(完整)数项级数及其收敛性
数列、级数及其收敛性的定义和判定
数列、级数及其收敛性的定义和判定数列和级数是数学中比较基础的概念，理解其定义和判定对于进一步学习数学知识和应用非常重要。
本文将简要介绍数列、级数的定义以及如何判断它们的收敛性。
一、数列的定义数列就是按照一定规律排列起来的一系列数字。
比如，1，3，5，7，9就是一个数列，规律是从1开始，每次加2。
数列可以用一个通项公式来表示。
比如，对于上面的数列，第n项就可以表示为：2n-1。
二、数列的收敛和发散如果一个数列的所有项都趋向于某个数，那么这个数列就是收敛的。
比如，1，1/2，1/3，1/4……这个数列就是收敛的，极限是0。
如果一个数列趋向于无穷大或负无穷大，那么这个数列就是发散的。
比如，1，2，3，4，5……就是一个发散的数列。
三、级数的定义级数就是把数列中的项相加得到的一个和。
比如，1+1/2+1/4+1/8+……就是一个级数。
级数可以看作是数列的和的极限。
级数一般表示为：∑an。
四、级数的收敛和发散判断级数的收敛和发散可以使用多种方法。
下面介绍几种常用的方法。
1.比值判别法如果级数的通项公式为an，那么计算an+1/an的极限L，如果L小于1，那么级数收敛；如果L大于1，那么级数发散；如果L 等于1，那么无法判定。
2.根值判别法如果级数的通项公式为an，那么计算an的n次方根的极限L，如果L小于1，那么级数收敛；如果L大于1，那么级数发散；如果L等于1，那么无法判定。
3.积分判别法如果级数的通项公式为an，那么将an看作某个函数f(x)在1到无穷大的积分，如果这个积分收敛，那么级数就收敛；如果这个积分发散，那么级数就发散。
总之，数列和级数的定义和收敛性判定是我们学习数学中必须要掌握的基础知识。
只有理解了这些知识，才能更好地应用于实际问题的解决。
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
10.3数项级数的收敛性判别法(1)
1+ n 由比较判别法知，级数∑ un = ∑ 发散. 2 n =1 n =1 1 + n
12
∞
∞
n! 例5 判断级数 ∑ n 的敛散性. n =1 n
但
p ≤ 1, 级数发散 .
21
∞
例12 讨论级数
∑n x
n =1
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: ∵ lim n − 1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收 敛 ; 当 x > 1时, 级数发散 ;
n− N
u N +1
k ( ρ + ε ) 收敛 , 由比较判别法可知 ∑
∑ un 收敛 .
20
(2) 当ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N
u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > ⋯ > u N
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1 n =1
∞
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
数项级数收敛性判别法
2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
28
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
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n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
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二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
数项级数收敛性的判别
数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。
对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。
设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。
该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。
当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。
2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。
比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。
设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。
在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。
11-2 数项级数收敛性的判定
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
数项级数及其收敛性
数项级数及其收敛性无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。
古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数23111141 (4)4443n +++++=的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。
"两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。
结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
'庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭。
''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。
'要解决这个悖论，需要引进极限方法。
研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用. 一、级数基本概念定义1 设给定一个数列 ，，，，，n u u u u 321，则表达式 ++++n u u u 21称为无穷级数，简称级数，记作∑∞=1n nu，即++++=∑∞=n n nu u u u211，其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数∑∞=1n nu称为常数项级数，如果是函数，则级数∑∞=1n nu称为函数项级数． 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列: 2,,............(1)n a aq aq aq q <,各项的和2............1n a a aq aq aq q++++=-；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如：10.33=1033.0=，210303.0=，n103030.0=，所以有n 103103103312+++≈ ．显然，越大，这个近似值就越接近31，根据极限的概念可知)103103103(lim 312n n +++=∞→ ，也就是说++++=n 103103103312．由以上两个实例可以得到两个重要结论：结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数。
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
第一次课、数项级数的收敛性
S'S
制作人：杨寿渊
注意 (1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.
反例: (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 收敛,
去掉括号后, 1 1 1 1 1 1 发散.
(2).若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛. (3).若加括号后所得级数发散,则原级数发散.
