光学谐振腔的衍射理论

二、 纵模(纵向的稳定场分布)
（1）激光的纵模(轴模)：由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布 (2).纵模序数：整数q称为纵模的序数
每个q值对应一个驻波
kL qc c qc 2 2q mn νmnq 2 L 2L 2 L k 2ν c qc ν mnq (3-16) 2L
vF 1500106 m 10 8 vq 1.5 10
ik ik ( x , y , x ', y ') i ik ( x , y , x ', y ') 其中 K ( x, y, x' , y ' ) e e 2L L
(3-6) (3-7)
称为积分方程的核。 umn 和 mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函 数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多 不同的自再现模。
惠－菲原理提供了用干涉解释衍射的基础
菲涅耳发展了惠更斯原理 从而深入认识了衍射现象 它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的理论基础
二. 惠更斯－菲涅耳原理 设波阵面上任一源点 P ' 的光场复振幅为 u' ( P' ) ，则空间任一 观察点P 的光场复振幅 u (P)由下列积分式计算：
——原点 P '与观察点 P之间的距离
四、激光器中出现的纵模数
（第二章）
五.选纵模
1.确定可起振纵模数目
q的因素 (1)荧光线宽 *( 自发发 射线宽): F 大则q 大 ∵*(只有)满足
1 1 0 F q 0 F 2 2
的纵模 q 才能起振
图(3-4) 腔中允许的纵模数
(2)腔长: L 越大则 q 越大 1 q *( , L大则 q 小, F 内可容更多个纵模) ∵ L 例：L=30cm ，△vq=5×108Hz， 其中只有三个频率在原子 0.6328μm线宽 F 范围内,所以激光器输出三个频率, 称三纵模.(多纵模激光器) 例:L=10cm 的He—Ne 激光器中满足（3-16） 的频率很多， 但形成激光的只有其 中之一,称为单模
u
M'
q
( x' , y ' )
e ik

(1 cos )ds' (3-4)
去掉q，得自再现模积分方程
ik u( x, y) 4
因为
u( x' , y' )
M'
e ik

(1 cos )ds'
(3-5)
L, R a 所以作两点近似处理：
a——反射镜的线度
2 2q q 1,2,3,
(2).腔内产生驻波的条件 *(光学腔长等于半波长的整数倍)
L L q
'
0 q
2
vq
c
0 q
——谐振频率
其它波长（频率）都被相消干涉所淘汰，只有 0q（ v0 q ）才能产生 振荡，可通过改变L来选择 0q （ v0 q）故称为选频。 从能量重新分布的角度来考虑，v0 q 的能量被加强了，其他频率的 被减弱了。
第3章
激光器的输出特性
在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不 随时间变化的稳态场分布）?如何求场分布?
稳态场分布的形成:可看成光在两镜面间往 返传播的结果!
方 法
一个镜面上的场
另一个镜面上的场
求解衍射积分方程!
3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式
一.惠更斯 - 菲涅尔提出子波及子波干涉的概念
1) 波传到的任意点都是子波的波源 2) 各子波在空间各点进行相干叠加 概括为： 波面上各点均是相干子波源
面内的场的分布，横模 ） 模的电磁场理论（横截 (纵模） 模的简谐频率 模的基本特征 的相对功率损耗 模在腔内往返一次经受 每一个模的激光束的发 散角
2、稳态场的形成——模的“自再现”
镜1上的场分布，到达镜2时，由于衍射，要经历一次 能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损 失大，每单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分 布变化，多次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基 本不受衍射影响的稳态场分布，该稳态场分布一个往返后 可“自再现”出发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的 场振幅按同样的比例衰减，各点相位发生同样大小的滞后。
横向场振幅 分布和相位 分布都均匀 的平面波入 射，经过多 次孔阑的衍 射影响后， 二者都变得 不再均匀， 成为相对场 振幅和相对 相位分布都 不受衍射影 响的稳态场 分布。
(1)自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。
（在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布）
(2)往返损耗：自再现模往返一次的损耗。 (3)往返相移：自再现模往返一次的相位变化，等于2π的 整数倍。
2.数值例:
(1) CO2激光器 : λ=10.6μm λ=0.5145μm
△vF≈108s-1
L=1m
△vq=1.5×108s-1
激光器输出单模 L=1m
(2)氩离子激光器:
△vF≈6×108s-1
△vq=1.5×108s-1
激光器多模输出
形成激光振荡的条件： 1. 满足谐振条件 q q 2L 2. 满足阈值条件
uq1 uq arguq1 arg arguq
自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为 arguq1 arguq arg 自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L 所决定的几何相移，它们的关系为 附加相移 kL mn kL arg mn arg
3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模
问题 Ne原子的0.6328 m谱线的频率宽度为
1.3 10 9 Hz
I ( 0 )
I ( 0 )
I ( 0 ) 2
3 108 v 5 1014 Hz 6 0.632810 c

