高精度紧致差分格式综述

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解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式

７２
大学数学
第２６卷
其中Ｄ，ｑ依次为关于的一阶偏微分算子，移算子与一阶中心差分算子，面建立中心差分Ｔ－位下算子和微分算子Ｄ的关系式．Ｔｙｏ展开，得由ａｌｒ可
一
＋１＇？：，）
了一个三层隐式差分格式，是格式的精度比较低；［］造了一个三层显式差分格式，稳定性条件但文４构其
和局部截断误差阶分别为ｆｆ１８和ｏ（Ｚｆ。Ｚ））文［］＜／ｒ（）＋（Ｘ；Ｘ５构造了一个两层恒稳隐式格式和一
因此，文针对四阶抛物型方程（）本１的周期初值问题，造出了一个两层高精度紧致差分格式和一个构三层高精度紧致隐格式，其截断误差阶分别为Ｏ（△￡＋（ｚ和ｏ（ａ￡＋（）ｚｚ △ ．（）ｚ））５（）Ｓ △￡（）＋（））Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ，３。
…
１（２ “ ３＋Ｌ，）ｔ一“（￡，一 ∞ ＜＜ ∞ ， ≤ ￡Ｔ，Ｔ，）Ｏ ≤ 一ｏ％ｘｏ．ｏ％ｏ
一
对于这类四阶抛物型方程的数值解求解，ａｌｅＳｕ ’ｖ在文［］出了一类含权因子ａ的两层差分格式，１提当ａ一０时为显式格式，其稳定性条件为ｆｆ１２一文［］造了一族三层（殊情况下为两层）含双参＜／。；２构ｒ特、数、绝对稳定、精度、对角线型的隐式差分格式，局部截断误差为Ｏ（ｚ＋（））Ａｔ△ｚ分高五其（）５ｚｚ，，５别为时间及空间步长；后，随曾文平针对四阶抛物型方程提出了一系列的差分格式］其中文［］造，３构

