3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分
复变函数 第三章 复变函数的积分
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 ： 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 ， () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 ： () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
《复变函数》第三章 复变函数的积分
y
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C zn1
1 A
2
z1
z2
k zk zk 1
o
x
4
n
n
作和式 Sn f ( k ) (zk zk1 ) f ( k ) zk ,
k 1
k 1
这里 zk zk zk1, sk zk1zk的长度,
记 m1kaxn{sk }, 当n 无限增加且 0 时,
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯
情况二 : 若 C 包围 点,
由上节例4可知, c (z )ndz 0.
31
四、小结与思考
通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定 理:
并注意定理成立的条件.
32
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
33
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
线的限制, 必须记作 f (z)dz.
C
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24
第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 观察上节例4, 被积函数当 n 0时为 1 ,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1
由此希望将基本定理推广到多连域中.
38
二、复合闭路定理
1. 闭路变形原理 设函数 f (z) 在多连通域内解析,
C 及 C1 为 D内的任意两条简 单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
复变函数的积分及其性质
从形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
, zn b,
y
b
C
1 2
(2)取近似值
在每个弧段 zk 1 z k ( k 1, 2,
f k zk 1 z k
z k 1 z k z k z k 1
a a z0z1 z2 o
k z k zk 1
zn1
x
, n)上任意取一点 k ,
f k zk zk 1 f k zk
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
则称f ( z )在曲线C上可积,极限值称为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为
C
f ( z )dz
5
注意：
1:对 C 的分法无关 2:与 k 的取法无关
说明:
(1) 用
C
f ( z )dz表示f ( z )沿着曲线C的负向的积分
1 2i , 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
12
例3
计算
zdz
c
的值。
C 为：(1)从原点到 z0 1 i 的直线段.
(2) 沿从原点到
z1 1的直线段 c 2
与从 z1 到 z0 的直线段 c3 所 连接的折线.
k 1
n
[u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
复变函数的积分
∫
zi = 2
1 dz= 2 1 z(z + 1)
∫
=0 1 1 1 , 因为 和 都在 z i ≤ 上解析 z z+i 2
zi = 2
1 1 1 1 1 dz 2z + i 2z i 1 z
根据Cauchy积分定理得 积分定理得 根据
1 原式= 2
zi =
1 1 ∫ 1 z i dz = 2 2πi = πi.
1 1 1 ∫C z i dz ≤ ∫C z i ds = ∫C 3t + (4t 1)i ds
=∫
C
1 ds = ∫ 2 2 C (3t ) + (4t 1)
1 4 9 25 t + 25 25
2
ds
1 5 25 dz ≤ ∫ ds = . 故∫ C z i C3 3
例 5 计算∫ Re zdz,
= i.
1
1
0
x
注意1 注意 一般不能把起点为α, 终点为β 的 f (z)的积
分记成∫ f (z)dz, 因这是曲线积分, 要受积分路线
α
β
, 的限制 必须记作∫ f (z)dz.
C
注意2 注意 从例5 可以看出，曲线积分∫ zdz与积分路 可以看出，
C
Байду номын сангаас
径无关， 与积分路径有关。 径无关，但曲线积分∫ Re(z)dz与积分路径有关。
1 i 2π dz = n ∫ (cos nθ i sin nθ )dθ = 0; n+1 (z z0 ) r 0
1 2πi, n = 0, dz = 所以 ∫ n+1 (z z0 ) n ≠ 0. 0, zz0 =r
复变函数(3.1.3)--复变函数的积分概念
明。记为曲线上两个分点与之间弧段的弧长，则有
n
n
n
f ( k ) Δ zk | f ( k ) Δ zk | | f ( k ) | Δ sk .
k =1
k =1
k =1
于是，两端取极限，得
C f (z)d z C | f (z) | d s.
4
即
C | f (z) | d s ML.
0
0
;
� � � z d z = z d z + z d z
C
C2
C3
(2)
� � = 1t d t + 1(1- i t)id t
0
0
=
1 2
+
� � �12
+
i
� � �= 1+
i.
▎
图 4.2
在此例中，说明对同一个被积函数，起点终点也一样，但积分结果不相同。这说明此
积分与积分路径有关。
3
1.3 积分的基本性质
任意分成 个弧段，其分点为 ， ，任取 。由于
所以，
因为二元函数 都连续，所以,复变函数积分本质上就是高等数学当中第二型线积分的组合. 故,由微积分学中第二型线积分的存在性定理知，当 无限增大且弧段长度的最大值 趋于零 时，不论对 的分法如何，也不论点 的取法如何，上式右端两个和式的极限都是存在的，而 且
例 3.2 计算 的值，其中 分别为 （1） 沿从原点到点 的直线段 ；
C3C:2z:=z 1=z1+zt=,10i0t1,0 tt 1 1
（2） 沿从原点到点的直线段，与从到的直线段所
Байду номын сангаас
连接成的折线。
第三章复变函数积分
G
例3.8
计算积分
G
ez dz,
z
其中G 由正向圆周
y
z 2 和负向圆周 z 1 组成.
C1
解 显然C1和C2围成一 ez
个圆环域. 函数 f ( z ) z
C2 o1
2x
在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界
构成复合闭路, 所以根据
如果C是闭曲线，经常记作 C f(z)dz.
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z ) 为实值函数，那么这个积分就是定积分.
3.1.2 积分存在的条件及积分性质
定理3-1 设C是分段光滑(或可求长)的有向
曲线， f( z ) u ( x ,y ) i v ( x ,y )在C上连续，则
例3.7
计算积分
G
2 z
z
2
1 z
d
z
,
其中G为包含圆周
z 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.
解 显然函数 2z 1
f (z) z2 z 在复平面有两个奇点0和1, 并且G 包含了这两个奇点.
y
•
o1
•
x
G
在G内作两个互不包含也互不相交的正向
圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0,
奇点1.
li m 0(zz0)zz0.
