平行四边形网格 的完全强迫数

平行四边形网格n m R ,的完全强迫数一、预备知识及初步设计2.2平行四边形网格及其坐标化首先根据近期研究出来的长方形网格的完全强迫数计算方法，我们先研究一个长为1-m 列（每一行正方形个数）、宽为1-n 行，其中m 、n 为正整数且2,≥n m 的正方形网格来研究，定义为n m R ,，最后再推广到平行四边形六角系统的情形。

平行四边形网格如图2所示：图2为方便起见，我们总是把所研究平行四边形网格放在平面上，这样规则正方形网格中两条相反的边的方向是可坐标化的。

这样就可在n m R ,上建立一个坐标系，左下角延长线的点设为（1,1），右上角的点坐标即为（m ，n ），把图2所示平行四边形网格建立坐标系如图3所示：图3：4,5R可知，平行四边形网格中的所有圈均为偶长圈，则平行四边形网格是一个二部图（基于同样的理由，平行四边形六角系统也同样是一个二部图）。

在这篇文章中，我们有必要强调m 为奇数，否则n m R ,没有任何完美匹配（见下述定义），所以我们在求解平行四边形网格完全强迫数中总是假设m 为奇数。

2.3相关概念一个图G 的完美匹配（或凯库勒结构）是G 中不相交的边组成的集合，它要求覆盖G 中所有点。

G 中一条边称为允许边，如果它属于G 中的一个完美匹配；否则就称为G 的禁止边。

一个图G 称为基本的，如果G 中所有允许边组成G 的一个连通子集。

注意，如果一个二部图是基本的，则其所有边都是允许边。

设1S ，2S 是一个集合的两个子集，则两个集合的对称差分，可表示为21S S ⊕，是一个集合，其中的元素需要确切的一个属于1S 一个属于2S 。

设G 是一个连通图，它有一个完美匹配。

G 的一个子集H 是nice 的，如果)(H V G -也含有一个完美匹配。

显然，G 中的偶长圈C 是nice 的当且仅当C 刚好是G 中两个完美匹配21,M M 的对称差分，即21M M C ⊕=；我们称C M ⋂1和C M ⋂2是C 的两组type-edges 。

或者，C 的一个nice 圈的每个type-edges 都是C 的一个完美匹配。

对于一个长方形网格),(n m 的设置与平行四边形网格相同），如图4，以下有一个基础的性质：图4：6,7A2.4引入定理及证明引理2.4：[]2设对一个长方形网格n m A ,来说，其n m ⨯是偶数。

则n m A ,存在一个完美匹配，且n m A ,是基本的。

定理2.5：设对一个平行四边形网格n m R ,来说，其n m ⨯是偶数。

则n m R ,存在一个完美匹配，且n m R ,是基本的。

证明：首先我们按上述方法对平行四边形六角系统建立坐标系，由上述假设可知，m ，n 中至少一个为偶数，不妨令n 取整数，则可定义n m R ,边集的一个子集M ：}2...2,1),1,1)(,{(}2...2,1;21...2,1),,2)(,12{(}2;,...2,1),2,)(12,{(-=++⋃-=-=-⋃==-n j j m j m n j m i j i j i n j m i j i j i 显然，M 是n m R ,的一个完美匹配。

取法如图5所示，图中加粗线组成的集合即为一个完美匹配。

定理前半部分得证。

下证n m R ,是基本的。

由引理2.4可知一个长方形网格n m A ,是基本的，则其所有边都是允许边。

对于一个长方形网格n m A ,，对其中每个小正方形，如果一条边确定，则所对应的完美匹配中的其他边也是唯一确定的。

对于一个平行四边形网格，情况也是一样，它相当于一个长方形网格把从上往下数第二行之后每一行都相对于前一行向右平移一个单位正方形得到，若m 为奇数，则其完美匹配的取法不变。

则平行四边形网格的每条边也都是允许边，即它是基本的。

图5：4,5R引理2.6：[]3设G是一个平面二部图，其顶点数大于等于2，则G 的每个面的边界都是nice 的当且仅当G 是基本的。

定理2.7：设n m R ,是一个平行四边形网格，其m 是奇数，则n m R ,中每一个正方形区域都是nice 的。

证明：n m R ,是一个平面二部图，且由定理2.5知n m R ,是基本的，则由引理2.6可直接得到。

2.5完全强迫集和完全强迫数设G 是一个连通图，它的边集设为E(G)，它有一个完美匹配M 。

M 的强迫集是M 的一个子集，它不属于G 中其它任何一个完美匹配。

由其定义易得，一个空集是M 的强迫集当且仅当M 是G 中唯一一个完美匹配。

G 的一个完全强迫集S 是边集)(G E 的一个子集，其对任何完美匹配M ，M 的限制是M 的一个强迫集。

显然，任何包含G 的一个完全强迫集的集合，尤其是)(G E ，也是G 的一个完全强迫集。

一个具有最小势的完全强迫集叫做最小完全强迫集，而这个最小势就叫做G 的完全强迫数，定义为)(G γ。

图6：4K如图6所示，4K 包含三个不同的完美匹配：},{},,{},,{633522411e e M e e M e e M ===容易看出，每个完美匹配M 的限制，在},,{321e e e S =上是M 的一个强迫集。

