高中数学总结归纳 感悟互斥事件与对立事件
《互斥事件和独立事件》 讲义
《互斥事件和独立事件》讲义在概率统计的领域中，互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及深入理解随机现象的本质具有关键意义。
一、互斥事件互斥事件，又称为互不相容事件，指的是两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”就是互斥事件，因为骰子不可能在一次投掷中既出现 1 点又出现 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝∅。
互斥事件的概率计算相对较为简单。
如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
举个例子，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
如果我们想知道取出红球或者蓝球的概率，那就是 5 ／ 8 ＋ 3 ／ 8 ＝ 1 。
需要注意的是，多个事件之间也可能存在互斥关系。
例如，掷一枚骰子，“出现点数为1”“出现点数为2”“出现点数为3”这三个事件就是两两互斥的。
二、独立事件独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如说，今天下雨和明天是否下雪，通常可以认为是两个独立事件，今天下雨与否不会影响明天下雪的概率。
用数学语言来表达，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B) 。
例如，抛一枚均匀的硬币两次，第一次抛硬币出现正面和第二次抛硬币出现正面就是两个独立事件。
第一次抛硬币出现正面的概率是 1 ／ 2 ，第二次抛硬币出现正面的概率也是 1 ／ 2 ，那么两次都出现正面的概率就是 1 ／ 2 × 1 ／ 2 ＝ 1 ／ 4 。
《互斥事件》文字素材1(苏教版必修3).doc
互斥事件与对立事件辨析.互斥事件与对立事件的概念与计算公式1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件(即事件A发生，事件B不发生，事件B 发生，事件A不发生)叫做互斥事件；从集合角度看，记事件A为集合A,事件B为集合B,则事件A与事件B是互斥事件，则集合A与集合B的交集为0 .互斥事件的概率公式为P(AUB)=P(A)+P(B).2.对立事件：如果事件A与事件B不能同时发生，且事件A与B必有一个发生。
则称事件A与事件B为对立事件，事件A的对立事件一般都记作瓜。
从集合角度看，事件瓜所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即：若事件A与B是对立事件，则AAB=0且AUB=I,有P(A+B)=P(I)=1,从而对立事件A与瓜的概率之和等于1,即P(A)=1-P(A)..互斤事件、对立事件的区别和联系互斥事件和对立事件都是对两个事件来说的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。
一般地，两个事件对立则这两个事件一定互斥, 但两个事件互斥，这两个事件不一定对立，两个事件对立是两个事件互斥的充分而不必要条件，对立事件是互斥事件的特殊情况。
.例题选讲例1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件•，(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生.分析：判别两个事件是否互斤，就要考察它们是否不能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.解：(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件，(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件。
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；山于它们必有一个发生，所以它们对立.(4)山于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例2.甲、乙两人下棋，和棋的概率为丄，乙获胜的概率丄，求：2 3(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.分析：甲、乙两人下棋，其结果有“甲胜”、“和棋”、“乙胜”二种，它们是互斥事件，“甲获胜”看做是“和棋或乙胜”的对立事件.“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋” 这两个互斥事件的并事件，亦可看做“乙胜”的对立事件.解：⑴“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为P=l---- = -2 3 6•••甲获胜的概率是丄6⑵解法1：设事件A为“甲不输”，看做是“甲胜” “和棋”这两个互斥事件的并事件.所z 1 1 2以P（A）= —I—=—.6 2 31 ?解法厶设事件A “甲不输”看做是“乙胜”的对立事件，所以P（A）=l-- = -2・••甲不输的概率是一•3互斥事件概率问题的求解要点一、错解分析1.搞清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异。
互斥事件和对立事件
数学 10
解:(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组总人数 为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个”
则 A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”, 于是, P (A ) 1 P (A ) 1 6 8 1 0 0 .6 .
6 0 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.
AB
事件A发生,事件B同时发生.
当A与B互斥时,A+B事件指“A发生B不发生”和“A不发生B 发生”；
(1)对于例3的(2)和(3)中的事件A和事件B,A+B表示什么事
件?