例3.2
计算积分
C
(z
1 z0 )n1
dz
(n是整数),
其中C是圆周: zz0r(r0)
y
的正向. 解 积分路径的参数方程为
z
z0 r
z z 0 rie( 0 2 π ), o
x
C
(z1z0)n1dz
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的有力工具,解析函数许多重要的性质都需要利用复积分来证明.本章主要介绍复变函数积分的定义、性质与基本计算方法，解析函数积分的基本定理——柯西-古萨定理及其推广，柯西积分公式及其推论以及解析函数与调和函数的关系.柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的理论基础，以后各章都直接地或间接地用到它们.§3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义在介绍复变函数积分的定义之前，首先介绍有向曲线的概念.设平面上光滑或分段光滑曲线C 的两个端点为A 和B .对曲线C 而言，有两个可能方向：从点A 到点B 和从点B 到点A .若规定其中一个方向(例如从点A 到点B 的方向)为正方向，则称C 为 有向曲线.此时称点A 为曲线C 的起点，点B 为曲线C 的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B 到起点A 的方向则称为曲线C 的负方向，记作C -.定义3.1 设C 为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A 为起点，B 为终点.函数f (z )在曲线C 上有定义.现沿着C 按从点A 到点B 的方向在C 上依次任取分点：A =z 0,z 1,…,z n -1,z n =B ,图3.1将曲线C 划分成 n 个小弧段.在每个小弧段1k k z z -(k =1,2,…,n )上任取一点,k ξ,并作和式1().nn k k k S f z ξ==∆∑其中1k k k z z z -∆=-.记λ为n 个小弧段长度中的最大值.当λ趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点k ξ的取法如何，n S 极限存在，则称函数f (z )沿曲线C 可积，并称这个极限值为函数f (z )沿曲线C 的积分.记作1()d lim (),nkkk Cf z z f z λξ→==∆∑⎰f (z )称为被积函数，f (z )d z 称为被积表达式.若C 为闭曲线，则函数f (z )沿曲线C 的积分记作()d Cf z z ⎰.2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f (z )沿曲线C 可积，则()d ()d .CC f z z f z z -=-⎰⎰ (3.1)性质3.2（线性性）若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积，则(()())d ()d ()d ,CCCf zg z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)其中αβ,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f (z )沿曲线C 可积，曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,依次首尾相接而成，则12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰(3.3)性质3.4（积分不等式）若函数f (z )沿曲线C 可积，且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则()d ()d ,CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰(3.4)其中d d s z ==, 为曲线C 的弧微分.事实上，记k s ∆为z k -1与z k 之间的弧长，有111()()().nn nkkk k k k k k k f zf z f s ξξξ===∆≤∆≤∆∑∑∑令0λ→,两端取极限，得到()d ()d .CCf z z f z s ≤⎰⎰又由于11(),nnk k k k k f s M s ML ξ==∆≤∆=∑∑所以有()d ()d .CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续，则f (z )沿C 可积，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)证明：设11,,,,k k k k k k k k k k k k z x iy i x x x y y y ξζη--=+=+∆=-∆=-则11111()()()().k k k k k k k k k k k k k z z z x iy x iy x x i y y x i y -----∆=-=+-+=-+-=∆∆从而1111()((,)(,))()((,)(,))((,)(,)).nnkk k k k k k k k k nk k k k k k k nk k k k k k k f z u iv x i y u x v y i v x u y ξζηζηζηζηζηζη====∆=+∆+∆=∆-∆+∆+∆∑∑∑∑上式右端的两个和数是两个实函数的第二类曲线积分的积分和.已知f (z ) 沿C 连续，所以必有u 、v 都沿C 连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在()d Cf z z ⎰，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰注(3.5)式可以看作是f (z )=u +iv 与d z =d x +i d y 相乘后得到：()d ()(d d )d d d d d d d d d .CCCCCf z z u iv x i y u x iv x iu y v yu x v y i v x u x u y =++=++-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰定理3.1给出的条件仅仅是积分()d Cf z z ⎰存在的充分条件.该定理告诉我们，复变函数积分的计算问题可以化为其实部和虚部两个二元实函数第二类曲线积分的计算问题.下面介绍另一种计算方法--- 参数方程法.设C 为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤参数t =a 时对应曲线C 的起点，t =b 时对应曲线C 的终点.设f (z )沿曲线C 连续，则(())((),())((),())()().f z t u x t y t iv x t y t u t iv t =+=+由定理3.1有()d d d d d (()()()())d (()()()())d ,CCCb baaf z z u x v y i v x u yu t x t v t y t t i u t y t v t x t t =-++''''=-++⎰⎰⎰⎰⎰容易验证Re((())())()()()(),Im((())())()()()().f z t z t u t x t v t y t f z t z t u t y t v t x t '''=-'''=+所以()d (())()d .baCf z z f z t z t t '=⎰⎰(3.6)例3.1 分别沿下列路径计算积分2d Cz z ⎰和Im()d Cz z ⎰.(1) C 为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2) C 为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解： (1) C 的参数方程为：z =(1+i )t, t 从0到1 .11222033310d ((1))d((1))(1)((1))d (1)(1).33Cz z i t i t i i t t t i i =++=++⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰(2) 这两直线段分别记为C 1和C 2,C 1的参数方程为：y =0, x 从0到1; C 2的参数方程为：x =1, y 从0到1.1122203312103d d (1)d(1)33122(1)1.3333Cz z x x iy iy x y i y iy i i i i =+++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭-+=+--==⎰⎰⎰ ()111000Im()d 0d d 1i d .2Ciz z x y y i y y =++==⎰⎰⎰⎰ 例3.2 计算积分d Czz z⎰,其中C 为图3.2所示半圆环区域的正向边界.图3.2解：积分路径可分为四段，方程分别是：C 1:z =t (-2≤ t ≤ -1); C 2:z =,i e θθ从π到0; C 3:z =t (1≤ t ≤ 2);C 4:z =2,i e θθe 从0到π.于是有123412π2π10d d d d d e 2e d e d d 2d e 2e24411.333CC C C C i i i i i i z z z z z z z z z z z z z z zt t t i t ie t t θθθθθθθθ----=+++=+++=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3.3 计算积分101d ()n Cz z z +-⎰,其中C 为以z 0为中心，r 为半径的正向圆周，n 为整数.解：曲线C 的方程为：0(02π)i z z re θθ=+≤≤.从而有2π11(1)002π2πd e ()e d ed .e i n n i n Cin n in nzir I z z r i i r r θθθθθθ+++-==-==⎰⎰⎰⎰图3.3当n =0时，2πd 2πI i i θ==⎰当n ≠0时，2π(cos sin )d 0niI n i n rθθθ=-=⎰.所以有0102π,0;d 0,0.()n z z ri n zn z z +-==⎧=⎨≠-⎩⎰ (3.7) 由此可见，该积分与积分路线圆周的中心和半径无关，在后面还要多次用到这个结果，需记住.§3.2 柯西-古萨定理(C auchy-Gour s at)及其推广1.