高三数学总复习 不等式的综合应用教案

城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学总复习不等式的综合应用
教案A版
1.(必修5P102习题7改编)函数y＝x＋(x≠0)的值域是________．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析：当x>0时，y＝x＋≥2＝4，当x<0时，y＝x＋＝－≤－2＝－4.
2.(必修5P102习题9改编)某种产品按以下三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．
答案：方案丙
解析：设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为A＝A；方案乙：经两次提价后价格为A；方案丙：经两次提价后价格为A＝A[1＋＋.因为>，所以方案丙提价最多．
3.(2021·联考)设x∈R，f(x)＝，假设不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，那么实数k 的取值范围是________．
答案：k≥2
解析：不等式化为k≥＋，因为∈(0，1]，所以k≥2.
4.(2021·期中)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，那么x＋2y的最大值为________．
答案：2
解析：作出可行域为正方形，4个顶点分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)，那么z＝x＋2y 过点(0，1)时最大值为2.
[备课札记]
题型1含参数的不等式问题
例1假设不等式组的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围．
解：由x2－x－2>0有x＜－1或者者x＞2，
由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.
因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.
由(2x＋5)·(x＋k)＜0有－＜x＜－k.
因为原不等式组的整数解只有－2，
所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，
故k的取值范围是[－3，2)．
不等式(－1)na<2＋对任意n∈N*恒成立，务实数a的取值范围．
解：当n为奇数时，－a＜2＋，即a＞－.
而－≤－3，那么a>－3；
当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，
所以a＜.
综上可得：－3<a<.
题型2不等式在函数中的应用
例2函数f(x)＝在区间[－1，1]上是增函数．
(1)务实数a的值组成的集合A；
(2)设x1、x2是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，假设对任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，务实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝，
因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时，
f′(x)≥0恒成立，
令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．
解得－1≤a≤1.
所以A＝{a|－1≤a≤1}．
(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.
设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝＝，因为a∈[－1，1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3，
不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，
即m2＋tm－2≥0恒成立．
设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，那么
解得m≥2或者者m≤－2.
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
设a，b＞0，且ab＝1，不等式＋≤λ恒成立，那么λ的取值范围是________．
答案：[1，＋∞)
解析：因为ab＝1，所以＋＝＋＝≤＝1，所以λ≥1.
题型3不等式在实际问题中的应用
例3某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？
解：设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，那么t＝＝，
y＝灭火劳务贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
＝125xt＋100x＋60(500＋100t)
＝125x×＋100x＋30000＋
＝100(x－2)＋＋31450
≥2＋31450＝36450，
当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36450元．
某拟建一块周长为400 m的操场，如下列图，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
解：设中间矩形区域的长，宽分别为xm，ym，
中间的矩形区域面积为Sm2，那么半圆的周长为m.
∵操场周长为400 m，所以2x＋2×＝400，
即2x＋πy＝400.
∴S＝xy＝·(2x)·(πy)
≤·＝.
由解得
∴当且仅当时等号成立．
即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大．
1.(2021·模拟)关于x的不等式x2－ax＋2a＜0的解集为A，假设集合A中恰有两个整数，那么实数a 的取值范围是________．
答案：∪
解析：设方程x2－ax＋2a＝0的两根为x1、x2，那么1<|x1－x2|＝≤3，解得4＋<a≤9或者者－1≤a<4－.当4＋<a≤9时，考虑抛物线的对称轴，因为4<<≤，集合A中恰有两个整数即4和5，所以5－<≤－3，解得<a≤9；当－1≤a<4－时，考虑抛物线的对称轴，因为－≤<<0，集合A中恰有两个整数即－1和0，所以－(－1)<≤1－，解得－1≤a<－.
2.(2021·)函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A，假设A，那么实数a的取值范围是________．
答案：
解析：由题意得0∈A，所以f(0＋a)<f(0)，即a(1＋a|a|)<0，显然a<0，解得－1<a<0，函数f(x)＝x(1＋a|x|)是奇函数且图象中两条抛物线的对称轴x＝，x＝－之间的间隔大于1，而－1<a<0，所以f(x＋
a)<f(x)的解集为，所以(－，－－)，解得<a<.又－1<a<0，所以<a<0.
3.(2021·模拟)假设a>0，b>0，且＋＝1，那么a＋2b的最小值为________．
答案：
解析：2a＋4b＋3＝(2a＋4b＋3)·＝[(2a＋b)＋3(b＋1)]·＝1＋＋＋3≥4＋2，所以a＋2b≥.
4.(2021·)设a＋b＝2，b>0，那么当a＝________时，＋获得最小值．
答案：－2
解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当＝且a<0取等号，
即a＝－2，b＝4.
1.(2021·模拟)假设对满足条件x＋y＋3＝xy(x＞0，y＞0)的任意x、y，(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围是________．
答案：
解析：x＋y＋3＝xy≤，所以x＋y≥6，那么a≤x＋y＋，因为上述不等式右边的的最小值为6＋＝，故a≤.
2.(2021模拟)实数x、y满足不等式那么的取值范围是________．
答案：
解析：作出可行域，求得∈，令t＝∈，那么＝＋t2，求导可得＋t2在上递减，在(1，2)上递增，故＝＋t2∈.
3.(2021·模拟)设P(x，y)为函数y＝x2－1(x＞)图象上一动点，记m＝＋，那么当m最小时，点P的坐标为________．
答案：(2，3)
解析：m＝＋＝6＋＋.
当且仅当＝，即x＝2时m获得最小，此时点P的坐标为(2，3)．
4.(2021·模拟)x、y为正数，那么＋的最大值为________．
答案：
解析：设t＝∈(0，＋∞)，那么令f(t)＝＋＝＋，求导得f(t)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
故所求的最大值为f(1)＝2 3
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1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或者者解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用根本不等式求最值问题．
不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联络，充分利用数学思想和数学方法解题．
2.建立不等式的主要途径有：利用根本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等．
3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验．
[备课札记]。