数学分析讲义第五版
华东师大第五版数学分析第一章第一节
令 = − , 则为正数且 = + , 但这与假设 < + 相矛盾. 从而
必有 ≤ .
1.2 绝对值与不等式
,
≥ 0,
定义: = ቊ
−, < 0.
实数绝对值的性质：
➢ 正定性: = − ≥ 0; 当且仅当 = 0时有 = 0.
其中0 , 0 为非负整数, , ( = 1,2, ⋯ )为整数, 0 ≤ ≤ 9, 0 ≤
≤ 9, 若有
= ,
= 0,1,2, ⋯
则称与相等，记为 = ；若0 > 0 或存在非负整数，使得
= ( = 0,1,2, ⋯ ) 而+1 > +1 ，
• 实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何, ∈ R, 若 > >
0, 则存在正整数, 使得 > .
• 实数集具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实
数, 且既有有理数，也有无理数.
• 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.
例2 设, ∈ R. 证明：若对任何正数, 有 < + , 则 ≤ .
似分别规定为
= −0 . 1 2 ⋯ − 10− 与ҧ = −0 . 1 2 ⋯ .
注：
0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ⋯
ҧ0 ≥ ҧ1 ≥ ҧ2 ≥ ⋯
实数的不足近似与过剩近似是用有限小数研究无限小数的重要
工具.
命题
设 = 0 . 1 2 ⋯ 与 = 0 . 1 2 ⋯为两个实数，则 >
的等价条件是：存在非负整数，使得
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册是数学系研究生必修课程之一，也是大学本科高等数学课程的进阶版，内容极为丰富，涉及微积分、级数、常微分方程等多个方面，是一门集分析和代数为一体的课程。
下面，我将对该课程进行精讲精练，以帮助学生更好地掌握和理解课程内容。
一、微积分微积分是数学分析的重要组成部分，是研究微小变化的一种数学方法。
在微积分中，常见的概念包括导数、积分、极限等。
1.导数导数是函数在某一点的变化率，表示为$f'(x)$。
导数的计算可以通过极限的方法得到，有如下公式：$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ 2.积分积分是函数与坐标轴所围成的面积，表示为$\int_a^bf(x)dx$。
积分的计算可以通过求解定积分的方法得到，有如下公式：$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$$其中，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，$x_i=a+i\Delta x$。
3.微积分的应用微积分在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以通过微积分计算对象的运动、速度、加速度等，从而研究物体的物理性质；在经济学中，可以通过微积分分析经济学模型中的生产函数、消费函数等，从而研究经济模型的特性。
二、级数级数也是数学分析中的重要组成部分，是相加无限项的数列。
在级数中，常见的概念包括收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等。
1.收敛和发散级数是收敛的，当且仅当它的部分和有界，表示为$\sum_{n=1}^\infty a_n$，其中$a_n$是级数的第$n$项。
级数是发散的，当且仅当它的部分和无界。
2.绝对收敛和条件收敛级数是绝对收敛的，当且仅当它的绝对值数列是收敛的，表示为$\sum_{n=1}^\infty|a_n|$。
数学分析讲义第五版上册课程设计
数学分析讲义第五版上册课程设计一、课程设计背景数学分析是理工类学科中的重要基础课之一，对于学生的数学素养和综合能力有着重要的影响。
本次课程设计旨在从数学分析的基础理论出发，通过实例演算和计算练习等多种形式，提高学生的数学分析能力。
二、教学目标1.了解数学分析的基本概念和方法，掌握数学分析的常用技巧。
2.能够分析和解决数学分析的实际问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
3.培养学生的自主学习和团队合作能力。
三、教学内容第一章函数与极限1.函数的概念与性质–函数的定义与表示方法–函数的分类与常见函数–函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）2.极限的概念与性质–极限的定义与表示方法–极限的常见性质（唯一性、保号性、夹逼准则等）–极限的计算方法（有理分式极限、无理式极限等）第二章导数与微分1.导数与微分的概念–导数的定义与表示方法–导数的几何意义与物理意义–微分的概念与计算方法2.导数的基本公式与性质–反函数的导数–复合函数的导数–隐函数的导数3.高阶导数–高阶导数的定义与计算方法–函数的泰勒公式与母函数第三章积分与应用1.积分的概念与基本定理–积分的定义与表示方法–积分的性质与计算方法2.定积分和不定积分–定积分的概念和性质–不定积分的概念和计算方法3.应用题–物理问题中的面积和体积问题–经济问题中的贡献问题–生物问题中的增长问题四、教学方法1.课堂讲授2.教师示范3.计算练习4.课后习题五、教学评价1.平时评分：考察学生对课堂知识的掌握情况和课外作业的完成情况。
2.期中考试：考察学生对前半学期内容的理解、运用和实践能力。
3.期末考试：考察学生对整个学期内容的掌握情况和数学分析能力的总体水平。
六、教材及参考书目教材：《数学分析讲义第五版上册》参考书目：1.《数学分析第一卷》张策著2.《数学分析》康纳利著3.《数学分析习题集》芮勇著七、教学计划教学时数内容6第一章函数与极限（1）6第一章函数与极限（2）6第二章导数与微分（1）6第二章导数与微分（2）6第二章导数与微分（3）6第三章积分与应用（1）6第三章积分与应用（2）6第三章积分与应用（3）6综合计算练习8复习及期中考试6第三章积分与应用（4）6第三章积分与应用（5）6第三章积分与应用（6）6第三章积分与应用（7）6第三章积分与应用（8）6第三章积分与应用（9）8综合计算练习及总复习10期末考试与总评八、总结数学分析是一门重要的基础学科，对于学生的综合能力和未来的学习和发展具有重要的影响。
数学分析讲义第五版
)x
f
' y
(x0
,
y0
)y
涉及函数
f
(x,
y)
在点
p0 (x0 ,
y0 ) 邻域内所有的函数值，而偏导数
f
' x
(
x0
,
y0
)
与
f
' y
(
x0
,
y0 )
仅涉及二元函数 f (x, y) 在过点 p0 (x0 , y0 ) 的直线 x x0 与 y y0 上的函数值.因此，仅仅
两个偏导数
f
' x
由全微分的定义不难看到全微分的两个性质： dz 是 x 与 y 的线性函数； dz 与 z 之 差比 是高阶无穷小.