(2)对例3的(1),(2)和(3)中的每一对事件,通过计算完成表
3-10:
表3-10
(1)
(2)
(3)
P(A)
P(B)
P(A)+P(B)
P(A+B)
根据表3-10中的结果,你发现P(A+B)与P(A)+P(B)有什么样
的大小关系?
第二个质量 2.5
5
10 20
总质量
第一个质量
2.5 5 10
20
5
7.5 12.5 22.5
7.5
10
15 25
12.5 15
20 30
22.5 25
30 40
P(A) P(B) P(A)+P(B) P(A+B)
解:在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不可能同时发生,因此， 事件A与事件B是互斥事件.
对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1 个质量盘,当总质量为20kg时,事件A与事件B同时发生,因 此,事件A与事件B不是互斥事件.
高二数学互斥事件
B 与 D . B与 C， B与 D 件的是 ________
2.判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是， 再判别它们是不是对立事件． 从一堆产品（其 中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：
(1)恰有1件次品和恰有2件正品； 互斥但不对立
(2)至少有1件次品和全是次品； 不互斥 (3)至少有1件正品和至少有1件次品； 不互斥 (4)至少有1件次品和全是正品； 互斥对立
例题讲解：
例1 黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血型 该血型人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血 型的人，任何人的血都可以输给 AB型血的人，其他不 同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病 需要输血，问： （1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
音 7 6 8 8 11 10 数 10
英
回顾小结：
一、知识要点： ⑴ 互斥事件、对立事件的概念及它们的关系； ⑵ n 个彼此互斥事件的概率公式：
P ( A1 A2
An ) P ( A1 ) P ( A2 )
P ( An )
⑶ 对立事件的概率之和等于1，即：
P(A A) P(A) P(A) 1
例4 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次 任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概
率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率.
解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为33, 1 (1)3只全是红球的概率为 27 ; (2)3只颜色全相同的概率为 3 1 ；
例3 一只口袋有大小一样的5只球，其中3只红球，2 只黄球，从中摸出2只球，求两只颜色不同的概率. 解：从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10. 记：“从5只球中任意取2只球颜色不同”为事件 只球颜色相同”为事件A， “从5只球中任意取2只红球”为事件B， “从5只 球中任意取2只黄球”为事件C，则A=B+C. 6 3 3 1 P ( A) ， P ( B ) ， P (C ) ， 10 5 10 10 3 1 2 P( A) P( B C ) ， 10 10 5 则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率 为： P ( A) 1 - P ( A) 1 2 3 5 5 3 答：从5只球中任意取2只球颜色不同的概率为 . 5
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性和互斥性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及正确分析和预测随机现象至关重要。
首先，让我们来谈谈互斥性。
简单来说，互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
因为在一次抛硬币的过程中，硬币不可能同时既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥的，因为不可能一张牌既是红桃又是黑桃。
互斥事件的特点是它们的交集为空集。
用数学语言表示，如果事件A 和事件B 互斥，那么 A 交 B 等于空集。
这意味着 P(A 交 B) ＝ 0，其中 P 表示概率。
互斥事件的概率计算相对比较简单。
如果事件 A 和事件 B 互斥，那么事件 A 或 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
接下来，我们说一说独立性。
独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
例如，今天下雨和明天考试考得好就是两个独立事件。
今天下雨与否并不会影响明天考试的成绩。