柯西-古萨定理首先我们来看看上一节所举的例题，例3.1中被积函数f (z )=z 2在z 平面上处处解析，它沿连接起点与终点的任何路径的积分值相同，也就是说，该积分与路径无关.即沿z 平面上任何闭曲线的积分为零.而例3.1中另一被积函数()Im()f z z =在z 平面上处处不解析，其积分值依赖于连接起点与终点的路径.由例3.3得积分1d 2π0Cz i z z =≠-⎰,曲线C 表示圆周：|z -z 0|=r >0.其中被积函数01()f z z z =-在z 平面上除去点z 0外处处解析，但这个区域是复连通区域.由此可见，积分值与路径是否无关，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.其实，在实函数的第二类曲线积分中就有积分值与路径无关的问题.由于复变函数的积分可以用相应的两个实函数的第二类曲线积分表示，因此对于复积分与路径无关的问题，我们很自然地会想到将其转化为实函数积分与路径无关的问题来讨论.假设函数f (z )=u +iv 在单连通域D 内处处解析，f '(z )在D 内连续,由第二章2.3节中的(2.9)式知u,v 对x,y 的偏导数在D 内连续.设z =x +iy ，C 为D 内任一条简单闭曲线.则由(3.5)式，有()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x u y =-++⎰⎰⎰记G 为C 所围区域，由格林(Green)公式有d d d d ,G Cv u u x v y x y x y ⎛⎫∂∂-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 由于f (z )=u +iv 在D 内解析，所以u 、v 在D 内处处都满足柯西-黎曼方程,即,.u v v ux y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 因此d d d d 0.CCu x v y v x u y -=-=⎰⎰从而()d 0.Cf z z =⎰下面的定理告诉我们去掉条件“f '(z )在D 内连续”条件，这个结论也成立.这是复变函数中最基本的定理之一.定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f (z )是单连通域D 内的解析函数，则f (z )沿D 内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0.Cf z z =⎰注：其中曲线C 不一定要求是简单曲线.事实上，对于任意一条闭曲线，它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的，如图3.4.图3.4这个定理是由柯西提出来的，后来由古萨给出证明.由于证明过程较复杂，我们略去其证明.由柯西-古萨定理可以得到如下两个推论：推论3.1 设C 为z 平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D ,若函数f (z )在D D C=上解析，则()d 0.Cf z z =⎰推论3.2 设函数f (z )在单连通域D 解析,则f (z )在D 内积分与路径无关.即积分()d Cf z z⎰不依赖于连接起点z 0与终点z 1的曲线C ,而只与z 0、z 1的位置有关.证明：图3.5设C 1和C 2为D 内连接z 0 与z 1的任意两条曲线.显然C 1和2C -连接成D 内一条闭曲线C .于是由柯西-古萨定理，有12()d ()d ()d 0.CC C f z z f z z f z z -=+=⎰⎰⎰即12()d ()d .C C f z z f z z =⎰⎰2.原函数由推论\re f {cor2可知，解析函数在单连通域D 内的积分只与起点z 0 和终点z 1有关，而与积分路径无关.因此，函数f (z )沿曲线C 1和C 2的积分又可以表示为1212()d ()d ()d .z z C C f z z f z z f z z ==⎰⎰⎰固定下限z 0，让上限z 1在区域D 内变动，并令z 1=z ,则确定了一个关于上限z 的单值函数()()d .zz F z f ξξ=⎰ (3.8)并称F (z )为定义在区域D 内的积分上限函数或变上限函数.定理3.3 若函数f (z )在单连通域D 内解析，则函数F (z )必在D 内解析，且有F '(z )=f (z ). 证明：若D 内任取一点z ,以z 为中心作一个含于D 内的小圆B ，在B 内取点(0)z z z +∆∆≠,则由(3.8)式有()()()d ()d .z zzz z F z z F z f f ξξξξ+∆+∆-=-⎰⎰因为积分与路径无关，所以()d z zz f ξξ+∆⎰的积分路径可取从z 0到z 再从z 到z z +∆，其中从z 0到z 取与()d zz f ξξ⎰的积分路径相同.于是有()()()d .z zzF z z F z f ξξ+∆+∆-=⎰由于f (z )是与积分变量ξ无关的值，故()d ()d ().z zz zzzf z f z f z z ξξ+∆+∆==∆⎰⎰从而()()1()()d()1(()())d .z zz z zzF z z F z f z f f z z zf f z zξξξξ+∆+∆+∆--=-∆∆=-∆⎰⎰又f (z )在D 内解析，显然f (z )在D 内连续.所以对于任给的0ε>,必存在0δ>,使得当z ξδ-<(且ξ落在圆B 内)，即当z δ∆<时，总有()()<f f z ξε-.图3.6由复积分的性质\re f {ji f e n xi n g z hi4，有()()1()(()())d 1()()d 1.z zzz zzF z z F z f z f f z z zf f z z z zξξξξεε+∆+∆+∆--=-∆∆≤-∆≤∆=∆⎰⎰即0()()lim()z F z z F z f z z ∆→+∆-=∆,也就是()()F z f z '=.与实函数相似，复变函数也有原函数的概念及类似于牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式的积分计算公式.定义3.2 若在区域D 内，()z ϕ的导数等于f (z )，则称()z ϕ为f (z )在D 内的原函数. 由定理定理3.3可知，变上限函数0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.那么函数f (z )的全体原函数可以表示为()()z F z C ϕ=+,其中C 为任意常数.事实上，因为(()())()()()()0z F z z F z f z f z ϕϕ'''-=-=-=，所以()()z F z C ϕ-=，即()()z F z C ϕ=+.这说明了f (z )的任何两个原函数仅相差一个常数.利用这一性质我们可以得到解析函数的积分计算公式.定理3.4 若函数f (z )在单连通域D 内处处解析，()z ϕ为f (z )的一个原函数， 则11010()d ()()()z zz z f z z z z z ϕϕϕ=-=⎰, (3.9)其中z 0、z 1为D 内的点.证明：由于0()()d zz F z f ξξ=⎰为f (z )的一个原函数.所以()()d ().zz F z f z C ξξϕ==+⎰当z =z 0时，根据柯西-古萨定理可知0()C z ϕ=-,于是()d ()()zz f z z ξξϕϕ=-⎰.需要特别注意的是这个公式仅适用于定义在单连通域内的解析函数.例3.4 求积分π2sin 2d i z z ⎰的值.解：因为sin2z 在复平面上解析，所以积分与路径无关.可利用（3.9）式来计算.容易验证1cos 22z -是sin2z 的一个原函数, ππ2200ππππ11sin 2d (cos πcos 0)cos 22211e e .12242i iz z i z e e --=-=--+⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭⎰例3.5 求积分0(1)e d iz z z --⎰的值.解：因为(z -1)e -z 在复平面上解析，所以积分与路径无关.可利用(3.9)式来计算.(1)e d e d e d iiizzzz z z z z ----=-⎰⎰⎰, 上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法，得(1)e d e d e d esin1cos1.iiiizzz z i z z z zz ie i ------=+--=-=--⎰⎰⎰例3.6 设D 为直线3,2z t t ⎛=+-∞<<∞+ ⎝ 和直线4,55z t t i ⎛=+-∞<<∞-+ ⎝⎭所围成的区域. 求积分23d 2izz z +-⎰的值. 解： 尽管212z z +-在复平面上存在两个奇点1和-2，但是单连通域D 包含点3和i ，又不含奇点1和-2，因此212z z+-在区域D内解析，这样就可以用(3.9)式来计算.233311d dd2312i i iz zzz z z z⎛⎫=-⎪+--+⎝⎭⎰⎰⎰函数ln(z-1)和ln(z+2)在单连通域D内可以分解为单值的解析分支，ln(z-1)的各分支导数都为11z-,ln(z+2)的各个分支的导数都为12z+.我们可以应用任何一个分支来计算积分值，在这里我们都取主支. 所以()23311d ln(1)ln(2)231153π1ln arctan3224215π1ln arctan.62432iiz z zz zii i=--++-⎛⎫⎛⎫=++⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++⎰3.复合闭路定理柯西-古萨定理定理可推广到多连通域.设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、…、C n,其中C1、C2、…、C n互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D, D的边界C称作复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作012nC C C C C---=++++.沿复闭路的积分通常取的是沿它的正向.定理 3.5若f(z)在复闭路012nC C C C C---=++++及其所围成的多连通区域内解析，则012()d()d()d()dnC C C Cf z z f z z f z z f z z=+++⎰⎰⎰⎰, (3.10) 也就是()d0Cf z z=⎰.为了叙述的简便，我们仅对n=2的情形进行说明.