显然，若函数 f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）可微，则函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 连续.
如果二元函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 可微，全微分（2）中的常数 A,B 与二元函数 f (x, y) 有
x lim k Q
xk 0
xk
由此可见，多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数。因此，
求多元函数的偏导数可按照一元函数的求导法则和求导公式进行。
u u
例 1 设 u x y (x 0) ，求
,
.
x y
解 u yx y1 （y 看作常数）。 x u x y ln x （x 看作常数）。 y
o(x)
= A lim
A.
x0 x
dz
f
' x
(x0
,
y0
)dx
f
' y
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
前页 后页 返回
方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
前页 后页 返回
一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
前页 后页 返回
径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
前页 后页 返回
例5 级数
数学分析第五版上册华师大
数学分析第五版上册华师大1. 引言数学分析是理工科学生必修的一门数学课程，它主要讲述了数列与函数的极限、连续性、导数和积分等概念及其性质。
数学分析第五版上册是华师大出版社出版的一本教材，本文将对该教材的内容进行简要介绍。
2. 数学分析第五版上册的组织结构数学分析第五版上册按照章节的顺序给出了数学分析的基本概念和定理。
总共包括以下章节：•第一章：实数与实数集•第二章：数列的极限•第三章：数列的上极限和下极限•第四章：函数的极限与连续性•第五章：函数的导数•第六章：函数的微分学应用•第七章：复数•第八章：实函数的积分•第九章：多重积分•第十章：曲线积分与曲面积分每个章节中都包含了大量的例题和习题，帮助学生理解和应用所学知识。
3. 数学分析第五版上册的特点数学分析第五版上册的特点如下：3.1 知识结构清晰教材将数学分析的各个主题按照逻辑顺序进行组织，每个概念都有明确的定义和性质。
这有助于学生理解和掌握知识的整体结构，并能够更好地进行知识的迁移和应用。
3.2 注意实际应用教材中的习题和例题注重实际应用，通过解决实际问题来帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相联系。
这样的设计有助于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
3.3 突出基本概念和定理教材中重点强调了数学分析的基本概念和定理。
这些基本概念和定理是学习数学分析的基础，对于后续的学习有着重要的影响。
通过深入理解和掌握这些基本概念和定理，学生可以更好地应用数学分析解决实际问题。
4. 学习数学分析第五版上册的建议学习数学分析第五版上册时，建议学生采用以下方法：4.1 预习教材在课前预习教材，了解本章节的主要内容和重点。
可以先浏览一遍教材，并留意教材中的例题和定理。
4.2 勤做习题习题是检验和巩固所学知识的重要途径。
建议学生在学完每个章节后，多做一些习题，并及时与答案进行对照，找出自己的不足和问题。
4.3 多与他人讨论可以与同学或老师进行讨论，相互交流和学习。
数学分析第五版
14.2 曲面积分一．第一型曲面积分第一型曲面积分也是从实际问题中抽象出来的。
例如，物质曲面的质量问题就可归结为第一曲面积分。
设在三维欧式空间错误!未找到引用源。
中有光滑或者逐片光滑的曲面块S，三元函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。
首先，用曲面S 上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：错误!未找到引用源。
，…，错误!未找到引用源。
，将此分法记为T。
设第k个小曲面错误!未找到引用源。
的面积是错误!未找到引用源。
在第k个小曲面错误!未找到引用源。
上任取一点错误!未找到引用源。
，作和错误!未找到引用源。
∑=∆=nkkkkkn fQ1),,(σζηξ(1)称为三元函数f(x,y,x)在曲面S的积分和。
令错误!未找到引用源。
定义设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的曲面S有定义。
若当错误!未找到引用源。
时，三元函数f(x,y,z)在曲面S的积分和（1）存在极限L，即错误!未找到引用源。
=L,则称L是三元函数f(x,y,z)在曲面S的第一型曲面积分，记为L=错误!未找到引用源。
,期中是曲面S的面积微元。
不难得到，如果物质曲面S上任意点P(x,y,z)的面密度是错误!未找到引用源。
，则物质曲面S的质量m是第一型曲面积分，即m=错误!未找到引用源。
