小学数学分数裂项(20210723004735)

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六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

分数裂项变形

裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
练习： 1 1 1 L
1
135 35 7 5 79
2001 2003 2005
【巩固】 4 4 ......
4
4
135 35 7
。
18
54
108
180
270
11 2 1 3 1 4 1 L 20 1
例 4： 2 6 12 20
420
【巩固】计算： 1 1 2 2 4 2 6 15 35 77
____。
1 1 1 1
1
例 5： 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6
6 7 8 9 7 8 9 10
【巩固】 3 3 ......
3
1 23 4 23 45
17 1819 20
5 7 L 19
．
例 6： 1 2 3 2 3 4
8 9 10
【巩固】计算：1155（ 5 7 L 17 19 ）
234 345
8 9 10 9 10 11
练习： 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） a b a b 1 1 （2） a2 b2 a2 b2 a b
ab ab ab b a
ab ab ab b a
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为

小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)

教师版
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【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】原式
=251 16
×

1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。

(小学奥数)分数裂项

本講知識點屬於計算大板塊內容，其實分數裂項很大程度上是發現規律、利用公式的過程，可以分為觀察、改造、運用公式等過程。

很多時候裂項的方式不易找到，需要進行適當的變形，或者先進行一部分運算，使其變得更加簡單明瞭。

本講是整個奧數知識體系中的一個精華部分，列項與通項歸納是密不可分的，所以先找通項是裂項的前提，是能力的體現，對學生要求較高。

分數裂項一、“裂差”型運算將算式中的項進行拆分，使拆分後的項可前後抵消，這種拆項計算稱為裂項法.裂項分為分數裂項和整數裂項，常見的裂項方法是將數字分拆成兩個或多個數字單位的和或差。

遇到裂項的計算題時，要仔細的觀察每項的分子和分母，找出每項分子分母之間具有的相同的關係，找出共有部分，裂項的題目無需複雜的計算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

(1)對於分母可以寫作兩個因數乘積的分數，即1a b⨯形式的，這裏我們把較小的數寫在前面，即a b <，那麼有1111()a b b a a b=-⨯- 知識點撥教學目標分數裂項計算(2)對於分母上為3個或4個連續自然數乘積形式的分數，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我們有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂項的三大關鍵特徵：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，複雜形式可為都是x(x 為任意自然數)的，但是只要將x 提取出來即可轉化為分子都是1的運算。

（2）分母上均為幾個自然數的乘積形式，並且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”（3）分母上幾個因數間的差是一個定值。

二、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。

分数裂项课件

分数裂项ppt课件
CONTENTS
目录
• 分数裂项简介 • 分数裂项的技巧 • 分数裂项的实例解析 • 分数裂项的练习题及解析 • 分数裂项的总结与展望
CHAPTER
01
分数裂项简介
分数裂项的定义
01
分数裂项是一种数学技巧，用于将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或简化表达式的形式。
绩。
分数裂项在数学竞赛和高考中具有广泛应用，是数学学习的重要
内容之一。
分数裂项的未来发展方向
随着数学教育的不断发展和改革，分数裂项技巧的教学方法和手段也需要不断更新和完善。
未来可以探索更多分数裂项在实际问题中的应用，例如在物理、化学等其他学科中的应用。
可以通过开展跨学科的研究，将分数裂项与其他数学技巧和方法进行结合，以更好地解决各种复杂的数学问题。
解析：这道题是分数裂项的基础题，通过将两个分数相乘，得到一个新的
分数。
答案：$frac{1}{4}$
题目：计算 $frac{3}{4} times frac{4}{3}$
解析：这道题同样是分数裂项的基础题，通过将两个分数相乘，得到一个新的分数。
答案：$1$
进阶练习题
题目
计算 $frac{1}{2} times frac{3}{5} + frac{2}{3} times frac{4}{7}$
分数裂项在日常生活中的应用
分数裂项不仅仅在数学题目中有应用，在日常生活中也有广泛的应用。
例如，在购物时经常会遇到折扣和优惠券的问题，这时可以通过分数裂项来计算最优的购买方案。例如，对于折扣$frac{3}{10}$，可以将其拆分为$frac{1}{3} + frac{2}{10}$，分别代表直接折扣和满额折扣，从而帮助消费者更好地理解优惠方案。