求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式

求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。

在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。

本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。

2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。

初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。

3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。

差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。

这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。

时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。

4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。

为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。

求解一维对流方程的高精度紧致差分格式___

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):635-642求解一维对流方程的高精度紧致差分格式侯波,葛永斌(宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021)摘要：本文提出数值求解一维对流方程的一种两层隐式紧致差分格式,采用泰勒级数展开法以及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散.格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.利用von Neumann方法分析得到该格式是无条件稳定的.通过数值实验验证了本文格式的精确性和稳定性.关键词：对流方程;高精度;紧致格式;无条件稳定;有限差分法中图分类号：O241.82AMS(2000)主题分类：65M06;65M12文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0635-081.引言对流方程在生物数学、能源开发、空气动力学等许多领域都具有十分广泛的应用,因此求解该类方程具有非常重要的理论价值和实际意义.然而,由于实际问题通常十分复杂,往往难以求得精确解,因此研究其精确稳定的数值解法是十分必要的.针对对流方程国内外很多学者提出了很多的数值方法.如张天德和孙传灼[1]针对一维对流方程采用待定系数法,得到了两层四点格式和四阶六点格式,并且是无条件稳定的,该方法适用于在点数确定的前提下,得到精度高的差分格式;于志玲和朱少红[2]针对一维问题建立了中间层为两个节点的三层显格式,其截断误差为O(τ2+h2);曾文平[3]针对一维对流方程推导出了一种两层半显式格式，其截断误差为O(τ2+h2),该格式是无条件稳定的.姚朝辉等人[5]将二阶的迎风格式和中心差分格式进行加权得到了WSUC格式,该格式是无条件稳定的;但该格式时间方向和空间方向仅有二阶精度.汤寒松等人[6]通过立方插值拟质点方法(CIP方法),给出了一些保单调的CIP格式;Erdogan[9]针对一维的对流方程推导出了一种指数拟合的差分格式,其截断误差为O(τ2+h2);Bourchtein[10]构造了对流方程的三层五点中心型蛙跳格式,该格式的截断误差为O(τ4+h4);即该格式时间和空间均具有四阶精度,但是该格式是三层的,空间方向需要五个点,并且是条件稳定的;Kim[11]构造了多层无耗散的迎风蛙跳格式,即时间和空间分别具有二阶、四阶、六阶精度,但格式为三层甚至是四层的,并且六阶格式空间方向最多需要五个点,给靠近边界的内点的计算带来困难.综上所述,文献中已经有的数值计算方法大多为低阶精度的,而高精度方法涉及多个时间层,需要一个或多个时间启动步,或者空间方向的网格节点多于三个,这都给计算造成困难或不便.为此本文将构造一种紧致格式,这里紧致格式的定义为对时间导数项的离散采用不超过∗收稿日期：2018-08-10基金项目：国家自然科学基金(11772165,11361045),宁夏自然科学基金重点项目(2018AAC02003),宁夏自治区重点研发项目(2018BEE03007)作者简介：侯波,男,汉族,河南人,研究方向：偏微分方程数值解法.通讯作者：葛永斌.636应用数学2019三个时间层,而对空间导数项的离散采用不超过三个网格点,时间和空间即可以达到高阶精度（三阶及三阶以上）的格式.本文拟构造的格式时间方向仅用到两个时间层上的函数值,在每个时间层上仅涉及到三个空间网格点,格式时间和空间具有整体的四阶精度.该格式的优点是无须启动步的计算,并且在对靠近边界点的计算时,不会用到计算域以外的网格节点.此外该格式为无条件稳定的,可以采用比较大的时间步长进行计算.最后通过数值实验验证本文格式的精确性和稳定性.2.差分格式的建立考虑如下一维对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=f,b≤x≤c,t≥0,(2.1)给定初始条件为:u(x,0)=φ(x),b≤x≤c,(2.2)给定周期性边界条件为:u(b,t)=u(c,t),t≥0,(2.3)其中,u(x,t)为未知函数,f为非齐次项,a为对流项系数,φ(x)为已知函数.将求解区域[b,c]等距剖分为N个子区间：b=x0,x1,···,x N−1,x N=c,并且定义h=c−bN,时间也采用等距剖分,步长用τ表示.在本文中,我们利用u ni ,u n+1i,u n+12i分别表示u在(x i,t n),(x i,t n+1)和(x i,t n+12)点处的函数值.假设方程(2.1)在点(x i,t n+12)成立,简写表示为:(∂u ∂t )n+12i+a(∂u∂x)n+12i=f n+12i.(2.4)将u n+1i 和u ni在点(x i,t n+12)处做泰勒级数展开,可得:u n+1i=u n+12i+τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i+(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.5)u ni=u n+12i−τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i−(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4).(2.6)(2.5)-(2.6)可得:(∂u∂t)n+12i=δt u n+12i−τ224(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.7)其中,δt u n+12i =u n+1i−u n iτ.