九年级圆垂径定理知识点

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浙教版九年级上册《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结

《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。

（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

第23课垂径定理(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)

【答案】50° 【解析】试题分析：连接 CD， ∵∠A=25°， ∴∠B=65°， ∵CB=CD， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠BCD=50°， ∴ 的度数为 50° 考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质
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2．如图，P 为⊙O 的弦 AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为 5，则 OP=______．
2
2
2
∴ 在 Rt△BOM 中， OB BM 2 OM 2 5 5 ． 2
【即学即练 2】如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
【答案与解析】解：过 O 作 OF⊥CD，交 CD 于点 F，连接 OD，
∴F 为 CD 的中点，即 CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8，
【答案】8 【解析】如图：连接 OA .
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CE 2cm,DE 8cm, CD CE DE 10cm, OA OC 5cm ， OE OC EC 5 2 3cm. AB CD, ∴ E 为 AB 的中点，即 AE BE. 在 Rt△AOE 中,根据勾股定理得： AE OA2 OE2 4cm. AB 2AE 8cm. 故答案为： 8. 8．如图，如 AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，AB=8cm，CD=2cm，则 BE= ．
【答案】4cm
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【详解】
解：连接
OA，∵OC⊥AB，∴AC=
1 2
AB=3cm，∴OC=
OA2 AC2 =4（cm）．
故答案为 4cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．

九上圆垂径定理知识点+例题+练习 5种题型 (分类全面)

1．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．82.在半径为12 cm 的圆中，垂直平分半径的弦的长为（）cmA 、33B 、27C 、123D 、633.已知AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，C 为垂足，若OA=2， OC=1，则AB 的长为（）A 、5B 、25C 、3D 、234．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝厘米O图 4ED C BA5．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.6．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD＝l ，则弦AB 的长是7．如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB题型二:求半径(直径)1．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm2．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米OD A BCDOB C A3．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB 于点D。

已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径.ACD B题型三:求弦心距1．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．52．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm413．在直径为20cm的圆中，弦AB的长为16cm，则它的弦心距为 cm 4．在半径为13cm的圆中有一条长为24cm的弦，那么这条弦的弦心距等于5．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 题型四:求拱高1．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米2．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m3．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；0.1（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 0.1或0.7OA B题型五:求两平行线间距离1、⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离是多少1或7垂径定理在实际中的应用例1、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径.A B例2.某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面 2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?写出你的结论，并说明理由。

九年级圆的知识点总结

九年级圆的知识点总结一、圆的基本定义1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。

2. 圆心（O）：圆心是圆的中心点，所有圆上的点到圆心的距离都等于半径。

3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离。

4. 直径（d）：通过圆心的最长弦，是半径的两倍长度。

5. 弦（c）：连接圆上任意两点的线段。

6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。

7. 优弧：大于半圆的弧。

8. 劣弧：小于半圆的弧。

9. 半圆：圆的一半，由直径所界定的弧。

10. 切线（t）：与圆只有一个公共点的直线。

二、圆的性质1. 所有半径的长度相等。

2. 直径是圆内最长的弦。

3. 圆的任意两点之间的弧，优弧总是大于劣弧。

4. 切线与半径相交于圆外的一点，形成直角。

5. 圆周角定理：圆周上任意一点引出的两条半径与圆周所形成的角，其大小是圆心角的一半。

6. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（A）：A = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360) × πr²，其中θ是扇形的中心角的度数。

4. 弓形面积：S = (θ/360) × πr² - (θ/360) × rθ/2，其中θ是弓形的中心角的度数。

四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：相交、相切、相离。

2. 圆与圆的关系：内含、外离、相交、内切、外切。

3. 圆的切线问题：求切线长度、切点坐标等。

4. 圆的弦长问题：根据圆心距、半径、弦心距等求弦长。

5. 圆的面积问题：根据圆的半径、直径、周长等求面积。

五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，旋转圆规即可画出圆。

2. 作圆的切线：通过圆外一点作圆的切线，需要利用圆心到切点的垂线与切线垂直的性质。

3. 作圆的中垂线：连接圆上任意两点，作其中点的垂线，即为圆的中垂线。

9 垂径定理圆心角圆周角定理(

垂径定理圆心角圆周角定理垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧1、平分弦所对的两条弧）2、平分弦（不是直径）3、垂直于弦4、过圆心推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等[垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

]圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

切线定理（定义）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。

（数量法d=r）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。

判定定理：1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径（d=r）练习一选择题：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．50° B．55°C．60° D．65°3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（）A．100° B．110°C．120° D．130°4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（）A.3≤OM≤5B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5D.4≤OM＜55、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )A．15°B．28° C.29°D．34°7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB 于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( )8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（）A. B.C． D.9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20º，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15º与30º B．20º与35ºC．20º与40º D．30º与35º10.图中∠BOD的度数是（）A．55° B．110°C．125° D．150°11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°12.如图,弦AB∥CD，E为弧CBD上一点，AE平分，则图中与相等（不包括）的角共有（）A．3个 B．4个C．5个 D．6个13、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长14.如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分15.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A. B.C.或D.或或16.如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（）A. B.C. D.17.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．718.如图，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q。

九年级数学上册专题第14讲圆的有关性质重点、考点知识总结及练习

第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

九年级上册数学第24章《圆》知识点梳理完整版

【学习目标】九年级数学上册第24 章《圆》知识点梳理1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心1 2n是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3. 两圆的性质(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4. 与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1. 判定一个点 P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP= ，则有点 P 在⊙O 外；点 P 在⊙O 上；点 P 在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2. 判定几个点A 、A 、 A 在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3. 直线和圆的位置关系设⊙O 半径为 R ，点 O 到直线的距离为 .(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4.切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5.圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1) 和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2) 和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3) 和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4) 和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O 表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一接圆的圆心) 交点定在三角形内部内心(三角形内三角形三条角平分线(1)到三角形三边距离相等；切圆的圆心) 的交点(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1.圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为 R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】13 (1 + 1)2 + (0 - 3)2 OE 2 - EF 2 3 3 类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【答案】；【解析】由已知得 BC∥x 轴，则 BC 中垂线为 x =-2 + 4 = 12那么，△ABC 外接圆圆心在直线 x=1 上，设外接圆圆心 P(1,a)，则由 PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为 P(1,0) 则 r = PA = = 【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由 B 、C 的坐标知：圆心 P （设△ABC 的外心为 P ）必在直线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到 P （1，0）；连接 PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB＝60°，求 CD 的长．【答案与解析】作 OF⊥CD 于 F ，连接 OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ OA =AB = 3 ，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．2在 Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°， ∴ EF = 1OE = 1 ，∴ OF = = ．2在 Rt△DFO 中，OF ＝，OD ＝OA ＝3，13OD 2 - OF 2∵ OF⊥CD，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝ 2 cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作 OF⊥CD 于 F ，构造 Rt△OEF，求半径和 OF 的长；连接 OD ，构造 Rt△OFD，求 CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M 、N ，如果 MN ＝3，那么 BC ＝．C【答案】由 OM⊥AB，ON⊥AC，得 M 、N 分别为 AB 、AC 的中点（垂径定理），则 MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A 、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．yCDAOBx（第 3 题）【答案】65°.【解析】连结 OD ，则∠DOB = 40°，设圆交 y 轴负半轴于 E ，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP ≤2，则弦 AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．30°或 150°【答案】C.【解析】作 OD ⊥AB ，如图，N O AMB∴ DF = = 32 - ( 3)2 = 6 (cm)．6∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB= ∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系4．如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 AC 上，以OA 的长为半径的圆 O 与AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB= ∠DCE．请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线 CE 与⊙O相切理由：连接 OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形 ABCD 是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线 CE 与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P 的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时 x 的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，( ，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或( ，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作⊙O 的切线DF，交AC 于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留 π)．【答案与解析】连接 OB ，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于点 F ，如图(2)．由垂径定理，可知 E 是 AB 中点，F 是 AB 的中点，∴ AE= 1AB = 2 2，EF ＝2．设半径为 R 米，则 OE ＝(R-2)m ．在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2 = (R - 2)2 + (2 3)2 ．解得 R ＝4．∴ OE ＝2，OE = 1AO ，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．2∴ AB 的长为120 ⨯ 4π = 8π(m)． 180 3 ∴ 帆布的面积为 8π⨯ 60 = 160π(m 2)．3【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以 AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出 AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求 AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水最深的地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.3②如图所示，过 O 作OC⊥AB于D，交于 C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为 10cm.圆的基本概念和性质【学习目标】1.知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2.弧∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选 C.类型二、圆及有关概念2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【答案】①√ ②× ③× ④√.【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.举一反三：【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A ．直径相等的两个圆是等圆B ．长度相等的两条弧是等弧C ．圆中最长的弦是直径D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A 、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B 、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C 、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D 、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B ．3．直角三角形的三个顶点在⊙O 上，则圆心 O 在 .......................【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心 O 到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等. 4．判断正误：有 AB 、C D ， AB 的长度为 3cm, C D 的长度为 3cm ，则 AB 与C D 是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.举一反三：【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧 AmB ，中的劣弧C D ，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.类型三、圆的对称性5．已知：如图，两个以 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过 O 点作OM⊥AB于M，交大圆与 E、F 两点.如图，则EF 所在的直线是两圆的对称轴，所以 AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.垂径定理【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（2）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OD 2 + AD 2 42 + 32 （4）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则 DC 的长为（）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA ，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D ；【解析】连 OA ，由垂径定理知 AD = 1AB = 3cm ， 2所以在 Rt△AOD 中， AO = = = 5 （cm ）．所以 DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