再比如，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上也是独立事件，每次抛硬币的结果都是相互独立的，前一次的结果不会影响到后一次。
独立事件的概率计算有一个重要的公式：如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么 P(A 交 B) ＝ P(A)×P(B)。
要判断两个事件是否独立，需要仔细分析它们之间是否存在因果关系或者相互影响。
如果没有，那么它们很可能是独立事件。
通过一些具体的例子，我们能更清楚地理解这两个概念。
假设我们有一个盒子，里面有 5 个红球和 3 个蓝球。
我们先后进行两次不放回抽样。
第一次抽到红球记为事件 A，第二次抽到红球记为事件 B。
由于是不放回抽样，第一次抽取会影响到盒子中球的数量和组成，从而影响第二次抽取红球的概率。
所以事件 A 和事件 B 不是独立事件。
高一数学必修件互斥事件和独立事件
计算结果
两枚硬币同时出现正面的概率为 1/4，同时出现反面的概率为1/4 ，出现一正一反的概率为1/2。
04
常见误区及辨析
误区一：混淆互斥和独立概念
01
互斥事件
两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空集。例如，掷一枚骰子，
“出现1点”和“出现2点”就是互斥事件。
02
独立事件
一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。例如，掷两枚骰子，“
掉落率设计
在角色扮演游戏或射击游戏中，敌人死亡后可能会掉落装备或道具。设计师需要设定不同物品的掉落率，并确保 玩家获得某件装备的概率与游戏平衡性相符。这也涉及到互斥事件（每次只能掉落一件物品）和独立事件（每次 掉落的概率相同）的应用。
医学诊断中误诊率计算
疾病检测
在医学诊断中，医生使用各种测试来确定患 者是否患有某种疾病。这些测试可能包括血 液检查、影像学检查等。每个测试都有一定 的误诊率，即健康人被误诊为患病或患病者 被误诊为健康的概率。计算误诊率时需要考 虑互斥事件（患者要么患病要么健康）和独 立事件（每个测试的结果相互独立）的概念 。
应用场景
适用于求解某个事件发生而另一个事 件不发生的概率问题。
案例分析：求解互斥事件概率
01
案例描述：一个盒子里有5个红球和3个白球，从中随机 抽取2个球，求至少有一个红球被抽中的概率。
02
分析步骤
03
1. 定义事件A为“至少有一个红球被抽中”，事件B为“ 两个都是白球”。
04
2. 根据组合数学计算事件B的概率，即$P(B) = frac{C_3^2}{C_8^2}$。
互斥事件指两个事件不可能同时发生；对立事件则是两个 事件中，一个发生则另一个一定不发生。掌握这两种事件 的概念及性质，是理解概率论的基础。
互斥事件与对立事件的例子
互斥事件与对立事件的例子
1、互斥事件：
互斥事件是指两件事情之间存在冲突，但只有一件可以实现的事情。
比如：王思聪要
买特斯拉跑车，但他想要买宝马SUV，他只能根据自己的喜好，只能选择其中的一种汽车，而不能两种汽车都买；再比如一个人同时拥有苹果手机和安卓手机，但他只能拥有其中的
一种，而不能同时拥有两种，这也是互斥事件的一种。
2、对立事件：
对立事件是指事件之间有对立的性质，但可以同时发生的事件。
比如三国时期赤壁之战，司马懿和诸葛亮是处于对立状态，每一方都希望自己能够获胜，但两者可以同时存在，只是一方最终获胜而已。
再比如原子与粒子的分裂，改变了物质的状态，可以同时发生，
但又有改变物质状态的对立性质。
苏教版高中数学高一素材互斥事件、对立事件的概率
甲 级 乙级 丙级
典型例题
例2.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品， 在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05 和0.03，则抽验一件是正品的概率为 0.92 .
记“抽验的产品是甲级品、乙级品、丙级品” 分别为事件A、B、C 思考1：这三个事件有什么关系呢？ 彼此互斥 思考2：抽验一件是正品，意味着什么事件发生呢？ A发生 思考3：抽到正品与抽到次品是什么关系呢？ 对立事件 即：事件A的对立事件为B+C 所以抽验一件是正品的概率为： P(A)＝1－P(B+C) ＝1－(0.05+0.03)＝0.92
记该地区年降水量在[100,150),[150,200),[200,250), [250,300)(mm)范围内分别为事件为A、B、C、D 思考：年降水量在[150,300)(mm)范围内,意味着什么事 件发生呢？ B+C+D发生
根据互斥事件的概率加法公式 ②P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.25+0.16+0.14=0.55
典型例题
应用集合的关系对事件的关系进行分析
利用对立事件的概率求出所求事件的概率
记“抽验的产品是甲级品、乙级品、丙级品” 分别为事件A、B、C 思考1：这三个事件有什么关系呢？ 彼此互斥 思考2：抽验一件是正品，意味着什么事件发生呢？ A发生 思考3：抽到正品与抽到次品是什么关系呢？ 对立事件 即：事件A的对立事件为B+C 所以抽验一件是正品的概率为： P(A)＝1－P(B+C) ＝1－(0.05+0.03)＝0.92
P( A) 1 27
典型例题
例3.某一盒中装有大小和质地均相同的红、黄、白3种颜色 的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次. 求 ① 3只全是红球的概率； ② 3只颜色全相同的概率； ③ 3只颜色不全相同的概率.
