7.4二项分布与超几何分布- 人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

1.伯努利实验

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验

2.n 重伯努利实验

我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利实验，显然，n 重伯努利实验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n 次 ②各次试验的结果相互独立

3. 二项分布

一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0＜P ＜1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为，

()()

1n k

k k

n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =

如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作()

,X B n p

注意：

二项分布的均值与方差

(1)二项分布的均值:在n 次独立重复试验中,若X~B(n,p)，则E(X )=np.

(2)二项分布的方差:若离散型随机变量X 从二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).

1.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表

示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为()

k n k

M N M

n

N

C C

P X k

C --

==，k=m,m+1,m+2,…，r

其中n，N，M*

N

∈,M N

≤,n N

≤,{}

max0,

m n N M

=-+,{}

min,

r n M

=,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布

2.超几何分布的均值

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n

件产品中的次品数.令p=M

N

, 则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率,则E(

X

n

)=p,即E(X)=np.

例题1.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至

少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为2

3

，如果甲各次投篮投中与否注意：

超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体

容量但需要知道“成功率”;超几何分布中的概率计算实质是

古典概型问题;二项分布中的概率计算实质是相互独立事件

的概率问题.

互不影响，那么甲3个轮次通过的次数 X 期望是（ ）

A. 3

B. 8

3

C. 2

D. 5

3

【答案】 B

【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为 P =1

3×2

3+2

3=8

9 ，通不过的概率为 p̅=1

9 ， 由题意可知，甲3个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0,1,2,3 ， 则 P(X =0)=(1

9)3=

1729 ；

P(X =1)=C 31

×89×(1

9)2=24

729 ； P(X =2)=C 32×(8

9

)2×1

9

=

193729

； P(X =3)=(23

)3=

8

27(89

)3=

512729

，

数学期望 E(X)=0×

1729

+1×

24729

+2×192729+3×

512729

=8

3

，

或由二项分布的期望公式可得 E(X)=3×89

=83

， 故答案为：B ．

例题2.已知随机变量与满足分布列 ξ~B(3,p) ，当 p ∈(12,2

3) 且不断增大时，（ ） A. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 减小 B. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 增大 C. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 增大 D. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 减小

【答案】 A

【解析】依题意得 P(ξ=2)=C 32p 2

(1−p) =−3p 3+3p 2 ， 令 f(p)=−3p 3+3p 2 ，则 f ′(p)=−9p 2+6p =−9(p −13)2+1 ，

当 p ∈(12,2

3

) 时， f ′(p) 为递减函数，所以 f ′(p)>f ′(2

3

)=−9(2

3

−1

3

)2+1=0 ，

所以 f(p) 在 (12,23

) 上为单调递增函数，即当 p ∈(12,2

3

) 且不断增大时， P(ξ=2) 的值增大.

D(ξ)=3p(1−p)=−3(p −12)2+34 在 (12,23) 上为单调递减函数，即当 p ∈(12,2

3) 且不断增大时， D(ξ) 减小.

故答案为：A.

例题3.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色

后放回，连续摸取3次，设 ξ 为取得红球的次数，则 P(ξ=2)= （ ） A. 4

25 B.

36125

C. 925

D.

54

125

【答案】 B

【解析】由题意知， ξ~B(3,1

5) ，由二项分布的概率计算公式得 P(ξ=2)=C 32

⋅(2

5)2⋅3

5=36

125 ，

故答案为：B 。

例题4.2020年底某网购公司为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2020年下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．

（1）求这20个会员对售后服务满意的频率；

（2）以（1）中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员． （i ）求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

（ii ）记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为 X ，求 X 的数学期望与标准差（标准差的结果精确到0.1）． 【答案】 （1）解：由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为

1420

=0.7

（2）解：（i ）设只有1个会员对售后服务不满意的事件 A ，则 P(A)=C 31×0.3×0.72=0.441 ；

（ii ）因为 X~B(3,0.7) ，所以 EX =3×0.7=2.1 ， DX =3×0.7×0.3=0.63 ， √DX ≈0.8 【解析】 （1）根据题意由雷达图可知及其频率的定义即可得出； （2）（i ）设只有1个会员对售后服务不满意的事件A ，利用二项分布列的概率计算公式即可得出； （ii ） 由二项分布的性质把数值代入到期望和方差的公式计算出结果即可。

例题5.某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为 p （ p 为常数且 0