九年级初三圆知识点大汇总

九年级初三圆知识点大汇总考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性，圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性，圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角，顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距，从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

九年级数学平面几何过三点的圆和垂径定理人教四年制知识精讲

九年级数学平面几何过三点的圆和垂径定理人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容：平面几何过三点的圆和垂径定理二. 学习要求：（过三点的圆）1. 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆：它的意思是如果有三个点，它们三点不共线，那么经过这三个点可以作一个圆并且只可以做一个圆。

2. 三角形的外接圆，外心以及圆的内接三角形：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，如图：A、（二）学习要点：1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧。

如图：CD 是直径，AB 是弦，AB CD ⊥于E ，则有：AE=EB ，⋂⋂=DB AD ，⋂⋂=CB AC 。

理由是：因为圆是轴对称图形，CD 是直径是圆的对称轴，若延CD 将圆对折，则CD⋂⋂⋂⋂【典型例题】[例1] 如图，已知直径AB 和CD 相交于点E ，︒=∠==60,5,1BED cm BE cm AE ，求：OA B CD证：依题意：OC=OD ，OA=OB∴OD OBOC OA =且夹角O ∠∴OAB ∆∽OCD ∆ ∴ABCD OA OC =∴CD OA AB OC ⋅=⋅ [例3] ABC ∆中，︒=∠90C 直角边a 、b 分别是方程0132=+-x x 的两个根，求ABC Rt ∆外接圆面积。

解：∵a 、b 是0132=+-x x 两个根∴1,3==+ab b a72132)(22222=⨯-=-+==+ab b a c b a∴7=c ，而ABC Rt ∆外接圆半径=27 ∴ππ47)27(2=⋅=圆S [例4] 已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90D B ，求证ABCD 有外接圆。

ADBCO证：连AC ，取AC 中点O在ABC Rt ∆和ADC Rt ∆中，连OB 、OD 则OC AO AC OD OB ====21∴A 、B 、C 、D 在以O 为圆心，以OA 为半径的圆上[例5] 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，延长DC 与BA 的延长线交于P ，且PC=OB ，︒=∠99BOD ，求P ∠的度数。

九年级数学圆第三节垂径定理知识梳理及典例分析

第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。

【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。

垂径定理九年级知识点

垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。

下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。

1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。

其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。

2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。

首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。

根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。

3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。

下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。

首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。

b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。

c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。

九年级圆的垂径定理知识点

九年级圆的垂径定理知识点在九年级的数学学习中，圆的垂径定理是一个非常重要的概念，也是学习圆形的几何性质的关键之一。

在这篇文章中，我们将深入探讨圆的垂径定理的知识点，了解其背后的原理和应用。

一、圆的定义和性质首先，我们需要回顾一下圆的定义和基本性质。

在数学中，圆是由平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合组成。

而这个固定点被称为圆心，半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

圆具有很多重要性质，例如任意两点到圆心的距离相等，直径是圆的特殊弦，且它的长度是半径的两倍，而弧则是圆上的一段曲线，它与圆心对应的角叫做圆心角。

二、垂径定理的表述圆的垂径定理是指，如果一个直径和一个弦垂直相交，那么它就是弦的垂径，且它把弦分为两个相等的部分。

或者反过来说，如果一个弦被圆心角所分为两个相等的部分，那么它就与直径垂直相交。

这个定理的表述可能有点晦涩难懂，但是我们可以通过几何图形来直观地理解。

三、垂径定理的证明圆的垂径定理是可以通过简单的几何推导证明的。

假设有一个圆，圆心为O，直径为AB，弦为CD垂直于直径AB于点E。

我们需要证明CE = DE。

首先，连接AC和BD，并假设它们交于点F。

由于CD垂直于AB，所以CDE是一个直角三角形。

而由于圆心角的性质，角COD的度数是弦CD对应的角，即∠COE。

由于COE和COD是同位角，所以它们的度数相等，即∠COE = ∠COD。

而∠COD是一个直角，所以∠COE也是一个直角。

因此，我们可以得出结论，CE与DE相等，即CE = DE，证明了定理。

四、垂径定理的应用垂径定理在实际学习和应用中非常有用。

例如，在解决证明问题时，我们可以利用垂径定理来简化问题和推导证明过程。

此外，垂径定理还与圆的切线有着密切的关系。

当一个直径与一个切线相交时，由于切线与半径垂直，我们可以通过垂径定理得出切线与直径相交的两点的性质。

最后，垂径定理也与三角形的性质相关。

当我们在一个三角形内有一个圆时，利用垂径定理可以推导得出一些重要的三角形性质，如内切圆和外接圆的性质等。

初中九年级数学垂径定理知识专讲

初中九年级数学垂径定理知识专讲【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知，所以在Rt △AOD 中，（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。