同理可得:(∂u∂x)n+12i=δx u n+12i−h26(∂3u∂x3)n+12i+O(h4),(2.8)其中,δx u n+12i =un+12i+1−u n+12i−12h.将(2.7)和(2.8)代入(2.4)整理可得:δt u n+12i −τ224(∂3u∂t3)n+12i+aδx u n+12i−ah26(∂3u∂x3)n+12i=f n+12i+O(τ4+h4).(2.9)为了使该格式在时间方向和空间方向上均达到四阶精度,须对(2.9)式中的∂3u∂t3和∂3u∂x3项进行二阶的离散,同时为了保证本文格式的紧致性,即空间方向不超过三个网格点,我们对(2.1)式进行如下变形:∂u ∂t =−a∂u∂x+f,∂2u∂t2=a2∂2u∂x2−a∂f∂x+∂f∂t,第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式637∂3u ∂t 3=a 2∂3u ∂x 2∂t −a ∂2f ∂x∂t +∂2f ∂t 2,∂3u ∂x 3=−1a ∂3u ∂x 2∂t +1a ∂2f ∂x 2.(2.10)将上述∂3u ∂t 3和∂3u∂x 3的表达式(2.10)代入(2.9)并整理可得：δt u n +12i+aδx u n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.11)如果对上式中的δx u n +12i 项采用时间方向算术平均,即δx u n +12i =δx u n +1i+u n i 2,则会导致格式时间退化为二阶精度,为此利用(2.5)+(2.6)可得：u n +12i =12(u n +1i +u n i )−τ28(∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.12)从而可得:δx u n +12i =12δx (u n +1i +u n i )−τ28δx (∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.13)将(2.13)代入(2.11)得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28δx (∂2u ∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.14)由于δx (∂2u ∂t 2)n +12i =(∂3u ∂x∂t 2)n +12i+O (h 2),所以可得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(∂3u ∂x∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).又因为∂3u ∂x∂t 2=−a ∂3u∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t ,所以有:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(−a ∂3u ∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t )n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),即,δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )+(a 2τ212+h 26)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i −aτ212(∂2f ∂x∂t )n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).由于(∂3u ∂x 2∂t )n +12i=δ2x (∂u ∂t )n +12i +O (h 2),所以有:u n +1i −u n i τ+a 4h(u n +1i +1−u n +1i −1+u ni +1−u n i −1)+(h 26+a 2τ212)δ2x u n +1i −u n i τ−τ224(f n +1i −2f n +12i +f n −1i (τ2)2)−h 212[(∂2f ∂x 2)n +1i +(∂2f ∂x 2)n −1i ]−aτ12[(∂f ∂x )n +1i −(∂f ∂x)n −1i ]=f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),其中,δ2xu i =u i +1−2u i +u i −1h 2,舍去O (τ4+τ2h 2+h 4),等式两边同时乘以τ,并令λ=τ/h ,整理可得:u n +1i +aλ4(u n +1i +1−u n +1i −1)+(16+a 2λ212)(u n +1i +1−2u n +1i +u n +1i −1)638应用数学2019=u n i−aλ4(u n i +1−u n i −1)+(16+a 2λ212)(u n i +1−2u n i +u ni −1)+τ6(f n +1i −2f n +12i +f n i )+τ12(f n +1i +1−2f n +1i +f n +1i −1+f n i +1−2f n i +f n i −1)+aτλ24(f n +1i +1−f n +1i −1−f n i +1+f ni −1)+τf n +12i,即,(23−a 2λ26)u n +1i +(16+aλ4+a 2λ212)u n +1i +1+(16−aλ4+a 2λ212)u n +1i −1=(23−a 2λ26)u n i +(16−aλ4+a 2λ212)u n i +1+(16+aλ4+a 2λ212)u n i −1+(τ12+aλτ24)f n +1i +1(τ12−aλτ24)f n +1i −1+(τ12−aλτ24)f n i +1+(τ12+aλτ24)f n i −1+2τ3f n +12i .(2.15)由推导过程可知,该格式的截断误差为O (τ4+τ2h 2+h 4),即格式(2.15)在时间和空间上均可达到四阶精度.我们注意到,格式为两层格式,并且格式每层仅用到三个网格点,形成的代数方程组系数矩阵为循环三对角矩阵,可采用追赶法进行求解[8],同时由于要求未知时间层上(第n +1层)中间点的系数不能等于0,即23−a 2λ26=0,因此aλ=2.3.稳定性分析下面采用von Neumann 方法分析本文所推导的差分格式(2.15)的稳定性.对于(2.15)式,舍掉非齐次项f ,即假设f 项精确成立,令u n i =ηn e Iσx i,其中,η为振幅,σ为波数,I =√−1为虚数单位,有(23−a 2λ26)ηn +1e Iσx i +(16+aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i +1+(16−aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i −1=(23−a 2λ26)ηn e Iσx i +(16−aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i +1+(16+aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i −1.