级数： 设给定一个数列：u1,u2,,un,,
称 unu1u2un （1）
n1
为无穷级数，简称级数.
un
一般项
二、级数的收敛与发散
n
前n项和 sn ui u1u2un
s
n
i1
构成一个新的数列:
称为(1)的部分和.
s1 u1, s2u1u2, s3u1u2u3, L , snu 1 u 2 u n , 称为部分和数列
设 A c h i l e e s 的 速 度 为 v , 则 A c h i l l e s 追 上 乌 龟 所 需 的 时 间 为
T1001010.1L v vv v
这 就 遇 到 了 无 限 项 相 加 的 问 题 ， 它 的 意 义 是 什 么 ？
制作人：杨寿渊
第一节 无穷级数的概念
一、无穷级数的概念
n1
n1
n1
n
n
n
证 Tn (ui vi ) u i v i Sn Wn
i1
i1
i1
ln im Tnln i (m SnW n)ln i m Snln i m WnSW
收敛级数的线性组合仍收敛.
制作人：杨寿渊
性质3 收敛级数加括号后所得新级数仍收敛,且收敛和不变
证:设 Su1LunL, Snu1Lun,为其部分和，对原
发散
数项级数收敛的必要条件(一)
数项级数收敛的必要条件(一)数项级数收敛的必要条件1. 什么是数项级数？数项级数是由一系列数值按照一定顺序相加而得到的数学序列。
通常表示为：a 1+a 2+a 3+⋯2. 数项级数的和与收敛性数项级数的和表示为S =lim n→∞∑a k n k=1。
数项级数的收敛性表示当n 趋向于无穷大时，前n 项的和是否趋向于某个有限的值。
3. 部分和数列由数项级数的部分和构成的数列称为部分和数列。
部分和数列用S n 表示，表示前n 个数的和。
4. 数项级数收敛的必要条件要判断一个数项级数是否收敛，我们需要考虑以下两个必要条件： • 第一条必要条件：数项级数的部分和数列必须是有界的。
也就是S n 应该有一个有限的上界和下界。
• 第二条必要条件：数项级数的通项a n 必须趋近于零。
也就是lim n→∞a n =0。
5. 第一条必要条件的说明第一条必要条件的理解可以通过数项级数的几何意义进行解释。
假设我们在数轴上从原点出发，按照数项级数的部分和数列的值依次往右（正方向）移动，那么如果部分和数列是有界的，我们最终应该会停在某一位置。
这个位置就是数项级数的极限值。
如果部分和数列是无界的，我们将无限向右运动，无法确定一个极限值。
6. 第二条必要条件的说明第二条必要条件的理解可以通过考虑一个特殊的数项级数：∑1n ∞n=1，也称作调和级数。
这个级数的通项趋近于零，但是无限求和却得到一个无穷大的结果。
因此，如果一个数项级数的通项不趋近于零，那么其部分和数列也可能无法趋近于一个有限的值。
7. 总结对于一个数项级数而言，如果它的部分和数列无界或者其通项不趋近于零，那么该级数是发散的。
只有当部分和数列有界且通项趋近于零时，该级数才是收敛的。
注意：上述提到的必要条件是数项级数收敛的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，满足这两个条件的数项级数未必收敛，还需要进一步进行其他判断。
8. 其他判断数项级数收敛的方法除了必要条件，还有一些其他的方法可以判断数项级数的收敛性，包括但不限于以下几种：•比较判别法：通过将待判断的级数与已知级数进行比较，来判断级数的收敛性。
函数项级数的一致收敛性及基本性质
问题 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
二、函数项级数的一致收敛性
定义 设有函数项级数 un ( x) ．如果对于任意 n1
n1
于是 nqn1 0 (n ),
故数列 nqn1有界，必有M 0 ，使得
nqn1 1 M x1
(n 1,2,)
又 0 x1 R，级数
an
xn 1
收敛，
n1
由比较审敛法即得级数 nan xn1 收敛． n1 由定理 4，级数 nan xn1 在( R, R)内的任意 n1
闭区间[ a,b ]上一致连续，
逐项积分即得 an xn , n1
因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小，
所以 R R, 于是 R R.
即 nan xn1 与 an xn 的收敛半径相同．
n1
n1
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
练习题
一、已知函数序列 sn
sin
x n
(n
1,2,3,)
在
(,)
上收敛于 0．
1.问 N ( , x) 取多大,能使当 n N 时, sn ( x) 与其极限 之差的绝对值小于正数 ;
2. 证明sn ( x) 在任一有限区间[a, b] 上一致收敛．
二、按定义讨论级数
n1
(1)n1
x2 (1 x2
由于N 只依赖于 而于 x0 , x 无关，
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)
un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .
推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)
例.
