江苏省2021年普通高校“专转本”选拔考试高等数学真题答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．选择题 1-5 B C C A B D 二．填空题
7-12 2
-e 128 dx x x n
)ln 1(+ 5 2ln ]6,0(
三．计算题
13、求极限)
1ln(2
cos 2lim 320x x x x x +-+→．
原式=3
0304202sin lim 4sin 22lim 2cos 2lim x x
x x x x x x x x x x -=-=-+→→→
12
1621lim 6cos 1lim 22
020==-=→→x x
x x x x
14、设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩
⎪⎨⎧
+=-
=t
t y t
t x ln 212所确定，求22,dx y d dx dy ． 原式=t t t t dt dx dt dy dx dy 211222=++==12112)()(2
22
22+=+===t t t
dt dx dt dx dy
d dx dx dy d dx y d
15、求不定积分⎰+dx x x 2cos 1
2．
原式=
⎰⎰⎰+-+=+=+)12(tan tan )12(tan )12(cos 1
22x xd x x x d x dx x x
C x x x xdx x x +++=-+=⎰
cos ln 2tan )12(tan 2tan )12(
16、计算定积分
dx x x ⎰-2
1
1
21
． 原式=令t x =-12，则原式=
613arctan 211
22
13123
1
2π==+=+⎰⎰
t dt t dt t t t
17、已知平面∏通过)3,2,1(M 与x 轴，求通过)1,1,1(N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．
解：平面∏的法向量)2,3,0(-=⨯=→→→i OM n ，直线方向向量为)3,2,0(--=⨯=→
→→i n S , 直线方程：3
1
2101--=
--=-z y x
18、设函数)(),(2
2
y x xy x f z ++=ϕ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有二阶
连续导数，求y
x z
∂∂∂2．
解：x y f f x
z
221⋅'+⋅'+'=∂∂ϕ
ϕ''⋅⋅+''+'+⋅''=∂∂∂y x f xy f x f y x z 22222122
19、已知函数)(x f 的一个原函数为x
xe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．
解：x
x
e x xe x
f )1()()(+='=，先求044=+'+''y y y 的通解，特征方程：0442
=++r r ， 221-=、r ，齐次方程的通解为x e
x C C Y 221)(-+=.令特解为x e B Ax y )(+=*， 代入原方程得：1969+=++x B A Ax ，有待定系数法得：
⎩⎨⎧=+=19619B A A ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧
==27191B A ，所以通解为x x e x e x C C Y )27191()(22
1+++=-
20、计算二重积分⎰⎰D
ydxdy ，其中D 是由曲线1-x y =，直线x y 2
1
=
及x 轴所围成的平面闭区域． 原式=⎰
⎰
+=
1
21
212
1
y y
dx ydy .
四．综合题
21、在抛物线)0(2
>=x x y 上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为
3
2
，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 解：设P 点)0)(,(02
00>x x x ，则02x k =切，切线：)(2,002
0x x x x y -=- 即x x x y 02
02,=+，由题意
3
2
)2(2
00
02
0⎰
=-+x dy y x x y ，得20=x ，)4,2(P πππ15
16
)44(2
1
22
4=
--=⎰⎰x d x x d x V x
22、已知定义在),(+∞-∞上的可导函数)(x f 满足方程3)(4)(31
-=-⎰
x dt t f x xf x
，试求：
（1）函数)(x f 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点． 解：（1）已知3)(4
)(31
-=-⎰
x dt t f x xf x
两边同时对x 求导得：23)(4)()(x x f x f x x f =-'+
即：x y x
y 33
=-
'，则323cx x y +-=由题意得：2)1(-=f ，1=c ，则323)(x x x f +-= （2）2,0,063)(212
===-='x x x x x f 列表讨论得在),2()0,(+∞⋃-∞单调递增，在
)2,0(单调递减。极大值0)0(=f ，极小值4)2(-=f
（3）1,066)(==-=''x x x f
列表讨论得在)1,(-∞凹，在),1(+∞凸。拐点)2,1(-
五、证明题
23、证明：当10< 6 1arcsin x x x +>． 解：令0)0(,61arcsin )(3 =- -=f x x x x f ,0)0(,21111)(22 ='---= 'f x x x f