小学数学(分数裂项)

分数裂项本课将学习通过巧妙的计算将题目变简（一）分数裂差：1丶直接裂差：形如ba b a a b a b b a a b 11--=⨯⨯=⨯-此时，不难发现，当分母为两个数的乘积，分子正好为这两个数的差值时，可以将这个数裂为两个数作差（后面简称裂差）.2丶间接裂差：形如）（ba abc b a a b a b c b a c b a c 111-⨯-=⨯-⨯-=-⨯=⨯此时，不难发现，当此时分子并不为分母两数差值时，也可以裂项，不过此时会多了一个系数a b c-3丶多数裂差：形如ba b a c b a a c b a c c b a a c ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-1-1-此时，不难发现，当此时分母不为两数乘积时，也可裂和，两数裂成1个1个的作差，三数裂成两个两个的作差，同理多数，且此时差值由大减小决定（二）分数裂和：4丶裂和：形如ba b a a b a b b a a b 11+=⨯+⨯=⨯+当分母为两个数的乘积，分子正好为这两个数的和，这类型的数，可以直接裂和（三）平方差公式：()()22b a b a b a -=-+（四）思路剖析：5丶首先得明白这类型题的一个考察形式，目的就是让我们分数间相互抵消，或者相互凑整.6丶口诀：①：连加连减必裂差②：加减混合必裂和③：连乘必定会约分例题一：（1）3130130291131211211111101⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ （2）5614213012011216121++++++例题二：10098398963863643423⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ 例题三：1009799981079874654132⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题四：12200720083420092010200620072008200820092010200720082009201020082010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+例题五：10099981543143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题六：101100991543974329832199⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题七：10432994328432332211⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ 例题八：）（）（999819776135493251011-515019831992101011⨯++⨯+⨯+⨯⨯⨯++⨯+⨯+⨯自我巩固巩固一：871761651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯巩固二：56174216301520141213612211++++++巩固三：101982141121182852⨯++⨯+⨯+⨯ 巩固四：22122166161151174743422211+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯巩固五：103211432113211211++++++++++++++ 巩固六：2019201943433232212122222222⨯+++⨯++⨯++⨯+ 巩固七：12959697459899100959697989910096979910097100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+ 巩固八：）（）（）（）（10219211043213214)321()21(3++⨯++++++++⨯+++++⨯+拓展练习拓展一：1311241192097167512538314⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯拓展二：11010990897271565542413029201912116521+++++++++拓展三：）（）（）（（））（）（（））（（20171141131121120171411311211413112113121121++++++++++++++ 拓展四：120171201712015120151717151513132222222222-++-+++-++-++-+拓展五：（21191727532531219172752532311114382⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯++⨯+⨯+⨯ 拓展六：10981943273215⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 拓展七：272624231986517643154211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯。

分数裂项六种题型

分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。

以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。

2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。

二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。

以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。

2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。

三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。

以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。

2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。

四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。

其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。

以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。

解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。

五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。

以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。

解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。

六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

分数的裂项公式

分数的裂项公式分数的裂项公式是一种重要的数学公式，它可以将一个分数拆分成若干个分数的和，从而简化计算。

在学习和应用该公式时，需要理解其基本概念，掌握运用技巧，并注意一些常见的注意事项。

首先，我们来看一下裂项公式的基本概念。

裂项公式是指，对于任意一个分数a/b，可以将其拆分成若干个形如c/d的分数之和，即：a/b = c1/d1 + c2/d2 + … + cn/dn其中，c1、c2、…、cn和d1、d2、…、dn分别为分子和分母，它们满足以下条件：1. 所有的ci和di都应为正整数；2. 分子和分母的最大公约数为1，即gcd(ci, di) = 1；3. 所有的di均不为0。

其次，我们来讨论一下裂项公式的运用技巧。

在实际应用中，我们通常根据分母的因数来分解分数，具体步骤如下：1. 对于分数a/b，我们先找出它的一组互质的分母d1、d2、…、dn，使得d1 × d2 × … × dn = b；2. 根据这组分母，我们分别将a/b表示成如下形式：a/b = (a × d1)/(b × d1) + (a × d2)/(b × d2) + … + (a × dn)/(b × dn)3. 然后，我们对每个拆分分数进行简化，即求出它们的最简形式；4. 最后，将这些最简形式的分数相加，得到a/b的裂项表达式。