求证fn ( x)
1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)
x
lim
n
1
n2
x
2
0, 逐点收敛于f ( x)
数列与级数的收敛性与计算
数列与级数的收敛性与计算数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨数列与级数的收敛性以及如何计算它们。
一、数列的收敛性数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
数列的收敛性是指数列是否有一个有限的极限值。
如果数列有一个有限的极限值，我们称其为收敛数列；如果数列没有有限的极限值，我们称其为发散数列。
那么，如何判断一个数列是否收敛呢？有几种常见的方法可以判断数列的收敛性。
1. 极限定义法：根据极限的定义，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的绝对值与极限值之差小于ε，那么这个数列就是收敛的。
举个例子，考虑数列an = 1/n。
我们要判断这个数列是否收敛。
根据极限定义，对于任意给定的正数ε，我们要找到一个正整数N，使得当n>N时，|an - 0| < ε。
显然，当n > 1/ε时，这个不等式成立。
所以，根据极限定义，这个数列收敛于0。
2. 递推关系法：对于一些特定的数列，我们可以通过递推关系来判断其收敛性。
递推关系是指数列中后一项与前一项之间的关系。
例如，斐波那契数列是一个经典的递推关系数列，其定义为：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n > 1）。
通过观察可以发现，斐波那契数列是一个收敛数列。
3. 收敛准则法：数列的收敛性还可以通过一些特定的收敛准则来判断。
常见的收敛准则有单调有界准则、夹逼准则等。
单调有界准则是指如果数列是递增且有上界（或递减且有下界），那么这个数列就是收敛的。
夹逼准则是指如果数列an ≤ bn ≤ cn，且an和cn都收敛于同一个极限L，那么数列bn也收敛于L。
二、级数的收敛性级数是由数列的和构成的数列。
级数的收敛性是指级数的部分和是否有一个有限的极限值。
如果级数的部分和有一个有限的极限值，我们称其为收敛级数；如果级数的部分和没有有限的极限值，我们称其为发散级数。
级数收敛性与绝对收敛性
级数收敛性与绝对收敛性级数是数学中重要的概念之一，它由一系列数的无限求和构成。
在研究级数的性质时，我们常常关注收敛性和绝对收敛性。
本文将介绍级数的收敛性和绝对收敛性，并分析它们的特点和相关定理。
一、级数的收敛性级数的收敛性是指当级数的部分和逐渐趋近于某个有限数时，我们称该级数是收敛的。
如果级数的部分和无限逼近无穷大，或者没有确定的趋近，那么我们称该级数是发散的。
对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，其部分和可以表示为$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k $。
如果对于任意的正实数 $\varepsilon $，存在正整数 N，当 n > N 时，有 $| S_n - S| < \varepsilon $，其中 S 是某个有限数，那么我们称级数收敛于 S。
我们可以通过一些方法来判断级数的收敛性，如比较审敛法、极限审敛法、积分审敛法等。
这些方法基于一些特殊级数的性质和常用的极限定理，通过比较或者变换，判断原级数的收敛性。
二、级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性是指级数的每一项都是非负的，并且级数的绝对值收敛。
如果一个级数绝对收敛，那么它一定是收敛的。
对于一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，那么我们称其为绝对收敛的。
绝对收敛是一种更强的收敛性，它保证了级数的每一项绝对值的部分和存在有限极限。
绝对收敛性在分析数学和函数论中占有重要地位，很多重要的级数都是绝对收敛的。
绝对收敛级数具有一些重要的性质，比如可以对其进行任意交换和分组。
三、级数收敛性的相关定理在研究级数的收敛性和绝对收敛性时，一些重要的定理为我们提供了判断的方法和条件。
1. 比较审敛法：如果一个级数的绝对值收敛，那么它的每一项的绝对值小于一个已知收敛的级数的每一项的绝对值，那么该级数也收敛。
同样地，如果一个级数的绝对值发散，而它的每一项的绝对值大于一个已知发散的级数的每一项的绝对值，那么该级数也发散。
数项级数收敛
数项级数收敛
以下是一篇关于数项级数收敛的简要介绍：
数项级数是由一系列数列的和组成的级数。
数项级数的收敛性是判断级数和是否收敛到一个有限的值。
数项级数的收敛性可以通过不同的方法来判断。
其中一种方法是比较判别法，该方法通过比较给定级数和一个已知的收敛级数或发散级数来判断。
比较判别法主要有以下几种形式：
（1）比较法：如果给定级数的绝对值小于一个已知收敛级数的绝对值，则该级数也收敛。
（2）极限比值判别法：计算级数中相邻两项的绝对值的比值的极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则判定不确定。
（3）极限根判定法：计算级数中每一项的绝对值的根的极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则判定不确定。
除了比较判别法之外，还有其他方法来判断数项级数的收敛性，如积分判别法、级数求和法等。
这些方法使用不同的数学工具和技巧来解决不同类型的级数问题。
数项级数的收敛性在实际应用中有重要的作用。
它在数学、物理、工程等领域的计算和建模中经常被使用。
了解数项级数的收敛性判定方法可以帮助我们更好地理解级数的性质，进行数学计算和推导的过程。
数项级数的收敛性判定是数学中的重要内容之一，有多种方法可以用来判断。
通过熟练掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用级数的性质。
数项级数收敛性的判别
级数收敛一、定义定义1：设有数列 表达式 （1）称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或一般项。
定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列称为它的部分和数列。
定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。
记为： 。
若是发散数列，则称级数（1）发散。
余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛条件收敛：若∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛二、性质定理定理1若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.+++u u u n 21,,,:}{21u u u u n n ∑∞=1n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞→lim S u n n =∑∞=1}{S n S S r n n -=定理3 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. 