图3.7在图3.7中，做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2，并分别用1Γ及2Γ表示这两个区域的边界，由柯西-古萨定理有12()d 0, ()d 0.f z z f z z ΓΓ==⎰⎰于是12()d ()d 0.f z z f z z ΓΓ+=⎰⎰上式左端，沿辅助线l 1、l 2和l 3的积分，恰好沿相反方向各取了一次，从而相互抵消.因此上式左端为沿曲线C 0、1C -及2C -上的积分，即有：12()d ()d ()d 0.C C C f z z f z z f z z --=⎰⎰⎰也就是12()d ()d ()d .C C C f z z f z z f z z =+⎰⎰⎰例3.7 计算2d2Czz +⎰的值,C 为包含圆周|z |=1在内的 任何正向简单闭曲线. 解：显然z =0和z =-1是函数21z z+的两个奇点，由于C 为包含圆周|z |=1在内的任何正向简单闭曲线，因此也包含了这两个奇点.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2，其中C 1的内部只包含奇点z =-1，C 2的内部只包含奇点z =0.图3.8因为21z z+在由C 、C 2、C 2所围成的复连通域内解析，所以由定理3.5、定理3.2及(3.7)式，得1211222222d d d d d d d 1102π2π00.CCC C C C C z z zz z z z z z z z z zz z z z i i =++++=-+-++=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ §3.3 柯西(C auchy)积分公式及其推论1.柯西积分公式利用复合闭路定理我们可以导出解析函数的积分表达式，即柯西积分公式.定理3.6 若f (z )是区域D 内的解析函数，C 为D 内的简单闭曲线，C 所围内部全含于D 内，z 为C 内部任一点，则1()()d 2πCf f z iz ξξξ=-⎰, (3.11) 其中积分沿曲线C 的正向.证明：取定C 内部一点z .因为f (z )在D 内解析，所以f (z )在点z 连续.即对任给的0ε∀>,必存在0δ>,当|z δξ<-时，有()()f f z εξ<-.令()()f F zξξξ=-,则()F ξ在D 内除去点z 外处处解析.现以z 为中心，r 为半径作圆周:B r z ξ=-(见图3.9),使圆B 的内部及边界全含于C 的内部.图3.9根据复合闭路定理有()()d d .C Bf f z z ξξξξξξ=--⎰⎰ 上式右端积分与圆B 的半径r 无关.令0r →，只需证明()d 2π()Bf if z z ξξξ→-⎰ 即可.由例3.3可知，1d 2πBi z ξξ=-⎰,而f (z )与ξ无关.于是 ()()()()()d 2π()d d d ()()d 2πd BB BBBBf f f z f f z if z z z z zf f z si rzξξξξξξξξξξξξξξ---==-----≤≤=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而定理得证.公式(3.11)称为 柯西积分公式.在柯西积分公式中,等式左端表示函数f (z )在C 内部任一点处的函数值，而等式右端积分号内的()f ξ表示f (z )在C 上的函数值.所以，柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处值之间的关系：函数f (z )在曲线C 内部任一点的值可用它在边界上的值来表示，或者说f (z )在边界曲线C 上的值一旦确定，则它在C 内部任一点处的值也随之确定.这是解析函数的重要特征.例如，若函数f (z )在曲线C 上恒为常数K ,z 0为C 内部任一点，则根据柯西积分公式有0001()1()d d 2π.2π2π2πC Cf KKf z i K iz i z i ξξξξξ===⋅=--⎰⎰ 即f (z )在曲线C 的内部也恒为常数K .又如，若C 为圆周:0z R ξ-=,即0Re i z θξ=+(02π)θ≤≤,则d Re d i i θξθ=,从而2π00002π00(Re )Re 1()1()d d 2π2πRe 1(Re )d .2πi i i Ci f z i f f z iz i f z θθθθξξθξθ+⋅==-=+⎰⎰⎰即解析函数在圆心z 0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理.若f (z )在简单闭曲线C 所围成的区域内解析，且在C 上连续，则柯西积分公式仍然成立. 柯西积分公式可以改写成()d 2π()Cf if z z ξξξ=-⎰. (3.12) 此公式可以用来计算某些复变函数沿闭路积分.例3.8 计算积分221d z z z z =+⎰的值. 解：因为{z ^2+1在|z |=2内解析，由柯西积分公式(3.12)有22021d 2π2π.(1)z zz z i i z z ==+=⋅=+⎰ 例3.9 计算积分2πsin6d 1Czz z -⎰的值，其中C 为: 33(1)1;(2)1;(3) 3.22z z z ===-+ 解： (1) 被积函数πsin61zz +在312z =-的内部解析，由(3.12)式有， 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=-+- ⎪⎝+⎭⎰⎰(2) 被积函数πsin61zz -在312z =+的内部解析，由(3.12)式有 21ππsinsinπ11πsin 66d d 2π2π.6111421CCz zzz i z z i i z z z z =-⎛⎫ ⎪=⋅==⋅=--+ ⎪⎝-⎭⎰⎰(3) 被积函数2πsin61zz -在|z |=3的内部有两个奇点1z =±.在C 的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C 1和C 2，其中C 1的内部只包含奇点z =1，C 2的内部只包含奇点z =-1.由定理3.5的（3.10）式及(3.12)式，有12222πππsinsin sinππ666d d d π.11122CC C z z zi i z z z i z z z =+=+=---⎰⎰⎰例3.10 求积分42d 1z zz =-⎰的值, 其中C 为:|z |=2为正向. 解：因为z 4-1=0之解为z 1=1, z 2=i, z 3=-1, z 4=-i,分别作简单正向闭路C j 包围z j ,使C j (j =1, 2, 3, 4)互不包含，互不相交，均位于｜z ｜=2内，则由复合闭路定理有4441d d 11jj CCz zz z ==--∑⎰⎰ 又由Cauchy 积分公式得()()()()()()()()()1141213121121312d 1d 112121i 111i πi πiπi2C Cz zz z z z z z z z z z z z z z z =⋅-----=---==-++⎰⎰同理可得234444d d d ,,1212π2π1πi C CC z z z z z z =-=-=---⎰⎰⎰. 所以 44412d d 011j j z C z zz z ====--∑⎰⎰.2.高阶导数公式 我们知道，一个实函数在某一区间上可导，并不能保证该函数在这个区间上二阶导数存在.但在复变函数中，如果一个函数在某一区域内解析，那么根据3.3节中的柯西积分公式推知，该解析函数是无穷次可微的.定理3.7 定义在区域D 的解析函数f (z )有各阶导数，且有()1!()()d (1,2,),2π()n n Cn f f z n iz ξξξ+==-⎰(3.13)其中C 为区域D 内围绕z 的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C 的正向.证明：用数学归纳法证明. 当n =1时，即证明21()()d .2π()Cf f z iz ξξξ'=-⎰也就是要证明2()1()limd .2π()z Cf z z f z iz ξξξ∆→+∆=∆-⎰由柯西积分公式(3.11)有1()()d ,2π1()()d .2πCCf f z i z f f z z iz z ξξξξξξ=-+∆=--∆⎰⎰于是22222()()1()d 2π()()()11()d d d 2π2π()1()1()d d 2π()()2π()()()()1d d ()()()()2πCC C CCCCC f z z f z f z iz f f f z z z i z i z f f i z z z z iz zf f f z z z z z ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ+∆--∆-⎛⎫--= ⎪--∆-∆-⎝⎭-=∆--∆--∆+-=--∆---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d .Cξ⎰令上式为Q,显然2()1d .()()2πCzf Q z z z ξξξξ∆=--∆-⎰根据积分不等式(3. 4)有2()1d .2πCf z Q z z zξξξξ∆≤--∆-⎰因为f (z )在区域D 内解析，所以在闭曲线C 上解析并连续，从而在C 上是有界的. 即对于z C ∀∈,一定存在一个正数M ,使得|f (z )|≤M .设d 为从z 到C 上各点的最短距离，取z ∆充分小，满足2dz <∆.那么 ,.2d d z z z z z ξξξ≥≥->---∆-∆因此33212d ,d 2π2πd πd d 2CM M ML z z Q s L z ∆∆<=⋅=∆⋅⎰这里L 为C 的长度. 令0z ∆→,则0Q →,于是有()()1()()lim.2π()z Cf z z f z f f z d z iz ξξξ∆→+∆-'==∆-⎰假设n =k 时的情形成立，证明n =k +1时的情形成立.证明方法与n =1时的情形相似，但证明过程稍微复杂，这里就不证明了.这个定理实际上说明了解析函数具有无穷可微性.即 定理3.8 若f (z )为定义在区域D 内的解析函数，则在D 内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数.由解析函数的无穷可微性，我们可以得到判断函数在区域内解析的又一个充要条件.定理3.9 函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内解析的充要条件是(1),,,x y x y u u v v 在D 内连续；(2)(,),(,)u x y v x y 在D 内满足柯西-黎曼方程.证明：充分性即是定理2.8.下面证明必要性. 条件(2)的必要性由定理2.7给出.再来看条件(1)，由于解析函数的导数仍然是解析函数，所以f '(z )在D 内解析，从而在D 内连续.