小学数学分数裂项(20210723004735)

分数裂差

考试要求

（ 1）灵巧运用分数裂差计算惯例型分数裂差乞降

（ 2）能经过变型进行复杂型分数裂差计算乞降

知识构造

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法 .裂项分为分数裂项和整数裂

项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。碰到裂项的计算题时，要认真的

察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂

的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相像部分，让它们消去才是最根本的。

1、关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a b ，

b

a

那么有 1

b 1 (

1

1 )

a b a a b

2、关于分母上为 3 个或 4 个自然数乘积形式的分数，我们有：

1 1 [ 1 1 ]

n (n k ) ( n 2k) 2k n (n k ) ( n k)( n 2k )

1

(n 1 [ 1

2k ) (n

1 ]

n (n k ) ( n 2k) 3k) 3k n (n k) ( n k) ( n 2k ) (n 3k)

3、关于分子不是 1

k 1 1 的状况我们有：

k) n n k

n(n

h h 1 1

n n k k n n k

2k1 1

n n k n 2k n n k n k n 2k

3k1 1

n n k n 2k n 3k n n k n 2k n k n 2k n 3k

h h1 1

n n k n 2k2k n n k n k n 2k

h h1 1

n n k n 2k n 3k3k n n k n 2k n k n 2k n 3k

2

1 1 1

2n

2n 1 2n 1 1

2n 1 2n 1

2

二、裂差型裂项的三大重点特点：

（ 1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，可是只需将

x 提拿出来即可转变为分子都是

1 的运算。

（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”

（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。

重难点

（ 1）分子不是 1 的分数的裂差变型；

（ 2）分母为多个自然数相乘的裂差变型。

例题精讲

一、

用裂项法求

1

型分数乞降

n(n

1)

剖析：

1 型（ n 为自然数）

n(n 1)

由于

1

1

＝ n n 1

【例 1】 填空：

n

1 n 1

（ n 为自然数），因此有裂项公式：

1

1 1

n(n 1) n(n 1) n(n 1) n( n 1) n n 1

（1）1- 1

=

（ 2） 1

2 （3）

11

（ 4） 2 1

3 2

1

2 3

（ 5）

1 （6）

1

1 （7）

99 1

（8）

1

1

59 60

59 60

100

99

100

【考点】分数裂项

【难度】 ☆ 【题型】填空

【分析】（ 1）原式 = 1 ；（ 2）原式 =

1

1 ；（ 3）原式 =

2 1 ；（4）原式 = 1

1 ；（ 5）原式 = 1 1 ；

1 2

1 2 3

2 3 59 60 （ 6）原式 =

1 ；（7）原式 = 1

1 ；（ 8）原式 = 1 。

59 60

99 100 99 100

【答案】（ 1）

1

；（2）

1

1 ；（3） 1 3 ；（4）

1

1 ；（ 5） 1 1 ；（ 6） 59 1 ；（7） 1

1 ；

1 2

1 2

2 2

3 59 60

60 99 100

1 （8）

。

99 100

【稳固】 1 1 1 1 1 。

2 2

3 3

4 4

5 5 6

1

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空【分析】原式

1 1 1 1 1 1 1 1 5

1 2 2 3 5 6 1 6 6

【答案】5

。6

【例 2】计算： 1 1 (1)

10 11 11 12 60

59

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答

【分析】原式

1 1

(

1 1 1 1 1 1 1 ( )

11

) ...... (

60

)

60 12 10 11 12 59 10

1

【答案】。

【稳固】计算：

1 1 1 1 1

1985 1986 1986 1987 1995 1996 1996 1997 1997

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答

【分析】原式

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1985 1986 1986 1987 1995 1996 1996 1997 1997 1985 1

【答案】。

1985

【例 3】计算：1

1 2 2 4 ____。

2 6 15 35 77

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空【分析】原式

1 3

2 5

3 7 5 11 7

2 6 15 35 77

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

3 3 5 5 7 7 11

1

1

11

10

11

【答案】10

。

11