从细微处人手，从全局观应用——互斥事件与对立事件
ʏ程红在事件的关系和运算中,互斥事件与对立事件是事件的两种重要基本关系,是进行概率运算的基础㊂对这两种事件,要深刻理解与正确区分,并在此基础上加以熟练应用㊂一㊁互斥事件与对立事件的区别与联系1.从概念和公式的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件,如果事件A,B互斥,那么P(A+B) =P(A)+P(B)㊂(2)必有一个发生的互斥事件叫作对立事件,事件A的对立事件通常记作A,且满足P(A)+P(A)=P(A+A)=1㊂2.从发生的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生㊂(2)两个对立的事件,必有一个发生,但不可能同时发生㊂(3)两个事件对立,必定互斥,但互斥未必对立㊂对立事件是互斥事件的一个特例,两个互斥事件不一定是对立事件,而两个对立事件必为互斥事件㊂3.从个数的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂互斥的概念适用于多个事件,但对立的概念只适用于两个事件㊂4.从集合的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集是空集㊂(2)事件A的对立事件A所包含的结果组成的集合,是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集㊂5.从应用的角度看互斥事件与对立事件的区别与联系㊂(1)互斥事件可以解决的问题比较广,一般只要满足AɘB=⌀,就可以用互斥事件的性质加以解决㊂(2)对立事件解决的问题主要有两类:一是事件含有否定意义或含有 至多 至少 等用语的问题;二是直接求解比较复杂或根本无法求解的问题㊂二㊁互斥事件与对立事件的应用1.事件的概念问题㊂例1一个不透明的袋中装入4个白球与4个黑球,从中任意摸出3个球㊂(1)可能发生哪些事件?(2)指出其中每个事件的互斥事件㊂(3)事件 至少摸出1个白球 是哪几个事件的和事件它的对立事件是哪个事件?分析:先列举出所有的事件,再根据各事件的相互关系加以分析与判断㊂(1)以白球或黑球的个数作为讨论标准,可能发生下列四个事件㊂①摸出3个白球,记为事件A;②摸出2个白球,1个黑球,记为事件B;③摸出1个白球,2个黑球,记为事件C;④摸出3个黑球,记为事件D㊂(2)事件A,B,C,D彼此互斥㊂(3) 至少摸出1个白球 的事件为A, B,C的和事件,即 至少摸出1个白球 的对立事件是事件D㊂解答这类问题,必须弄清对立事件与互斥事件的联系与区别㊂具体解题时,可把所有的事件一一列举出来,再结合互斥事件与对立事件的概念加以分析与判断㊂0 1知识结构与拓展高一数学2023年5月Copyright©博看网. All Rights Reserved.2.事件的判断问题㊂例2 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )㊂A.至少有1个白球,都是白球B .至少有1个白球,至少有1个红球C .恰有1个白球,恰有2个白球D .至少有1个白球,都是红球分析:从集合角度看,事件A ,B 互斥,就是它们对应集合的交集是空集;事件A ,B 对立,就是事件A 包含结果的集合是其对立事件B 包含结果的补集㊂事件 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球 的所有可能结果为事件 恰有2个红球 ,事件恰有1个红球1个白球 和事件 恰有2个白球 ,共3种情况㊂由上可得,选项A ,B 都不互斥,当然也不对立;选项C 互斥而不对立,选项D 不但互斥而且对立㊂应选C㊂解答这类问题,必须弄清对立事件与互斥事件的联系与区别㊂解题时,可把所有的事件列举出来,再结合互斥事件与对立事件的概念进行判断㊂3.事件的应用问题㊂例3 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,每1000张奖券为一个开奖单位㊂设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个㊂设1张奖券中特等奖㊁一等奖㊁二等奖的事件分别为A ㊁B ㊁C ㊂(1)求P (A ),P (B ),P (C )㊂(2)求1张奖券的中奖概率㊂(3)求1张奖券不中特等奖或一等奖的概率㊂分析:先根据等可能事件的概率确定对应事件的概率,进而通过互斥事件把 1张奖券中奖 进行转化,并结合对立事件与互斥事件来分析 1张奖券不中特等奖或一等奖 的情况㊂(1)由等可能事件的概率可得,P (A )=11000=0.001,P (B )=101000=0.01,P (C )=501000=0.05㊂(2) 1张奖券中奖是指1张奖券中特等奖,或一等奖,或二等奖,即为事件A +B +C ㊂由于事件A ,B ,C 是互斥事件,所以P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.001+0.01+0.05=0.061㊂(3)1张奖券不中特等奖或一等奖是指事件A +B ㊂由于事件A +B 与A +B 是对立事件,所以P (A +B )=1-P (A +B )=1-P (A )-P (B )=1-0.001-0.01=0.989㊂概率加法公式应注意两点:一是所求事件是几个事件的和,二是这几个事件是互斥的㊂在求含有否定意义的事件的概率时,考虑对立事件往往是比较有效的方法㊂编者的话:互斥事件的判断要看是否 不能同时发生 ,对立事件的判断要看是否 既不同时发生,又必然有一个发生 ,同时注意发生与否都是对于同一次试验,不能在多次试验中进行判断㊂解答这类问题时,合理应用对立事件,可简化运算㊂围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,从中取出2粒都是白子的概率是1235,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )㊂A.17 B .1235 C .1735D .1提示:设 从中取出2粒都是黑子 为事件A ,从中取出2粒都是白子 为事件B , 任意取出2粒恰好是同一色 为事件C ,则C =A ɣB ,且事件A 与事件B 互斥㊂所以P (C )=P (A )+P (B )=17+1235=1735,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735㊂应选C㊂作者单位:江苏省姜堰第二中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高二数学 互斥事件
高二数学 互斥事件一、知识要点：1、互斥事件① 如果两个事件A 和B 不能同时发生，则称A 和B 是互斥事件。
② 如果事件n A A A ,,,21 中的任意两个都是互斥事件，就说事件n A A A ,,,21 彼此互斥。
2、对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。
事件A 的对立事件记为A 。
3、互斥事件的概率加法公式如果事件A ，B 为互斥，当事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A+B 。
如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++4、对立事件的性质对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=。
5、互斥事件有与对立事件的区别与联系对立必互斥，互斥未必对立。
二、典型例题：例1、 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
⑴A 与C ⑵B 与E ⑶B 与D ⑷B 与C ⑸C 与E（2）求射击1次，命中不足7环的概率。
例3、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品。
例4、鞋柜有4双不同的鞋，随机取出4只，试求下列事件的概率：（1）取出的鞋都不成对；（2）取出的鞋恰好有2只是成对的；（3）取出的鞋至少有2只成对；（4）取出的鞋全部成对。
高中数学互斥事件与对立事件突破
高中数学互斥事件与对立事件突破考点一：事件关系的判断
方法技巧
事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
(3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B 互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝Ω(Ω为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．
实战演练
考点二：互斥事件、对立事件的概率
方法技巧实战演练。
《互斥事件和独立事件》 讲义
《互斥事件和独立事件》讲义互斥事件和独立事件讲义在概率论中，互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及深入理解随机现象的本质至关重要。
