3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分

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第三章 复变函数的积分

复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。

§3.1 复变函数积分的概念

1 积分的定义

复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-

C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t

t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。

定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ：

)(t z z =，βα≤≤t ，

以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，

把曲线C 分成n 个小弧段。在每个小弧段

上任取一点k ζ，作和

∑=∆=n

k k k n z f S 1

)(ζ，

其中1--=∆k k k z z z ，记{

}

n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到

b ）的积分，并记为⎰=C

dz z f J )(，即为

∑⎰=→∆=n

k k k

C

z f dz z f 1

)(lim )(ζλ

。 （3.1.1）

C 称为积分路径，⎰C

dz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-

C dz z f )(表示沿C 的负方向的积分。如果C 为有

向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作

⎰C

dz z f )(。

2 复积分的性质

根据复积分的定义或根据下一段中定理3.1.1所述的复变函数积分和曲线积分之间的关系以及曲线积

2 分的性质，不难验证复积分具有下列性质，它们与实分析中定积分的性质相类似：

3 复积分存在的条件及计算方法

C 的积分等于其实部、虚部所确定两个实①.为了记忆方便,上式右端形式上可看成是函数iv u z f +=)(与微分idy dx dz +=相乘后得到的：⎰⎰++=C

C

idy dx iv u dz z f ))(()(；

②.由实分析知，计算实函数第二型线积分的基本方法是化为对曲线参数的普通定积分计算，应用到我们这里，就使得复积分最终也可以归结为计算对路径参数的普通定积分：设有向光滑曲线C 的实参数复方程为

)()()(t iy t x t z z +== βα≤≤t 。

曲线C 光滑意味着)()()(t y i t x t z '+'='在],[βα上连续，且0)(≠'t z 。当)(z f 沿C 连续时，由定理3.1.1

有

3

dt

t y t y t x u t x t y t x v i dt

t y t y t x v t x t y t x u dz z f C

)]())(),(()())(),(([)]())(),(()())(),(([)('+'+'-'=⎰⎰⎰β

α

β

α

dt t y i t x t y t x iv t y t x u )]()())][(),(())(),((['+'+=

⎰β

α ⎰'=β

α

dt t z t z f )())(( 即

⎰⎰'=β

α

dt t z t z f dz z f C

)())(()(。 （3.1.3）

该式称为计算复积分的参数方程法

4 复积分计算的典型实例

例1：计算⎰

C

zdz ，其中C 为从原点到点i 43+的直线段。

解：直线的方程可写成

t y t x 4,3==， 10≤≤t

或

t i t t z 43)(+=， 10≤≤t

于是

2

10

2102)43(2

1)43()43(i tdt i tdt i zdz C +=+=+=⎰⎰⎰ 又因

⎰

⎰⎰⎰++-=++=C

C

C

C

xdy ydx i ydy xdx idy dx iy x zdz ))((

由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件（即0=⨯∇F ，对于二维的，即

0=∂∂-

∂∂y x

x y F F ），所以⎰C zdz 的值不论C 是怎样的曲线都等于2

)43(2

1i +，这说明有些函数的积分值与积

分路径无关。

§3.2 柯西积分定理

1 柯西积分定理

由上一节可知，复函数沿曲线的积分可归结为实函数的第二型曲线积分。一般说来，实函数的第二型曲线积分不仅依赖于积分起点和终点，还与积分路径有关。因此，一般说来，复积分不仅依赖于积分起点和终点，也与积分路径有关。与在实分析里研究实函数的第二型曲线积分一样，我们这里也来考虑什么条件下复积分的值与积分路径无关。下面的柯西积分定理回答了这个问题。教案各色水草化学教案就围绕着

定理3.2.1（柯西积分定理）：

设C 是一条围线，D 为C 的内部区域，函数)(z f 在闭区域C D D =上解析，则

⎰=C

dz z f 0)(。

定理3.2.2（等价的柯西积分定理）：