近世代数练习题试题库

§1 第一章 根底知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

〔 〕1.2 A ×B = B ×A 〔 〕1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

〔 〕 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,那么ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

〔 〕1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，那么B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

〔 〕1.7 在整数集Z 上，定义“ 〞：a b=ab(a,b ∈Z)，那么“ 〞是Z 的一个二元运算。

〔 〕1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 假设A={0,1} , 那么A ⨯A=__________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，那么A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},那么A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 那么A ⨯A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，那么有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，那么()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，那么A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，那么共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，那么A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，那么A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合以下三个条件：_____________________________________________。

2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。

2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。

那么[][]⇔=b a ______________。

2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A ______________。

2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。

2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，那么由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n 〔F 〕中，规定等价关系~:A~B ⇔秩(A)=秩(B)，那么这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩(A)=秩(B)，那么这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20 假设 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ⇔秩(A)=秩(B),那么由〞~〞确定的等价类有_____________________个。

3 证明题：3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~〞：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~〞是A 的一个等价关系．3.2 在复数集C 中规定关系“~〞：||||~b a b a =⇔．证明：“~〞是C 的一个等价关系．3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n 中规定关系“~〞：||||~B A B A =⇔．证明：“~〞是)(F M n 的一个等价关系．3.4 设“~〞是集合A 的一个关系，且满足：〔1〕对任意A a ∈，有a a ~；〔2〕对任意A c b a ∈,,，假设,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~〞是A 的一个等价关系．3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~〞：⇔b a ~存在于G g ∈，使得ag g b 1-=．证明：“~〞是G 的一个等价关系．第二章 群论1 判断题：§2.1 群的定义.1.1 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G 对于这个乘法运算都是封闭的；(B)∀a,b,cG ，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G ，使得∀aG ，都有ea=a 成立；(D)∀aG ，都存在aG ，使得aa=e 成立。

那么G 关于这个乘法运算构成一个群。

( )1.2 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：A 〕G 对于这个乘法运算是封闭的；B 〕∀a,b,c ∈G ，都有〔ab 〕c=a(bc)成立；C 〕存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；D 〕∀a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。

那么G 关于这个乘法运算构成一个群。

〔 〕1.3 设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,那么G 构成群。

( )1.4 设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G 对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,那么G 对所给的乘法构成一个群。

( )1.5 实数集R 关于数的乘法成群。

〔 〕1.6 假设G 是一个n 阶群,aG,|a|表示a 的阶,那么|a|。

( )1.7 假设 |a|=2,|b|=7,ab=ba,那么|ab|=14。

1.8 设Q 为有理数集，在Q 上定义二元运算“ 〞，a b=a+b+ab(),(,, Q Q b a 则∈∀)构成一个群。

〔 〕§2.2 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

〔 〕1.10 一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.( )1.11 集合A 的所有的一一变换作成一个变换群。

〔 〕1.12 素数阶群都是交换群。

〔 〕1.13 p 〔p 为质数〕阶群G 是循环群．〔 〕1.14 素数阶的群G 一定是循环群.( )1.15 3次对称群3S 是循环群。

〔 〕1.16 任意群都同构于一个变换群．〔 〕1.17 有限群都同构于一个置换群。

( )1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。

〔 〕1.19 在5次对称群5S 中，(15)(234)的阶是6.( )1.20 在4次对称群S 4中，〔12〕〔324〕的阶为6。

〔 〕1.21 在5S 中，(12)(345)的阶是3。

( )1.22 任意有限群都与一个交换群同构。

〔 〕1.23 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。

〔 〕1.24 6阶群是交换群。

〔 〕。

1.25 4阶群一定是交换群。

〔 〕1.26 4阶群一定是循环群。

〔 〕1.27 循环群一定是交换群。

〔 〕1.28 设G 是群，a, b ∈G, |a|=2, |b|=3, 那么|ab|=6。

〔 〕1.29 14阶交换群一定是循环群。

〔 〕1.30 如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，那么G 与整数加群同构。

〔 〕1.31 有理数加群Q 是循环群。

〔 〕1.32 假设一个循环群G 的生成元的个数为2，那么G 为无限循环群。

〔 〕§2.3 子群、不变子群。

1.33 假设H 是群G 的一个非空子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，那么H 是G 的一个子群。

〔 〕1.34 假设H 是群G 的一个非空有限子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，那么H 是G 的一个子群。

〔 〕1.35 循环群的子群也是循环群。

〔 〕1.36 如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

〔 〕1.37 一个阶是11的群只有两个子群。

〔 〕1.38 有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。

〔 〕1.39 设G 是一个n 阶群，m|n ，那么G 中一定有m 阶子群存在。

〔 〕1.40 假设G 是60阶群,那么G 有14阶子群。

( )1.41 设G 是60 阶群，那么G 有40阶子群。

〔 〕1.42 阶为100的群一定含25阶元。

〔 〕1.43 阶为100的群一定含25阶子群。

〔 〕1.44 阶为81的群G 中，一定含有3阶元。

〔 〕1.45 设H 是群G 的一个非空子集，那么H H H G H =⋅⇔≤-1。

〔 〕1.46 设H 是群G 的一个非空子集，那么H H H G H ⊇⋅⇔≤-1。

〔 〕 1.47 群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

〔 〕1.48 群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. 〔 〕1.49 指数为2的子群不是不变子群。

〔 〕1.50 假设N ∆H,H ∆G ，那么N ∆G 。

( )1.51 假设N 是群G 的不变子群,N 是群N 的不变子群,那么N 是G 的不变子群。

( )1.52 设H ≤G ，K ≤G ，那么HK ≤G 。

〔 〕1.53 假设N N ，H G 那么NH G 。

〔 〕§2.4 商群、群的同态定理。

1.54 群之间的同态关系是等价关系。

〔 〕1.55 循环群的商群是循环群。

〔 〕1.56 设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，那么a 与f (a)的阶一样。

〔 〕1.57 设G 是有限群，H ≤G ， 那么||||||H G H G =。

〔 〕 1.58 假设ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，那么ϕ〔N 〕是G 的不变子群，且N G ≅)(N Gϕ 。

( )1.59 设f 是群G 到群-G 的同态映射，H ∆G ，那么 f(H)∆-G 。

〔 〕1.60 设f 是群G 到群-G 的同态映射， H ≤G 那么 f(H)≤-G 。

〔 〕1.61 假设是群G 到的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,那么(N)是的不变子群,且~。

1.62 假设是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N 的原象,那么()是G 不变子群,且≅。