运筹学11-存储论

第11章存储论存储论也称库存论（Inventory theory），是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。

物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。

任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管费用。

如果存储的物资是过时的或陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。

寻求合理的存储量、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。

§1 确定型经济订货批量模型本节假定在单位时间内（或称计划期）的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、存储费和缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成n等分的时间区间t，在每个区间开始订购或生产相同的货物量，形成t循环储存策略。

在建立储存模型时定义了下列参数及其含义。

D：需求速率，单位时间内的需求量（Demand per unit time）。

P：生产速率或再补给速率（Production or replenishment rate）。

A：生产准备费用（Fixed ordering or setup cost）。

C：单位货物获得成本（Unit acquisition cost）。

H：单位时间内单位货物持有（储存）成本（Holding cost per unit per unit time）。

B：单位时间内单位货物的缺货费用（Shortage cost per unit short per unit time）。

π：单位货物的缺货费用，与时间无关（Shortage cost per unit short, independent of time）。

t：订货区间（Order interval），周期性订货的时间间隔期，也称为订货周期。

L：提前期（order lead time），从提出订货到所订货物且进入存储系统之间的时间间隔，也称为订货提前时间或拖后时间。

Q：订货批量（Order quantity）或生产批量（Production lot size），一批订货或生产的货物数量。

S：最大缺货量（Maximum backorder），即最大缺货订单。

R：再订货点（Reorder point）。

n：单位时间内的订货次数（Order frequency per unit time），显然有n＝1/t。

模型的目标函数是以总费用（总订货费+总存储费+总缺货费）最小这一准则建立的。

根据不同的供货速率和不同要求的存储量（允许缺货和不允许缺货）建立不同的存储模型，求出最优存储策略（即最优解）。

这种需求量是确定的模型称为确定型储存模型。

1.1 模型一：瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型此模型的特征是：供货速率为无穷大，不允许缺货，提前期固定、每次订货手续费不变，单位时间内的储存费不变。

需求速率D为均匀连续的，每次订货量不变，以周期t循环订货。

先考虑提前期为零（即当存量降至零时，可以立即得到订货量Q）的情形。

最优存储策略是：求使总费用最小的订货批量Q*及订货周期t*将单位时间看作一个计划期，设在计划期内分n次订货，订货周期为t，在每个周期内的订货量相同。

由于周期长度一样，故计划期内的总费用等于一个周期内的总费用乘以n。

在[0，t ]周期内，存储量不断变化，当存量降到零时，应立即补充整个t 内的需求量Dt ，因此订货量为Q=Dt ，最大存量为Q ，然后以速率D 下降（见图13－1），在[0，t ]内存量是t 的函数y=Q －Dt .[0，t ]内的存储费是以平均存量来计算的，由图13—1知，[0，t ]内的总存量（即累计存量）为⎰=-=-tQt Dt Qt dx Dx Q 022121)( 上式也可采用求图13－1中三角形面积的方法得到。

在[0，t ]内的平均存量为Q Qt t y 21211=⋅= 也是单位时间内的平均存量。

H 是单位货物在计划期内的存储费，故在单位时间]内的内总存储费为QH /2。

在一个周期内的订货固定手续费为A ，计划期内分n 次订货，由n =1/t 知总订货费用为tCQ t A n KQ A +=+)( 计划期内的总费用最小的储存模型为 CQ tA t HQ f 1121min ++= 0,0,≥≥=t Q Dt Q由t=Q/D 代入式(13.1)消去变量t ，得到无条件极值CD AD QHQ Q f ++=121)(min (13.1) 利用微分学知识，f (Q )在Q *点有极值的必要条件是df /dQ *=0，因此有01212=-=AD QH dQ df （13.2） 解出Q ，得 HAD Q 2±=时间舍去小于零的解，由式(13.2)得3222QAD dQ f d =，当H AD Q /2*=时,02/*/2322>=AD H dQ f d ，故Q *是式（13.1）的最优解。

另一求解方法。

去掉式（13.1）f (Q )中常数项CD ，f (Q )是HQ /2的增函数，是AD /Q 的减函数。

这两个函数的交点就是最小点，令HQ /2=AD /Q ，解出Q 即可。

则有H AD Q /2*=(13.3) HD A D Q t /2**==(13.44) 最小费用为CD HQ CD HAD f +=+=*2* (13.5) 由n =1/t 可得最优订货次数A HD tn 2/1*==* (13.6) 模型一是求总费用最小的订货批量，通常称为经典经济订货批量(Economic ordering quantity)，缩写为EOQ 模型。