,第一曲面积分有类似于第一曲线积分的那些性质，读者可以仿照第一曲线积分的性质写第一曲面积分的性质。
关于第一曲面积分的存在性及其计算方法下面有定理。
定理1 若曲面：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)错误!未找到引用源。
,是光滑的或逐片光滑的，其中D是有界闭区域。
三元函数f(x,y,z)在曲面S连续，则三元函数f(x,y,z)在S的第一曲面积分存在，且错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
(2)其中E=错误!未找到引用源。
F=错误!未找到引用源。
G=错误!未找到引用源。
证法与第一曲面积分相应定理完全相同，从略。
公式（2）指出，求第一曲面积分可以化为二重积分。
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学《数学分析》第四版和第五版是数学专业本科生必修的课程。
数学分析是数学的基础课程之一，是学习数学专业的必备课程之一。
这两个版本的教材涵盖了微积分、级数和函数的基本概念、性质和理论。
下面我将结合个人的学习经验，给大家分享一些学习该教材的技巧和注意事项，以及重要概念的精讲精练。
一、学习技巧和注意事项1. 学好基础知识。
数学分析是建立在微积分基础之上的，因此在学习本课程之前，要先学习高等数学中的微积分部分。
这样可以更好地理解和掌握数学分析的内容。
2. 理解和掌握公式和定理。
数学分析中有很多重要的公式和定理，如极值定理、中值定理、费马定理等。
在学习时，要重视这些公式和定理的理解和掌握，并能熟练地运用它们来解决问题。
3. 培养良好的数学思维。
数学分析是一门具有很强的逻辑性和抽象性的学科，因此要善于拓展思维、培养逻辑思维能力，并多做一些题目来提高解决问题的能力。
4. 注意语言的表达。
数学分析中涉及到很多概念、符号和定理，因此在学习时要注意语言的准确性和表达能力，避免产生歧义。
5. 做好笔记和复习。
在学习数学分析时，要做好笔记，记录下重要概念、公式和定理，方便以后查阅和复习。
同时，要经常回顾已学知识，加强记忆和巩固。
二、重要概念的精讲精练1. 极限在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。
它表示自变量在接近某个特定值时，函数取值的趋势。
简单来说，就是函数在某一点的极限值，通常用lim f(x)表示。
在计算极限时，通常需要用到极限计算法则，如代数运算法则、夹逼准则、洛必达法则等。
其中，洛必达法则是计算难度较大的一种方法，需要掌握其具体使用方法。
例如，计算以下极限：lim (3x^2 + 1) / x, x -> 0应用洛必达法则，可得：lim (6x) / 1x -> 0= 0因此，该极限的值为0。
2. 导数和微分导数和微分是微积分的核心概念，也是数学分析的重要内容。
数学分析第五版pdf
数学分析是一种建立在高等数学基础上的研究和应用数学理论的数学学科。
最初的数学分析起源于十六世纪的微积分课程，最早的提出者是英国数学家约翰·斯托克斯(JohnStoke)，他将它命名为实在允许分析。
在过去的三百多年里，数学分析发展得十分迅速，并且在多个领域应用西方科学发展得十分广泛，成为数学史上最重要的阶段之一。
数学分析第五版(Mathematical Analysis - Fifth Edition)是一本由赞斯可出版社出版的数学分析系列书籍，是基础指导教材。
本书专为数学分析的学习者准备。
本书共分为十章，从微分学的基础到复变求导，再到泰勒级数、函数的最高拥有权，作者细心地为读者营造出一个有系统的学习框架，使读者有正确的学习思维和完善的学习路线。
第一章介绍了定积分的研究，重点准备了几何概念和运动问题的解决方案，帮助读者建立定积分的概念。
第二章讨论了一元函数和对变数导数的概念，从该章开始，作者更重地展示了如何应用数学分析审核真实世界的情况，读者可以更清晰地理解数学分析的实际应用。
第三章是一元函数的近似计算，主要介绍的是Taylor、Maclaura、Lagrange级数等，它们都可以起到很好的估计函数近似值的作用。
第四章介绍了函数最高导数，此章节主要说明函数最高导数的概念，通过该概念可以推断函数的切线特性，以及函数的极限行为。
第五章是一元微积分的应用，如曲线面积，函数积分和泰勒公式，作者特别用图像呈现，非常清楚地表示出数学分析的深刻生动性。
第六章是多重变数函数的微积分，在本章节中，作者贴切地讨论了多重变数的概念，及相应的求导和积分计算方法。
本书最后两章重点讨论了函数的极值及解决方程的问题，有助于读者深入理解函数的特性，也可以帮助读者加深对几何学的把握。
总的来说，数学分析第五版(Mathematical Analysis - Fifth Edition)旨在为读者带来基础数学分析的全面认知，每一章节均着重介绍概念及计算方法，读者想要获得更多关于数学分析的详细资料，可以登录它的官网，下载全书的pdf版本。
数学分析第五版答案
数学分析第五版答案【篇一：数学分析学习方法档】>从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。
也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。