(3.1)两边同时约掉e Iσx i ,并整理可得：(23−a 2λ26)ηn +1+(16+a 2λ212)ηn +1(e Iσh +e −Iσh )+aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh )=(23−a 2λ26)ηn+(16+a 2λ212)ηn (e Iσh +e −Iσh )−aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh ).(3.2)利用Euler 公式,即e Iσh =cos σh +I sin σh,e −Iσh =cos σh −I sin σh ,可得:(23−a 2λ26)ηn +1+[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn +1+(aλI 2sin σh )ηn +1=(23−a 2λ26)ηn +[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn −(aλI 2sin σh )ηn .(3.3)对上式进行化简整理有[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh 2]ηn +1=[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh 2]ηn .(3.4)从而可得格式(2.15)的误差放大因子为:G =ηn +1ηn =(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh2(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh2.(3.5)由von Numann 稳定性定理可知当|G |≤1时,格式是稳定的,由(3.5)可得|G |=1,因此,格式(2.15)是无条件稳定的.4.数值实验第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式639为了验证本文格式(2.15)的精确性和稳定性,现考虑以下三个具有精确解的初边值问题.分别采用Crank-Nicolson(C-N)格式,文[7]中格式和本文格式(2.15)进行计算;其中,最大绝对误差及收敛阶的定义为:L∞=maxi |u n i−u(x i,t n)|,Rate=log[L∞(h1)/L∞(h2)]log(h1/h2)L∞(h1)和L∞(h2)为空间网格步长分别为h1和h2时的最大绝对误差.问题1[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=sin(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=sin[π(x−t)].表1问题1当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 2.217(-1) 4.865(-2) 1.993(-3)1/1020 5.752(-2) 1.95 1.263(-2) 1.95 1.208(-4) 4.041/2040 1.450(-2) 1.99 3.199(-3) 1.987.490(-6) 4.011/4080 3.631(-3) 2.008.038(-4) 1.99 4.672(-7) 4.001/801609.082(-4) 2.00 2.014(-4) 2.00 2.919(-8) 4.001/160320 2.271(-4) 2.00 5.041(-5) 2.00 1.824(-9) 4.00表2问题1当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文献[7]本文格式1/160.050000000.8 5.290(-2) 1.292(-2) 1.574(-5) 0.10000000 1.69.013(-2) 5.095(-2) 3.198(-3) 0.20000000 3.2 2.307(-1) 1.941(-1) 6.055(-2) 0.40000000 6.4 6.874(-1) 6.597(-1) 1.746(-2)1/320.025000000.8 1.330(-2) 3.230(-3)9.814(-7) 0.20000000 6.4 2.041(-1) 1.950(-1) 1.575(-3) 0.4000000012.8 6.668(-1) 6.601(-1) 1.916(-2)图1问题1当N=32,τ=0.03125,t=0.2时刻的数值解与精确解640应用数学2019表1给出了针对问题1三种格式在不同空间步长h下,当λ=τ/h=0.5,t=1时的最大绝对误差和收敛阶.我们发现C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,由于文[7]格式时间具有二阶精度,空间具有四阶精度,因此当取τ=O(h)时,格式空间仅有二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.图1给出N=32,τ=0.03125,t=0.2数值解与精确解对比图,可以看出数值解与精确解吻合的很好.表2给出了当h=1/16和h=1/32时,τ=λh,t=2时刻对问题1采用三种格式计算的最大绝对误差.可以看出网格比λ最大取到12.8,计算仍然是稳定的,因此本文格式是无条件稳定的.并且本文格式在所有参数下,其计算结果比C-N格式和文[7]格式计算结果更加精确.问题2[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=e cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=e cos[π(x−t)].表3问题2当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 6.754(-1) 1.428(-1) 5.567(-2)1/1020 2.310(-1) 1.55 3.099(-2) 2.20 3.041(-3) 4.191/2040 6.027(-2) 1.94 6.825(-3) 2.18 1.904(-4) 4.001/4080 1.492(-2) 2.01 1.658(-3) 2.04 1.165(-5) 4.031/80160 3.705(-3) 2.01 4.115(-4) 2.017.252(-7) 4.011/1603209.250(-4) 2.00 1.028(-4) 2.00 4.527(-8) 4.00表4问题2当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文[7]本文格式1/160.050000000.8 2.171(-1) 5.372(-2) 3.897(-4) 0.10000000 1.6 3.450(-1) 2.056(-1)7.795(-3) 0.20000000 3.2 6.810(-1) 6.111(-1) 3.416(-1) 0.40000000 6.4 1.220 1.198 2.017(-1)1/320.025000000.8 5.575(-2) 1.325(-2) 2.449(-5) 0.20000000 6.4 6.302(-1) 6.109(-1) 2.350(-2) 0.4000000012.8 1.204 1.199 2.201(-1)表3和表4给出了针对问题2利用本文格式和C-N格式以及文[7]格式的计算结果.