需要指出的是，裂项公式的应用不仅局限于分式的计算，还可以在一些数学问题中起到很好的辅助作用。

例如，在求解一些无理数的连分数表示时，就可以利用裂项公式将无理数拆分成分数的和，进而得到连分数的展开式。

最后，我们来谈一谈在应用裂项公式时需要注意的一些事项。

首先，要保证拆分的所有分数都是正整数，而且每个分数的分母都不为0。

其次，为了简化计算，应该选择一个合适的分母进行拆分，以尽量减小后续计算的难度和错误率。

此外，在进行裂项计算时，还应避免因未简化分数而造成计算错误，以及注意计算结果的范围是否正确。

1、分数的裂项(裂差)

第1讲分数的裂项（裂差）【内容综述】在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：1）1+2+3+⋯+n =()12n n +； 2）1⨯2+2⨯3+⋯+n ⨯(n +1)=()()123n n n ++； 3）1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+⋯+n ⨯(n +1)⨯(n +2)=()()()1234n n n n +++； 4）1⨯n +2⨯(n -1)+3⨯(n -2)+⋯+(n -1)⨯2+n ⨯1=()()126n n n ++； 5）()()()()222222+12+224626n n n n ⨯⨯++++= ；（n 为偶数） 6）()()()22222122+1135216n n n n -⨯⨯++++-= ；（n 为奇数） 7）2222123n ++++ =()()1216n n n ++； 8）3333123n ++++ =()2123n ++++ =()2214n n +；这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以咔咔抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）11111111111223341n n n n n--+-+-++-=-=- 裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法．11b a a b a b -=-⨯，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭．例1. 计算：111112233499100++++⨯⨯⨯⨯ =________；【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式．【解答】原式=1111111112233499100-+-+-++- =111100-=99100【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！例2. 计算：123101224474656++++⨯⨯⨯⨯ =_______；【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题．【解答】原式=21427456461224474656----++++⨯⨯⨯⨯ =111111111224474656-+-+-++- =11156- =5556【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果．例3. 计算：1111255881198101++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13，然后裂差吧．【解答】原式=133333255881198101⎛⎫++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=1111111113255881198101⎛⎫-+-+-++- ⎪⎝⎭=11132101⎛⎫- ⎪⎝⎭=33202【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项．例4. 计算：11111353575799799101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？【解答】原式=1111111114133535575779979999101⎛⎫-+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11141399101⎛⎫- ⎪⨯⨯⎝⎭=8339999【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ⎛⎫+-=⨯=⨯- ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⎝⎭； ()()11()()111()2()2()()n p n p n p n n p p n p n n p p n p n n n p ⎛⎫+--=⨯=⨯- ⎪-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎝⎭．同学们不妨记住两个分数裂差公式：1）1111122334(1)1n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯++ ； 2）111111112323434(1)(2)22(1)(52)n n n n n ⎛⎫++++=- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯++⨯+⎝⎭ ．例5. 计算：11111121231234123100+++++++++++++++ =_________；【分析】分母先使用公式：1+2+3+⋯+n =()12n n +，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：1⨯2，2⨯3，3⨯4，4⨯6，……，可以直接裂项了．【解答】原式=11111251223103441001⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=101121⎛⎫- ⎪⎝⎭=200101【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律．例6. 计算：222222221223342012016122334201201556++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算．【解答】原式=1111222212233420120165⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（共2015项） =11112201122334201552016⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝+⎭ =1403012016⎛⎫- ⎪⎝⎭+ =201540302016【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++===+=+-+++++，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦．同时裂差法不单单只用于分数的连加裂项，也适用于整数的裂项，以及分数的特殊裂项，如1）1+2+3+4+⋯+100（使用裂差法）=_________；（提示：(1)(1)2n n n n n +--=） 2）232012222+++++ （使用裂差法）=_________；（提示：2n n n =-）3）1239121231234123410++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；（提示：1111123123123(1)!!n n n n n n n -=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- ）【练习题】1. 计算：11111223344950++++⨯⨯⨯⨯ =__________；2. 计算：1111144771097100++++⨯⨯⨯⨯ =__________；3. 计算：()()()()()2310011212123129912100+++⨯++⨯+++++⨯+++ =__________；4. 计算：2341011212231223341223100101++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯++⨯ =__________；5. 计算：()()()()22221223349910012233499100++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【参考答案】1、4950； 2、33100； 3、50495050；、 4、27573434； 5、99396100；。

