线性方程组的消元法
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用解线性方程组的消元法及其应用朱立平曲小刚)教学目标与要求通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.教学重点与难点教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.教学方法与建议先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。
教学过程设计1. 问题的提出由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.引例解线性方程组4x1 2x2 5x3 4 (1)x1 2x2 7 (2)2x1 x2 3x3 1 (3)x1 2x2 7 (1)(1) ( 4) (2)x1 2x2 7 (1)解(1)(1) (2) 4x1 2x2 5x3 4 (2)(1) ( 2) (3)6x2 5x3 24 (2)2x1 x2 3x3 1 (3) 5x2 3x3 13 (3)5 X i 2x 2 7（2）（）（3）66x 2 5x 3 24 7 X 3 7 6用回代的方法求出解即可.问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1 ）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法.2. 矩阵的初等变换定义1阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵.定义2下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作r i r j ），ii.用数k 0乘矩阵的某行的所有元素（例如第 i 行乘k ，记作kr i ），iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作r i kr j ）.同理可以定义矩阵的初等列变换 .定义3如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵 A 与B 等价，记作A ~B .注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵3.咼斯消兀法对」般口丁 II 阶线性方程组a 〔1 X 1812X 2 a 1n Xnb (1)a 21 X 1 a 22X 2a 2n X nb 2 (2)(3.1)an 1 X1a n2X 2ann Xnb n(n)若系数行列式detA 0,即方程组有唯一解，则其消元过程如下:第一步，设方程（1）中X i 的系数a M 0将方程（I ）与（1）对调，使对调后的第一个方程 X i第二步，设a 22） 0，保留第二个方程，消去它以下方程中的含X 2的项，得(1) ⑵(3)的系数不为零.作i並(D(i 2,3,a 11n ），得到同解方程组(0)anX1(0)a 12 X 2 (0) a 1 n Xn b 1(0) (1) a ?2 X 2(1) a 2n X nby(1)a n2X 2(1)a nn X n(3.2)接下来的回代过程首先由（3.4）的最后万程求出X n ，依次向上代入求出 X n1,X n 2, X 1即可?高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换（某个方程乘非零常数k ；一个方程乘常数 k 加到另一个方程，对换两个方程的位置），将其化为同解的阶梯形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵?因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知兀也要对换4.应用（1）化矩阵为阶梯形例1试用消元法化 A 为阶梯形矩阵，1 2 1 0 22 4 2 6 6A2 1 0 2 33333 4解(0) 耳1 X1a^x 2 a 22)x 2(0)&13 X 3(1) a 23 X3a 33)X 3(0) a 1n Xn a 2nX n a 3?X n附 byb 32)a%a n^X nb n (3)照此消兀，直至第 n 1步得到三角形方程组J0)」o ）jo) J°)a 〔i x 〔 a 〔2 X 2 a 13 X 3 a1 n Xnb 1(1) a ?2 X 2 (1) a 23 X 3 (1) a 2n Xn by(2)a 33 X 3(2)a 3n X nb 32)(3.3)(3.4)a11a 12a1 nb 1 (A,b)a21 a22a2nb 2an1n2annb na (0)a (0)a11a12 a*a (0)a1n b 1(0) a22a 23)a2nbyf 2)33a(2)b 32)f 2)n3a(2)nnb n (2)r2 —r 1 a11r 931『afa(0)12「3b (0)a (1) a 22 )2a 42)rr3r 1*11a(1)22a 2^r4by于 arn Ta11a(1)an2事 byr n吧r矿a ：0〉aja(0)a 13 a，0〉 a (0) a 22)a23 a*b 21)f 2)33a 3?b 32)(n 1)(n 1)annn(n 1) ann xn』1)b n1 2 1 02 121 02 『2 2r 1r 32r10 0 0 6 2 r 2 『332 2 1 『4 3r 2 Ar 44r10 3 2 2 10 0 6 20 9 6 3 2 09 632110 2 1121 020 32 2 1 r4-r 3 232 2 1B0 0 0 6 2 0 0 0 6 20 031则B 即为所求的与 A 等价的阶梯形矩阵求逆矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步 :a ）将矩阵A 与冋阶的单位方阵 I 拼成(A, I) ;b ）对A 施行初等行变换，目标是将 A 变换成 I ;c ）当A 变换为时，原来的 I 变换成A 1，即（A,1）(I, A 1)主：若将A, I 拼成 A，只能施行初等列变换，A II A1?求矩阵A 的逆矩阵11 1A1 02 .1 2 11 11 1 0 01 11 1 0（ 1）『1解(A, 1)=1 020 1 00 1 1 1 112 1 10 0 1 『3『10 1 1 2 1 0 “『3『211 1 1 i 1 0 0『1 『『3 1 『3 0 0 ； 4 3 20 1 1! 11 0 0 1 0\ 32 10 0 1 : 2 1 『1 1 『20 0 1 21 14 3 2 1所以A 32 12 1 1。
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
消去法 结式
消去法（Elimination Method）1. 什么是消去法？消去法，也称为线性方程组的消元法，是一种用于求解多个线性方程组成的方程组的方法。
它通过不断地对方程组进行变换，将未知数的系数逐步消去，从而得到一个简化后的方程组。
最终，通过进一步求解这个简化后的方程组，可以得到所有未知数的值。
2. 消去法的基本原理消去法基于以下两个基本原理：2.1 主元素在一个线性方程组中，主元素是指每个方程中首次出现非零系数的变量对应的系数。
在消去法中，我们通过交换两个方程或者将某个方程乘以一个非零常数来保证每个方程中主元素都不为零。
2.2 消元操作在一个线性方程组中，我们可以通过以下三种操作来改变方程的形式：•将某个方程乘以一个非零常数；•将某两个方程相加（或相减）；•交换两个方程。
这些操作不会改变线性方程组的解集。
3. 消去法求解步骤使用消去法求解线性方程组可以分为以下几个步骤：3.1 确定主元素首先，我们需要在方程组中确定每个方程的主元素。
为此，可以通过观察每个方程中首次出现非零系数的变量对应的系数。
3.2 交换方程如果某个方程的主元素为零，我们可以通过交换两个方程来确保该方程的主元素不为零。
交换方程时，需要注意保持其他方程的顺序不变。
3.3 消元操作接下来，我们需要使用消元操作将未知数的系数逐步消去。
具体步骤如下：•首先，选择一个主元素非零的方程作为基准方程。
•然后，将其他所有方程中该未知数的系数乘以基准方程中该未知数对应的系数，并将乘积加到对应位置上，从而使其他所有方程中该未知数的系数变为零。
•重复以上步骤，直到所有未知数都只在一个方程中有非零系数。
3.4 解简化后的方程组最后，我们可以通过求解简化后得到的只包含一个未知数的简化线性方程组来求解原始线性方程组。
这可以通过反向代入法或者回代法来实现。
4. 消去法示例下面通过一个具体的例子来演示消去法的求解过程。
假设有如下线性方程组：2x + 3y - z = 7x - 2y + 4z = -13x + y - z = 6首先，我们确定主元素。
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
线性方程组的消元法与矩阵法
线性方程组的消元法与矩阵法线性方程组是数学中的一个重要概念，它广泛应用于物理、经济、金融等领域中。
在解决实际问题中，我们通常采用消元法和矩阵法来求解线性方程组。
一、线性方程组消元法消元法是一种代数方法，可以用来解决线性方程组。
这种方法的基本思想是先通过一系列等式变形，消去某些未知数，以便求出其他未知数。
这样，我们就能逐步减少未知数的数量，最终得出一个或多个未知数的值。
以三元一次方程组为例：$$\begin{cases}2x+3y-4z=9\\3x-2y+z=-6\\x+4y-3z=5\end{cases}$$消元法的一般步骤如下：1. 将方程组写成增广矩阵的形式。
$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & | & 9 \\ 3 & -2 & 1 & | & -6 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix} $$2. 选取一行或一列作为基准行或基准列，并通过列运算或行运算将其他行或列化成与之相似的形式。
3. 重复第2步，逐步消去所有未知数。
在这个例子中，我们选取第一行第一列的元素2作为基准元。
我们可以将第二行的第一列元素3变为0，通过将第二行乘以$-\frac{3}{2}$，再加到第一行上。
