2）二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：n k p p C k X P k n kk n ,.....,2,1,0,)1()(=-==-，此时称随机变量X 服从二项分布，记为：),(p n B X --0,1,2,i p i ≥=⋅⋅⋅（1）1211ni n i p p p p ==++⋅⋅⋅+=∑（2）（1）一般地,若离散型随机变量X 的概率分布列为则称：n n ini i p x p x p x px X E +++==∑=.......)(22111为X 的数学期望或均值即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。
（1）若离散型随机变量Y=aX+b,则E(Y)=E(aX+b)=b X aE +)( （2）两点分布列的期望：p X E =)( （3）二项分布列的期望：np X E =)(8.方差标准差：若离散型随机变量X 的概率分布列为则称：n n i ni i p EX x p EX x p EX x p EX x X D 222212121)(.......)()()()(-++-+-=-=∑=为随机变量的方差。
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x 1,x 2,…,x 3,…x n ,若取每一个值x i (i=1,2,…，n)的概率为，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）P i ≥0,i=1,2，…，n ；（2）P 1+P 2+…+P n =1 要点四、两类特殊的分布列 1. 两点分布像上面这样的分布列称为两点分布列． 要点诠释：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 2. 超几何分布一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k ｝发生的概率为, 其中，且．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布ξξi i P x P ==)(ξξξM N n X (),0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k m C --===L min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈要点一、条件概率的概念 1.定义设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。
用符号表示。
读作：发生的条件下B 发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
概率 分布列 均值
题型二、独立重复试验概率
n次独立重复试验：
在相同的条件下重复做的n次试验 （各次试验的结果不会受到其他试验结果的影响）
若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概 率为 Pn k Cnk Pk 1 P nk
高考结合实际应用问题考查n次独立重复 试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和 化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
(I) 求q2的值； (II) 求随机变量的数学期望 E (III)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分 与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
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解: （1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为
事件B,则事件A,B相互独立,且 P(A) 0.25 P( A) 0.75 P(B) q2 P(B) 1 q2
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3.相互独立事件：
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响， 则A、B叫做相互独立事件。
它们同时发生的事件为 A B
用概率的乘法公式 PA B PA PB
高考常结合考试、竞赛、上网工作、射击、电 路、交通等问题对事件的判断识别及其概率计算进 行考查。
7
例1.（11山东） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行
P( 2) P(DE F ) P(DEF ) P(DEF ) 0.60.5(1 0.5) (1 0.6)0.50.5 0.6(1 0.5)0.5 0.4
P( 3) P(DEF) 0.60.50.5 0.15
故ξ 的分布列为
E 00.110.35 20.4 30.15 1.6
P( 0) P(DE F ) P(D)P(E)P(F ) (1 0.6) (1 0.5) (1 0.5) 0.1 P( 1) P(DE F ) P(DE F ) P(DEF )
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随机变量及其分布、数学期望、方差1. 已知(1,2),(,)a b x y =-=，（Ⅰ）若x 是从1,0,1,2-四个数中任取的一个数，y 是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥的概率．（Ⅱ）若x 是从区间[1,2]-中任取的一个数， y 是从区间[1,1]-中任取的一个数，求,a b 的夹角是锐角的概率．2. 为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种．（I ）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；（II ）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望．3.学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．4. 某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中,落入A 袋为一等奖，奖金为2元，落入B 袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望；(Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.AB5. 一个口袋中装有大小相同的n 个红球（5n ≥且n ∈N ）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （Ⅰ）试用n 表示一次取球中奖的概率p ；（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m 取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n 个红球作如下标记：记上i 号的有i 个（1,2,3,4i =），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号，求X 的分布列、期望．6.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。
7.某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于 区间[60，110]。
将成绩按如下方式分成五组： 第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组 [80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。
部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不 小于90分）的人数为20。
（1）请补全频率分布直方图；（2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取 两人，成绩记为n m ,，求10||>-n m 的概率；（3）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变 量X ，写出X 的分布列（结果只要求用组合数表示），并求 出期望。
8. 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）若视力测试结果不低丁 5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．9.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为(490,495，(495,500]，……(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．10.如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），Array当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（Ⅰ）求点P恰好返回到A点的概率；（Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．11. 甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，（1）求甲运动员击中10环的概率（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及Eξ.12. 一个口袋中有2个白球和n 个红球（2≥n ，且*N n ∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。
（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率P ；（2）若3=n ，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为)(p f ，当n 为何值时，)(p f 最大。
13. 为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下：又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保证整个活动的安全。
（I ）若总经费在1200万元内（含1200万元），如何组合实施方案可以使安全系数最高？ （II ）要保证安全系数不小于0.99，至少需要多少经费？14. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I ）估计这次测试数学成绩的平均分；（II ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．15. 据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在2C -以下的概率为13(1)设ξ为该地区从2005年到2010年最低气温在2C -以下的年数，求ξ的分布列. (2)设η为该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在2C -以下经过的年数，求η的分布列.(3)求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在2C -以下的概率. 16.经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？2. 解：（I ）三个区选择疫苗的批号的种数是6443=， …………（2分）恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是362423=A C ， …………（3分）三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是169=P ；…………（6分） （II ）选择疫苗批号相同的区的个数ξ可能的取值为0，2，3， …………（8分）834)0(334===A P ξ，169)2(==ξP ，1614)3(314===C P ξ， …………（10分）（或者169)2(==ξP ，161)3(==ξP ，831611691)0(=--==ξP ）ξ分布列是1616316280=⨯+⨯+⨯=ξE ． …………（12分）3. 解：(Ⅰ)记“理科组恰好记4分”的事件为A ，则A 为“在理科组选出2名男生、1名女生或选出2名女生”……2分 共有2112254545260C C C C C ⋅⋅+⋅=种选法，基本事件数为312213959595870C C C C C C ⋅+⋅+⋅=……2分 所以26026()87087P A ==……2分 (Ⅱ) 由题意得0,1,2,3ξ=，所以204(0)870P ξ==，495(1)870P ξ==，162(2)870P ξ==，9(3)P ξ==， ……2分 于是ξ的分布列为……2分 （直接写出正确分布列的给4分）ξ的数学期望为2044951629141()0123870870870870145E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……2分 4. 解：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故()41212133=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P ，()()31.4P B P A =-= …………………2分(I) 获得两次一等奖的概率为()()161A P A P P =⋅= . …………………4分 （II ）X 可以取2,3,4P(X=2)=239,416⎛⎫= ⎪⎝⎭P(X=3)=12136,4416C ⨯= P(X=4)= 211.416⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………8分 分布列为： 所以E ()X =2×169+3×166+4×161=2.5. …………………10分 (Ⅲ)参加摇奖,可节省2.5元，打折优惠,可节省2.4元,当然参加摇奖. ……12分5. （Ⅰ）每次从5n +个球中任取两个，有25n C +种方法．它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有115n C C 种， 一次取球中奖的概率为()()115251054n n C C np C n n +==++．……4分（Ⅱ）设每次取球中奖的概率为p ，三次取球中恰有一次中奖的概率是：()()21323311363m P C p p p p p ==⋅⋅-=-+（01p <<）． m 对p 的导数()()291233131m p p p p '=-+=--．……6分因而m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，m 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数．∴当13p =，即()()101543n n n =++，20n =时，49max m =．……… 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：红球共20个，则记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的．故X 的分布列是：()111313E X 01234220102052=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……12分6. 【解析】记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种。