第一单元有余数的除法

第一单元有余数的除法本单元是紧接着二年级上册表内除法编排的。

人们进行除法计算，或是没有余数，或者有余数。

教学有余数的除法，能够拓展学生对除法的认识，让他们初步接触除法的试商，既巩固了表内除法，又为以后教学两、三位数除以一位数分散了难点，为教学除数是两位数的除法作了准备。

而且，本单元是除法计算从口算到笔算的过渡。

全单元编排三道例题，具体安排如下。

例题教学内容练习安排例1 余数的概念和有余数除法的含义例2 体会余数应该比除数小例 3 除法的竖式用竖式计算有余数除法练习一有余数除法的概念、竖式计算和解决实际问题从上表可以看到，本单元的教学内容包括：有余数除法的一些概念知识，除法的竖式计算，以及有余数除法的实际应用。

有余数除法知识和计算方法是教学重点，求商又是教学难点。

有余数除法仍然是解决平均分问题的一种计算，学生已经具有的除法概念在有余数除法里会继续应用并得到加强。

由于除法概念并没有新的教学内容，所以教材把利用有余数除法解决实际问题的教学，与有余数除法的知识教学和计算教学结合起来，不另外编排例题。

但是，有余数除法的商和余数，在实际问题里表示不同的意思，使用的单位名称有时相同、有时不同，这构成了教学的另一个难点。

“余数必须比除数小”是余数概念的本质特征，也是计算有余数除法需要遵循的基本规则。

教材专门编排一道例题，教学余数和除数之间的大小关系，让学生从具体到抽象、从感性到理性地理解余数一定比除数小的道理。

1. 让学生在分东西的活动中，先形成“有剩余”的表象，在此基础上，逐步建立“余数”和“有余数除法”的概念。

日常生活中经常要平均分东西，可能刚好全部分完，可能剩下一些不够再继续分。

学生在学习表内除法时，接触过许多正好全部分完的事例。

本单元教学有余数的除法，解决有剩余不够再分的问题。

例 1 着重教学有余数除法的概念，分两步帮助学生认识余数和有余数的除法。

首先安排分铅笔的操作活动，让学生感知平均分东西，有时能全部分完，有时会剩下一些，产生对余数的感性认识。

然后把平均分铅笔的事情数学化，用除法算式表示分法及其结果，联系有余数的除法算式教学余数的知识和有余数除法的含义。

例题创设的问题情境是：把10 支铅笔分给小朋友，每人2 支，可以分给几人？每人分3 支或4支、5 支，各可以分给几人？这是已经教学过的，“按每份是多少”进行的平均分。

学生能够理解这些问题，并自主进入“操作求解”的状态。

上面的平均分中，有些全部分完，有些没有全部分完。

教材要求学生把分的结果填入提供的表格里，观察表格反思上面的分铅笔活动，体验平均分10 支铅笔，有时能全部分完，有时会剩下一些不能继续分了，从而获得分东西可能会“有剩余”的感性认识。

例题教学的基础知识是：把有剩余的平均分写成有余数的除法算式。

学生已经知道平均分的问题可以用除法计算，已经会写出没有余数的除法算式，知道除法的商表示平均分的结果——每份多少或分成了几份。

现在教学有余数的除法算式，既要写、读有余数的除法算式，还要完整理解有余数除法算式所表示的具体含义，体会有余数除法算式的被除数、除数、商所表示的内容和表内除法算式一样，算式的余数表示还剩下的、不够再继续分的数量。

教学有余数的除法算式，教材为学生设计的学习线索是：接受并理解教材所作的示范T模仿教材写出有余数的除法算式。

（1）作出示范。

教材从学生操作以后所填写的表格里，提取“10 支铅笔，每人分3支，可以分给3人，还剩1支”这个事实，写出除法算式“ 10+ 3=3 （人）” 1 （支）”，指出算式里的“ 1 ” 是“余数”。