【答案】．2．（2015•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ，若AC=8cm ，DE=2cm ，求OD 的长．【答案与解析】解：∵E 为弧AC 的中点，∵OE ∵AC ，∵AD=AC=4cm ，∵OD=OE ﹣DE=（OE ﹣2）cm ，OA=OE ，∵在Rt ∵OAD 中，OA 2=OD 2+AD 2即OA 2=（OE ﹣2）2+42，又知0A=OE ，解得：OE=5，∵OD=OE ﹣DE=3cm ．【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形. 举一反三：【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且，AD=13. 求弦BC 的长.13cm 2AD AB ==2222435AO OD AD =+=+=1cm 30DAC ︒∠=【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m ，拱的半径为13m ，则拱高为（）A ．5mB ．8mC ．7mD ．m 【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B ；【解析】如图2，表示桥拱，弦AB 的长表示桥的跨度，C 为的中点，CD ⊥AB 于D ，CD 表示拱高，O 为的圆心，根据垂径定理的推论可知，C 、D 、O 三点共线，且OC 平分AB ．在Rt △AOD 中，OA ＝13，AD ＝12，则OD 2＝OA 2－AD 2＝132－122＝25．∴ OD ＝5，∴ CD ＝OC －OD ＝13－5＝8，即拱高为8m ．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．（2015•蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∵AB ，且AB=26m ，OE ∵CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD=5：24（1）求CD 的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案与解析】解：（1）∵直径AB=26m ，53AB AB AB∵OD=，∵OE∵CD，∵，∵OE：CD=5：24，∵OE：ED=5：12，∵设OE=5x，ED=12x，∵在Rt∵ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∵CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∵EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∵，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．垂径定理—巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列结论正确的是（）A ．经过圆心的直线是圆的对称轴B ．直径是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与直径相交的直线是圆的对称轴2．下列命题中错误的有( )．(1)弦的垂直平分线经过圆心 (2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于E ，则图中不大于半圆的相等弧有( )． A ．l 对 B ．2对 C ．3对 D ．4对第3题第5题4．（2015•广元）如图，已知∵O 的直径AB ∵CD 于点E ，则下列结论一定错误的是（）A ．CE=DEB ． A E=OEC ． =D ．∵OCE ∵∵ODE5．如图所示，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，若AM=2，DE=1，EF=8，•则MN 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．86．已知⊙O 的直径AB=12cm ，P 为OB 中点，过P 作弦CD 与AB 相交成30°角，则弦CD 的长为（）．A ．B ．C ．D ．二、填空题7．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．315cm 310cm 35cm 33cm8．（2015•黔西南州）如图，AB是∵O的直径，CD为∵O的一条弦，CD∵AB于点E，已知CD=4，AE=1，则∵O的半径为．9．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．10．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．10题图 11题图 12题图11．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______°．12．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．三、解答题13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施?14. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，求⊙O半径．15．（2015•绵阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF∵AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.2.【答案】C ；【解析】(1)正确；（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确．故选C.3.【答案】C ；【解析】；；.4.【答案】B ；【解析】∵⊙O 的直径AB⊥CD 于点E ，∴CE=DE，弧CB=弧BD ，在△OCE 和△ODE 中，，∴△OCE≌△ODE，故选B5.【答案】C ；【解析】过O 作OH ⊥CD 并延长，交AB 于P ，易得DH=5，而AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6.6.【答案】A ；AB AB =AC AD =BC BD =【解析】作OH ⊥CD 于H ，连接OD,则OH=, OD=6,可求DH=,CD=2DH=. 二、填空题 7．【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 8．【答案】；【解析】连接OC ，如图所示：∵AB 是∵O 的直径，CD ∵AB ，∵CE=CD=2，∵OEC=90°，设OC=OA=x ，则OE=x ﹣1，根据勾股定理得：CE 2+OE 2=OC 2，即22+（x ﹣1）2=x 2，解得：x=；故答案为：．9．【答案】6；10．【答案】8；11．【答案】；12．【答案】，；三、解答题13.【答案与解析】设圆弧所在圆的半径为R ，则R 2-(R-18)2=302， ∴R=34当拱顶高水面4米时，有，∴不用采取紧急措施.14.【答案与解析】连结OC ．设AP ＝k ，PB ＝5k ，∵ AB 为⊙O 直径，∴ 半径．且OP ＝OA －PA ＝3k －k ＝2k ．∵ AB ⊥CD 于P ，∴ CP ＝＝5．在Rt △COP 中用勾股定理，有，323152315o 63,120a 22a 21111()(5)3222OC AB AP PB k k k ==+=+=12CD 222OC PC PO =+∴ ．即，∴ (取正根)，∴ 半径(cm)．15.【答案与解析】（1）证明：连接AC ，如图∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∵，∵AC=AD ，∵过圆心O 的线CF ∵AD ，∵AF=DF ，即CF 是AD 的中垂线，∵AC=CD ，∵AC=AD=CD ．即：∵ACD 是等边三角形，∵∵FCD=30°，在Rt ∵COE 中，，∵，∵点E 为OB 的中点；（2）解：在Rt ∵OCE 中，AB=8，∵，又∵BE=OE ，∵OE=2，∵，∵．垂径定理—知识讲解【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理222(3)5(2)k k =+2525k =5k =335OC k ==垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是．【答案】5.【解析】作OM ⊥AB 于M 、ON ⊥CD 于N ，连结OA ，∵AB=CD ，CE =1，ED =3， ∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O 两弦AB 、CD 垂直相交于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径．【答案】如图所示，过点O 分别作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，则四边形MONH 为矩形，连结OB ，∴ ，， ∴ 在Rt △BOM 中，．【变式2】（2015春•安岳县月考）如图，∵O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∵DEB=30°，求弦CD 长．【答案与解析】解：过O 作OF ⊥CD ，交CD 于点F ，连接OD ， ∵F 为CD 的中点，即CF=DF ， ∵AE=2，EB=6，∵AB=AE+EB=2+6=8， ∵OA=4，∵OE=OA ﹣AE=4﹣2=2，在Rt ∵OEF 中，∵DEB=30°， 222+1=512MO HN CN CH CD CH ==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH =+-=+-=111()(46)5222BM AB BH AH ==+=+=22552OB BM OM =+=∵OF=OE=1，在Rt∵ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．