概率论与数理统计答案_第四版_第1章(浙大)

1、写出下列随机试验的样本空间S：

（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）生产产品直到有10件正品为之，记录生产产品的总件数。

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查

结果。

（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。

(1)解：设该班学生数为n，总成绩的可取值为0,1,2,3，…，100n，

(2)解：S={10、11、12…}

所以试验的样本空间为S={i/n| i=1、2、3…100n}

(3)解：设1为正品0为次品

S={00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010}

(4)解：取直角坐标系，则S={（x，y）|x2+y2<1}

取极坐标系，则S={（ρ，θ）|ρ<1,0≤θ<2π}

2.设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

（1）A发生，B与C不发生

（2）A与B都发生，而C不发生

（3）A,B,C中至少有一个要发生

（4）A,B,C都发生

（5）A,B,C都不发生

（6）A,B,C中不多于一个发生

（7）A,B,C中不多于两个发生

（8）A,B,C中至少有两个发生

解：以下分别用D i（i=1,2,3,4,5,6,7,8）来表示（1），（2），（3），（4），（5），（6）,(7),(8)

AB C

（1）A发生，B与C不发生表示,A B,C同时发生，故D

1=

（2）A与B都发生，而C不发生表示A，B，C同时发生，故D2= AB C

（3）法一：A,B,C中至少有一个要发生由和事件定义可知，D3=A∪B∪C

法二：A,B,C中至少有一个要发生是事件A,B,C都不发生的对立面，即D3=ABC

法三：A,B,C中至少有一个要发生可以表示为三个事件中恰有一个发生，恰有两个发生或恰有三个发生，即D3=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC

(4) A,B,C都发生表示A,B,C都发生，故D4=A∪B∪C=ABC

(5) A,B,C都不发生表示ABC都不发生，故D5=ABC

(6)法一： A,B,C中不多于一个发生可以表示为三个事件中恰有一个发生或一个都不发生，即D6=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

法二：A,B,C中不多于一个发生可以表示为至少有两个不发生，即D6=AB∪AC∪BC

⋃⋃法三：A,B,C中不多于一个发生是至少有两个发生的对立面，即D6=AB AC BC

(7)法一： A,B,C中不多于两个发生即为三个事件发生两个，发生一个或者一个都不发生，即D7=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC

法二：A,B,C中不多于两个发生可以表示为至少有一个不发生，即D7=A∪B∪C

法三：A,B,C中不多于两个发生可以表示为三个都发生的对立面，即D7=ABC

(8)法一：A,B,C中至少有两个发生即为三个事件中发生两个或者三个都发生，即D8= ABC∪ABC∪ABC∪ABC

法二：A,B,C中至少有两个发生，即D8=AB∪AC∪BC

法三：A,B,C中至少有两个发生可以表示为三个事件只发生一个或一个都不发生的对立面，D8=AB U ACU BC

3（1）设A,B,C三个事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。

(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A∪B,A̅̅̅̅A̅̅̅,A∪A∪A,A̅̅̅̅A̅̅̅A̅̅̅,A̅̅̅A̅̅̅A,A̅̅̅A̅̅̅∪A的概率

（3）P(A)=1/2,

(A.)若A,B互不相容，求P(A A̅̅̅)

(B.)若P(AB)=1/8,求P(A A̅̅̅)

（1）P(A∪B∪C)

＝P（A）＋P（B）＋P(C) —P（AB）—P（AC）—P（BC）

＝3/4-1/8

＝5/8

（2）P(A∪B)

=P（A）+P（B）-P（AB）

=5/6-1/10

=11/15

P（⎺A⎺B）

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)

=P(A∪A

=1-P(A∪B)

＝1－11/15＝4/15

P(A∪B∪C)

＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）—P（AC）—P（BC）＋P（ABC）

＝17/20

P（⎺A⎺B⎺C）

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)

=P(A∪A∪A

=1-P(A∪B∪C)

＝1-17/20

＝3/20

P（⎺A⎺B C）

＝P（C）-P（AC）-P（BC）＋P(ABC)

＝7/60

P（⎺A⎺B∪C）

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∪C)

=P(A∪A

=1-P(A)-P(B)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)

＝7/20

（3）A.P（A⎺B）＝P(A)=1/2

因为AB不相容所以AB一个发生另一个一定不发生

B.P（A⎺B）＝P（A）-P（AB）＝3/8

4.设A,B是两个事件.

（1）已知A A̅̅̅=A̅̅̅A验证A=B.

（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB). 解：法一

（1）∵A A̅̅̅=A̅̅̅A，

∴(A A̅̅̅)∪(AA)=(A̅̅̅A)∪(AA),

∴A(B̅∪B)=B(A̅∪A),

∴AS=BS,

∴A=B.

（2）事件A与事件B恰有一个发生即事件A B̅ ∪ A̅B

P(A B̅ ∪ A̅B)

=P(A B̅)+P(A̅B)

=P[A(S-B)]+P[(S-A)B]

=P(A-AB)+P(B-AB)

=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-2P(AB)

法二

（1）∵A A̅̅̅=A−A ,AA̅̅̅=A−A;

又A A̅̅̅=AA̅̅̅，

∴A−B=B−A

∴A=B即证。

（2）原理同（1），

事件A与事件B恰有一个发生即事件A B̅ ∪ A̅B

即P(A B̅ ∪ A̅B)