因此，S 是4K 的一个完全强迫集。

因为S 和每个完美匹配的交集都是非空的，且},,{321M M M 是4K 边集的一部分，则S 势为3，是一个最小完全强迫集，3)(4=K γ。

我们下面给出一个含有完美匹配的连通图的完全强迫集的充分必要条件：定理2.8:[]4设G 是一个连通图，边集为E(G)，且含有完美匹配。

)(G E S ⊆是G 的一个完全强迫集当且仅当，对G 中任何一个nice 圈C ，S 和C 的每组type-edges 的交集是非空的。

在这部分，给出平行四边形网格n m R ,的完全强迫数关于其边长m ，n 的表达式。

定理3.1（Pick`s theorem ）：[]5设P 是在多联骨牌上的一个简单多边形，这样所有P 上的点是四边形上的点，设在P 的内部四边形上的点的数量为i ，设在P 的边界上的四边形上的点为b ，则P 的区域含四边形的个数为12-+=i A b图7：5,6R引理 3.2：设n m R ,是一个平行四边形网格，其m 为奇数，则)1(2)1(2)(,-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+-⎥⎦⎥⎢⎣⎢≤n m m n R n m γ。

证明：只要给出一个完全强迫集S ，使其势为即可。

首先，可以给出这样的一个集合S ，其势为，再证明它是完全强迫集。

设S 为}...2,1;22...2,1),1,12)(,12{(}2...2,1;1...2,1),12,1)(12,{(n j m i j i j i n j m i j i j i =⎥⎦⎥⎢⎣⎢+=+--⋃⎥⎦⎥⎢⎣⎢=+=-+- ()()21其中（1）为S 中水平边的边集，（2）S 中竖直边的边集，出现不属于原图的边则忽略不计。

例子如图7所示，S 即为图中加粗边。

若把图7中的第7，8，9列平移到第1，2，3列的下方，则拼成一个规则的长方形网格，平移过来的加粗边的数量刚好能使整个加粗边变成一个规则的网，其水平边数量为()12-⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n ，竖直边数量为()12-⎥⎦⎥⎢⎣⎢n m 通过直接的计算可证明集合S 的势为。

以下证明S 是n m R ,的一个完全强迫集。

由定理2.8可知，只需证明S 与n m R ,中每个nice 圈C 中的两组type-edges 相交非空。

情形1：C 是n m R ,中任意nice 圈，最小的C 应该是一个单位正方形，对每个单位小正方形，S 和C 有且仅有两条相邻边，且属于C 中不同的type-)1(2)1(2-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+-⎥⎦⎥⎢⎣⎢n m m n )1(2)1(2-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+-⎥⎦⎥⎢⎣⎢n m m n )1(2)1(2-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+-⎥⎦⎥⎢⎣⎢n m m nedges 。

则S 和C 中两组type-edges 相交非空，情形2：C 是不规则的圈。

即证)(C E S ⋂非空。

假设)(C E S ⋂为空集，设G 是n m R ,中通过删除S 中的边得到的图，然后删除G 中所有悬挂边（边的终边是1度点），最后删除所有的孤立点。

能发现G 具有和平行四边形网格相同的结构，只是每个单位小正方形从变长为1变成了变长为2 。

则由假设可知，C 是完全包含在G 中的。

假设C 封闭一些平面区域R ，则R 的外部点b 是四可分的。

由定理3.1可知，C 内部点i 是奇数，则)(,C V R n m -是没有完美匹配的，与C 为nice 圈矛盾。

引理 3.3：设n m R ,是一个平行四边形网格，其m 为奇数，则)1(2)1(2)(,-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+-⎥⎦⎥⎢⎣⎢≥n m m n R n m γ。

证明：设S 是n m R ,中任意一个完全强迫集。

由定理2.7和定理2.8可知，S 与n m R ,中任意一个正方形区域h 的两组type-edges 是相交非空的。

则S 最少含有一条在h 中的竖直边。

已知对于一个平行四边形网格，每一行含有m-1个正方形，按引理3.1所述方式平移后所得的长方形网格每一列含有n-1个正方形。

则S 的竖直边至少有⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎥⎤⎢⎢⎡-221m m 条，水平边至少有⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎥⎤⎢⎢⎡-221n n 条边。

而n m R ,含有m-1列n-1行，则S 至少包含条边。

定理 3.4：设n m R ,是一个平行四边形网格，其m 为奇数，则)1(2)1(2)(,-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+-⎥⎦⎥⎢⎣⎢=n m m n R n m γ。

)1(2)1(2-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+-⎥⎦⎥⎢⎣⎢n m m n。