接下来，让我们详细探讨一下这两个概念。
一、互斥事件互斥事件，又称为互不相容事件，指的是在一次试验中，两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”就是互斥事件，因为骰子在一次投掷中不可能同时显示 1 点和 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝ Ø。
互斥事件的概率计算相对简单。
如果事件A 和事件B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
例如，在一个袋子里有 3 个红球和 2 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
假设取出红球的概率为 3/5，取出蓝球的概率为 2/5，那么取出红球或者蓝球的概率就是 3/5 ＋ 2/5＝ 1。
二、独立事件独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如，今天下雨和明天考试成绩是否优秀就是两个独立事件，今天下雨并不会影响明天考试成绩的好坏。
数学上，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A∩B) ＝ P(A) × P(B)。
举个例子，掷两次骰子，第一次掷出 6 点和第二次掷出 6 点就是独立事件。
假设每次掷出 6 点的概率都是 1/6，那么两次都掷出 6 点的概率就是 1/6 × 1/6 ＝ 1/36。
三、互斥事件与独立事件的区别互斥事件和独立事件的区别是理解这两个概念的关键。
首先，从定义上看，互斥事件关注的是两个事件是否能同时发生，而独立事件关注的是一个事件的发生是否会影响另一个事件的发生概率。
互斥和对立的计算公式
互斥和对立的计算公式在我们学习数学的过程中，经常会碰到“互斥”和“对立”这两个概念。
它们看起来有点相似，但实际上又有一些微妙的差别。
那咱们今天就来好好聊聊互斥和对立的计算公式，把它们弄个清楚明白！先来说说互斥。
互斥事件呢，就是说两个事件不可能同时发生。
比如说，今天下午要么下雨，要么不下雨，这就是互斥事件。
那互斥事件的概率计算公式是怎样的呢？如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的概率之和就等于它们的并集的概率，也就是P(A∪B) = P(A) + P(B) 。
给大家举个例子啊，比如说咱们学校组织运动会，参加跑步比赛的有 50 人，参加跳远比赛的有 30 人，没有人既参加跑步又参加跳远。
那参加跑步或者跳远比赛的人数就是 50 + 30 = 80 人。
这里参加跑步比赛和参加跳远比赛就是互斥事件。
再来说说对立事件。
对立事件是一种特殊的互斥事件，就是说除了这两个事件之外，没有其他可能了。
比如说抛硬币，正面朝上和反面朝上就是对立事件。
对立事件的概率计算公式是 P(A) = 1 - P(非 A) 。
我记得有一次我去买水果，老板说箱子里要么全是苹果，要么全是香蕉。
我就想啊，如果全是苹果的概率是 0.6，那全是香蕉的概率不就是 1 - 0.6 = 0.4 嘛。
这就是对立事件概率的实际应用。
在做题的时候，大家一定要分清楚互斥和对立。
有时候题目会故意混淆概念来考大家，可别被忽悠啦！比如说，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件，但不是对立事件，因为还可能抽到方块或者梅花。
再比如说，扔骰子，扔出奇数点和扔出偶数点就是对立事件。
因为骰子的点数就只有奇数和偶数两种情况。
总结一下，互斥事件强调的是两个事件不能同时发生，而对立事件不仅不能同时发生，而且两者必有一个发生。
掌握好它们的计算公式和特点，对于解决概率问题可是非常有帮助的哦！希望大家通过今天的讲解，对互斥和对立的计算公式有了更清楚的认识，在做题的时候能够轻松应对，加油！。
高中数学知识点：事件间的关系
高中数学知识点：事件间的关系
(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；
(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；
要点诠释：
从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补.
若两事件A与B对立，则A与B必为互斥事件，而若事件A与B 互斥，则不一定是对立事件.
“对立”只能是两个事件之间的关系，不会出现多个事件之间相互“对立”.