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ （二）用裂项法求1()n n k +型分数求和分析：1()n n k +型。

（n,k 均为自然数）因为11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++（三）用裂项法求()k n n k +型分数求和分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数）11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k-+（四）用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和分析：2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++（五）用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六）用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++记忆方法：1.看分数分子是否为1；2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一；3.不是1时不用再乘；4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

分数裂项PPT课件

答案
4/5。
练习题二及答案
练习题二
计算1/3+1/15+1/35+1/63的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到1/3=1/1-1/3, 1/15=1/3-1/5, 1/35=1/5-1/7, 1/63=1/7-1/9。然后将这些分数相加，得到原式 =1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9=1-1/9=8/9。
裂项的局限性
分数裂项法虽然可以化简一些复杂的分数，但是其适用范围有限，不能解决所
有数学问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的数学方法，综合考虑各种方法的
优缺点。
另外，裂项法在处理一些特殊情况时可能会遇到困难，例如分子中含有未知数
的情况，需要谨慎处理。
05
分数裂项的练习题与答案
练习题一及答案
答案
5/6。
THANKS
感谢观看
其次，要确保分子经过裂项后能够相互抵消，留下非零常数。
最后，要确保整个等式在裂项后仍然成立，可以通过代入法进行
验证。
裂项的适用范围
分数裂项法适用于有理函数的计算，特别是有理函数求极限、求积分等问题。
对于一些难以直接化简的复杂有理函数，分数裂项法可以将其转化为容易处理的形式，简化计算过程。
需要注意的是，裂项法并不适用于所有函数，特别是无理函数、三角函数等。
答案
8/9。
练习题三及答案
练习题三
计算(2^2)/(2^2+4^2)+(3^2)/(3^2+4^2)+(4^2)/(4^2+4^2)的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到(2^2)/(2^2+4^2)=2/(2+4), (3^2)/(3^2+4^2)=3/(3+4), (4^2)/(4^2+4^2)=4/(4+4)。然后将这些分数相加，得到原式=2/(2+4)+3/(3+4)+4/(4+4)=5/6。

(完整版)六年级奥数-分数裂项(最新整理)

2
2
2
2
2
2
2
2
= 16 × ( +
+
+
+
+
+
+)
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7 7×8 8×9
1 11
11
= 16 × 2 × (1 ‒ 2 + 2 ‒ 3 + … + 8 ‒ 9)
【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 _______ 6 12 20 30 42 56 72 90
【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
10 17 - 7 26 30 - 4
=
=
119 17 × 7 120 30 × 4
38 41 - 3 27 31 - 4
=
=
123 41 × 3 124 31 × 4
教师版
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【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 3 2 5 7 4+5 3+7 3+8 5+7+7 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 4×5 + 3×7 + 3×8 + 5×7
【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42
23
1
25
【巩固】 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16
2000 2004 2004 2008