而()x x y y f z u iv v iu '=+=-,所以,,,x y x y u u v v 在D 内连续.下面我们来看高阶导数公式的应用.高阶导数公式(3.13)可改写为()1()2πd ().()!n n Cf i f z z n ξξξ+=-⎰(3.14)可通过此式计算某些复变函数的积分.例3.11 求积分的1e d ()zn Cz ξξ+-⎰值, 其中C 为: 226x y y +=. 解：226x y y +=可化为22(3)9x y +-=，即|z -3i|=3. 被积函数2e π2z i z ⎛⎫- ⎪⎝⎭在C 的内部有一个奇点π2iz =,由(3.14)式有 π/22π/2e 2πe 2π2π.2π(e )π2zi z z i Ci i i i i z ====⋅=-'⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰例3.12 求积分32cos πd (1)Czz z z -⎰的值，其中C 为: |z |=2.解 被积函数32cos π(1)zz z -在C 的内部有两个奇点z =0和z =1,作两条闭曲线C 1和C 2互不相交且互不包含，分别包围奇点z =0和z =1，且两曲线所围区域全含于C 的内部，则根据复合闭路定理3.5和高阶导数公式(3.14)，有1212323232233223022cos πcos πcos πd d d (1)(1)(1)cos π1cos π1d d (1)(1)2πcos πcos π2π2π32!(1)(6π)π6π(12π)π.CC C C C z z z z zz z z z z z z z z z z z z z z z z i z z i i z z i i i ===+---=⋅+⋅--'''⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰§3.4 解析函数与调和函数的关系根据解析函数的导数仍是解析函数这个结论，我们来讨论解析函数与调和函数的关系. 定义3.3 在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220x yϕϕ∂∂+=∂∂ 的二元实函数(,)x y ϕ称为在D 内的调和函数.调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.定理3.10 任何在区域D 内解析的函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，它的实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )都是D 内的调和函数.证明 由柯西-黎曼方程有,.v u v x y y xϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 于是222222,.u v u v x y x y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂ 由定理3.8可知，u (x ,y )与v (x ,y )具有任意阶连续偏导，所以22.v vy x x y∂∂=∂∂∂∂ 从而22220.u vx y ∂∂+=∂∂ 同理可证22220.v vx y∂∂+=∂∂ 即u (x ,y )与v (x ,y )都是调和函数.使u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内构成解析函数的调和函数v (x ,y )称为u (x ,y )的共轭调和函数.或者说，在区域D 内满足柯西-黎曼方程u x =v y ,v x =-u y 的两个调和函数u 和v 中，v 称为u 的共轭调和函数.注意：u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u +iv 不一定就是解析函数.例如，f (z )=z 2=x 2-y 2+2xyi ,其中实部u =x 2-y 2,虚部v =2xy .由于f (z )=z 2解析，显然v =2xy 是u =x 2-y 2的共轭调和函数.但是v x =2y ,u y =-2y .因此以v 作为实部、u 作为虚部的函数g (z )=v +iu 不解析.下面介绍已知单连通域D 内的解析函数f (z )=u +iv 的实部或虚部，求f (z )的方法. 这里仅对已知实部的情形进行说明,关于已知虚部求f (z )的方法可以类似得到. (1) 偏积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)先求得v 对y 的偏导v y =u x ,此式关于y 积分得d ()uv y g x x ∂=+∂⎰,然后两边对x 求偏导,由v x =-u y ,于是有d ().y uu y g x x x∂∂'-=+∂∂⎰ 从而()d .-d u u g x x C y x x x ∂∂∂⎛⎫=+- ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰故d d .-d u u u v y x C y x x x x ∂∂∂∂⎛⎫=++- ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 例3.13 已知u (x ,y )=2(x -1)y , f (2)=-i ,求其共轭调和函数，并写出f (z )的形式.解 由柯西－黎曼方程(2.5)，有v y =u x =2y ,此式两边关于y 积分：2d ()().uv y g x y g x x∂=+=+∂⎰而(),x v g x '=又2(1),x y v u x =-=-所以2()2(1)d 2,g x x x x x C =-=-+⎰其中C 为实常数. 于是222.v y x x C =-++从而22()2(1)(2).f z x y i y x x C =-+-++由条件 f (2)=-i ,得C =-1,故22222()2(1)(21)(22()1)(1).f z x y i y x x i x y ixy x iy i z =-+-+-=--+-++=-- (2) 线积分法利用柯西-黎曼方程(2.5)有d d d d d x y y x v v x v y u x u y =+=-+,故00(,)(,)d d .x y y x x y v u x u y C =-++⎰由于该积分与积分路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x 0,y 0)为区域D 中的点.以例3.13进行说明，u x =2y , u y =2x -2 .取(x 0,y 0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x ,0)的直线段再从(x ,0)到(x ,y )的直线段.于是(,)(0,0)22(22)d 2d (22)d 2d 2.x y yxv x x y y Cx x y x C x x y C =-++=-++=-++⎰⎰⎰以下同前.(3) 不定积分法根据柯西-黎曼方程(2.5)及解析函数的导数公式(2.9)有().x x x y f z u iv u iu '=+=-.将x y u iu -表示成z 的函数h (z ),于是()()d .f z h z z C =+⎰还是以例3.13进行说明，2,2 2.x y u y u x ==-()2(22)2(1)2(1).f z y i x i x iy i z '=--=-+-=--从而2()2(1)d 2.f z i z z C iz iz C =--+=-++⎰由条件 f (2)=-i ,得C =-i ,故2()(1).f z i z =--小 结复变函数的积分定义与微积分中定积分的定义在形式上十分相似，只是被积函数由后者的一元实函数换成了前者的复变函数，积分区间[a ,b ]换成了平面区域内的一条光滑有向曲线.复变函数的积分值不仅与积分曲线的起点和终点有关，而且一般也与积分路径有关.这些特点与微积分中第二类曲线积分相似，因而具有与第二类曲线积分类似的性质.计算复变函数的积分有两个基本方法：(1) 若被积函数为f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ),积分曲线为C ,则()d d d d d .C C Cf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (2) 参数方程法. 设积分曲线C 的参数方程为()()z z t a t b =≤≤,则()d (())()d .bC af z z f z t z t t '=⎰⎰ 解析函数积分的基本定理主要包括柯西－古萨定理、柯西积分公式、高阶导数公式及它们的一些推论.柯西－古萨定理指在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0C f z z =⎰.由此定理可以得到一个重要推论：在单连通域D 内解析的函数f (z )沿该区域内任一条曲线积分与路径无关.复变函数与实函数一样也有原函数的概念，并且任何两个原函数之间仅相差一个常数.基于此，对于单连通域内的解析函数有类似于实函数的牛顿－莱布尼兹公式.即1010()d ()()z z f z z z z ϕϕ=-⎰,其中f (z )为单连通域D 内的解析函数，()z ϕ为f (z )的一个原函数，01,z z D ∈分别为积分曲线的起点和终点.复合闭路定理是柯西－古萨定理的推广，即若函数f (z )在复闭路C =C 0+C 1-+C 2-+…+C n-及其所围成的多连通区域内解析，则 01()d ()d ,k nk C C f z z f z z ==∑⎰⎰ 也就是0()d 0C f z z =⎰.柯西积分公式1()()d 2πf f z i z ξξξ=-⎰ 与高阶导数公式1!()()d , 1,2,2π()n n n f z f z n i z ξξ+==-⎰是复变函数两个十分重要的公式，它们都是计算积分的重要工具.柯西积分公式反映了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部各点处之间的密切关系，而高阶导数公式表明解析函数的导数仍是解析函数，即解析函数具有无穷可微性.这是解析函数与实函数的本质区别.下面归纳复变函数积分的计算方法.(1)如果被积函数不是解析函数，那么不论积分路径是否封闭，只能运用上面提到的两种基本计算方法，即化为二元实函数的线积分和参数方程法.(2)如果被积函数是解析函数(包括含有有限个奇点的情形)，并且积分路径封闭，那么可以考虑柯西积分公式、高阶导数公式,并常常需要联合运用柯西－古萨定理、复合闭路定理，有时还需将被积函数作变形化为公式中的相应形式.