三角形的定义性质

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定义

由三条边首尾相接组成的内角和为180°(一定是180°,这个是个准确的数!)的封闭图形叫做三角形

三角形的内角和

三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。

三角形分类

(1)按角度分

a。锐角三角形:三个角都小于90度。并不是有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐角三角形。

b.直角三角形(简称Rt 三角形):

⑴直角三角形两个锐角互余;

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

⑶在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。;

⑷在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°(和⑶相反);

c。钝角三角形:有一个角大于90度(锐角三角形,钝角三角形统称斜三角形).

d.证明全等时可用HL方法

(2)按角分

a.锐角三角形:三个角都小于90度。

b.直角三角形:有一个角等于90度。

c。钝角三角形:有一个角大于90度.

(锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形)

(3)按边分

不等腰三角形;等腰三角形(含等边三角形)。

解直角三角形(斜三角形特殊情况):

勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”)

a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如:3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.

常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26;等等

三角形的性质

1。三角形的任何两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一。

4。直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

5.三角形的外角(三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角)等于与其不相邻的两个内角之和。

6.一个三角形最少有2个锐角。

7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段。

8.等腰三角形中,等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。

9。勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系(a^2+b^2=c^2。)那么这个三角形就一定是直角三角形。

10。三角形的外角和是360°.

11。等底等高的三角形面积相等。

12。底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比.

**13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

**14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

16.全等三角形对应边相等,对应角相等。

17。三角形的重心在三条中线的交点上。

**18在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度.

(包括等边三角形)三角形的边角之间的关系

(1)三角形三内角和等于180°(在球面上,三角形内角之和大于180°);

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

(5)在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边。

(6)三角形中的四条特殊的线段:角平分线,中线,高,中位线.

(注①:等腰三角形中,顶角平分线,中线,高三线互相重叠

②:三角形的中位线是两边中点的连线,它平行于第三边且等于第三边的一半)

**(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.

**(8)三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.

**(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。特殊三角形

1。相似三角形

(1)形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形

(2)相似三角形性质

相似三角形对应边成比例,对应角相等

相似三角形对应边的比叫做相似比

相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方

相似三角形对应线段(角平分线、中线、高)之比等于相似比

若a、b、b、c成比例,即a:b=b:c,则称b是a和c的比例中项

(3)相似三角形的判定

【1】三边对应成比例则这两个三角形相似

【2】两边对应成比例及其夹角相等,则两三角形相似

【3】两角对应相等则两三角形相似

2。全等三角形

(四)、全等三角形

(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

(2)全等三角形的性质.

全等三角形对应角(边)相等。

全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等。

(3)全等三角形的判定

① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形)】

寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法:

3。等腰三角形

等腰三角形的性质:

(1)两底角相等;

(2) 两条腰相等;

(3)顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;

等腰三角形的判定:

(1)等角对等边;

(2)两底角相等;

4。等边三角形

等边三角形的性质:

(1)顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;

(2)等边三角形的各角都相等,并且都等于60°.

等边三角形的判定:

(1)三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形;

(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

三角形的面积公式

(1)S△=1/2ah (a是三角形的底,h是底所对应的高)

(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC (三个角为∠A∠B∠C,对边分别为a,b,c,参见三角函数)

(3)S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)][p=1/2(a+b+c)](海伦-秦九韶公式)

(4)S△=abc/(4R) (R是外接圆半径)

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