小学数学知识点《分数裂项》教师版

本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程.很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了.本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高.分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差.遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的.(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的,我们有:1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++知识点拨教学目标分数裂项计算1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征:（1）分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算.（2）分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值.二、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的.【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ .【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛,小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为:111113355779+++⨯⨯⨯⨯,计算过程就要变为:111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭．【答案】56【巩固】111 (101111125960)+++⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111111((......()101111125960106012=-+-++-=-=例题精讲【答案】112【巩固】2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭ 112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715=【答案】715【例 2】111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题.此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律.从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯,112(12)212232==+⨯+⨯,……, 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【例 3】1111133********++++=⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】111111111150(113355799101233599101101++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯ …）【答案】50101【巩固】计算:1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯,初赛,六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【巩固】2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】台湾,小学数学竞赛,初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭25150150121151********=⨯==【答案】211532【巩固】计算:3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】12【例 4】计算:11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式11111282446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯ （） 1111111128224461618=⨯-+-++-⨯ （） 1164218=-⨯（） 4289=【答案】4289【巩固】11111111612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯,初赛,六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为:11111111612203042567290+++++++1111111123344556677889910112==2105=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-【答案】25【巩固】11111113610152128++++++= 【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111212312341234567=+++++++++++++++++2221233478=++++⨯⨯⨯111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74=【答案】74【巩固】计算:1111111112612203042567290--------＝【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111(22334910=--+-++- 111(2210=--110=【答案】110【巩固】11111104088154238++++=.【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭1115321734⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】计算:1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛,总决赛,二试【解析】原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11110040034132003200512048045⎛⎫=⨯-=⎪⨯⨯⎝⎭【答案】100400312048045【例 6】7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭-⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯71111111461123357913123+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭-4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336【例 7】计算:11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】小数报,初赛【解析】原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++-12021012102121=+-=【答案】2021021【巩固】计算:11111200820092010201120121854108180270++++= .【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯,6年级,1试【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 51005054=【答案】51005054【巩固】计算:1122426153577++++= ____.【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【答案】1011【巩固】计算:1111111315356399143195++++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为:232113=-=⨯,2154135=-=⨯,……,21951411315=-=⨯,所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715=【答案】715【巩固】计算:15111929970198992612203097029900+++++++= ．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】四中【解析】原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111199122399100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭ 1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭198100=【答案】198100【例 8】111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭=【答案】35144【巩固】计算:1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111149494949(212991002990019800=⨯-=⨯=⨯⨯【答案】494919800【巩固】计算:1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯)＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【巩固】4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】11111111((......()(133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11139799=-⨯⨯32009603=【答案】32009603【巩固】999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯ 98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯ 97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...( (123234345991001012334100101)=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()(2422101002101101=⨯⨯---=【答案】5124101【例 9】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】1192160【巩固】333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】11396840【例 10】计算:57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2．相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315=也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为23n +,所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【答案】2315【巩固】计算:5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （）【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】迎春杯,初赛,五年级【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+,734=+,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445*********=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155=所以原式31115565155=⨯=．（法二）上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列,而等差数列的通项公式为a nd +,其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式,再将a 与nd 分开,每一项都变成两个分数,接下来就可以裂项了．571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111222223434589109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111112223343445910101134451011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 1111122231011311⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭11223413112220311422055=-+-=-=,所以原式31115565155=⨯=．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055=+--=所以原式31115565155=⨯=．（法四）对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式:21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =,3, (9)如果将分子21n +分成2n 和1,就是上面的法二;如果将分子分成n 和1n +,就是上面的法一．【答案】651【巩固】计算:3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即:原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式:23154=⨯+,24264=⨯+,25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75616【例 11】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【例 12】123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯115040=-50395040=【答案】50395040【巩固】计算:23993!4!100!+++= . 【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯ 112100!=-【答案】112100!-【例 13】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【答案】12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】2111(12)112=-⨯++,311(12)(123)12123=-+⨯+++++,……,10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++ ,所以原式1112100=-+++ 15049150505050=-=【答案】50495050【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++ （）【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式234101(133********=-++++⨯⨯⨯⨯ 1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭ 11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=【答案】155【例 14】22222211111131517191111131+++++=------. 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】这题是利用平方差公式进行裂项:22()()a b a b a b -=-⨯+,原式111111(((()(()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111(244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯1113()214214=-⨯=【答案】314【巩固】计算:222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(123454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】2111131(1(1)22222-=-⨯+=⨯,2111241(1)(133333-=-⨯+=⨯,……所以,原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】计算:222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478=-+-+-++- 2118=-6364=【答案】6364【巩固】计算:222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996=【答案】9979971996【巩固】计算:22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】2221310213+=-,2222420318+=-,22235344115+=-,……由于104233=,204288=,34421515=,可见原式222244442222213141991=++++----1111298413243598100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭199196329900=+-⨯47511984950=【答案】47511984950【巩固】计算:22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-,241-,261-,……,21001-,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭ 222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++ ⎪----⎝⎭ 1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101=【答案】6312101【例 15】5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】56677889910111111113(...(56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042++++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第三届,祖冲之杯,人大附中【解析】原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算:1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】123791117253571220283042+++++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式12311111121133573445475667=++++++++++++11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334=【答案】334【巩固】1111120102638272330314151119120123124+++++++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127=【答案】127【巩固】35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦11111111782334788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭211110=-=【答案】10【巩固】计算:57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111111111111(()(()()(()(23344556677889910=-+++-+++-+++-+++11312105=-+=【答案】35【巩固】11798175451220153012++++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式111111112111453445355646=+++++++++++ 111124523456=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3【例 16】22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1232341918192021919 (21736)2123431819201912020=++++++++++=+⨯+=【答案】193620【巩固】11112007111(......(......)120072200620062200712008120062200520061++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式=2008111200711(...(...200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711(...(...200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007(...(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=1111(2008200720072015028⨯+=【答案】12015028【例 17】计算:11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 11491502550=+-=【答案】4950【例 18】计算:24612335357357911++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯【解析】 135134135135=【答案】135134135135【例 19】计算:28341112222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯【解析】所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【解析】 921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379399。

