概率分布列

随机变量及其分布、数学期望、方差

1. 已知(1,2),(,)a b x y =-=，

（Ⅰ）若x 是从1,0,1,2-四个数中任取的一个数，y 是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥的概率．

（Ⅱ）若x 是从区间[1,2]-中任取的一个数， y 是从区间[1,1]-中任取的一个数，求,a b 的夹角是锐角的概率．

2. 为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种．

（I ）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；

（II ）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望．

3.

学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．

(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？

(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

4. 某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中,落入A 袋为一等奖，奖金为2元，落入B 袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；

（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望；

(Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.

A

B

5. 一个口袋中装有大小相同的n 个红球（5n ≥且n ∈N ）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （Ⅰ）试用n 表示一次取球中奖的概率p ；

（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m 取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n 个红球作

如下标记：记上i 号的有i 个（1,2,3,4i =），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球,X 表

示所取球的标号，求X 的分布列、期望．

6.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。

7.某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于 区间[60，110]。将成绩按如下方式分成五组： 第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组 [80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。 部分频率分布直方图如图所示，及格（成绩不 小于90分）的人数为20。

（1）请补全频率分布直方图；

（2）在成绩属于[70，80）∪[90，100]的学生中任取 两人，成绩记为n m ,，求10||>-n m 的概率；

（3）在该班级中任取4人，其中及极格人数记为随机变 量X ，写出X 的分布列（结果只要求用组合数表示），并求 出期望。

8. 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数； （Ⅱ）若视力测试结果不低丁 5.0，

则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

9.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的

生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作

为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分

组区间为(490,495，(495,500]，……

(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，

如图4所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505

克的产品数量．

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，

设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分

布列．

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

10.如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），Array当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到

D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．

（Ⅰ）求点P恰好返回到A点的概率；

（Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变

量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．

11. 甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每

次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，

（1）求甲运动员击中10环的概率

（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率

（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及Eξ.