当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。
数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。
将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。
我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。
另外建议看一下当不了教材的16，20。
中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。
我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。
网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。
不少经济类工科类学校也用这一本书。
里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。
不过仍然不失为一本好书。
能广泛被使用一定有它自己的一些优势。
2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。
课本最后讲了一些流形上的微积分。
虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。
3《数学分析》陈纪修等著以上三本是考研用的最多的三本书。
4《数学分析》李成章，黄玉民是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。
5《数学分析讲义》刘玉链我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。
数学分析讲义第五版答案
数学分析讲义第五版答案【篇一：大学物理 1-10章课后题答案】2d； 3c4答：(1)、(3)、(4)是不可能的 5 v0?ct/3 x0?v0t?31ct4126x = (y?3)2 7m/s2 104o练习1 、16 r t2；4 rad /s22解：设质点在x处的速度为v，a?dv2dt?dvdx?dxdt?2?6xvx?vdv???2?6x2?dxv?2?x?x3?123解：(1) ??x/?t??0.5 m/s(2) v = d x/d t = 9t - 6t2v(2) =-6 m/s(3) s = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m 4解： a?dv /dt?4t ，dv ?4t dtv?vtd??4tdtv?2t2 v?dx /d t?2t2?xdx?x0?t2t2dt0x?2 t32??4rad/s2??4t2, v?r??4rt2t?1s时，v = 4rt2 = 8 m/s a2t?dv/dt?8rt?16m/s a22n?v/r?32m/sa??a222t?an?1/2v?22g?45.9 m/s 离地面高度 h = (45.9+10) m =55.9 m1分 1分分11(2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度 vt?(v?v0)t? t? 2v0g12gt 1分2?4.08 s7如图所示，取沿地面方向的轴为ox轴。
人从路灯正下方点o开始运动，经时间t后其位置为x?oa?vt，而人头顶影子的位置为x?。
由相似三角形关系，有oc?x??h，x??hvthvh?h，故头顶影子的移动速度为v??dx?dt?h?h。
第二章例题1、b2、c3、b4、d5、b6、mg/cos? sin?glcos?练习1、证：小球受力如图，根据牛顿第二定律 mg?kv?f?ma?mdvdt 2分dv(mg?kv?f)/m?dt初始条件：t = 0, v = 0． 1分 v?dvt(mg?kv-f)/m??dt∴ v?(mg?f)(1?e?kt/m)/k 2分2、解：(1)以a、b、绳为研究对象f－mg－ma g－mb g＝(m + ma + mb ) a∴ a?f?(m?ma?mb)gm?m?fa?mbm?m a?m?gb(2)以绳下段x长和物体a为研究对象 t(x)－(ma + m x / l )g ＝(ma + m x / l ) a∴t(x) = (ma+m x /l ) (g + a )?f(ma?mx/l)m?m(96?24x)na?m?boavth?h2分2分1分23、解：对物体a应用牛顿第二定律平行斜面方向：fcos??mgsin??fr?ma 1分垂直斜面方向：n?mgcos??fsin??01分又 fr??n1分由上解得 a?fcos??mgsin???(mgcos??fsin?)mdvdt2?0.91m/s24、解：根据牛顿第二定律f??kx2?m?mvdvdx?dxdt?mvkmx2dvdx3分∴vdv??k12v2dxmxa/4,?vdv???adx?km(4a?1a)?3mak 2分∴ v?6k/(ma)???????5、解：球a只受法向力n和重力mg，根据牛顿第二定律法向： n?mgcos??mv2/r① 1分切向：? mgsin??mat ② 1分由①式可得n?m(gcos??v2/r) 1分根据牛顿第三定律，球对槽压力大小同上，方向沿半径向外． 