2. 已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O 处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A 、B 两个点，在A 处测得∵OAB=45°，在AB 延长线上的C 处测得∵OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O 作OD ∵AC 于点D ，则AD=BD ， ∵∵OAB=45°， ∵AD=OD ，∵设AD=x ，则OD=x ，OA=x ，CD=x+BC=x+50．∵∵OCA=30°， ∵=33，即=33，解得x=25325+， ∵OA=x=×（25325+）=（256252+）（米）．答：人工湖的半径为（256252+）米．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB 、CD 延长线交于⊙O 外一点；在图②中AB 、CD 交于⊙O 内一点；在图③中AB ∥CD ．(2)在三个图形中均有结论：线段EC ＝DF ．(3)证明：过O 作OG ⊥l 于G ．由垂径定理知CG ＝GD ． ∵ AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ， ∴ AE ∥OG ∥BF ． ∵ AB 为直径，∴ AO ＝OB ，∴ EG ＝GF ，∴ EC ＝EG －CG ＝GF －GD ＝DF ．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.垂径定理—巩固练习【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC 的各顶点都在⊙O 上，AC=BC ，CD 平分∠ACB ，交圆O 于点D ，下列结论： ①CD 是⊙O 的直径；②CD 平分弦AB ；③；④；⑤CD ⊥AB ．其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．下面四个命题中正确的是( )．A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=，，则AB的长为（）A ．2 B.3 C.4 D.5第3题第5题第6题AC BC =AD BD =COBDA4．⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数为( )．A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75°5.（2015•河东区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数为（）A ．25°B ． 30°C ． 50°D ． 65°6．如图，EF 是⊙O 的直径，AB 是弦，EF=10cm ，AB=8cm ，则E 、F 两点到直线AB 的距离之和为（）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．6cm 二、填空题7．如图，⊙O 的弦AB 垂直于CD ，E 为垂足，AE =3，BE =7，则圆心O 到CD 的距离是______． 8．如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，P A =6，PB =2，⊙O 的半径为5，则OP =______．7题图 8题图 9题图9．如图，⊙O 的弦AB 垂直于AC ，AB =6cm ，AC =4cm ，则⊙O 的半径等于______cm ． 10．（2015•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，连接AC ．若∠CAB=22.5°，CD=8cm ，则⊙O 的半径为 cm ．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm ，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为．(第12题)12．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，23AEOFBPPB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= . 三、解答题13.如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD=15，，求弦AB 和AC 的长．14．如图所示，C 为的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，PE ⊥BC 于E ，若BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，求弦AB 的长．15．如图所示，已知O 是∠MPN 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别交于点A 、B 和C 、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P 在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.（2015•杭州模拟）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 交于点E ，OE 平分∠BED．（1）求证：AB=CD ；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE ﹣AE 的值．【答案与解析】一、选择题35OE OC ∶∶ACBD1．【答案】D ．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的. 2．【答案】D ．【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B ．【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R ，在Rt △ODH 中，则，由此得R=，所以AB=3.故选 B. 4.【答案】D ．【解析】分弦AB 、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】C ；【解析】连接CD ，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°， ∴∠ABC=90°﹣25°=65°， ∵BC=CD，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】42 ．【解析】解：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4cm ， ∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE 为△AOC 的外角， ∴∠COE=45°，∴△COE 为等腰直角三角形， ∴OC=CE=4cm ，故答案为：411．【答案】. 2()()22221R R =+-32.13.1323cm【解析】连接OC,易求CF= CD=. 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴14.【答案与解析】因为C 为的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB. 由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设则解得，. 15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F.∵ PO 平分∠MPN ∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.3.23cm 15.2AB =35OE OC =∶∶222222227.5 4.562126335AE OA OE AB AE AC AE CE =-=-====+=+=，ACB ,,BP a CP b ==22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩210a =2410AB a cm ==16.【答案与解析】解：（1）过点O 作AB 、CD 的垂线，垂足为M 、N ，如图1，∵OE 平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD， ∴OM=ON， ∴AB=CD；（2）如图2所示，由（1）知，OM=ON ，AB=CD ，OM⊥AB，ON⊥CD， ∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON 与Rt△EOM 中， ∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL ）， ∴NE=ME，∴CD﹣DN ﹣NE=AB ﹣BM ﹣ME ，即AE=CE ，∴DE﹣AE=DE ﹣CE=DN+NE ﹣CE=CN+NE ﹣CE=2NE ， ∵∠BED=60°，OE 平分∠BED， ∴∠NEO=BED=30°，∴ON=OE=1，AA EEP O P O F FC C PA=PC PA=PC图1DBBD图2在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2．。

