《高等几何》复习大纲、样题及答案全

5、二次曲线的点坐标方程为 ，则其线坐标方程为是
二、选择题（每小题2分，共10分）
1.下列哪个图形是仿射不变图形？( D )
A.圆B.直角三角形
C.矩形D.平行四边形
2. 表示( C )
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点
C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点
2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。
3.二阶曲线的射影分类。
二次曲线的仿射性质和度量性质
一、要求和考试内容
1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。
(一)
一、填空题（每题2分，共10分）
1、平行四边形的仿射对应图形为：；
2、线坐标（1，2，1）的直线的齐次方程为：；
5.(6分)求由两个射影线束 ， ， 所构成的二阶曲线的方程。
解：由题意：
（2分）
由上式得： （2分）
故所求方程即为
6.(8分) 试求二次曲线Γ： +2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。
二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
∴二次曲线为常态的，
设中心
D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点
3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( B )
A.一次B.两次
C.三次D.四次
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A )：
A. 三角形的垂心 B. 梯形
C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆
5.二次曲线按射影分类总共可分为( B )
∴当x=0及x= 时两种坐标相等。
4.（8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
设射影变换的方程为： （2分）
由题意知：a+ ,
,6a+3b+2c+d=0
得到：
故射影变换方程为： （4分）
二重元素满足： 得 =7/3或 =1
（3）
3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0,E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？
解：（i）由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）=
（4分）
(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有 ，即3x2－7x=0，
（分割比）， （2分）
且P在直线x+3y-6=0上，
解得λ=1， （2分）
即P是AB中点，且（ABP）=－1
2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求
（1）l的齐次坐标方程；
（2）l上无穷远点的坐标；
（3）l上无穷远点的方程。
（1） （2分）
（2）（1，1/2，0） （2分）
2、求射影变换 的固定元素。
3、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明。
四、证明题（每题12分，共24分）
1、叙述并证明布利安桑定理。
2、设（AB、CD）=-1，O为CD的中点，则OC2=OA·OB（此题为有向线段）
参考答案
一、填空题
1、平行四边形
2、
3、（2，-3，0）
4、 AC , BD
5、保持公共元素不变
二、作图题
1、每三点不共线的五个点，两两连线。
对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。
对偶图形 就是自己
三、计算题
1解 设所求仿射变换为 在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得 ， 由以上方程联立解得： ＝2 ， =2 , =-1 , =- , =-2 , =
3.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，
则(2，1，-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1，0，0)
∴
得 μ1=1
又 (2，1，-1)+μ2(1,-1,1)相当于(1，5，-5)
∴
得 μ2=-
所求交比为
4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束
x1-λx3=0与x2- x3=0 ( = )所决定的.
一、要求
1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。
2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。
3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。
4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。
5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。
二、考试内容
A.4类B.5类
C.6类D.8类
三、判断题（每小题2分，共10分）
1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（×）
2.两直线能把射影平面分成两个区域。（√）
3.当正负号任意选取时，齐次坐标 表示两个相异的点。（×）
4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此
射影变换一定是对合。（√）
3、直线 上的无穷远点坐标为：；
4、设(AB,CD)= ，则点偶调和分割点偶；
5、两个射影点列成透视的充要条件是；
二、作图题（每题6分，共6分）
1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。
三、计算题（每题10分，共30分）
1、求仿射变换式使直线x＋2y－1＝0上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）
4.解：∵ = (1)
把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）=0 （2） 由（2）去括号，移项，分解因子，得2（OA·OB+OC·OD）=（OA+OB） （OC+OD） 2（OA·OB- OC2）=（OA+OB）·0 ∴ OA·OB-OC2=0即 OC2=OA·OB
故所求的仿射变换为：
解 由题设的射影变换式，得 把它们代入射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即
得 由此得特征方程为: =0, 即(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根） ,u=—1
将u=—1代入固定点方程组，即得固定点为（1，0，0）
将u=1代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线A2A3上的每一点都是固定点。把 的值代入射影变换的固定直线方程组6。5公式（5），即 得 则特征方程为 =0 即（1+v）(1-v)2=0,解得v=-1 v=1(二重根)。
7.一维、二维射影变换的不变元素
求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。
变换群与几何学
一、要求
1.了解变换群的概念。
2.理解几何学的群论观点。
3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。
二、考试内容
1.变换群与几何学的关系。
2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。
3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。
射影平面
一、要求
1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。
2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。
3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。
4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。
5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。
二、考核内容
根据：完全四点形的调和共轭性（2分）
五、证明题（10分）
如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明：TS与QP的交点M在直线GH上。
在三点形BTS与三点形DQP中（4分）
对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）
6.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=____-1___.
7.对合由____两对不同的对应元素___唯一决定.
8.二阶曲线就是_____两个射影线束对应直线交点__的全体.
9.证明公理体系的和谐性常用____模型___法.
10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做___分散____直线.
1.中心投影与无穷远元素
中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。
2.笛萨格（Desargues）定理
应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。
3.齐次点坐标
齐次点坐标的计算及其应用。
4.线坐标
线坐标的计算及其应用。
5.对偶原则
作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。
射影变换与射影坐标
则中心为 （4分）
求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。
从X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y）（X－Y）=0.
X+4Y=(x－ )+4 (y+ )=0→5x+20y+18=0， （2分）
X－Y=(x－ )－(y+ )=0→5x－5y－8=0。
（三）
一、填空题(每空2分，共20分)
（二）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、设 (1)， (-1)， ( )为共线三点，则 1。
2、写出德萨格定理的对偶命题：如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。
3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=__2____。
4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群
二、计算题(每小题6分，共30分)
1.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。
1.解：化为齐次式
x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入
得 x1-2x2=0， x1=2x2或 x2=
∴ 无穷远点坐标为(2，1，0)
2.求仿射变换
的不变点.
2.解：由
得
解此方程，得不变点为
3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.
5.配极变换是一种非奇线性对应。（√）
四、作图题（8分）
已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据）
作法过程：
1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C, （2分）
2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）
3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分）
二次曲线的射影理论
一、要求
1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。
2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。
3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。
4.了解二阶曲线的射影分类。
二、考试内容
1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。
1.经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.
2.共线三点的简比是___仿射____不变量.
3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一___仿射变换____.
4.点坐标为(1，0，0)的方程是__u1=0_____.
5. =0代表点____(1，1，0)、(1，-1，0)___的方程.
《高等几何》复习大纲
仿射坐标与仿射变换
一、要求
1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。
2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。
3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。二、考Biblioteka 内容1.单比的定义和求法。
2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。
将v=-1代入固定直线方程组，即得固定直线为（1，0，0）。
将v=1代入固定直线方程组，得u1=0,即通过点（1，0，0）
3、见课本
四、证明题
1、见课本
2、证明 这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB，CD）=-1，得 =-1
即 AC·BD+AD·BC=0 （1）
1.交比与调和比
交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。
2.完全四点形与完全四线形
完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。
3.一维基本形的射影对应
一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。。
4.二维射影变换
5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。
6.射影坐标
一维射影坐标、二维射影坐标。
由德萨格定理的逆定理知，（2分）
对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上
六、计算题（42分）
1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP)
解：设P点的坐标为（x0，yo）