1分由②式得 at?gsin?1分?6、解：质量为m的物块作圆周运动的向心力，由它与平台间的摩擦力f和质量为m的物???块对它的拉力f的合力提供．当m物块有离心趋势时，f和f的方向相同，而当m物块有向心运动趋势时，二者的方向相反．因m物块相对于转台静止，故有m物块是静止的，因而mg??smgrmax??37.2mm 2分故 2m?mg??smg?12.4mm 2分 rmin?2m?第三章例题 1、c 2、d 3、c 4、c 5、c 6、c7、?12mgh38、2(f??mg)r2?r1r1r2r1?r2r1r22k2分 2分 2分9、 gmm gmm10、练习2gmm3r?gmm3r1、??mghctg??2、4000 j?fhsin?sin?3、解：由x＝ct3可求物体的速度： v?dxdt?3ct1分222424物体受到的阻力大小为：f?kv?9kct?9kcx 2分力对物体所作的功为： w?4、解： a??dw =??9kcl2x4dx =?27kc723l72分???f?dr??12tvdt 1分而质点的速度与时间的关系为 v?v0??tadt?0??tfm30dt??2t122tdt?3t2分2?所以力f所作的功为 a??12t(3t)dt??336tdt=729 j 2分35、解：以弹簧仅挂重物m1时，物体静止（平衡）位置为坐标原点，竖直向下为y轴正向，此时弹簧伸长为：l1＝m 1 g / k ① 1分再悬挂重物m2后，弹簧再获得附加伸长为l2＝m2 g /k② 1分当突然剪断连线去掉m2后，m1将上升并开始作简谐振动，在平衡位置处速度最大．根据机械能守恒，有12k(l1?l2)?m1gl2＝212m1vm?12kl1③ 2分2将①、②代入③得vm?m2gm1k)≈0.014 m/s ④ 1分6、解：设弹簧的原长为l0，弹簧的劲度系数为k，根据胡克定律：40.1g＝k(0.07－l0) ，0.2g＝k(0.09－l0)解得：l0＝0.05 m，k＝49n/m 2分拉力所作的功等于弹性势能的增量：w＝ep2－ep1＝12k(l2?l0)?212k(l1?l0)＝0.14 j 3分27、解：弹簧长为ab时，其伸长量为x1?2l?l?l 1分弹簧长为ac时，其伸长量为 x2?2l?l?(2?1)l 1分弹性力的功等于弹性势能的减少 w?ep1?ep2? ?8、解：两个粒子的相互作用力 f?kr312212kx1?2212kx2 2分 2?1)kl1分22kl1?(2?1)???(已知f＝0即r＝∞处为势能零点, 则势能 1分ep?wp???r??f?dr???kr3rdr 2分?k(2r2)9、解：(1)位矢 r?acos?ti?bsin?tj (si)?可写为 x?acos?t ，y?bsin?t vx?dxdtdt在a点(a，0) ，cos?t?1，sin?t?0??a?sin?t，vy????dy??b?cos?teka=1222在b点(0，b) ，cos?t?0，sin?t?1mvx?21mv2y?1mb? 2分22ekb=1222?????22(2) f?maxi?mayj=?ma?cos?ti?mb?sin?tj?? 2分2bbb1222??fydy???m?bsin?tdy=??m?ydy??mb?0002aaamvx?21mv2y?1ma?2分22由a→b wx? wy?fxdx???m?acos?tdx=?2?m?xdx?21ma?222分22分10 解：如图所示，设l为弹簧的原长，o处为弹性势能零点；x0为挂上物体后的伸长量，o＇为物体的平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的o?处为重力势能的零点．由题意得物体在o＇处的机械能为：e1?ek0?12kx20?mg(x?x0)sin?2分在o? 处，其机械能为： e2?1212mv2?12kx 2分2由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即：ek0?kx0?mg(x?x0)sin??212mv2?12kx2分25【篇二：学习数学分析的一些建议和书籍】本帖最后由 ke.xigui 于 2009-5-21 21:49 编辑首先，只是觉得这篇东西写得很好，对学习数学分析的人可能有帮助，所以粘上来。
数学分析第五版课本pdf
数学分析第五版课本pdf
1.本书介绍了数学分析的基本概念，包括函数、极限、微分和积分。
2.它还提供了一些关于复变函数、级数、空间几何和概率的基本概念。
3.它还提供了一些关于复变函数的技术，包括复数的极限、微分和积分。
4.它还提供了一些关于空间几何和概率的技术，包括曲线的极限、微分和积分。
5.本书还提供了一些关于数学分析的应用，包括微分方程、积分变换和拓扑学。
6.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学。
7.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学的实际应用。
8.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学的实际应用，以及应用数学分析的实际例子。