表3考察了格式的精度,表4验证了格式的稳定性.可以看出本文格式在时间和空间上均可达到四阶精度,并且是无条件稳定的.问题3∂u ∂t +a∂u∂x=f,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,f=π(1−a)sin[π(x−t)],该问题的精确解为:u(x,t)=cos[π(x−t)].第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式641表5问题3当λ=τ/h=0.5,a=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate1/510 1.124(-1) 4.244(-4)1/1020 3.520(-2) 1.67 2.744(-5) 3.951/20409.957(-3) 1.82 1.739(-6) 3.981/4080 2.551(-3) 1.96 1.134(-7) 3.941/80160 6.413(-4) 1.99 1.351(-8) 3.07问题3为非齐次问题,由于文[7]的方程模型为齐次方程,不能计算非齐次问题,因此该问题我们采用本文格式和C-N进行计算和比较,表5给出了两种格式在不同空间步长h下,当t=1时的最大绝对误差和收敛阶.可以看出当λ=τ/h=0.5,a=0.5时,C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.5.结论本文针对一维对流方程提出了一种两层隐式高精度紧致差分格式,时间和空间均采用泰勒级数展开法以及截断误差余项修正法进行处理,格式截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.并通过von Neumann方法分析得到该格式为无条件稳定的.最后通过三个数值算例验证了格式的精确性和稳定性.通过上述研究,我们可以得出如下结论:1.文献(如[10-11])中的高精度格式往往是时间多层格式,需要另外构造启动步的计算格式,如果采用低精度格式启动,必然会影响以后时间层的计算精度.而本文格式仅为两层格式,无须启动步的计算,时间即可达到四阶精度.2.文献(如[1,10-11])中的高精度格式空间方向上往往超过三个网格节点,导致靠近边界的内点计算困难,需要采用特殊处理,而本文格式仅用到三个网格节点,可以有效避免这一问题.3.尽管本文格式要求aλ=2,这是本文格式的一个缺陷,但是由于本文格式是无条件稳定的,从理论上讲可以采用任意网格比,因此可以很容易避开aλ=2的条件限制,使得这一缺陷并不太影响格式的使用.4.由于本文方法推导过程中涉及到∂2u∂t2,∂3u∂t3,∂3u∂x3的计算,需要用原方程进行多次求导并进行反复代入计算,在考虑对流项为变系数问题时,将涉及到a(x,t)关于x和t的二阶导数,由于我们考虑在时间半点处,即(x i,t n+12)处的函数值,即要用到(∂2a∂t2)n+12i,如果采用中心差分,则时间仅具有二阶精度,因此本文方法不适用于变系数问题.5.本文方法可直接推广到二维和三维问题中去,我们将另文报道.参考文献：[1]张天德,孙传灼.对流方程的差分格式[J].计算物理,1995,12(2):191-195.[2]于志玲,朱少红.关于对流方程一类三层显格式[J].南开大学学报(自然科学版),1998,31(3):27-30.[3]曾文平.解对流方程的加耗散项的差分格式[J].应用数学,2001,14(S1):154-158.[4]陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].北京:北京大学出版社,1987.[5]姚朝晖,张锡文,任玉新等.一种低耗散、无伪振荡的实用差分格式[J].水动力学研究与进展(A辑),2001,16(02):195-199.[6]汤寒松,张德良,李椿萱.对流方程保单调CIP格式[J].水动力学研究与进展(A辑),1997(02):181-187.[7]赵飞,蔡志权,葛永斌.一维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分公式[J].江西师范大学学报(自然科学版),2014,38(4):413-418.642应用数学2019[8]李青,王能超.解循环三对角线性方程组的追赶法[J].小型微型计算机系统,2002(23):1393-1395.[9]ERDOGAN U.Improved upwind discretization of the advection equation[J].Numer.Meth.PartDiﬀer.Equ.,2014,30:773-787.[10]BOURCHTEIN A,BOURCHTEIN L.Explicitﬁnite schemes with extended stability for advectionequations[J]put.Appl.Math.,2012,236:3591-3604.[11]KIM C.Accurate multi-level schemes for advection[J].Int.J.Numer.Methods Fluids.,2003,41:471-494.A High-Order Compact Diﬀerence Scheme for Solving the1DConvection EquationHOU Bo,GE Yongbin(School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Yinchuan750021,China)Abstract:In this paper,a two-level implicit compact diﬀerence scheme for solving the one-dimensional convection equation is proposed.Taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central diﬀerence scheme are used for the discretization of time and space.The local truncation error of the scheme is O(τ4+τ2h2+h4),i.e.,it has the fourth-order accuracy in both time and space.The unconditional stability is obtained by the von Neumann method. The accuracy and the stability of the present scheme are validated by some numerical experiments.Key words:Convection equation;High accuracy;Compact diﬀerence scheme;Unconditional sta-bility;Finite diﬀerence method。