三、分类1、等比级数（几何级数）:2、--p 级数：)0(11>∑∞=p nn p3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数） ，1<q 时，级数收敛 1≥q 时，级数发散四、--p 级数收敛性判别法：--p 级数)0(11>∑∞=p nn p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛 例：∑21n 为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛；+++-q a aq a n 1qq a S n n --=1)1()1(≠q ⎪⎩⎪⎨⎧-=∞→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21（3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散； 例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性解：由于 111s i nl i m =∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n1发散，所以级数∑n1sin 也发散.（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u nn =+1则 (1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→nn n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞→n nn u 则 (1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+nn212的敛散性解：由于232123lim lim122122==-∞→-∞→m m m m mm u u 612321l i m l i m 212212==+∞→+∞→mm m mm m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于 2123l i ml i m 2222==∞→∞→m mm m m m u 2121lim lim 12121212==++∞→++∞→m m m m m m u 所以21lim =∞→n n n u 由根式判别法知原级数收敛. （4）积分判别法：设f 是[)+∞,1上非负递减函数那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散； 例：讨论级数∑∞=2)(ln 1n pn n 的敛散性 解：研究非正常积分⎰∞+2)(ln px x dx，由于 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p udu x x d x x dx当1>p 时收敛1≤p 时发散，由积分判别法级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛1≤p 时发散 六、一般级数收敛性的判别法（1）级数∑∞=1n n u 若0lim≠∞→n n u ，则此级数发散. 例：判断级数∑++nnn 2222的敛散性解：由于 1)2(lim 122=+⋅++∞→nx nn ，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数()()()112111n n n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断. 解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件：,,0N n ∈∃>∀ε当)(N m n m ∈>时，N p ∈∀有：ε<+⋅⋅⋅+++++m p m m u u u 21例：证明级数∑21n的收敛 证明：由于||21p m m m u u u ++++⋯++=222)(1)2(1)1(1p m m m +⋯++++ <))(1(1)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-++⋯+++++=）（）（）（pm p m m m m m+--++⋯++-+++-1112111111 =p m m +-11<m1 因此，对任给正数ε ，取]1[ε=N ，使得当m>N 及任意自然数p ，由上式就有||21p m m m u u u ++++⋯++<m1<ε由柯西收敛准则推得级数∑21n 是收敛的. （4）绝对收敛定义法：若级数∑n u 各项绝对值所组成的级数∑n u 收敛，则原级数∑n u 收敛； 例：⋯++⋯++=∑!!2!2n n nnαααα的各项绝对值所组成的级数是⋯++⋯++=∑!||!2||||!||2n n nn αααα应用比式判别法，对于任意实数α都有1||lim||||lim1+=∞→+∞→n u u n nn n α=0 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 满足下述两个条件：(1)数列{}n u 单调递减；(2)0lim=∞→n n u 则级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 收敛.例：考察级数∑∞=+-111)1(n n n的敛散性.解：因为∑∑∞=+=-111|1)1(|n n nn 发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.。
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数项级数及其收敛性
无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的.古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零)的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中,使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数23111141 (4)
4
4
4
3
n +++++=的和；关于无穷级数,
数学史上有个著名的芝诺悖论.”两分法”:向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点,又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷.结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
’庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭.''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。
’要解决这个悖论，需要引进极限方法。
研究无穷级数及其和,可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用。
一、级数基本概念
定义1 设给定一个数列 ，，，
，，n u u u u 321,则表达式 ++++n u u u 21
称为无穷级数,简称级数，记作
∑∞
=1
n n
u
，即
++++=∑∞
=n n n
u u u u
211
，
其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数,则级数
∑∞
=1
n n
u
称为常数
项级数，如果是函数，则级数∑∞
=1
n n
u
称为函数项级数．
其实,在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列：
2,,............(1)n a aq aq aq q <,各项的和2............1n a
a aq aq aq q
++++=
-；另外,无限循环小数也是无穷级数,比如：
1
0.33
=
10
33.0=
,
2
10303.0=
,
n
103030.0=
,所以有
n 10
3103103312+++≈ ．
显然，越大,这个近似值就越接近31
,根据极限的概念可知
)103103103(lim 312n n +++=∞→ ，
也就是说
++++=n 103103103312．
由以上两个实例可以得到两个重要结论:
结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数.