九年级圆周角定理、垂径定理

辅导讲义年级：初三辅导科目：数学教学内容一、同步知识梳理知识点1：圆的定义圆的定义有以下两种：（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个O旋转一周，另一个P所经过的封闭曲线叫做圆。

定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径。

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

①这是圆的描述性定义，由定义也可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”。

（2）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点叫做圆心，定长叫做半径。

这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径r）；②到定点距离等于定长的点都在圆上。

思考：点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么点P在圆内⇔；点P在圆上⇔；点P在圆外⇔.思考：同圆，等圆的概念题型1：圆的定义例1：半径相等如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．解析∠EOD＝78°与未知角∠A构成了内、外角关系，而∠E也是未知角，且AB＝OC这一已知条件不能直接用，故可考虑用“同圆半径相等”来解．解连接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB ＝OB.∴∠A ＝∠AOB. 又∵OB ＝OE ，∴∠E ＝∠OBE ＝∠A ＋∠AOB ＝2∠A. ∴∠DOE ＝∠E ＋∠A ＝3∠A ， ∴∠A ＝26°.点评利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形解题是本题得解的关键．检测题1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB •于点D ，求∠ACD 的度数．例2：点和圆的位置关系已知线段AB 的长为4cm ，试用阴影表示到点A 不小于3cm ，且到点B 小于2cm 的点的集合．解根据题意作出图形，如图所示，其中阴影部分即为所求．点评解决这类问题的关键是正确掌握点和圆的位置关系．检测题2：如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3cm ，AD ＝4cm.(1)以点A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？ (2)若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是多少？解 (1)∵AB ＝3cm ＜4cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4cm ，∴点D 在⊙A 上．又∵AC ＝32＋42＝5cm ＞4cm ，∴点C 在⊙A 外． (2)∵AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，AC ＝5cm ，也就是说，B 点到圆心A 的距离3cm 是最短距离，C 点到圆心A 的距离5cm 是最长距离． ∴使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，⊙A 的半径r 的取值范围是3cm ＜r ＜5cm.点评 (1)点与圆的位置关系，与点到圆心的距离(d)，圆的半径(r)之间的大小关系有着紧密联系，是“数”与“形”的结合．(2)判断点和圆的位置关系，主要是把点到圆心的距离(d)与圆的半径(r)的大小进行比较．当d ＜r 时，点在圆内；当d ＝r 时，点在圆上；当d ＞r 时，点在圆外．知识点2：圆中的基本线段定义1：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．BA CD3：顶点在圆心的角叫做圆心角．4：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．能够互相重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．5：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等例1：下列说法中正确的是________．(填序号)①圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的两条弧也相等；③平分弦的直径垂直于这条弦；④垂直于弦的直径平分这条弦．解析①圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的每条直线而不是直径，所以①不正确；因为一条弦对两条弧，所以②也不正确；因为直径是弦，所以③也不正确．答案④点评对于概念辨析题，进行比较或举出反例是解决这一类题的关键．检测题1：下列说法中，正确的有________．(填序号)①弦是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个半圆是等弧；④直径是圆中最长的弦．解析∵直径经过圆心，∴弦不一定是直径，故①错误．②③④是正确的．答案②③④点评(1)注意易混淆概念的区别与联系，通过比较进行解题．(2)要注意运用数形结合思想，看到概念联想有关图形，看到图形联想有关概念．知识点3：1：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．2：圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．3:直径(或半圆)所对的圆周角是直角．90°的圆周角所对的弦是直径;例1：如图，已知⊙O中AB的度数是CD度数的2倍，则AB与2CD的关系是()A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定解析取AB的中点E，连接AE、BE，由题意知AE＝BE＝CD，∴AE＝BE＝CD.在△ABE中，AE＋BE＞AB，即2CD＞AB.答案 C点评同圆或等圆中，等弧对等弦．但不能把这一结论推广成弧与所对的弦成正比例关系．检测1：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=30°，若BC=4cm ，则⊙O 的直径为（）A ． 6cmB ． 8cmC ． 10cmD ． 12cm例2：如图，已知O 的半径为R ，C D ，是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96︒，BD 的度数为36︒，动点P 在AB 上，求PC PD +的最小解：连接DC ′，根据题意以及垂径定理，得弧C ′D 的度数是120°，则∠C ′OD=120度．作OE ⊥C ′D 于E ，则∠DOE=60°，则DE=32R ，C ′D ＝3R测试题2 ：已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．例1：如图，AB 是半圆的直径，D 是AC 的中点，∠ABC ＝40°，求∠A 的度数．解连接BD.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DC .∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝20°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵∠ABD ＝20°，∴∠A ＝180°－∠ABD －∠ADB ＝70°. 点评 (1)构造直径所对的90°圆周角是解决与圆相关问题的常用辅助线，这样为勾股定理的运用、相似三角形的产生创造了条件．(2)“90°的圆周角所对的弦是直径”是确定一个圆的圆心的重要方法．例2：已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE= 070 .例3 ：已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°．（1）求EBC ∠的度数；（2）求证：BD CD =．例4：如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．BACE DO一、专题精讲半径相等例1：与勾股定理结合如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．例2：与中心对称图形结合如图，O 的直径AB=4，半径OC AB ⊥,D 为BC 上一点，,DE OC DF AB ⊥⊥ ,垂足分别为E,F ，求EF 的长。

