培养学生构建合理的数学模型

培养学生构建合理的数学模型

摘要：教师应以生活数学问题为载体，培养学生构建合理的数学模型，真正把提高学生的数学创新意识落到实处，激发学生潜能。关键词：数学模型；研究；应用

中图分类号：g427 文献标识码：a 文章编号：1992-7711（2012）23-090-1

一、根据问题建立模型

在学生议论的基础上，做如下总结：

设原窗户面积为a、地板面积为b（00），要解决问题3，只需证明不等式a+mb+m>ab成立即可，回过来思考问题1、2都是同一个模型。

模型：已知a，b∈r+，并且aab

二、模型的研究

现在就上述模型的正确性证明方法进行讨论，你能用何方法证明这个不等式正确。学生讨论总结：

（1）常规方法：

证法一：求差（求商）——比较法；

证法二：执果索因——综合法；

证法三：正难则反——分析法。

（2）几何方法：

考虑模型的右边ab的形式，联想到三角函数在直角三角形中的

定义，以及增量m可看作直角边的适当延长，观察右边的直角三角形，不难得到下面的证法：

证法四：横向联系——构造斜率法

在射线y=x（xa>0知，b在第一象限位于直线y=x的下方，易知：kab>kob，所以：a+mb+m>ab

如果把模型的左边施行分子、分母同除于b的恒等变形，即

a+mb+m=ab+1·mb1+mb（b，m∈r+）这个式子的形式使我们联想到定比分点的坐标公式，于是就考虑坐标符合上式的点的位置关系，利用这个位置关系研究模型。

下面我们换个角度来进一步研究模型

（3）函数的方法：

对于模型的形式，如果我们简单地把两边都看成正分数，对真分数ab（b>a>0）的分子、分母同加一个正数m，其结果是分数变大了，这个特点不禁激起我们用函数的单调性来研究模型的欲望。

方法五：动静结合——单调函数法

设x≥0，y=f（x）=a+xb+x=1+a-bb+x则由00时，f（m）>f（0），因此a+mb+m>ab

如果进一步对模型中m应满足的条件进行研究，我们发现，不等式a+xb+x>ab的解集是（-∞，b）∪（0，+∞），即只需m在（-∞，b）∪（0，+∞）内取值，不等式a+mb+m>ab必定成立，因此利用解不等式也是证明模型的一个好的方法。

方法六：纵向联系——解不等式法

因为不等式a+xb+x>ab的解集是（-∞，b）∪（0，+∞）又因为m∈r+，r+是（-∞，b）∪（0，+∞）的子集，所以当x=m时，不等式成立，即a+mb+m>ab成立。

三、模型的应用

研究模型的目的是将模型正确、方便地利用解决问题，这也是数学学习的最终目的，数学的学习必须强调知识和方法的应用。

应用：（1）已知a、b、c为△abc的三边，求证：ab+c+bc+a+ca+b<2 分析：请学生思考：①本题结论的特点（轮换分式）；

②和模型的关系（放大左边）；

③是否具备用模型的条件（两边之和大于第三边）.

证明：在△abc中，a

由模型知：ab+c<2aa+b+c

同理ba+c<2ba+b+c；ca+b<2ca+b+c；

故ab+c+ba+c+ca+b<2ca+b+c=2

应用：（2）设z1、z2∈c，求证：|z1+z2|1+|z

1+z2|≤|z1|1+|z2|+|z2|1+|z2|

分析：能否利用模型分离|z1+z2|成为|z1|、|z2|的形式.

证明：∵|z1+z2|≤|z1|+|z2|，∴|z1|+|z

2|-|z1-z2|≥0

∴|z1+z2|1+|z1+z2|≤|z1+z2|+|z1+|z 2||-|z1+z2|1+|z1+z2|+|z1|+|z2|-|z1+z 2|=|z1|+|z2|1+|z1|+|z2|

=|z1|1+|z1|+|z2|+|z2|1+|z1|+|z2|≤|z

1|1+|z1|+|z2|1+|z2|

说明：很明显，不等式左边是类似函数f（x）=x1+x的形式.

我们利用函数的单调性证明了模型，同样也可以证明上面的不等式，所以函数方法是证明不等式的一种常用方法。

模型的应用实质上是对模型本质的进一步研究和发掘，通过应用，使学生感受到，对研究的结果深入的思考，能够做到举一反三，触类旁通，真正提高学习效率，从盲目的解题中解脱出来，既有利于减轻学生的负担，也有利于培养思维的广阔性和深刻性。