教学时需要带领学生了解算式中每一个数、每一个符号的具体意思，整体理解算式的含义，体会这道算式比表内除法多了“余数” ，这是由于平均分东西没有全部分完所造成的，从而知道这样的除法是“有余数的除法” 。

（2）模仿中体验。

教材要求学生根据“ 10 支铅笔，每人分4 支，可以分给2 人，还剩2 支”这个事实，写出相应的除法算式，初步学会有余数除法算式的写法和读法。

学生需要模仿上面已经写出的有余数除法算式来写，进一步体会有余数除法算式的被除数、除数、商的含义与表内除法一致，只是多了“余数”，学会在算式里表示余数的方法，感受有余数除法和表内除法的不同。

2. 让学生用小棒摆正方形，在摆的活动中进一步认识有余数的除法，发现并理解“余数必须比除数小”这个规律。

“余数都比除数小”使有余数除法的结果唯一。

学生掌握有余数的除法，应该理解除数和余数之间的这种关系。

“余数都比除数小”是一个比较抽象的数学规律，学生理解这个规律会有一些困难，他们需要丰富的感性认识为基础，经历感性认识上升成理性认识的过程。

例2 教学“余数都比除数小” ，安排学生进行摆正方形的活动。

创设的活动情境是：摆1 个正方形用4根小棒，摆2个正方形用8根小棒，像这样用12、13、14、15或16根小棒摆正方形，结果会怎样？学生遵照教材的安排，依次用12、13、14、15、16 根小棒摆正方形，并不困难。

他们根据摆的结果，也能在教材上填写表示各次操作过程的除法算式，以及反映各次操作结果的表格。

这就丰富了对有余数除法的认识。

教学时应引导学生深入思考这样几个问题：①用12根小棒或16 根小棒摆正方形，小棒正好用完，没有剩余；用13、14、15根1 根、2 根、3 根？小棒摆正方形，都有剩余的小棒，为什么剩下的小棒根数分别是②用12、13、14、15 根小棒都是摆成 3 个正方形，用16 根小棒摆成 4 个正方形，为什么多了1 个正方形？③如果用17、18、19、20 根小棒摆正方形，余数可能超过 3 吗？随着学生想明白这些问题，他们就理解了这里的余数只能是1、2、 3 的道理。

这样，“余数都比除数小”就不再是一个生硬的、机械记忆的知识，而是意义体验的一个数学规律。

练习一给出如下表格，要求学生计算并填表。

被除数15161718192021222324 除数3333333333 商余数教材指导学生观察余数的变化，发现表格里余数那一行从左到右依次是0、1、2、0、1、2,, ，感受余数不会是3或比 3 大的原因，又一次体会“余数一定比除数小”。

配合两道例题编排了一次“想想做做” ，着重帮助学生巩固余数的概念和有余数除法的含义，主要包括：根据摆小棒活动及其结果，写出有作数除法的算式；看着平均分物体的图画，写出有余数除法的算式。

指导学生练习这些题目，应要求学生以“把,, （什么），怎样平均分（每几个一份或平均分成几份），结果怎样、余多少”的方式，讲述操作活动和图画意思，并把这些内容写成有余数的除法算式。