初三下册数学圆知识点定理总结

一基本概念：圆的几何定义和集合定义, 弦, 弦心距, 弧, 等弧, 弓形, 弓形高三角形的外接圆, 三角形的外心, 三角形的内切圆, 三角形的内心, 圆心角, 圆周角, 弦切角, 圆的切线, 圆的割线, 两圆的内公切线, 两圆的外公切线, 两圆的内（外）公切线长, 正多边形, 正多边形的中心, 正多边形的半径, 正多边形的边心距, 正多边形的中心角.二定理：1．不在始终线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面绽开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形. 2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ；直线与圆相切 ⇔ d=r ；直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R, r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ；两圆外切 ⇔ d=R+r ；两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 ⇔ d=R-r ；两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加协助线. 7．关于圆的常见协助线：。

3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)

C
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.

六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的直线 .对称中心为圆心。
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB

圆知识点汇总

圆知识点汇总（一）一、圆、垂径定理1、圆的定义及表示法（1）圆的定义1：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心。

线段OA叫做半径（如图1-1）。

（2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

（3）圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。

（圆是一条闭合曲线，不包含中间的部分）确定一个圆的要素是圆心和半径。

2、与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）直径：经过圆心的弦是直径。

注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦。

（3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（4）半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。

（画图判断带弦的不叫弧，叫弓形）（5）优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

优弧CAB，记作“⌒CAB”，如图1-2。

（6）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

劣弧表示时只需两个字母。

（7）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

（8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

（9）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

判断：长度相等的弧叫做等弧。

（×）3、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

注意：（1）圆的对称轴有无数条。

（2）错误说法：圆的对称轴是直径。

因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。

应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。

4、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5、垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。

初三数学圆知识点总结和解题技巧

初三数学圆知识点总结和解题技巧初中数学几何中圆是比较重要的一部分，下面给大家总结了,初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧!初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆有关的定义1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