若积分路径不封闭，那么只要被积函数在单连通域内解析，就可用定理3.4进行计算.(3)若被积函数是解析函数(含有有限个或无限个奇点)，积分路径封闭，而被积函数不能表示为柯西积分公式和高阶导数公式中所要求的形式，那么就只能用到第五章中的留数方法.解析函数f (z )=u +iv 的虚部v 为实部u 的共轭调和函数，u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u+iv 不一定是解析函数.已知单连通域D 内的解析函数f (z )的实部或虚部求f (z )的方法要求掌握，前面已经详细介绍了三种方法，这里不再赘述.重要术语及主题复积分 柯西－古萨定理 复合闭路定理 原函数柯西积分公式 高阶导数公式 调和函数习题三1. 计算积分2()d C x y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2. 计算积分(1)d C z z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.3. 计算积分d C z z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ;(3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .4. 计算积分23d Cz z z -⎰，其中积分路径C 为 (1) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的上半圆周;(2) 从z =-2到z =2沿圆周|z |=2的下半圆周;(3) 沿圆周|z |=2的正向.5. 计算积分1d (31)C z z z +⎰，其中C 为16z =. 6. 计算积分(e sin )d z C z z z -⎰，其中C 为0a z =>. 7. 计算积分，其中积分路径C 为：12341(1):;23(2):;21(3):;23(4):.2C z C z C z i C z i ===+=-8.利用1d 0,:12C z C z z ==+⎰,证明： π12cos d 0.54cos θθθ+=+⎰ 9. 计算积分1d (1)2C z i z z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰，其中C 为|z |=2. 10. 利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. π200π211(1)cos d ;(2)e d ;2ln(1)(3)(2)d ;(4)d ;1iz i ii z z z z iz z z z +--+++⎰⎰⎰⎰ 12011tan (5)sin d ;(6)d cos i z z z z z z +⎰⎰ (沿1到i 的直线段) . 11. 求积分2e d 1z C z z +⎰，其中C 为： 12. 计算积分221d 1C z z z z -+-⎰，其中C 为|z |=2. 13. 计算积分41d 1Cz z +⎰，其中C 为222x y x +=.14. 求积分2sin d 9r zz z z =+⎰，其中C 为|z -2i |=2. 15. 求积分()33d d (1)1C z z z z +-⎰，其中r ≠1. 16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1. 53020e cos (1)d ;(2)d ;tan /21(3)d ,.()2z C CC z z z z z z z z z z <-⎰⎰⎰17. 计算积分33d d (1)(1)C z z z z -+⎰，其中C 为: (1) 中心位于点z =1，半径为R <2的正向圆周;(2) 中心位于点z =-1，半径为R <2的正向圆周;(3) 中心位于点z =1，半径为R >2的正向圆周;(4) 中心位于点z =-1，半径为R >2的正向圆周.18. 设函数3223()d f z ax bx y cxy y =+++是调和函数，其中a,b,c 为常数.问a,b,c 之间应满足什么关系？19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x x x x y xy y y i y ωω=--+=+++ 20. 证明：函数2222,x u x y v x y =-=+都是调和函数，但f (z )=u +iv 不是解析函数. 21. 设u 是调和函数，且不恒为常数，问：(1) u 2是否是调和函数?(2) 对怎样的f ，函数f (u )为调和函数?22. 由下列各已知调和函数，求解析函数f (z )=u +iv ：2222(1);(2),(1)0;(3)e (cos sin ),(0)2;(4)arctan ,0.x u x y xy y u f x y v y y x y x y f y v x x=-+==+=+++==> 23.设12()()()()n p z z a z a z a =---,其中(1,2,,)i a i n =各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ 等于位于C 内的p(z )的零点的个数.24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则 (),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i zξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.。
第3章复变函数的积分
f ( z )dz
f ( z )dz
c
二. 积分的性质 (与第二类曲线积分类似) 1. 2. 3. 4.
f ( z )dz f ( z )dz [ f ( z ) g ( z)]dz f ( z)dz g ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz
绝对值的一个上界.
并求
z3 lim dz 2 r 0 | z| r 1 z
其中C为|z|=r, C为正向(r<1).
解:
| z | r
| f ( z ) | z3 1 z
2
L 2r
z3 |1| z2 r3 M, 2 |1 r |
z3 2r 4 1 z 2 dz ML | 1 r 2 |
ez 1.计算 c dz ,其中C是由正向圆周 c1 :|z|=2和 z
负向圆周 c2 :|z|=1所组成. 解: ez 在 c1与 c2 所围区域D内解析,由多连通区域 z 积分定理知:
ez ez c1 z dz c2 z dz ez ez ez ez dz dz c1 z dz c2 z dz 0 c z c1 c2 z
c2 0 0
1
1
问题: 复积分之值有时与积分路线有关有 时则无关,什么条件下有关? 一.柯西定理 1.定理 如果函数f(z)在单连域D内处处解析，则 函数f(z)沿D内的任何一条简单闭曲线C的积分 值为零。即
f z dz 0
c
复习: 1.复积分可通过两个二元实函数的线积分计算: f ( z )dz udx vdy i vdx udy
复变函数论第三版复变函数的积分 shu
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
那么 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内均为连续函数,
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10
证 设光滑曲线C : z z(t) x(t) i y(t), t ,正方向为
5 3
ds 25
C
5
3
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故
C
z
1
i
dz
25 . 3
22
例 计算积分 Re z dz ; C 其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于 虚轴的方向从1到1 i 1+i
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o
1
23
例
计算积分CRe z dz ;
0
0
1 x3 1 i 1 x3 1 1 i 30 30 3
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2. 积分的计算方法
(2)变量代换公式:
设C : x x(t), y y(t),t [, ]是一条光滑曲线,则
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C f (z)dz {u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
k 1
k 1
由于 u, v 都是连续函数, 根据曲线积分的存在定理,
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n
所以
f ( k ) zk
n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
k 1
复变函数-第三章-复变函数的积分
例10 求 z cos zdz 的值.
0
i
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
20
4.3 柯西积分公式
定理 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C上及所围 区域D内解析, 则对任意z0 D,皆有
2
C
vdx udy
u( x(t ), y(t )) y(t ) v( x( t ), y( t )) x( t ) dt u( t ) y( t ) v( t ) x( t ) dt
这样 : f ( z )dz 可以通过两个二元实变函数的线
第三章 复变函数的积分
本章主要内容：
1、 2、 3、 4、 5、 复积分的概念 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
1
§1 复变函数积分的概念 3、复积分计算的参数方程法
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
若能写出C的参数方程为: C: z(t)=x(t)+iy(t) t 则因为C是光滑曲线x(t),y(t)C[,] :
C
积分来计算.