分数裂项法总结

裂项法的注意事项
在使用裂项法时，需要注意以下几点：首先，要确保拆分的分数是正确的，即拆分后的分数之差或商等于原分数；其次，要注意运算的优先级，确保计算的准确性；最后，要注意简化计算过程，尽可能减少计算的复杂度。
此外，对于一些特殊的分数，如分母为平方数或立方数的分数，可以使用特定的裂项法进行计算，以简化计算过程。
分数裂项法之立方差法
立方差法的概念
立方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的立方差，可以简化计算过程。
立方差法的应用
立方差法在数学和工程等领域中都有广泛的应用。例如，在解决几何问题时，立方差法可以帮助我们更好地理解和计算立体图形的体积。
立方差法技巧
在使用立方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
平方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的平方差，可以简化计算过程。
平方差法的应用
平方差法在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在解决代数问题时，平方差法可以帮助我们更好地理解和计算表达式的值。
平方差法的技巧
在使用平方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
分数裂项法在日常生活中的应用
在日常生活中，我们也会遇到许多涉及到分数的问题，如时间、金钱等。通过运用分数裂项法，我们可以更好地理解和处理这些问题。
例如，在时间管理中，可以将一天的时间拆分成小时、分钟等部分，以便更好地安排工作和休息时间；在理财中，可以将一笔钱拆分成不同的用途和投资方式，以便更好地实

裂项分数公式(一)

裂项分数公式(一)
裂项分数公式
什么是裂项分数公式
裂项分数公式是一种用于表示分数的公式，其特点是分母为连续递增或递减的整数。

裂项分数公式通常用于解决数学问题中的分数运算或数列问题。

常见的裂项分数公式
1. 裂项分数的递增分母公式
当分母递增时，裂项分数可以表示为以下形式：
[F1](
•例子：
假设分母是递增的等差数列，公差为d，首项为a，裂项分数可以表示为：
[F2](
2. 裂项分数的递减分母公式
当分母递减时，裂项分数可以表示为以下形式：
[F3](
•例子：
假设分母是递减的等差数列，公差为d，首项为a，裂项分数可以表示为：
[F4](
3. 裂项分数的特殊公式
有些裂项分数具有特殊公式，如：
•连续奇数分母的裂项分数：
[F5](
•连续偶数分母的裂项分数：
[F6](
4. 裂项分数的收敛性
裂项分数的部分公式可以收敛于一个确定的值，例如：
•连续奇数分母的裂项分数：
[F7](
可以证明，当n趋向于无穷大时，该分数收敛于π/4。

总结
裂项分数公式是一种用于表示分数的特殊形式，可以用于解决数学问题中的分数运算和数列问题。

常见的裂项分数公式包括分母递增
和递减的情况，以及具有特殊公式的情况。

部分裂项分数具有收敛性，可以收敛于一个确定的值。

分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a bb a ab =-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

分数裂项计算教学目标知识点拨二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a ba ba bb a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b aba b a ba ba bba+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。