9.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学的实际应用，以及应用数学分析的实际例子，以及一些关于数学分析的实际问题的解决方案。
10.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学的实际应用，以及应用数学分析的实际例子，以及一些关于数学分析的实际问题的解决方案，以及一些关于数学分析的实际问题的解决方法。
数学分析讲义第五版下册教学设计
数学分析讲义第五版下册教学设计一、教学目标•掌握多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分以及极值和最值问题的求解方法；•掌握多元函数积分的概念、性质、计算方法，理解积分与微分的关系，并掌握变量替换法等积分方法；•了解曲线与曲面的基本性质和参数方程，掌握曲面积分的计算方法和应用；•了解四元数的概念和运算法则，理解四元数的几何意义。
二、教学内容及安排教学内容课时数备注多元函数的极限 2多元函数的连续性 2多元函数的偏导数 4多元函数的全微分 2多元函数的极值和最值 2多元函数积分概念 2多元函数积分计算方法（1） 4多元函数积分计算方法（2） 4变量替换法 2曲线与曲面的基本性质和参数方程 2曲面积分的计算方法 4教学内容课时数备注曲面积分的应用 2四元数的概念 2四元数的运算法则 2四元数的几何意义 2三、教学方法和手段•通过讲授、例题和练习相结合的形式，引导学生理解基本概念、原理和定理；•采用授课、互动讨论、小组讨论、课堂演示、作业批改等多种教学方法，激发学生学习兴趣；•结合课程内容，使用多媒体技术和网络资源，辅助教学，提高教学效果。
四、教学评估•课程考核由平时成绩和期末考试成绩组成；•平时成绩包括：作业、小组讨论、课堂表现、课堂演示等，占总成绩的30%;•期末考试采用笔试的形式，占总成绩的70%;•综合评估学生的理解掌握程度、分析解决问题的能力等。
五、教学素材•《数学分析讲义第五版下册》；•电子白板、计算机、多媒体投影仪等；•相关的教学视频、网络课件等。
六、教学后记通过教学实践，本教学设计旨在帮助学生加强基本概念和方法的理解，提高运用数学方法解决实际问题的能力和兴趣，促进学生终身学习的意识和能力的培养。
同时，教学过程中要充分发挥学生的积极性，鼓励学生自主探究、合作学习，提高学生的自主学习和生活的能力。
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学的《数学分析》是大多数数学专业学生必修的一门课程，也是数学基础很重要的一门课程。
这门课程涉及到了微积分、实变函数、级数和微分方程等重要的数学概念和方法。
本文主要介绍华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册的精讲精练内容。
这两册书主要讲授了微积分和实变函数的部分内容，其中包括单变量函数、多元函数、微积分的基本定理、微分学基本理论、级数理论和微分方程等内容。
一、单变量函数在单变量函数的学习中，我们先要学习函数的基本概念：定义域、取值域、函数的表示方法、函数分类、函数的有界性和函数的极限。
1.1 定义域与取值域定义域是指函数自变量可以取到的所有实数值的集合，而取值域则表示函数所有可能的实数输出值的集合。
在单变量函数中，定义域和取值域的关系是非常重要的。
根据函数定义域和取值域的不同，我们可以将单变量函数分为多种类型，例如正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数和多项式函数等。
1.2 函数的表示方法在学习单变量函数中，我们还需要掌握函数的表示方法。
一元函数的一般表示方法是f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
在实际应用中，一元函数的式子可能会更加复杂，包括三角函数、指数函数、对数函数等。
1.3 函数分类在单变量函数中，函数可以分为几种类型。
其中最常见的包括连续函数、可导函数和可积函数。
连续函数是指在其定义域上连续的函数，可导函数则意味着函数在其某个点的导数存在，而可积函数则表示整个函数的积分收敛。
1.4 函数的有界性在学习单变量函数中，我们还需要掌握函数的有界性。
一个函数是有界的，当且仅当在其定义域上存在一个上界和下界，使得函数值在这些上下界之间。
没有上界或下界的函数被称为无界函数。
1.5 函数的极限在单变量函数中，我们还需要学习函数的极限。
在学习极限的时候，我们需要掌握极限的定义，极限的性质和相关的定理。
特别地，拉格朗日中值定理和柯西中值定理对于极限的理解具有重要的意义。
数学分析讲义第五版上册教学反思
数学分析讲义第五版上册教学反思1. 背景和目的本文旨在对《数学分析讲义》第五版上册的教学进行反思和总结，旨在发现教学中的问题和反映出改进的方向。
2. 教学内容《数学分析讲义》第五版上册，是一本重要的数学教材，也是大学数学分析基础课程的主要教材。
本书的教学内容包括实数、数列、函数、极限、连续性等数学概念的讲解，以及数学分析中的重要定理和方法的介绍。
教学过程主要包括讲解、例题演示、课堂练习等环节。
3. 教学反思和问题3.1 讲解的深度和难度有待改进很多同学反映，教材中的内容虽然丰富，在书上看起来都比较简单，但是教师在讲解时，往往跨越性地解释一些难以理解的概念，从而使得很多学生难以理解。