Δ
1.3 10 3 106 14 5 10
（3-6）的解包括两个方面: ①本征函数 u ( x, y) 是复函数,其模代表镜面上光场振幅 分布,幅角代表镜面上光场的相位分布; ②本征值σ也是个复数,其模反映了自再现模在腔内单程 渡越时所引起的功率损耗.幅角代表单程渡越后模的相位 滞后。
六. 积分方程解的物理意义 (1)本征函数umn 和激光横模 本征函数 umn 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分 布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光 谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫 做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
一、开腔模的一般物理概念 1、理想开腔模型 两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。
可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘决定！
2、决定腔模形成的损耗：主要是腔镜边缘的衍射损耗， 其他的损耗只使横截面上各点的场按照相同比例衰减！ 二、自再现模概念 1.模: 光腔中可能存在的电磁场空间分布状态
假设 uq ( x' , y' ) 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布， uq1( x, y) 表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光 场分布，则uq 1与 uq 之间应满足如下的迭代关系： ik
ik uq1 ( x, y) 4
u ( x', y' )
q M'
图3-1 惠更斯-菲涅耳原理
ik u ( P) 4


u' ( P)eik

(1 cos )ds'
——原点 P '处的法线 n 与 P' P 的夹角 2 k——光波矢，k 为光波波长 ds’——原点 P '处的面元

功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的 振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位 置处的振幅和相位分布。
图3-3 横模光斑示意图
(2).(横模) 标记:
Leabharlann Baidu
TEM mn m, n —— 横模序数
(3)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移 本征值 mn 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的 功率损耗。
(4)本征值 mn 和单程衍射损耗、单程相移 损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为 单程衍射损耗，用 表示。定义为 2 2 uq uq1 2 2 mn 1 mn uq uq1 uq 本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。
ν mnq
qc 2L
(3-16)
C q阶纵模频率可以表达为： q q 2L
C 基纵模的频率可以表达为： 1 2L 谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍）
三. 纵模频率间隔
(1) 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔 c qc c ν mnq mn ν q νq 1 ν q 2L 2L 2L （a）频率梳——纵模等距排列 *(在频率空间)
c
G a总
3. 落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分
六.
工作物质饱和效应的影响
1.均匀增宽工作物质
(a) 腔中的频率梳 (b) 均匀展宽谱线v0附近 达到振荡阈值 (c) 随着振荡加强,发生增
益饱和现象,整个增益
曲线下降 (d) 单纵模形式运转
2.非均匀增宽介质 (a)腔中的频率梳 (b)非均匀展宽谱线 (c)满足 q q 2L 及阈值条件的纵模 在增益曲线上“烧孔”
9
0

而为什么He—Ne激光器输出激光的
Δ

会小到10 - 15 呢？
一.谐振条件和驻波条件 在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干涉而得到加强。
相长干涉条件 （波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来 位置时，应与初始出发波同相） (1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定 频率的光才能满足谐振条件
c
(d) 频率振荡
例:有一个谐振腔，腔长L=1m，求在1500MHｚ 的范围内所包含的纵模个数。
解：谐振腔相邻两个本征纵模之间的频率间隔为
C vq 2L
设折射率μ=1，则
C 3 108 vq 1.5 108 Hz 2L 2 1
在
vq
范围内所包含的纵模个数：
谐振腔可能包含的纵模 个数为11
e

(1 cos )ds'
(3-2)
考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表 u 示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，q 1 应能够将uq再现 出来，两者之间应有关系： σ——与坐标(x,y)及(x’,y’)
uq1 uq
(3-3)
无关的复常数
综合上两式可得：
ik u q ( x, y) 4
三、自再现物理过程的形象化描述和定性解释——孔阑传输
五. 自再现模积分方程
图3-2 镜面上场分布的计算示意图
图(3-2)所示为一个圆形镜的平行 ' 平面腔镜面 M 和 M 上分别建立了坐标 轴, 两两相互平行的坐标 x y 和 x ' y '。利用上式由镜面 M ' 上的光 场分布可以计算出镜 上的场分布函 数，即任意一个观察点的光场强度。
∴cos θ=1 ， 1+ cos θ=2
L——腔长 R——反射镜曲率半径
① ∵θ很小
② ρ≈ L （不同的腔面做不同的近似） 将以上近似代入(3-5)，得到自再现模所满足的积分方程
（不受衍射影响的稳态场分布函数）
mn umn ( x, y ) K ( x, y, x' , y ' )uq ( x' , y ' )ds '