高考数学《方程思想-待定系数法(配凑法)》

方程思想--待定系数法（配凑法）

【2014年辽宁高考理科第16题】对于0c >，当非零实数,a b 满足

224240a ab b c -+-=且使2a b +最大时，345a b c

-+的最小值为 . 切入形式1：方程内直接陪凑，技巧性非常强

【分析】对本题而言，已知等式中22424a ab b -+与|2|a b +之间的变形技巧是本题解题的关键，需要考生调动各种知识，比如完全平方配方的技巧、换元处理等，甚至考虑到已知条件224240a ab b c -+-=中有三个字母，可采用特殊值法先假定一个字母的值，达到减少字母个数，从而简化问题的目的。

【解析】由于条件要求|2|a b +最大，故将已知等式变形为含有|2|a b +的形式。

由224240a ab b c -+-=可得

2253(2)(23)|2|88a b a b c a b ++-=⇒+=≤以上等号成立的条件是23a b =，代入224240a ab b c -+-=得210c b =，

a 、

b 、

c 均用b 表示，从而2234524111(2)2222a b c b b b b

-+=-+

=--≥-， 即当135,,242b a c ===时，345a b c -+有最小值为2-。 【小结】切入形式1的方法，系数的获得存在运气成分。

切入形式2：待定系数法，通法

【分析】对于含有22,,b ab a 项的式子，必然可以构造成如下形式的等式：

原式右边必然可以构造出()()222kb a n b a m +++的形式，

【解析】设()()22

224242a ab b m a b n a kb -+=+++ 利用待定系数法可得

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+42

24442nk m nk m n m n m -=⇒44，代入下面两个式子可得()()

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎩⎨⎧=-=-85

232312146212m n k k n k n 即有()c b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-++2

22323285，显然当b a 23=时，b a +2有最大值为58c ，下略

【小结】本法为通性通法，值得推广。