$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 & | & 9 \\ 0 & -\frac{13}{2} &\frac{11}{2} & | & -\frac{33}{2} \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix} $$然后，我们可以选取第二行第二列的元素$-\frac{13}{2}$作为基准元，将第三行的第二列元素4变为0，通过将第三行乘以$-\frac{1}{13}$，再加到第二行上。
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
精品课件
对于一般的线性方程组
第9讲：线性方程组的消元解法
课题：线性方程组的消元解法教学目的：掌握线性方程组的定义，矩阵表示式，消元解法教学重点：高斯消元法教学时数：二学时教学设计：I •引入课题在行列式的学习中，我们学到了克莱姆法则，可以利用行列式来解线性方程组，如X i X2 - X3 =0«2石+3x2+ x3 = 73石一2x2 _2x3 = -31 1由克莱姆法则，有D=2 33 -2故X1 = 1, x 2 =1,X3 =2。
克莱姆法则可以作为一种解方程组的方法，但计算量比较大，而且只能解方程个数与未知数个数相同的线性方程组，比较有局限性，今天开始，我们来学习普通的方程组的解法，并由此引入向量组的相关问题。
第三章线性方程组与向量组的线性相关性II .新课设计3.1线性方程组的消元解法一.线性方程组a“X1 +a12X2 +■八+amx n =6a21X1 +a22 X2 +"八+a2n X n =b2形如< 的方程组，称为线性方程组，若令i a m1X1 *a m2X2 衣*a mn x n =b ma11 a12 a1 n f 、X1A = a 21 a 22・・・a 2 n ---系数矩阵，X = X2 I----未知数矩阵，b = b2--常数矩阵。
& m1 a m 2・・・amn」2n」-1 0 1 -11 =16 , D1 =7 3 1 =16 ,-2 -3 -2 -21 1 02 3 7 =323 -2 -30 -17 1 =16 , D3-3 -2D2(6)线性方程组的分类若b =0，则线性方程组为 AX =0，称为齐次线性方程组 若b = 0，则线性方程组为 AX =b ，称为非齐次线性方程组 。
对于AX b 若只改变b = 0，则称AX 0为原方程组的到处方程组。
二•线性方程组的消元解法---高斯消元法例1 •解线性方程组（每写一个方程组，同时写出对应的增广矩阵）X i +X 2—X 3 =0r1 1 -1 0a,彳2X t + 3x 2 + x 3 = 72 3 1 7 --A3X i 一2x 2 一2X 3 = -33 J-2-2_3J解：(1)汉一2+(2), (1)疋 d +3X i +X 2 -X 3 =0 q 1 一 1b, <X 2 十3x 3 =71 3 1 —B一 5X 2 +X 3 = -3-51~2J(4) 5 - (5)d + X 2 - X 3 = 0 「11-1 0 ' < x 2 +3x 3 = 70 13 7 J6x 3 =321632」116X 1 + x 2 -x 3 =01 _1 0、X 2 — 3X 3 =7 0 1 3 7,X 3 =2<0 012」ai2ainb i 、 增广矩阵：(Ab )=a21a22・ ・a2nb 2i a m1am 2・ ・amnb n J则方程组可用矩阵可表示为:AX = b ---方程组的矩阵表示以后，要求能根据方程组写出增广矩阵, （举例说明）反之，给出增光矩阵，能写出对应的方程组。
数学消元法
数学消元法
数学消元法，也叫做高斯消元法，是一种求解线性方程组的有效方法。
线性方程组是一组由线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知量都是线性的，形如：a1x1 + a2x2 + … + anxn = b。
这种方程组在实际应用中非常常见，如经济学、物理学和工程学等领域。
消元法的基本思路是将方程组中的未知量逐一消去，从而达到求解的目的。
方法是通过“初等变换”来使方程组变换成一种容易求解的形式。
初等变换包括以下三种操作：
1. 交换任意两行或任意两列；
2. 用一个非零常数乘任意一行或任意一列；
3. 用一个非零数乘任意一行或一列，加到另外一行或一列上。
经过这些初等变换，原方程组将变换成形如三角形的方程组，易于求解。
这个过程被称为高斯消元法。
高斯消元法不仅可以用于解决线性方程组的问题，还可以用于求矩阵的逆、求解线性方程组的解空间等。
同时，消元法还具有一定的数值稳定性和误差小的特点，也是数值线性代数中的重要内容。
总之，消元法是解决线性方程组和相关问题的一种基本方法，它在实际应用中有着广泛的应用。
解线性方程组的消元法
注： 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) 1 E ( i , j ) ；
1 变换 ri k 的逆变换为 ri ， k 1 1 则 E ( i ( k )) E ( i ( )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri ( k )rj， 则 E ( ij ( k ))1 E ( ij ( k )) .
