微积分模拟试卷及答案

微积分模拟试卷及答案

一、填空题：(7×4'=28'） 1、x

x x 1

sin

lim ∞

→= 1 2、已知函数

⎪⎩

⎪⎨⎧=≠-=-001)(cos )(2

x a x x x f x 在x=0连续，则a= 0

3、若)0('f =2，则0

()(0)

lim

2x f x f x

→-= 1

4、曲线),(,+∞-∞∈=x xe y x

的拐点坐标为 (-2，-2e -2) 5、若⎰

-=dx xe x f x cos )(，则)('x f = e -x cosx

6、曲线3

50xy e y x +-=在(0，-1)处的切线方程为

21y x =-

7、x x y ln 22

-=，则y 在]3,3

1[上的最小值与最大值

2ln 21

+

与 3ln 18-

二、计算题：(7×8'=56') 1、)1ln(2x x y ++=，求'y

解：2

2

2

2222

21111111221)'1(11

'x

x

x x x

x x x x x

x x x x y +=

+++++=++++

=++++=

2、x

x

y cos =，求y 的微分dy

解： x x x

e x y ln cos cos ==

)ln sin cos ()cos ln sin ('cos ln cos x x x

x

x x x x x e

y x x

x -=+

-= dx x x x

x

x

dy x

)ln sin cos (

cos -=∴ 3、x

x x

x x 2

sin sin 1tan 1lim

+-+→ 4

1)sin 1tan 1(cos 21lim )sin 1tan 1(cos sin cos 1lim )

sin 1tan 1(sin )

cos cos 1(sin lim

)sin 1tan 1(sin sin tan lim 2200

2020

=

+++=+++-=+++-=+++-=→→→→x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

4、1lim )(cos lim 0cos sin lim

cos ln lim

cos ln 1

10

00=====-→→→→e e

e

e

x x x

x x x x

x x x x x

5、c e dt e

e e e dt t

t t t t

+=+=+⎰⎰-arctan 12 6、⎰

⎰⎰-+

=-=dx x

x x x x xd x x xdx 2

1arccos arccos arccos arccos

c x x x x x

d x x +--=---=⎰22

21a r c c o s 1)

1(21a r c c o s

7、

15

222

522

221555

2arcsin arcsin

(21)5

515

1()142

2

x t

dx dt x t dt dx dx t c x c x x x t -==

-=

==+=-++----=⎰⎰⎰

令 三、证明：(2×8'=16') 1、证明：0>x 时，x x +>+12

1

1 证：令x x x f +-+

=12

1

1)(， 则x x f +-=12121)('

0>x ，0)('>∴x f ，则)(x f 在),0(+∞上单调增加 又0101)0(=-+=f ，0)0()(=>∴f x f ，即012

1

1>+-+x x )0(12

1

1>+>+

∴x x x

2、设0>>b a ，证明b

b

a b a a b a -<

<-ln 证：设x x f ln )(=

x x f ln )(= 在[b,a]上连续，在(b,a)内可导，则)(x f 在[b,a]上满足lagrange 定理 ∴至少存在一点),(a b ∈ξ有 ))((')()(b a f b f a f -=-ξ

即)(1

ln ln b a b a -=

-ξ

，a b <<<ξ0 ，b

a 1

110<<<

∴ξ b

b

a b a b a a b a -<-=<-∴

)(1ln ξ 即原式成立。

鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。四周的花儿，紫的，黄的，白的，红的，竞相开放。大红花儿，张着大嘴，放声歌唱；灯笼花儿，随风摇坠，四处飘香；剑兰花儿，形态独特，毫不逊色。它们与荷塘之景交相辉映，美不胜收此时，我的心情兴奋到极点，好久好久没有看过如此美的景色了。若果我有一双会画画的手，我定把这如痴如醉的荷塘活色生香的描绘一番；若果我有一部高像素的相机，我定不放过每个花开的镜头；若果我是一个诗人，我定把这荷塘每片光鲜艳丽的色泽融入人生的诗篇。我更期待，期待盛夏的荷塘色，期待那更加妖娆多姿，色泽鲜艳的荷花，期待初夏生机勃勃、挥汗如雨的激情生活！