C
f ( z )dz
u(t ) x(t ) v (t ) y(t ) dt
i
v(t ) x(t ) u(t ) y(t ) dt
{u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
复变函数的积分
当f (z)是连续函数，C是光滑曲线时, C f (z)dz 存在.
复积分的计算：
C f (z)dz 可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算.
根据曲线积分的计算法，有 z=z(t) (α≤t≤β)
C f (z)d z f [z(t)]d z(t) f [z(t)]z(t)dt
即：
（1）利用参数方程把积分转化成一元函数中的定积分.
（2）利用格林公式把曲线积分转化为二重积分.
三．复积分的性质
第三章 复变函数的积分
1.线性性
(1) k f (z)dz k f (z)dz （k为常数)
C
C
(2) C [ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz
2.可加性 f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
第三章 复变函数的积分
二．原函数与不定积分
定理1 设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,
C f (z)dz 只与起点和终点有关.
由定理可知，解析函数f (z)在单连通区域D内的积分只与
起点 z0 及终点 z1有关.
z0
C1
B z1
C2
z0
C1 z1 C2 B
因此有
f (z)dz
1 [(ln 2 i)2 ln 2 2]
2
4
2 3 ln 2 2 ln 2 i
32 8
8
课后作业： 习题三 P75
1 (1),(2) ；2 5 (1),(2) ,(3) .
作乘积，并作和式，记sk zk-1zk 的长度,
n
lim
0
f (k ) zk
k 1
记作
f (z)dz
复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求 证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的 积 分 的 一 个 绝 对 上 界 ， 其 中 C
为 从 原 点 到 34i的 直 线 段 .
区 域 包 含 于 D . 若 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ， 则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其 中 为 C 与 C k
围 成 的 复 合 闭 路 ,C 与 C k均 取 正 方 向
例 3.7计 算2z1dz,其 中 C是 包 含 0和 1的 Cz2z
定 理 3 . 6设 f(z)在 单 连 通 区 域 D 解 析 ， F (z)为 f(z)的 一 个 原 函 数 ， 则 对 任 意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计 算 bznd z,其 中 n是 正 整 数 。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿 曲 线 C 的 负 方 向 的 积 分 记 为 f( z ) d z C
复变函数与积分变换第3章复变函数的积分
23
如果将定理3.3的条件加强为“f ′(z)在D内连续”，则定理的证明就变得简 单，事实上，设z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由f(z)在D内解析,可得
由f′(z)在D内连续，可知
均在D内连续，进而由Green公式可得
2021/7/30
24
其中 是以C为边界的闭区域，再由定理3.1得 单连通区域上的Cauchy积分定理还可进一步推广如下：
在闭圆
上连续，则
内解析，
2021/7/30
50
3.3.2解析函数的无穷可微性 定理3.11（Cauchy导数公式）在定理3.9的假设条件下，则对任 意正整数n和z∈D，有
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51
证 只证明n=1的情形，一般情况可用数学归纳法完成．
使得
取Δz≠0,且使得
则由Cauchy积分公式可得
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26
定理3.5对于单连通区域D内解析的函数f(z)，由式(3.4)所定义的F(z)在 D内解析，并且
证明只需证明 z∈D，有F′(z)=f(z)即可．由f(z)在D内的连续性，对
ε>0，可取δ>0充分小，使得
,并且对
，有2021/7/30 Nhomakorabea27
设
，由于积分与路径无关，则
其中从z到z+Δz的积分路径可选择为直线段（图3.7）．
4
图3.1
2021/7/30
5
其中
．记λ为所有小弧段 的弧长的最大者，当分点无限增多且λ→0
时，不论对C的分法如何，也不论对ξk的取法如何，和式Sn的极限都存在且等 于J，则称f(z)沿C从A到B可积，而称J为f(z)沿C从A到B的积分，记为
第3章：复变函数的积分
∫
C0
f ( z )dz + ∫ f ( z )dz = 0
Ci
如果存在多个岛，则可以对每个岛屿作类似的证明， 于是定理得证。 注意：如果岛屿的围道C1、 C2、 C3 …,反方向， 则复连通区域的Cauchy 定理可写成
∫
C0
f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz
i =1 Ci
17
I=
∫
C
f ( z )dz = zdz
C
∫
y A O
•
• B(1,1)
x
其中 C 为:（1）C1=OB; (2) C2=OA+AB 解: (1) 在 OB 上 y=x
I1 =
∫
y=x
( x + iy )d ( x + iy ) = (1 + i )
2
∫ xdx
0
7
1
= (1 + i ) 2 / 2 = i
即为Cauchy公式。
析，于是
注意：如果z0点不在区域C内，显然f(z)/(z-z0)在C内解
因此
1 f (ξ ) dξ = 0 ∫ 2πi C ξ − z0
f ( z0 ), z0 在C内 1 f (ξ ) dξ = ∫ 2πi C ξ − z0 0，z0不在C内
30
δ • z0
C2
C1
意义: 区域边界上的值来表示区域内任何一点的值。 表明各处函数值的关联性。 闭区域的 Cauchy 积分公式 设: (1) f(z) 在闭区域 G 单值且解析；(2)G 的边 界 C 分段光滑，则 G 内任何一点 z0 的值可表 示为积分
1 f (ξ ) f ( z0 ) = dξ ∫ 2πi C ξ − z0
第三章 复变函数的积分
0 ≤ θ ≤ 2π
y
z − z0 = reiθ
θ
2π dz ireiθ ∴∫ = ∫ n+1 i (n+1)θ dθ C ( z − z )n+1 0 r e 0
z
o
z0
r C x
=∫
2π
0
i r ne inθ
i 2π dθ = 2π i , n = 0, ∫0 dθ = i 2π n ∫0 (cos nθ − i sin nθ )dθ = 0, n ≠ 0. r 15
20
§2 柯西-古萨积分定理 柯西1、 引言
复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分， 复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，这 就很自然地引出积分与路径无关的问题. 就很自然地引出积分与路径无关的问题
事实上，从上一节中， 我们知道：有的积分与 积分路径 事实上，从上一节中， 我们知道： 无关； 另外， 无关；有的积分与积分 路径有关 . 另外，我们还知道
18
|dz | (3) ∫ ; |z |= 1 z
练习
计算 I =
∫
C
| z | dz的值 , 其中
(1) C 是单位圆 z = 1的上半圆周 , 顺时针方向 ; ( 2 ) C 是单位圆 z = 1的下半圆周，逆时针方 向; 的下半圆周， ( 3 ) C 是从 − 1到 1 的直线段 .
思考题：下列式子成立吗？ 思考题：下列式子成立吗？
容易验证，上式中积分与路径无关 容易验证，上式中积分与路径无关.
