(行列式的特殊解法)

【title】Act3 Cramer's Rule

【Content Arrangement】:

1）Cramer's Rule

2）Some methods to compute determinant

Act3-1 Some methods to compute the determinant

（行列式的特殊解法）

【Content Arrangement】:

1、化为三角形

2、降阶法

3、Vandermonde

4、递推法*

5、拆项法*

6、析因子法

*7、拉普拉斯定理的特例

1．化为三角形（加边法）

例1：

2、降阶法

例：

解：

请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时，D的值？(不要套公式)

3．Vandermonde

例: Vandermonde行列式

证明用数学归纳法。

当n=2时，成立。假设该结论对n-1阶成立，现证明n阶也成立。

在中，第n行减去n-1行的倍，n-1行减去n-2行的倍，依次类推，得

4。递推法：

例：

解：按第一列展开，得：

而：。故

5、拆项法：

例：计算行列式

解：

6、析因子法：

例：

解：很明显，=1，2，3，…，都使得=0,而是的次多项式，首项系

数为1。且, ,…, 为互质多项式，故, ,…, |

7．拉普拉斯定理的两个特例

Act3-2 Cramer's Rule

Now we will discuss the system of n linear equations in n unknowns.

Theorem1: The system of linear equations

（1）

The determinant

is called the coefficient determinant of the system..

If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas.

（2）

where is the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,...,b n.

Proof：首先证明（2）是方程组的解。为此把（i=1，2，…，n）代入方程组的第k个方程左端得，

由行列式性质7、8有，

下证解的唯一性：设有另解, 只须证

同理可得，证毕。

本定理适用条件：

1、n个未知数，n个方程得方程组；

2、系数行列式D不为零；

3、若D=0，方程组可能无解或有无穷解。

Definition：If b1=0,...,bn=0, we call the system homogeneous.

trivial solution：（）

Corollary1: A homogeneous system of n linear equations in n unknowns with nonvanishing determinant has only the trivial solution.

Corollary2: If a homogeneous system of n linear equations in n unknowns has nontrivial solution, then D= 0.

Example1：Solve the following system of linear equations .

Solve:系数行列式为：

解的分子行列式为：

所以解为：

Example2：Solve the following system

Solve:系数行列式为：

所以方程组只有零解，即x=0,y=0,z=0

【随堂练习】

1.方程组有非零解，。

Answer:

2.设多项式，证明：若有个互异零点，则恒等于零。

Proof:设的个互异的零点为，则有，即

这可视为以为未知量的齐次线性方程组，其系数行列式为n+1阶范德蒙行列式的转置，故

于是由Cramer法则上述方程组只有零解，即也即.

【Homework】1-2 8（1）（3），9（2），10 1-3 1