2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和.
无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容，即一，无限项相加的形式在什么条件下有“和"，这种“和"的确切意义是什么?如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、收敛域以及级数的和；二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷级数,如函数的幂级数展开式。
无穷级数是无穷多个数累加的结果，虽然在形式上也写成用加号连接的一个式子，在意义上却与过去熟悉的有限项的和完全不同，从有限到无限，发生了质的变化。
实例的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题．然而有限个数相加的和一定存在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些作出解答．我们引入部分和概念：
把级数∑∞
=1n n u 的前项之和
n u u u +++ 21 (2）
称为该级数的前项部分和,记为，即n n u u u s +++= 21。
当依次取 ,3,2,1时，它们构成一个新的数列{}n s ：
11u s = 212u u s +=
3213u u u s ++=
n n u u u u s ++++= 321
称此数列为级数∑∞
=1
n n u 的前项部分和数列。
根据前项部分和数列是否有极限，我们给出级数（1)收敛与发散的概念。
定义2 当无限增大时，如果级数∑∞
=1n n u 的前项部分和数列{}n s 有极限，即
s s n n =∞
→lim
则称级数∑∞=1
n n u 收敛，这时极限称为级数∑∞
=1
n n u 的和，并记为
+++++=n u u u u s 321
如果前项部分和数列{}n s 没有极限，则称级数∑∞
=1
n n u 发散.
当级数∑∞=1
n n u 收敛于时，则其前项部分和是级数∑∞
=1
n n u 的和的近似值，它们的
差
++++=-=+++k n n n n n u u u s s r 21
称为级数∑∞
=1n n u 的余项。
显然0lim =∞
→n n r ，而n
r 是用近似代替所产生的误差。
注：（1）由级数定义，级数∑∞
=1
n n u 与其前项部分和数列{}n s 同时收敛或同时
发散，且收敛时∑∞
=1
n n u =n n s ∞
→lim
. （2）收敛的级数有和值，发散的级数没有“和”.
在数项级数中，应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数，这类级数简称等比级数（或称几何级数）．
例1 试讨论等比级数
2............(0)n a aq aq aq a ++++≠
的收敛性．
解 根据等比数列前项的求和公式可知，当1q ≠时，所给级数的部分和
11n
n q s a q
-=⋅
-．于是，当1q <时，
1lim lim 11n n n n q a
s a q q
→∞→∞-=⋅=
--． 由定义2
知，该等比级数收敛,其和1a s q =-,即11
1n n a
aq q ∞
-==-∑．
当1q >时，
1lim lim 1n
n n n q s a q
→∞→∞-=⋅=∞-． 所以这时该等比级数发散．
当1q =时，∞→=na S n （当∞→n ），因此该等比级数发散．
当1q =-时,⎩⎨
⎧=-+-+-=-为偶数，，当为奇数，
，当n n a a a a a S n n 0)1(1 部分和数列不存在极限，故
该等比级数发散．
综上所述可知:等比级数11n n aq ∞
-=∑，当公比1q <时收敛;当公比1q ≥时发散．
例2 判别无穷级数
∑
++++⋅+⋅+⋅=+∞
=1)1(1431321211)1(1n n n n n
的敛散性。
解:由于
u n =)1(1+n n =)1(1
1+-n n
因此 s n =)1(1
3
21211+++⋅+⋅n n =（21
1-）+（3121-）+…+ (111+-n n ）
= 1—11
+n .
而 n n s ∞→lim =)
111(lim +-∞→n n =1
所以该级数收敛于和1。
例3 证明1+2+3+…+n +…是发散级数. 证： 此级数的部分和为
s n =1+2+3+…+n =2)
1(+n n
显然，n n s
∞→lim = ¥，因此级数是发散级数.。