12
例 2 计算 I =
∫ z dz ，其中积分路径
c
C为
( i ) C 为从 O ( 0 ,0 )到 A ( 3，)的直线段； 4 的直线段；
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1第三章 复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。
解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。
同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。
§3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。
今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。
在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤tt 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ：)(t z z =，βα≤≤t ，以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。
在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，把曲线C 分成n 个小弧段。
在每个小弧段上任取一点k ζ，作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ，其中1--=∆k k k z z z ，记{}n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到b ）的积分，并记为⎰=Cdz z f J )(，即为∑⎰=→∆=nk k kCz f dz z f 1)(lim )(ζλ。
（3.1.1）C 称为积分路径，⎰Cdz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-C dz z f )(表示沿C 的负方向的积分。
如果C 为有向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作⎰Cdz z f )(。
2 复积分的性质根据复积分的定义或根据下一段中定理3.1.1所述的复变函数积分和曲线积分之间的关系以及曲线积2 分的性质，不难验证复积分具有下列性质，它们与实分析中定积分的性质相类似：3 复积分存在的条件及计算方法C 的积分等于其实部、虚部所确定两个实①.为了记忆方便,上式右端形式上可看成是函数iv u z f +=)(与微分idy dx dz +=相乘后得到的：⎰⎰++=CCidy dx iv u dz z f ))(()(；②.由实分析知，计算实函数第二型线积分的基本方法是化为对曲线参数的普通定积分计算，应用到我们这里，就使得复积分最终也可以归结为计算对路径参数的普通定积分：设有向光滑曲线C 的实参数复方程为)()()(t iy t x t z z +== βα≤≤t 。
曲线C 光滑意味着)()()(t y i t x t z '+'='在],[βα上连续，且0)(≠'t z 。
当)(z f 沿C 连续时，由定理3.1.1有3dtt y t y t x u t x t y t x v i dtt y t y t x v t x t y t x u dz z f C)]())(),(()())(),(([)]())(),(()())(),(([)('+'+'-'=⎰⎰⎰βαβαdt t y i t x t y t x iv t y t x u )]()())][(),(())(),((['+'+=⎰βα ⎰'=βαdt t z t z f )())(( 即⎰⎰'=βαdt t z t z f dz z f C)())(()(。
（3.1.3）该式称为计算复积分的参数方程法4 复积分计算的典型实例例1：计算⎰Czdz ，其中C 为从原点到点i 43+的直线段。
解：直线的方程可写成t y t x 4,3==， 10≤≤t或t i t t z 43)(+=， 10≤≤t于是2102102)43(21)43()43(i tdt i tdt i zdz C +=+=+=⎰⎰⎰ 又因⎰⎰⎰⎰++-=++=CCCCxdy ydx i ydy xdx idy dx iy x zdz ))((由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件（即0=⨯∇F ，对于二维的，即0=∂∂-∂∂y xx y F F ），所以⎰C zdz 的值不论C 是怎样的曲线都等于2)43(21i +，这说明有些函数的积分值与积分路径无关。
§3.2 柯西积分定理1 柯西积分定理由上一节可知，复函数沿曲线的积分可归结为实函数的第二型曲线积分。
一般说来，实函数的第二型曲线积分不仅依赖于积分起点和终点，还与积分路径有关。
因此，一般说来，复积分不仅依赖于积分起点和终点，也与积分路径有关。
与在实分析里研究实函数的第二型曲线积分一样，我们这里也来考虑什么条件下复积分的值与积分路径无关。
下面的柯西积分定理回答了这个问题。
教案各色水草化学教案就围绕着定理3.2.1（柯西积分定理）：设C 是一条围线，D 为C 的内部区域，函数)(z f 在闭区域C D D =上解析，则⎰=Cdz z f 0)(。
定理3.2.2（等价的柯西积分定理）：42 原函数（不定积分：复积分的牛顿－莱布尼兹公式）C z F +)(（C 为任意常数）称为)(zf 的不定积分。
[]()()0G H G H f zf z '''-=-=-=∴ c z H z G =-)()(（常数）3 复合闭路定理下面对柯西积分定理从两个方面推广：一方面是被积函数的解析范围；另一方面是解析区域的连通性。
定义 3.2.1：设有1+n 条围线n C C C ,,,10 ，其中n C C ,,1 中每一条都在其余各条的外部，而它们5又全都在0C 的内部。
在0C 内部同时又在n C C ,,1 外部的点集构成有界的多连通区域D ，D 以n C C C ,,,10 为边界。
在这种情况下，称区域D 的边界是一条复围线或复合闭路，记为--+++=n C C C C 10。
当观察者在C 上行进时，区域D 中的点总在观察者左边的方向称为复围线C 的定理3.2.7（多连通区域的柯西积分定理）：设D 是由复围线--+++=n C C C C 10所围成的有界多连通区域，)(z f 在D 内解析，在CD D =上连续，则⎰=Cdz z f 0)(，即0)()()(10=+++⎰⎰⎰--nC C C dz z f dz z f dz z f ，或⎰⎰⎰++=nC C C dz z f dz z f dz z f )()()(1。
定理3.2.8（闭路变形原理）：在区域D 内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D 内作连续变形而改变积分的值，只要在变形的过程中曲线不经过函数)(z f 不解析的点。
的远处化学教案灰青色的灰白色的沙砾无穷无尽试卷试题沙漠的颜色变化着化学教案一会儿是望例： 计算积分⎰-Ldz z z 2的值，其中L 为包含点0和1在内的任何简单闭曲线. 解：根据函数zz z --212在复平面内除0=z ，1=z 两个奇点外是处处解析的。
由于L 包含这两个奇点，在L 内作两个互不包含且不相交的正向圆周1C ，2C ，如图3.7，1C 只包含奇点0=z ，2C 只包含奇点1=z ，那么根据多连通区域的柯西积分定理得到12222212121d d d L C C z z z z z z z z z z z z ---=+---⎰⎰⎰ 11221111d d d d 11 02πi 2πi 04πi C C C C z z z zz z z z =+++--=+++=⎰⎰⎰⎰（倒数第二步的计算参见书P62例3.1.4）§3.3 柯西积分公式1 柯西积分公式1）有界区域的柯西积分公式定理3.3.1（柯西积分公式）：设区域D 的边界是围线（或复围线）C ，)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则等待试卷试题”从头到尾安稳地坐着化学教案直到吃饱了化学教案然后才应诏前去试卷试题高祖对此很感激化学教案常常称赞景1图3.7y1C2COLx6区别。
【注1】：定理3.3.1中的围线C 可以是复围线，这时C 所围的区域D 是多连通区域，这时侯(3.3.1)式及(3.3.2)式中的积分也就是复围线上的积分。
【注2】：柯西积分公式意味着：一个区域内解析并连续到边界的函数，它在边界上的值决定了它在区域内任一点的值。
因此，人们又称柯西积分公式为解析函数的积分表示式。
从柯西积分公式可以看出，解析函数的函数值之间有着密切联系。
这是解析函数不同于一般函数的一个显著特征。
积分是涉及函数整体性质的一个概念，函数在一点的值应只涉及孤立点这一局部，而柯西积分公式却把整体与局部联系起来了。
例： 求下列积分的值izd , :i 1;i Cez C z z +=+⎰解：注意到ize zf =)(在复平面内解析，而i -在积分环路C 内，由柯西积分公式得i i ii 1d 2πi 2πiizzz z ez e e z =-+===+⎰2）无界区域中的柯西积分公式上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域；(2)复连通区域。
但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立。
22d ()(3)L zI z a z a =--⎰，设L 为：||2 (0)z a a =>.解：被积函数a z a z z f 31)(22--=在L 外部仅有一个奇点a z 3=，且当∞→z 时，01)(22→-=az z f ，满足无界区域的柯西积分公式条件。
图 3.107故有2222d d ()(3)()(3)L L z zI z a z a z a z a ==-----⎰⎰22322211πi ()d 2πi |(3)4z a L z a z z a z a a =-=-=-=---⎰定理3.3.1”(无界区域中的柯西积分公式（当满足∞→z ,)(z f 不趋于零时）)：上之工女试卷试题（杜牧《阿房宫賦》)（7）老夫聊发少年狂化学教案左牵黄化学教案假设)(z f 在某一闭曲线L 的外部解析，则对于C 外部区域中的点0z ，有)()(21)(00∞+-=⎰f dz z z z f i z f C π。