下面要讲的几种模型都是这种模型的推广。

再看提前期L 不为零的情形，若从订货到收到货之间相隔时间为L ，那么就不能等到存量为零再去订货，否则就会发生缺货。

为了保证这段时间存量不小于零，问存量降到什么水平就要提出订货，这一水平称为再订货点。

模型与式（13.1）相同，最优批量不变，再订货点为R =DL (13.7) 式中R 为再订货点，即当降到DL 时就要发出订货申请的信号，当 *2*t L t ≤<时，定货点应该是R =D （L － t*）此时会出现有两张未到货的订单，同样可讨论L>2t *的情形。

例1某企业全年需某种材料1000吨，单价为500元/吨，每吨年保管费为50元，每次订货手续费为170元，求最优存储策略。

解 计划期为一年，已知D =1000 ，H =50 ，A =170 ，C =500 。

由式（13.3—13.5）可得 )(825017010002*吨≈⨯⨯=Q )(30)(082.05010001702*天年=≈⨯⨯=t )(50412310005001000170502*元≈⨯+⨯⨯⨯=f即最优存储策略为：每隔一个月进货1次，全年进货12次，每次进货82吨，总费用为504123元1.2 模型二：瞬时供货，允许缺货的经济批量模型此模型的特征是：当存量降到零时，不一定非要立即补充，允许一段时间缺货，但到货后应将缺货数量马上全部补齐，即缺货预约，其他特征同模型一。

暂时缺货现象在实际中是存在的，例如顾客在购买某商品因缺货时是能够容忍的。

允许缺货的存储策略有得有失。

因缺货而耽误需求会造成缺货损失，另一方面，由于允许缺货就可减少存储量和订货次数，因而节省存储费和订货费。

因此企业除支付缺货费外没有其它损失时，在每个周期内有缺货现象对企业有利。

除了模型一中的参数外，还假设：S ：在周期t 内的最大缺货量。

Q 1：在周期t 内的最大存储量。

t 1：存储量为非负的时间周期。

t 2：缺货周期(存储量为负数的时间周期)。

由于采取缺货预约存储策略，所以在一个周期内的订货量仍为Q=Dt ，在t 1内有存量，需求量为Q 1=Dt 1，在t 2内缺货量为S=Dt 2，不难看出关系：Q =Q 1+S=D (t 1+t 2)=Dt 。

与模型一的推导类似，存量变化如图13—2所示。

在一个周期内的平均存量为Q 1t 1/2t ，平均缺货量为tt t S t St 2)(212-= 相应的各项费用为：存储费：1121t HQ ，缺货费：))((21)(21111t t Q Q B t t BS --=-，订货费：A+CQ 。

则在计划期内总费用最小的存储模型为tCQ t A t t Q Q B t t HQ t f ++--+=))((2121min 1111 （13.8） 0,,,,,1111≥==t t Q Q Dt Q Dt Q消去目标函数中的变量Q 和t 1 ,式（13.8）便得CD tA Q DtB Dt HQ Dt t Q f ++-+=21211)(2121),(min （13.9） 求式（13.9）的二元函数极值。

0)(2)(2221111=-+=--=∂∂B DtQ B H Dt Q Dt B Dt HQ Q f （13.10）02)(2)()(222222122211221=-+-=----+-=∂∂t A Dt Q B H BD t A t Q Dt Dt Q Dt D B Dt HQ t f (13.11)由式（13.10）得B H BDt Q +=1，将Q 1代入式（13.11）得0)(2222=-+-tA B H B BD ，得到最优解：BH B H AD Q ＋2*1= （13.12） BB H HD A t +=2* （13.13） B B H H AD Dt Q +==2** （13.14） 总费用为CD BH B HAD f++=2* （13.15） 由Q 1=Dt 1，Q =Q 1+S 可得 BH B HD A D Q t ＋2*1*1== B H H B AD Q Q S +=-=2*1**例3 某工厂按照合同每月向外单位供货100件，每次生产准备结束费用为5 元，每件年存储费为4.8元，每件生产成本为20元，若不能按期交货每件每月罚款0.5元（不计其他损失），试求总费用最小的生产方案。

解 计划期为一个月，D =100 ，H =4.8/12＝0.4，B =0.5，A =5 ，C =20，利用式（13.12）～(13.15）可得)(20)(67.01005.04.0)5.04.0(52*天月≈≈⨯⨯+⨯⨯=t Q*=Dt *=100⨯0.67=67(件))(9.2014100205.04.010055.04.02*元=⨯++⨯⨯⨯⨯=f )(37)5.04.04.05.010052*1件（≈+⨯⨯⨯=Q)(30*1**件=-=Q Q S即工厂每隔20天组织一次生产，产量为67件，最大存储量为37件，最大缺货量为30件。

1.3模型三：边供应边需求，不允许缺货的经济批量模型这种模型的特征是：物资的供应不是成批的，而是以速率P （P >D ）均匀连续的供应，存储量逐渐补充，不允许缺货。