(如图中的AB)2、直径经过圆心的弦叫做直径。

(如途中的CD)直径等于半径的2倍。

3、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆与垂径定理

第13讲圆与垂径定理知识点1：圆的有关概念【例1】（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆.【例2】如图所示，AB是圆的直径，则圆中的弦有条，分别是，劣弧有条，分别是．变式1. 下列说法正确的是（）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．变式2. 如图，在⊙O中，半径有，直径有，弦有，劣弧有，优弧有．知识点2：半径组成的等腰三角形【例3】如图，在⊙O中，AB是O的弦，C、D是直线AB上两点，AC=BD．求证：OC=OD．变式3. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC=BD．【例4】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=．变式4. 如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=度．知识点3：垂径定理【例5】如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC，②=，③=，④OC=CN上述结论中，正确的有（填序号）【例6】如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于．变式5. 如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=cm．变式6. 如图，⊙O的半径为6，OA与弦AB的夹角是30°，则弦AB的长度是．知识点4：垂径定理应用【例7】如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=4，DE=16，则AB的长为．变式7. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是cm．【例8】如图，AB为⊙O的弦，P为AB上一点，且PA=8，PB=6，OP=4，则⊙O的半径为．变式8. 如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【例9】如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是．变式9. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于E，DE=6cm，CE=2cm，（1）若∠AED=45°，求AB的长；（2）若EB=3cm，求AB的长．【例10】如图，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．（1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少？变式10. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．【课堂训练】1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=度．2. 如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B=∠C．求证：CE=BF．3. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则⊙O 的半径为多少厘米？4. 已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP 于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．5. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1，EB=5，∠DEB=60°，求CD的长．6. 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．7. 如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12．求线段EF的长．8. 如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，D为的中点，直径AD交BC于点E，AE=5，ED=1，则BC 的长是m．9. 如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE=2，EB=6，ED=3，则⊙O的半径为．10. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是．【课后训练】1．如图，在⊙O中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC，②=，③=，④OC=CN，上述结论中，正确的有（填序号）2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．若AB=2DE，∠E=18°，则∠C 的度数为．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是．4．AB、CD是⊙O的两条弦，∠AOB与∠C互补，∠COD与∠A相等，则∠AOB的度数是．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=度．6．如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CB为半径的⊙C与边AB交于点D．若点D为AB的中点，AB=6，则⊙C的半径长为．8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为．9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．10．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：△OAC≌△OBD．11．（2015•东西湖区校级模拟）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．12．（2015秋•嵊州市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交BC于点D，OD=3，DE=2，求BC和AD．。

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九年级圆垂径定理知识点
圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应
用的基础。

本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮
助你更好地理解和应用这一定理。

一、圆垂径定理的概述
圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。

二、圆垂径定理的证明
为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种
方法。

1. 几何证明
假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。

我们需
要证明AO = BO。

首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。

根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。

又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。

由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。

代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。

通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。

进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。

所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。

因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。

2. 代数证明
我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。

设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。

直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。

根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。

将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =
r²。

简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。

整理之后，我们可以得到(1 + k²)x² = r²。

因为弦CD可以表示为y = mx + c的形式，其中m为斜率，c
为常数。

垂直平分线AB可以表示为y = (-1/m)x + d的形式，其中d为
常数。

根据圆垂径定理的要求，我们可以得出(m + (-1/m)) = 0。

通过这个等式，我们可以计算出垂直平分线AB的斜率为-1/m，并设其为k。

将k代入代数方程，我们可以得到(1 + k²)x² = r²。

进一步简化，可以得到x² + k²x² = r²。

这与前面得到的方程相同，证明了圆垂径定理。

所以，我们也可以通过代数方法得出圆垂径定理的结论。

三、圆垂径定理的应用
圆垂径定理在数学中具有广泛的应用，下面我们介绍几个常见
的应用例子。

1. 圆的切线
根据圆垂径定理，我们知道半径是弦的垂直平分线。

而与弦垂
直的直线与圆相切，即为圆的切线。

所以，圆垂径定理也可以帮
助我们确定圆的切线的位置和方向。

2. 弦的性质
根据圆垂径定理，我们可以得知，如果一条直径垂直于某条弦，那么它是这条弦的垂直平分线。

这一性质可以帮助我们研究圆上
弦的长、弦的位置等问题。

3. 角的性质
通过圆垂径定理，我们可以研究圆上的角的性质。

例如，如果
一条弦终于圆上一点，那么与这条弦异侧的两个弧所对的圆心角
相等。

这就是基于圆垂径定理的一个重要推论。

四、总结
圆垂径定理是数学中的重要定理，它的应用范围广泛。

我们可
以利用圆垂径定理研究圆的切线、弦的性质和角的性质等问题。

通过几何证明和代数证明的方法，我们可以证明圆垂径定理，并
且充分理解和掌握这一定理的相关知识点。

在学习和应用圆的性
质时，圆垂径定理是我们不可或缺的重要内容。

现在我们已经对九年级圆垂径定理的相关知识点有了更深入的
理解，希望这篇文章对你有所帮助。

通过学习和应用圆垂径定理，相信你能更好地解决与圆相关的数学问题，提升自己的数学能力。

祝你学习进步！。