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高考数学几种重要概率等可能事件、互斥事件、对立事件
§43 高考几种重要概率——等可能事件、互斥事件、对立事件复习要点：1．注意分清事件类型（**对事件背景、结构的分析，明确意义），灵活运用相关事件的概率公式解题。
——————注意概率中容易混淆问题的训练：（1） 频率与概率关系；（2） 等可能性与非等可能性； （3） 有序取与无序取； （4） 有放回取与无放回取；（5） 第k 次取到与第k 次才取到。
2．有关概念与性质（**条件（在一定条件）） （1）必然事件A ： P(A)=1 （2）不可能事件A ： P(A)=0 （3）随机事件A ： 0≤P(A)≤1————随机事件既有随机性（在一次试验）又有统计规律性（大量重复试验）在一次试验中可能发生，也可能不发生。
3．等可能事件及其概率（1）等可能事件的特征：① 试验的结果有限；②每种结果出现机会均等。
（2）概率计算公式：nm )A (P（明确意义，结合排列组合知识求m 和n ）4．互斥事件与对立事件 （1）深刻理解概念（特征）①互斥事件——在一次试验中不可能同时发生．．．．．．．的两个事件。
（不可能同时发生，并没有要求不能同时不发生，即允许同时不发生。
）可见，两互斥事件在一次试验中最多只有一个发生。
②对立事件——两互斥事件必有一个发生。
（2）区别与联系：对立必互斥，互斥不一定对立。
即：对立⇒互斥， 互斥⇒对立（3）概率计算公式：① 若A与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ）集合角度看 A ∪B② 若A 与B 为任意事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A ∩B)从集合角度看：A ∪B③ 对立事件概率：)A (P 1)A (P -=X 例及其解法例1．（2003某某理科试题）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）解法1.22015141511114111C C C C C C C P ++==190119 解法2、属于同一个国家的概率为190712202524211=++C C C C ， 所求概率为 190119190711=-例2．甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．（I ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II ）甲、乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少？（2000年某某高考题）分析：本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。
辨析互斥事件与对立事件
辨析互斥事件与对立事件作者：万青来源：《高中生学习·高二版》2015年第11期日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的随机事件，事件与事件的关系是研究概率的基础，而互斥事件与对立事件是事件的关系中两个易混淆的概念，同学们在学习过程中一定要正确理解. 这样才能夯实基础，有条理地思考，从而准确地分析问题，解决问题.互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生. 从集合的角度看：几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是空集，而事件A的对应事件[A]包含的结果组成的集合，是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集. 下面通过实例对这两个概念进行辨析：例1 ;在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件：C1={出现1点};C2={出现2点};C3={出现3点};C4={出现4点};C5={出现5点};C6={出现6点};D1={出现的点数不大于1};D2={出现的点数大于6};D3={出现的点数小于5};E={出现的点数小于7};F={出现的点数大于6};G={出现的点数为偶数};H={出现点数为奇数}…（1）判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由.①事件C1与事件C2②事件C1与事件D3③事件E与事件F分析 ;判断两个事件是否为互斥事件就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生则是互斥事件，反之就不是互斥事件.解 ;①是互斥事件. 因为掷一枚骰子每次只能出现一个数，出现1点就不可能同时出现2点，所以是一对互斥事件.②不可能是互斥事件. 因为“出现的点数小于5”包含“出现1点”，所以事件C1与事件D3可同时发生.③是互斥事件. 因为事件E为必然事件，它一定会发生的，而事件F为不可能事件，它一定不会发生的，即二者不可能同时发生，用集合的观点分析：事件E为全集，事件F为空集，二者的交集是空集，即不可能同时发生.点拨 ;互斥事件是概率知识中的重要概念，可以从两个方面来说明：用定义看是否同时发生;类比集合的运算，看交集是否为空集，若为空集，则两事件是互斥的.如果事件A1，A2…An中的任何两个都是互斥事件，则称事件A1，A2…An彼此互斥，如题目中的C1，C2…C6是彼此互斥的，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集为空集.（2）判断下列各对事件是否构成对立事件？①事件G与事件H ②事件E与事件F分析 ;判断两事件是否构成对立事件，关键看两事件所含结果组成的集合是否互为补集，若是互为补集则两事件是对立事件.解 ;①因为骰子的出现的点数不是奇数就是偶数，“出现的点数为偶数”所组成的集合的补集就是“出现的点数为奇数”所组成的集合.所以事件G与事件H构成对立事件.②因为在集合中，全集的补集为空集.事件E所含结果构成的集合是全集，而事件F所含结果构成的集合是空集，所以二者也是对立事件.点拨 ;对立事件是概率中又一个重要概念，要正确理解，就要清楚对立事件是对两个事件而言的，这两个事件中必须有一个发生而另一个不发生. 从集合角度看，由事件A所含结果组成的集合，是全集中事件A所含结果组成的集合的补集.（3）判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.①事件F与事件G ②事件G与事件H解 ;①是互斥事件，不是对立事件.因为事件F是不可能事件，它与事件G不可能同时发生，所以二者是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生这是由于骰子还可能出现的点数为奇数，因此，二者不是对立事件.②既是互斥事件，又是对立事件. 因为骰子出现的点数不是奇数就是偶数，只能出现一个数，所以这两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生.点拨 ;互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是在互斥事件基础上，其中必有一个发生的互斥事件，即对立事件是特殊的互斥事件. 因此对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说互斥事件是对立事件的必要但不充分条件.例2 ;某射手射击一次，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.12，0.32，0.27，0.11. 