(完整)数项级数及其收敛性

数项级数及其收敛性

无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的.古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零)的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中,使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数23111141 (4)

4

4

4

3

n +++++=的和；关于无穷级数,

数学史上有个著名的芝诺悖论.”两分法”:向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点,又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷.结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。’庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭.''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。’要解决这个悖论，需要引进极限方法。研究无穷级数及其和,可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用。 一、级数基本概念

定义1 设给定一个数列 ，，，

，，n u u u u 321,则表达式 ++++n u u u 21

称为无穷级数,简称级数，记作

∑∞

=1

n n

u

，即

++++=∑∞

=n n n

u u u u

211

，

其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数,则级数

∑∞

=1

n n

u

称为常数

项级数，如果是函数，则级数∑∞

=1

n n

u

称为函数项级数．

其实,在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列：

2,,............(1)n a aq aq aq q <,各项的和2............1n a

a aq aq aq q

++++=

-；另外,无限循环小数也是无穷级数,比如：

1

0.33

=

10

33.0=

,

2

10303.0=

,

n

103030.0=

,所以有

n 10

3103103312+++≈ ．

显然，越大,这个近似值就越接近31

,根据极限的概念可知

)103103103(lim 312n n +++=∞→ ，

也就是说

++++=n 103103103312．

由以上两个实例可以得到两个重要结论:

结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数.

2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和.

无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容，即一，无限项相加的形式在什么条件下有“和"，这种“和"的确切意义是什么?如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、收敛域以及级数的和；二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷级数,如函数的幂级数展开式。无穷级数是无穷多个数累加的结果，虽然在形式上也写成用加号连接的一个式子，在意义上却与过去熟悉的有限项的和完全不同，从有限到无限，发生了质的变化。实例的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题．然而有限个数相加的和一定存在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些作出解答．我们引入部分和概念：

把级数∑∞

=1n n u 的前项之和

n u u u +++ 21 (2）

称为该级数的前项部分和,记为，即n n u u u s +++= 21。当依次取 ,3,2,1时，它们构成一个新的数列{}n s ：

11u s = 212u u s +=

3213u u u s ++=

n n u u u u s ++++= 321

称此数列为级数∑∞

=1

n n u 的前项部分和数列。

根据前项部分和数列是否有极限，我们给出级数（1)收敛与发散的概念。 定义2 当无限增大时，如果级数∑∞

=1n n u 的前项部分和数列{}n s 有极限，即

s s n n =∞

→lim

则称级数∑∞=1

n n u 收敛，这时极限称为级数∑∞

=1

n n u 的和，并记为

+++++=n u u u u s 321

如果前项部分和数列{}n s 没有极限，则称级数∑∞

=1

n n u 发散.

当级数∑∞=1

n n u 收敛于时，则其前项部分和是级数∑∞

=1

n n u 的和的近似值，它们的

差

++++=-=+++k n n n n n u u u s s r 21

称为级数∑∞

=1n n u 的余项。显然0lim =∞

→n n r ，而n

r 是用近似代替所产生的误差。

注：（1）由级数定义，级数∑∞

=1

n n u 与其前项部分和数列{}n s 同时收敛或同时

发散，且收敛时∑∞

=1

n n u =n n s ∞

→lim

. （2）收敛的级数有和值，发散的级数没有“和”.

在数项级数中，应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数，这类级数简称等比级数（或称几何级数）．

例1 试讨论等比级数

2............(0)n a aq aq aq a ++++≠

的收敛性．

解 根据等比数列前项的求和公式可知，当1q ≠时，所给级数的部分和

11n

n q s a q

-=⋅

-．于是，当1q <时，