概率专题及答案

概率专题
一、选择题（每题5分，共60分）
1.从{1,2,3,4,5}中随机选择一个数为a，从{1,2,3}中随机选择一个数为b，则b>a的概率是（）
（A ）4
5
(B)
3
5
（C）
2
5
(D)
1
5
2.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
3.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q 取自△ABE内部的概率等于（）
A．1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
4.为理解儿子身高与其父亲自高的关系，随机抽取5对父子的身高
数据如下：
父亲自高x（cm）174 176 176 176 178 儿子身高y（cm）175 175 176 177 177 则y对x的线性回归方程为（）
A.y = x-1
B.y = x+1
C.y = 88+ 1
2
x D.y = 176
5.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）
A. 6
B. 8
C. 10
D.12
6.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）
（A）
1
10
(B)
1
8
(C)
1
6
(D)
1
5
7.从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）
（A）
1
10
（B）
3
10
（C）
3
5
（D）
9
10
8.在集合{}
1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数m，则
m
n
=( )
（A）
2
15
（B）
1
5
（C）
4
15
（D）
1
3
9.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）
（A）
3
18
（A）
4
18
（A）
5
18
（A）
6
18
10.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男女总计
爱好40 20 60
不爱好20 30 50
总计60 50 110
由22
22
()110(40302030)
7.8
()()()()60506050
n ad bc
K K
a b c d a c b d
-⨯⨯-⨯
==≈
++++⨯⨯⨯
算得,
附表：
2
()
P K k
≥0．050 0．010 0．001
k3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的准确结论是（）
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别相关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别相关”
D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
11.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
A.91.5和91.5
B.91.5和92
C.91和91.5
D.92和92
12.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于
4
S
的概率是 ( ) A.
1
4
B.
1
2
C.
3
4
D.
2
3
二．填空题（每题4分，共16分）
13.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 14.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为理解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生实行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 .
15.(2011年高考江苏卷6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2
=s .
16.已知圆2
2
:12,C x y +=直线:4325.l x y +=则圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．
三、解答题（共74分）
17.（此题12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. （I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
18. （此题12分）编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录
(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相对应的空格：
(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i)
用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii) 求这2人得分之和大于50的概率.
19. （此题12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为
()1,2,,6n n =的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
（1）求第6位同学成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间()68,75中的概率．
20. （此题12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.
21. （此题12分）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A ，将其与原有的一个优良品种B 实行对照
试验，两种小麦各种植了
25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下： 品种A ：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414， 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454 品种B ：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397
397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430 （Ⅰ）完成所附的茎叶图
（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A 与B 的亩产量及其稳定性实行比较，写出统计结论。

22. （此题14分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. （1） 求z 的值.
（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下：9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
概率专题答案
一、选择题 1-5 DACCB 6.【答案】D
【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为31
155
=.应选D. 7.【答案】 D 8.【答案】 B
【解析】由题意，向量a 的个数为2×3=6，即()()()()()()2,1,2,3,2,5,4,1,4,3,4,5，可构成
平行四边形的个数为2
615C =,设构成平行四边形的两个向量坐标为()()1122,,,a b a b ，则平行四
边形的面积是1221||a b a b -，由1221||2a b a b -=，满足该条件的组合有
(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)，故概率为
31
155
=. 9.【答案】C
【解析】正方形四个顶点能够确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本领件。

两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本领件，所以概率等于518。

10.【答案】A
【解析】由2
7.8 6.635K ≈>，而2
( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A.
11.【答案】A
【解析】由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94， 96，所以其中位数为
91922+=91.5，平均数为1
8
（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，应选A 。

12.【答案】C 二、填空题 13.【答案】
1
3 【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个
的两倍的概率是21
63
=.
14.【答案】16
【解析】由题意知,抽取比例为3：3：8：6,所以应在丙专业抽取的学生人数为408
20
⨯=16. 15.【答案】3.2
【解析】考查方差的计算,能够先把这组数都减去6,再求方差,165
. 16.【答案】
16
【解析】由点到直线的距离公式可得2
2
25543
d ==+；可知圆心到直线的距离为5，要使圆
上点到直线的距离小于2，即1:4315l x y +=与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直
线的距离为3可知劣弧所对圆心角为
3π，故所求概率为1326
P π
π==. 三、解答题（共74分） 17.
（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62155
=. 18. (Ⅰ)4,6,6.
(Ⅱ)(i)解:得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,A A A A A A .从中随机抽取2人,所
有
可
能
的
抽
取
结
果
有
:
{}
34,A A ,
{}
35,A A ,
{}
310,A A ,
{}
311,A A ,
{}
313,A A ,
{}
45,A A ,
{}
410,A A ,
{}
411,A A ,
{}
413,A A ,
{}
510,A A ,
{}511,A A ,{}513,A A ,{}1011,A A ,{}1013,A A ,{}1113,A A ,共15种.
(ii)解:“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有: {}45,A A ,{}410,A A , {}411,A A ,{}510,A A ,{}1011,A A ,共5种. 所以P(B)=51
153
=. 19.
6
622222263470+76+72+70+72+175=90
61
6[(7075)(7675)(7275)(7075)(7275)(9075)]6
76906.
(2)52,76),,72),,70),x x s x ∴=∴=
-+-+-+-+-+-=∴=1111（）由题得位同学成绩的标准差第为同学的成绩，这位同学成绩的标准差为7从前位同学中任意选出位同学的基本事件个数有10个，它们是（70（70（70（705345343345345,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72)168,75)4,76),(76,72),(76,70),(76,72)2
. 5
=1。

其中恰有位同学的成绩在（之间的基本事件有个，它们是（704。

所以恰有1个同学的成绩在（68,75）之间的概率P=
1020.【解析】（I ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。

从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。

因此所求事件的概率为1/3。

（II ）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m, n ）有：
（1,1）(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2), (3,3) (3,4),(4,1) （4,2），（4,3）（4,4），共16个
有满足条件n ≥ m+2 的事件为（1,3） （1,4） （2,4），共3个 所以满足条件n ≥ m+2 的事件的概率为 P=3/16 故满足条件n<m+2 的事件的概率为
21.【思路】由统计知识可求出A 、B 两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了.
【解析】（1）茎叶图如图所示
A
B 9 7 35 8 7 36 3 5 37 1 4 8 38 3 5 6
9 2 39 1 2 4 457 7 5 0 40 0 1 1 3 6 7 5 4 2 41 0 2 5 6 7 3 3 1
42
2
4 0 0 43 0
5 5 3 44 4 1 45
（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据. （3）通过观察茎叶图，可以发现品种A 的平均每亩产量为411.1千克，品种B 的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A 的平均亩产量比品种B 的平均亩产量高.但品种A 的亩产量不够稳定，而品种B 的亩产量比较集中D 平均产量附近. ……12分 22．解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,
5010
100300
n =
+,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
40010005
m
=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710
. (3)样本的平均数为1
(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98
x =
+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75.08
6
=.。