应引导学生注意商的单位名称以及余数的单位名称，体会商表示平均分的结果，余数表示剩下的数量，商的单位和余数的单位有时相同，有时不同。

如果把总数量按每几个一份地分，商和余数的单位一般不同；如果把总数量平均分成若干份，商和余数的单位一般相同。

这次“想想做做” ，有余数除法算式的商和余数，都是由操作活动得出，或者从图中看出来，还不能通过计算得到。

3. 教学除法竖式，让学生理解竖式的结构，学会求商的思考方法，能够进行简单的除法笔算。

计算有余数的除法，要利用乘法口诀求商，要把商和除数相乘，要用被除数减商和除数的乘积。

如果把上述的这些计算写成竖式，记忆的负担就被分散，思维难度就会降低。

如果用口算进行有余数的除法，思维与记忆的难度相当大。

所以，教材让二年级学生笔算有余数的除法，不要求他们口算出商和余数。

计算有余数除法和计算表内除法一样，都利用乘法口诀求商。

但求出有余数除法的商，比计算表内除法难许多。

况且，表内除法的商与除法相乘的积刚好等于被除数，而有余数除法的商与除数的乘积小于被除数。

因此，本单元例3 教学除法笔算，由易到难地先安排表内除法的竖式，再教学有余数除法的笔算。

（1）教学表内除法的竖式，主要介绍竖式的结构以及书写格式。

除法竖式和学生已经熟悉的加、减法竖式很不一样，学生较难接受。

例除法的竖式，从解决实际问题切入：妈妈买了12 个苹果，每4 个放一盘，放了几盘？学生很容易列出除法算式12十4=3 （盘）。

教材告诉学生，除法也可以用竖式计算，同时给出了这道除法的竖式，并对竖式的各个部分作出解释。

教学这个竖式，要分两步进行。

3先教学表内第一步，介绍竖式的“除号”及其写法，指出被除数、除数、商的书写位置。

商除数）被除数3 4）1 2”对齐被除数的个位写第二步，讲述用竖式计算的过程，一般是“除一乘—减”三步。

“除”即利用乘法口诀“三四十二” 得出商3，写在被除数的个位上面；“乘” 即把商3和除数4 相乘，把乘积“ 12”对齐着写在被除数的下面（表示3盘分掉12 个苹果）；“减”即用被除数12 减去商与除数的乘积12，得到差“ 0”（表示苹果全部分完，没有剩余）。

3 4）1 21 20 ,, 商3乘除数4的积，分掉的苹果数” 12减12的差，苹果全部分完，没有剩余教学时，可以让学生试着写出9- 3、30十6的竖式，体会除法竖式的形式、结构以及书写格式，为接着教学有余数除法的笔算作好准备。

（2）教学有余数除法的笔算，重点放在“怎样求商”上面。

例 3 教学有余数除法的竖式计算时，分两步进行。

第一步，改变上面的实际问题，从表内除法引出有余数的除法，列出算式，让学生通过操作得出商和余数。

例题用图画给出12 个苹果，要求学生每5个放一盘，在图画中圈一圈，得出可以放 2 盘，还余2个，并填写除法算式12十5=口（盘）” □（个），把教学引入有余数的除法。

第二步，教学有余数除法的竖式计算，让学生体会求商的思考方法，并注意竖式中的余数。

学生已经知道被除数、除数、商在竖式中的位置，能够写出下面的样子：25）1 2（这时的商“ 2”是由操作得到的）学生也知道竖式中要写出商与除数的乘积，还要计算被除数减去商与除数的乘积，并写出差。

25）1 21 02,, 商2和除数5的乘积，表示2盘分掉10个苹果,, 12减10的差，表示还剩余2个苹果教学时，还要引导学生体会：竖式中的商“2”应该怎样想到。

联系前面进行的操作活动，可以这样想：“12 里最多有2个5，商2”，即12能够分出2个5，不够分出3个5，应该商2。

这是例题的教学重点，必须帮助学生掌握有余数除法的求商思考方法。

教学还要引起学生注意：由于苹果没有全部分完，有剩余，所以除法竖式中有余数。

竖式中的余数，是被除数减商与除数乘积的差。

学生学会有余数除法的笔算，需要一个过程，需要逐步学会求商的思考方法。

为此，“想想做做”里有以下的安排。

①第1 题仍然先操作学具，得出商和余数，然后用竖式计算，让学生继续体验有余数除法的竖式的写法。

这时的商，既是摆小棒活动得到的，也可以是在竖式上想“ 9 里最多有4个2”“11里最多有2个4”而得到的。

②第2题把有余数除法与和它相对应的表内除法组成题组，如16- 4的竖式与18- 4的竖式为一组，24十3的竖式与23十3的竖式为一组等，引导学生利用乘法口诀求有余数除法的商，从16-4商4,联想到18-4也商4 （因为18接近16,且稍大于16）;从24 十3商8，联想到23- 3商7。