(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.1.1 等式的性质与方程的解集 (含答案)

第二章 等式与不等式

2．1 等 式

2．1.1 等式的性质与方程的解集

1.常用乘法公式

(1)公式： 公式名称

符号表示 文字表示 平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 两个数的和与这两个数的差

的积等于这两个数的平方差

完全平方 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2

两数和(或差)的平方，等于

公式这两数的平方和，加上(或减

去)这两数积的2倍

其他

恒等式

①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋

b3；

②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2

＋b3；

③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋

2ab＋2bc＋2ac

(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．

(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．

(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？

提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？

提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．

2．十字相乘法

具体形式：

①二次项系数为1时：

x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)

②二次项系数不为1时：

acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)

记忆口诀：拆两头，凑中间．

十字相乘法分解因式的关键是什么？

提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．

3.方程的解集

(1)定义：

方程的解(根)能使方程左右两边相等的未知数的值

方程的解集一个方程所有解组成的集合

的不同．

(3)应用：求解方程的解(或解集).

把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？

提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).

(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( ×)

提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.

(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( ×)

提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).

(3)用因式分解法解方程时部分过程为：

(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( ×)

提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.

2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝．

【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4

＝(x＋y＋2)(x＋y－2).

答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)

3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．

【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：

(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，

当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；

当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.

答案：6

类型一常用乘法公式的应用(数学运算)

1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为()

A．5 B．－5

C．11 D．－11

【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是()

A．8x2－8y2B．8y2－8x2

C．8(x＋y)2D．8(x－y)2

【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2

＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)

＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.

方法二：

(x＋3y)2－(3x＋y)2

＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]

＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)

＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)

＝8y2－8x2.

3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.

【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝

(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，

所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.

答案：7

常用乘法公式的应用技巧

(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪

个数或哪个整式．

(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．

类型二十字相乘法分解因式(数学运算)

【典例】把下列各式因式分解．

(1)x2＋3x＋2.

(2)6x2－7x－5.

(3)5x2＋6xy－8y2.

【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．

【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)

1×2＋1×1＝3

(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)

2×(－5)＋3×1＝－7

(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)

1×(－4y)＋5×(2y)＝6y

十字相乘法因式分解的形式

尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：