7.4二项分布与超几何分布- 人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

1.伯努利实验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验2.n 重伯努利实验我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利实验，显然，n 重伯努利实验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n 次 ②各次试验的结果相互独立3. 二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0＜P ＜1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为，()()1n kk kn P X k C p p -==-0,1,2,,k n =如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作(),X B n p注意：二项分布的均值与方差(1)二项分布的均值:在n 次独立重复试验中,若X~B(n,p)，则E(X )=np.(2)二项分布的方差:若离散型随机变量X 从二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).1.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为()k n kM N MnNC CP X kC --==，k=m,m+1,m+2,…，r其中n，N，M*N∈,M N≤,n N≤,{}max0,m n N M=-+,{}min,r n M=,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2.超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN, 则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率,则E(Xn)=p,即E(X)=np.例题1.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否注意：超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量但需要知道“成功率”;超几何分布中的概率计算实质是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质是相互独立事件的概率问题.互不影响，那么甲3个轮次通过的次数 X 期望是（ ）A. 3B. 83C. 2D. 53【答案】 B【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为 P =13×23+23=89 ，通不过的概率为 p̅=19 ， 由题意可知，甲3个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0,1,2,3 ， 则 P(X =0)=(19)3=1729 ；P(X =1)=C 31×89×(19)2=24729 ； P(X =2)=C 32×(89)2×19=193729； P(X =3)=(23)3=827(89)3=512729，数学期望 E(X)=0×1729+1×24729+2×192729+3×512729=83，或由二项分布的期望公式可得 E(X)=3×89=83， 故答案为：B ．例题2.已知随机变量与满足分布列 ξ~B(3,p) ，当 p ∈(12,23) 且不断增大时，（ ） A. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 减小 B. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 增大 C. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 增大 D. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 减小【答案】 A【解析】依题意得 P(ξ=2)=C 32p 2(1−p) =−3p 3+3p 2 ， 令 f(p)=−3p 3+3p 2 ，则 f ′(p)=−9p 2+6p =−9(p −13)2+1 ，当 p ∈(12,23) 时， f ′(p) 为递减函数，所以 f ′(p)>f ′(23)=−9(23−13)2+1=0 ，所以 f(p) 在 (12,23) 上为单调递增函数，即当 p ∈(12,23) 且不断增大时， P(ξ=2) 的值增大.D(ξ)=3p(1−p)=−3(p −12)2+34 在 (12,23) 上为单调递减函数，即当 p ∈(12,23) 且不断增大时， D(ξ) 减小.故答案为：A.例题3.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设 ξ 为取得红球的次数，则 P(ξ=2)= （ ） A. 425 B.36125C. 925D.54125【答案】 B【解析】由题意知， ξ~B(3,15) ，由二项分布的概率计算公式得 P(ξ=2)=C 32⋅(25)2⋅35=36125 ，故答案为：B 。

例题4.2020年底某网购公司为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2020年下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．（1）求这20个会员对售后服务满意的频率；（2）以（1）中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员． （i ）求只有1个会员对售后服务不满意的概率；（ii ）记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为 X ，求 X 的数学期望与标准差（标准差的结果精确到0.1）． 【答案】 （1）解：由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为1420=0.7（2）解：（i ）设只有1个会员对售后服务不满意的事件 A ，则 P(A)=C 31×0.3×0.72=0.441 ；（ii ）因为 X~B(3,0.7) ，所以 EX =3×0.7=2.1 ， DX =3×0.7×0.3=0.63 ， √DX ≈0.8 【解析】 （1）根据题意由雷达图可知及其频率的定义即可得出； （2）（i ）设只有1个会员对售后服务不满意的事件A ，利用二项分布列的概率计算公式即可得出； （ii ） 由二项分布的性质把数值代入到期望和方差的公式计算出结果即可。

例题5.某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为 p （ p 为常数且 0<p <0.9 ），乙产品的正品率为 p +0.1 .生产1件甲产品，若是正品，则可盈利4万元，若是次品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是正品，则可盈利6万元，若是次品，则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.（1）记 X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，若 E(X)=8.2 ，求 p ； （2）在（1）的条件下，求生产4件甲产品所获得的利润不少于11万元的概率. 【答案】 （1）解：由题设知， X 的可能取值为10，5，2，-3， 且 P(X =10)=p(p +0.1) ， P(X =5)=(1−p)(p +0.1) ，P(X =2)=p(1−p −0.1)=p(0.9−p) ， P(X =−3)=(1−p)(1−p −0.1)=(1−p)(0.9−p) . 所以 X 的分布列为：所以 E(X)=−3(1−p)(0.9−p)+2×p(0.9−p) +5×(1−p)(p +0.1)+10×p(p +0.1)=13p −2.2 ， 因为 E(X)=8.2 ，所以 13p −2.2=8.2 ，解得 p =0.8 .（2）解：设生产的4件甲产品中正品有 n 件，则次品有 4−n 件， 由题意知， 4n −(4−n)≥11 ，则 n =3 或 n =4 .所以 P =C 43×0.83×0.2+0.84=0.8192 . 故所求概率为0.8192. 【解析】（1）利用已知条件可知随机变量 X 的可能取值为10，5，2，-3， 进而求出随机变量X 的分布列，再利用随机变量X 的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X 的数学期望，再结合已知条件 E(X)=8.2 ， 从而求出p 的值。

（2） 在（1）的条件下， 设生产的4件甲产品中正品有 n 件，则次品有 4−n 件， 由题意知， 从而求出n 的值，进而结合互斥事件求概率公式和二项分布求概率公式，从而求出生产4件甲产品所获得的利润不少于11万元的概率 。

例题6.棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n 站的概率为P n ．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明： P n+1−p n =−12(p n −p n−1)(1≤n ≤98) ； （3）求P 99 ， P 100的值．【答案】 （1）解：由题意得X 的可能取值为3，4，5，6， P （X ＝3）＝（ 12）3=18，P （X ＝4） =C 31(12)3=38 ， P （X ＝5） =C 32(12)3=38，P （X ＝6）＝（ 12 ）3=18 ． ∴X 的分布列如下：P18383818∴ E(X)=3×18+4×38+5×38+6×18=92 ．（2）证明： 根据题意，棋子要到第 (n +1) 站，由两种情况，由第 n 站跳1站得到，其概率为 12P n ，也可以由第 (n −1) 站跳2站得到，其概率为 12P n−1 ，所以， P n+1=12P n +12P n−1 ．等式两边同时减去 P n 得 P n+1−P n =−12P n +12P n−1=−12(P n −P n−1)(1≤n ≤98) ； （3）解：由（2）可得 P 0=1 ， P 1=12， P 2=12P 1+12P 0=34．由（2）可知，数列 {P n+1−P n } 是首项为 P 2−P 1=14 ，公比为 −12 的等比数列， ∴P n+1−P n =14⋅(−12)n−1=(−12)n+1 ，∴P 99=P 1+(P 2−P 1)+(P 3−P 2)+⋯+(P 99−P 98)=12+(−12)2+(−12)3+⋯+(−12)99=12+14[1−(−12)98]1−(−12)=23(1−12100) ，又 P 99−P 98=(−12)99=−1299 ，则 P 98=23(1+1299) ，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有 P 100=12P 98=13(1+1299) ．【解析】首先根据题意求出满足题意的X 的取值。

再由已知条件求出每个数值对应下的概率值，由此得到X 的分布列，再把数值代入到数学期望的公式计算出结果即可。