3.2 例题演示不够充分教师在课堂上讲解时，会给出一些例题，但往往演示不够充分，很多学生难以掌握例题的思路和方法。
3.3 课堂练习不够出彩课堂练习是教学中重要的一个环节，可以帮助学生理解和掌握知识。
但是，在现实教学中，课堂练习的题目往往难度较低，对于一些学生来说，比较简单，难以提高学生的学习效果。
3.4 学生参与度不够理想在课堂上，很多学生往往表现得比较被动，无法积极参与课堂讨论和学习。
这种情况在教学中是不利于教师的教学和学生的学习的。
4. 教学改进方向4.1 加深讲解的思路和方法教师需要加强教学内容的讲解，注重理性思维、直觉性思维、几何思维等思维方式的培养，使学生能够更好地理解概念和方法。
4.2 加强例题演示在课堂上，教师应该不断丰富例题的形式，丰富例题的难度和要求，提高学生的思维能力和解题能力。
4.3 加强课堂练习难度课堂练习需要根据学生的程度和能力，适当提高难度和要求。
教师可以设置一些开放性的问题，引导学生在思考中掌握知识。
4.4 增加学生参与度教师可以采用一些启发式教学方法，如小组讨论、案例教学等，提高学生的积极参与度和学习效果。
5. 总结《数学分析讲义》第五版上册是一本优秀的教材，但在现实的教学中，仍然存在许多问题，需要我们不断地反思和改进。
数学分析(第五版)
数学分析（第五版）
《数学分析（第五版）》系列，是中国科学院科技传播出版发行有限公司（简称“中科院传播”）和高等教育出版社共同出版的一套数学分析系列丛书，旨在以实用而又生动的篇章和完备的讲义，给广大数学爱好者和教师提供一套系统又可视化、把握最新水平的数学文献。
该书涵盖绝大部分的数学分析内容，共有十大模块：微积分，线性代数，函数论，实分析，实变函数，复分析，复变函数，常微分方程，非线性方程，及偏微分方程。
每模块都配有精辟的讲义和可视化的例题，课后习题和解答，作为学习数学分析的有力工具。
《数学分析（第五版）》所记载的理论内容和例题，即使对于有数学分析基础知识的读者也是一本非常好的书，也是一款能让数学爱好者和教师有更深入系统地理解数学分析的良师益友。
- 1 -。
10、数学分析讲义 - CH10(定积分的应用)-21页 文字版
a
xx(t)
当 x(t) 0 时， a b 。
A
a
换元
y[(x)] d x
y(t) x(t) d t
y(t) x(t) d t
b
xx(t)
2 中国矿业大学数学学院胡建华
华师大数学分析(第五版)讲义 第 10 章 定积分的应用
综上 A y(t)x(t) d t. 【2】设简单封闭曲线 C 参数方程 x x(t), y y(t),t ,
i [x(i ) x(i )]2 [ y(i ) y(i )]2 x(i ) x( i ) y(i ) y(i )
记 x(t) 与 y(t) 在[ti1, ti ] 上的振幅分别是i 与i ，则
iti x(i ) x(i ) ti y(i ) y( i ) ti iti iti
b
[
f
(
x)]2
d
x
a
【例 3】[P228]求圆锥体的体积。
解 如图
r
O
h
f (x) r x h
V
hr (
x)2
d
x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 r 2h
0h
3
【例 4】[P228]求由圆 x2 ( y R)2 r 2 (0 r R) 绕 x 轴旋转一周便得环状立方体的
体积。
解 如图。上半圆： y f2 (x) R r 2 x2 , x r
V球
4 3
R3
6
中国矿业大学数学学院胡建华
华师大数学分析(第五版)讲义 第 10 章 定积分的应用
【二】旋转体的体积
y f (x) 是[a,b] 上的连续函数，由平面图形
0 y f (x) , a x b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
V T P 二元函数 f (x, y) 在点 P0 （ x0 ， y0 ）的两个偏导数明显的几何意义：在空间直角坐标
系中，设二元函数 z f (x, y) 的图像是一个
曲面
S.函数
f
(x,
y)
在点
P0
（
x0
，
y0 ）关于
同样，偏导数
f
' y
(x0 ,
y0 )
是平面
x
x0
上曲线
C2
z x
f (x, x0
y)
，
在点 Q(x0 , y0 , z0 )( z0 f (x0 , y0 )) 的切线斜率 tan ，如图 10.6.
如图 10.6.
我们知道，若一元函数 y f (x) 在 x0 可导，则 y f (x) 在 x0 连续可导.
类似地，n 元值函数 u f (x1, x2 ,, xn ) 在点 Q(x1, x2 ,, xn ) 的全微分
du
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
.
我们已知，一元函数的可微与可导是等价的.由定理 1，二元函数可微一定存在两个偏导 数；反之，二元函数存在两个偏导数去不一定可微.例如，函数
f (x, y) | xy |
df
f
' x
(0,0)x
f
' y
(0,0)y
0
f f (0 x,0 y) f (0,0) | x y.
(x)2 (y)2
特地，取， x y ，有
f | x y. | x |2 | x | ，
(x)2 (y)2 2(x)2 2 | x |.
于是，
lim f df lim | x | 1 0.