2 3 1 1
1 2 0 7 r r ( 4) x 2 x 7 0 6 5 24 ( 1 ) r r ( 2) 1 2 (1)( 4 ) ( 2 ) (1)( 2 ) ( 3) ( 2 ) 6 x 5 x 24 2 3 0 5 3 13 5 x2 3 x3 13 (3)
ai(1) 1 i (1) (2) a22
(i 3,
n)
照此消元，直至第 n 1步得到三角形方程组
(0) (0) (0) 0) a11 x1 a12 x 2 a13 x3 a1(n x n b1( 0) (1) (1) (1) (1) a x a x a x b 22 2 23 3 2n n 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a 3 x b n n 3 ( n 1) ( n 1) a x b nn n n
(0) 11
a12 a 22
a1n a2n
a n 2 a nn
a a a
(0) 13 (1) 23 ( 2) 33
b1 b2 a r r bn a
n n1 11
a21 r1 a11 a r3 31 r1 a11 r2
1_1消元法和初等矩阵
1 2
3
( B1 )
4 1 2
3
2 3 4
3 21
31
( B2 )
4
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x 4 3, 0 0,
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
r1 r2
r3 2
1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中最简 单的矩阵.
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2ri k ci k ; 3 ri krj ci kc j . 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相 同． 2. A 初等变换 B A ~ B.
（第 i 行乘 k , 记作 ri k）
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组
线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。
本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。
一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。
线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。
具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。
三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。
2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。
主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。
3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。
行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。
5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。
[理学]第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换
![[理学]第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换](https://img.taocdn.com/s3/m/2e1160d45acfa1c7ab00cc0f.png)
主讲人：何童
线性代数
教 材：《经济数学——线性代数》第二版 吴传生等编 高等教育出版社
参考书： 《线性代数》第五版
同济大学编 高等教育出版社
《线性代数》
居余马等编 清华大学出版社
《线性代数复习指导》
马杰编
机械工业出版社
第一章 线性方程组的消元法 和矩阵的初等变换
线性方程组的消元法 矩阵的初等变换
3x3 1 x3 5
x3 6
用“回代”的方法求出解：
阶梯形方程组
x1 9
x2
1
x3 6
x1 9
即：
x2
1
x3 6
小结：
1．用消元法解方程组的过程中，始终把方程 组看作一个整体变形，用到如下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
ij
（2）以不等于０的数乘某个方程；
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。
线性方程的线性组合：
将线性方程(1)和(2)分别乘两个已知常数 1, 2
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
1a11 2a21 x1 1a12 2a22 x2 1a1n 2a2n xn 1b1 2b2 (3)
称为原来两个方程(1)和(2)的一个线性组合，1, 2
第一节 线性方程组的消元法
一、线性方程组的基本概念
1. 线性方程组的定义
由一次方程构成的方程组称为线性方程组。
例如
2xx11
x2 x2
x3 x3
1 0
x1 5 x2 3x2 2
4
而方程组
x1
x32
x3
1 为非线性方程组。
2x1 x2 x3 0
线性方程组的一般表达形式 ：
线性方程组消元法
§1 线性方程组消元法引例：用消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解：为观察消元过程，我们将消元过程中每个步骤的方程组及与其对应的矩阵一并列出：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x ①←→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2836141722512 ① ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+1327202936223232321x x x x x x x ②←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/72/91232002 ② ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-+132130293622332321x x x x x x ③←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13062/132/91032002 ③ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-+20293622332321x x x x x x ④←→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20612/91032002 ④ 从最后一个方程得到X3=2，将其代入第二个方程可得到x2=3，再将x2=3 与X3=2一起代入第一个方程得到x1=1。
通常我们把过程①——④称为消元过程，矩阵④是行阶梯型矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯型方程组。
从上述过程可以看出，用消元法求解线性方程组的具体做法就是对方程组反复实施以下三种变换：（1） 交换某两个方程的位置；（2） 用一个非0数乘某一个方程的两边；（3） 将一个方程的倍数加到另一个方程上去。
以上三种变换称为线性方程组的初等变换。
而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组，显然这个阶梯形方程组与原方程组同解。
如果用矩阵表示其系数及常数项，则将原方程组化为阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程。
将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的，所以，同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介
消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式
线性方程组的一般形式可以表示为：
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ
其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤
（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用
消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：
（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结
消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法
在各个领域都有重要应用，如经济学、物理学和化学等。
通过深入理解消元法的原理和步骤，我们可以更好地应用它解决实际问题。