若这名射手射击一次，求：（1）射中9环或8环的概率;（2）至少射中7环的概率.解设射手射击一次射中10环，9环，8环，7环分别记为事件A，B，C，D.它们是彼此互斥的，其概率分别为P（A）=0.12，P（B）=0.32，P（C）=0.27，P（D）=0.11.（1）射中9环或8环为事件B∪C，则P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.32+0.27=0.59.故射中9环或8环的概率为0.59.（2）至少射中7环为事件A∪B∪C∪D，则P（A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.82.故至少射中7环的概率为0.82.点拨 ;本题是概率计算题中的典型题型，需要辨清事件之间的关系，从而选择正确的概率计算公式.例3 ;甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率.分析 ;记甲胜为事件A，乙胜为事件B，和棋为事件C，故事件A，B，C彼此互斥，乙不输为事件B∪C.解法一 ;甲、乙两人下棋，结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此都是互斥的. 其中乙不输为互斥事件“乙胜”与“和棋”的并集，从而可以求出乙胜的概率，并可以求出甲胜的概率.P（B）=P（B∪C）-P（C），又根据题意有P（B∪C）=0.7，P（C）=0.5，故P（B）=0.7-0.5=0.2，P（A）=1-P（B∪C）=1-0.7=0.3.所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.解法二 ;乙不输与甲获胜为对立事件，故可直接求出甲获胜的概率，从而求出乙获胜的概率.乙不输与甲获胜是对立事件，故P（A）=1-0.7=0.3，又结果只有三种：甲胜、和棋、乙胜，且彼此互斥. 故P（B）=1-P（A）-P（C）=1-0.3-0.5=0.2，所以甲、乙获胜的概率分别为0.3，0.2.总结 ;解答此类问题的关键，在于判断两事件是互斥事件还是对立事件，也就是牢记“在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生”. 只要我们正确理解了二者的概念，抓住了本质，再根据已经判断出的情况，开展后续计算求解，那么这类问题也就迎刃而解了.[练习]1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ; ）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶2.若P（AUB）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（ ; ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对3.从扑克牌40张（红、黑、方、梅点数从1到10各10张）中，任取一张.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”;（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;（3）“抽出的牌点数为5的位数”与“抽的牌点数大于9”.[参考答案]1.D ;2.D3.（1）是互斥事件，不是对立事件;（2）既是互斥事件，又是对立事件;（3）不是互斥事件，更不可能是对立事件.。
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感悟互斥事件与对立事件
在利用概率的性质时，一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生。
而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生事件B不发生；
②事件B发生事件A不发生。
对立事件是互斥事件的特殊情形。
例1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）A与C（2）B与E（3）B与D（4）B与C（5）C与E
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件。
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E是互斥事件。
由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B 一定不发生，故B与E还是对立事件。
（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥。
（4）事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”。
由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件。
（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有时可能同时发生，故C与E不互斥。
评注：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，并且其中一个一定要发生，因此，两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清两种事件的关系。
例2某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，
0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或7环的概率；
（2）不够7环的概率。
分析：对于（1），由于射手在一次射击中，射中10环与射中7环不可能同时发生，故这两个事件为互斥事件，且求的又是两事件和的概率，故可用公式()P A B U
()()P A P B =+求解。
对于（2）
，不够7环的反面是大于等于7环，即射中7环、8环、9环、10环，故可用对立事件的方法处理。
解：（1）记“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件。
∴射中10环或7环的概率为()()()P A B P A P B =+U =0.21+0.28=0.49。
（2）记“不够7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”。
由（1）可知“射中7环”、“射中8环”等等是彼此互斥事件， ∴()P E =0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，从而()()
1P E P E =-=1-0.97=0.03。
评注：必须分清楚事件A 、B 互斥的原因，只有互斥事件才可考虑用概率的加法公式； 当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求解时，可先转化为求其对立事件的概率。
练习：
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上答案都不对
2．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13
，求： （1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
答案：
1．C 2．（1）
16；（2）23
.。