运筹学11-存储论
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第11章存储论
存储论也称库存论(Inventory theory),是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。任何工商企业,如果物资存储过多,不但积压流动资金,而且还占用仓储空间,增加保管费用。如果存储的物资是过时的或陈旧的,会给企业带来巨大经济损失;反之,若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润,或由于缺少原材料而被迫停产,或由于缺货需要临时增加人力和费用。寻求合理的存储量、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。
§1 确定型经济订货批量模型
本节假定在单位时间内(或称计划期)的需求量为已知常数,货物供应速率、订货费、存储费和缺货费已知,其订货策略是将单位时间分成n等分的时间区间t,在每个区间开始订购或生产相同的货物量,形成t循环储存策略。在建立储存模型时定义了下列参数及其含义。
D:需求速率,单位时间内的需求量(Demand per unit time)。
P:生产速率或再补给速率(Production or replenishment rate)。
A:生产准备费用(Fixed ordering or setup cost)。
C:单位货物获得成本(Unit acquisition cost)。
H:单位时间内单位货物持有(储存)成本(Holding cost per unit per unit time)。
B:单位时间内单位货物的缺货费用(Shortage cost per unit short per unit time)。
π:单位货物的缺货费用,与时间无关(Shortage cost per unit short, independent of time)。
t:订货区间(Order interval),周期性订货的时间间隔期,也称为订货周期。
L:提前期(order lead time),从提出订货到所订货物且进入存储系统之间的时间间隔,也称为订货提前时间或拖后时间。。
Q:订货批量(Order quantity)或生产批量(Production lot size),一批订货或生产的货物数量。
S:最大缺货量(Maximum backorder),即最大缺货订单。
R:再订货点(Reorder point)。
n:单位时间内的订货次数(Order frequency per unit time),显然有n=1/t。
模型的目标函数是以总费用(总订货费+总存储费+总缺货费)最小这一准则建立的。根据不同的供货速率和不同要求的存储量(允许缺货和不允许缺货)建立不同的存储模型,求出最优存储策略(即最优解)。这种需求量是确定的模型称为确定型储存模型。
1.1 模型一:瞬时供货,不允许缺货的经济批量模型
此模型的特征是:供货速率为无穷大,不允许缺货,提前期固定、每次订货手续费不变,单位时间内的储存费不变。需求速率D为均匀连续的,每次订货量不变,以周期t循环订货。先考虑提前期为零(即当存量降至零时,可以立即得到订货量Q)的情形。
最优存储策略是:求使总费用最小的订货批量Q*及订货周期t*
将单位时间看作一个计划期,设在计划期内分n次订货,订货周期为t,在每个周期内的订货量相同。由于周期长度一样,故计划期内的总费用等于一个周期内的总费用乘以n。
在[0,t ]周期内,存储量不断变化,当存量降到零时,应立即补充整个t 内的需求量Dt ,因此订货量为Q=Dt ,最大存量为Q ,然后以速率D 下降(见图13-1),在[0,t ]内存量是t 的函数y=Q -Dt .
[0,t ]内的存储费是以平均存量来计算的,由图13—1知,[0,t ]内的总存量(即累计存量)为
⎰=-=-t
Qt Dt Qt dx Dx Q 022
121)( 上式也可采用求图13-1中三角形面积的方法得到。在[0,t ]内的平均存量为
Q Qt t y 2
1211=⋅= 也是单位时间内的平均存量。H 是单位货物在计划期内的存储费,故在单位时间]内的内总存储费为QH /2。
在一个周期内的订货固定手续费为A ,计划期内分n 次订货,由n =1/t 知总订货费用为
t
CQ t A n KQ A +=
+)( 计划期内的总费用最小的储存模型为 CQ t
A t HQ f 1121min ++= 0,0,≥≥=t Q Dt Q
由t=Q/D 代入式(13.1)消去变量t ,得到无条件极值
CD AD Q
HQ Q f ++=121)(min (13.1) 利用微分学知识,f (Q )在Q *点有极值的必要条件是df /dQ *=0,因此有
01212=-=AD Q
H dQ df (13.2) 解出Q ,得 H
AD Q 2±=
时间
舍去小于零的解,由式(13.2)得3222Q
AD dQ f d =,当H AD Q /2*=时,02/*/2322>=AD H dQ f d ,故Q *是式(13.1)的最优解。
另一求解方法。去掉式(13.1)f (Q )中常数项CD ,f (Q )是HQ /2的增函数,是AD /Q 的减函数。这两个函数的交点就是最小点,令HQ /2=AD /Q ,解出Q 即可。
则有
H AD Q /2*=
(13.3) HD A D Q t /2**==
(13.44) 最小费用为
CD HQ CD HAD f +=+=*2* (13.5) 由n =1/t 可得最优订货次数
A HD t
n 2/1*==* (13.6) 模型一是求总费用最小的订货批量,通常称为经典经济订货批量(Economic ordering quantity),缩写为EOQ 模型。下面要讲的几种模型都是这种模型的推广。
再看提前期L 不为零的情形,若从订货到收到货之间相隔时间为L ,那么就不能等到存量为零再去订货,否则就会发生缺货。为了保证这段时间存量不小于零,问存量降到什么水平就要提出订货,这一水平称为再订货点。
模型与式(13.1)相同,最优批量不变,再订货点为
R =DL (13.7) 式中R 为再订货点,即当降到DL 时就要发出订货申请的信号,当 *
2*t L t ≤<时,定货点应该是R =D (L - t*)此时会出现有两张未到货的订单,同样可讨论L>2t *的情形。
例1某企业全年需某种材料1000吨,单价为500元/吨,每吨年保管费为50元,每次订货手续费为170元,求最优存储策略。
解 计划期为一年,已知D =1000 ,H =50 ,A =170 ,C =500 。由式(13.3—13.5)可得 )(8250
17010002*吨≈⨯⨯=Q )(30)(082.050
10001702*天年=≈⨯⨯=t )(50412310005001000170502*元≈⨯+⨯⨯⨯=f
即最优存储策略为:每隔一个月进货1次,全年进货12次,每次进货82吨,总费用为504123元