存在，则称此极限是函数 z = f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）关于 x 的偏导数，记为
z f
,
,
或
z
' x
(x0
,(x0
,
y0
).
x x
( x0, y0 )
( x0, y0 )
类似地，若 x = x0 （常数），一元函数 f (x0 , y) 在 y0 可导，即极限
1,
xy 0, xy 0.
f
' x
( 0,0)
lim
x0
f
(0
x, o) x
f
(0,0)
(x)2 lim x0 x
limx 0. x 0
同样
f
' y
(0,0)
0. 于是，函数
f
(x,
y)
在点（0，0）存在两个偏导数.但是，沿着直线
y=0
有
lim f (x,0) lim x2 0 ，
x0
)x
f
' y
(x0
,
y0
)y
涉及函数
f
(x,
y)
在点
p0 (x0 ,
y0 ) 邻域内所有的函数值，而偏导数
f
' x
(
x0
,
y0
)
与
f
' y
(
x0
,
y0 )
仅涉及二元函数 f (x, y) 在过点 p0 (x0 , y0 ) 的直线 x x0 与 y y0 上的函数值.因此，仅仅
两个偏导数
f
' x
lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
（（ x0 ， y0 y) D ）
存在，则称次极限是函数 z f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）关于 y 的偏导数，记为
z f
y
,
y
,
或
z
' y
(x0
,
y0
),
f
' y
(x0
,
y0
).
( x0, y0 )
( x0, y0 )
并 且 连 接 两 点 (x0 x, y0 y) G 与 (x0 , y0 y) 或 (x0 x, y0 y) 与
(x0 x, y0 ) 的线段也属于 G，如图 10.7.为此，将全变量 z 改写如下形式:
图 10.7
若二元函数 z f (x, y) 在区域 D 的任意点（x，y）都存在关于 x（关于 y）的偏
导数，则称函数 z f (x, y) 在区域 D 关于 x（关于 y）的偏导函数，也简称偏导数，
记为
z f
x x 或
,
,
z
' x
(x0
,
y0
),
f
' x
(x0
,
y0
)
z f
y y (
,
,
z
' y
(
x0
r3
例 3 理想气态方程是 PV RT （R 是不为 0 的常数），证明：
P V T 1. V T P
证明 P RT ,有 V
P RT V V 2
(T 看作常数）.
V RT ，有 P V R T P
(P 看作常数）.
T PV ，有 R T V P R
于是，
(V 看作常数）.
P V T RT R V 1. V T P V 2 P R 注 偏导数的符号 P , V , T 不能像一元函数那样看成是两个微分的商，否则会出现错
例 2 设 u 1 , r (xa)2 ( yb)2 (zc)2, 求 u , u , u .
r
x y z
解 由复合函数的求到法则，有
u x
du dr
r x
1 r2
2
2(x a)
(xa)2 ( yb)2 (zc)2
xa
r3
同法可得， u y b , u z c .
y
r 3 z
(x0 x, y0 y) G ，全改变量
z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
f
' x
(
x0
1x,
y0
y)x
f
' y
(x0
,
y0
2y)y ，
其中 0 1 1 ， 0 2 1. 证明 显然，若点 (x0 x, y0 y) G ，则点 (x0 , y0 y) 与 (x0 x, y0 ) G ，
x
的偏导函数
f
' x
(
x0
,
y0 ) ，就是一元函数
z
f (x, y0 ) 在 x0 的导数.由已知的一元函数导数的几何意义，偏导数
f
' x
(x0
,
y0
)
就是平面
y y0 上曲线
C1
z
y
f (x, y0
y)
，
在点 Q(x0 , y0 , z0 )( z0 f (x0 , y0 )) 的切线斜率 tan ，如图 10.6.
o(x)
= A lim
A.
x0 x
dz
f
' x
(x0
,
y0
)dx
f
' y
(
x0
,
y0
)dy
与一元函数相同，规定自变量的改变量等于自变量的微分，即 x dz, y dy .于是，二
元函数 f (x, y) 在点 P(x0 , y0 ) 的全微分
或
dz
f x
p
dx
f y
p
dy.
注
这里的 dx , dy 是自变量 x，y 无关的独立变量，可取任意值.
即微分 dy 是 x 的线性函数，并且 dy 与 y 之差比 x 是高阶无穷小.一元函数微分 dy 推广
到多元函数就是全微分.
定义 若二院函数 z f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）的全改变量
可表为
z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) z Ax By o() ，
§10.3 多元函数微分法
一、偏导数
我们已经看到，一元函数的导数（或导函数）是研究函数性质的极为重要的工具。同样，
研究多元函数的性质也需要类似于一元函数倒数这样的概念。由于多元函数的自变量不止一 个，情况比较复杂。不难想到，可讨论多元函数分别关于每一个自变量（其余的自变量暂时 看作常数）的导数。这就是本段的偏导数。
在原点（0，0）存在两个偏导数，有偏导数定义，有
f
' x
(0,0)
lim
x0
f
(x,0) x
f
(0,0)
0 lim x0 x
0
f
' y
(0,0)
lim
y0
f
(0, y) y
f (0,0)
0 lim y0 y
0.
两个偏导数都存在，但是，他在原点（0，0）不可微. 事实上，假设他在原点（0，0）可微，有
定义 设二元函数 z f (x, y) 在区域 D R 2 有定义，P0（ x0 ， y0 ）是 D 的内点。 若
y = y0 （常数），一元函数 f (x, y0 ) 在 x0 可导，即极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )
x0
x
（（ x0 + x, y0 ) D ）
(
x0
,
y0 ) 与
f
' y
(x0 ,
y0 )
存在并不能保证函数
f
(x,