10-高阶紧致格式

§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分先考虑导数的差分近似。

若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 ()p h O 。

要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。

但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。

构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。

通常情形，这需要更多的点。

例如：两点差分近似()()()f x h f x f x h+-¢»只有一阶精度。

而使用三个点，就可以构造出二阶近似()()()()2432f x h f x h f x f x h-+++-¢»精度越高，需要的点就更多。

对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。

但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。

例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。

设 0a > 。

0duau dx+= （01x < ）， ()0u =α取 M 个网格，空间步长 1h M=，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 ()j j u u x » 。

因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有10j j j u u au h--+= （1,2,3,,j M =L ）实际的计算方案为0u =α ， 111j j u u ha-=+ （1,2,3,,j M =L ）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。

如果采用二阶差分近似，则成为12340j j j j u u u au h---++= （2,3,,j M =L ）这个格式具有二阶精度。

可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。

而初始条件只提供了 0u =α 。

因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。

高阶抛物型偏微分方程的一个高精度差分格式

高阶抛物型偏微分方程的一个高精度差分格式
高精度差分格式用于解决高阶抛物型偏微分方程（HOMPDE），它比基本差分方法具有更高的精度。

它包括两个主要的部分：一是前向差分格式；二是后向差分格式，这些部分协同工作以提高HOMPDE的解决精度。

一、前向差分格式：
1. 用于处理纯时间序列的差分运算；
2. 具有稳定低误差的高精度；
3. 通过连续时间变化把高阶抛物型方程简化为多个简单的一阶抛物型方程；
4. 在进行差分运算时，可以使用差分系数表和多项式去估计函数的梯度，以极大提高计算精度；
5. 从决定非线性HOMPDE解的复杂性角度出发，可以采用Chebyshev范数来评估精度，从而消除除数分母的误差。

二、后向差分格式：
1. 适用于空间拓扑变化的元素；
2. 对处理多个变量的显式方程时，可用来准确识别和估计隐式变量；
3. 可使用各种数值技术，如快速傅里叶变换、反射矩阵等，根据拓扑变化进行多重变量运算；
4. 同时尝试多种方法，基于非线性反应的代数展开及全局正定性来
改进后向差分精度；
5. 对变化的边界条件使用可靠的边界条件模型来建立精确且实用的解。

以上就是高精度差分格式用于解决高阶抛物型偏微分方程（HOMPDE）的基本原理以及方法。

高精度差分格式可以有效地改进微分方程的解
精度，并为实现计算机模拟研究提供了良好参考框架。

Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法

Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。

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《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》范文

《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程在物理、工程、生物和金融等多个领域具有广泛的应用。

这些方程常常用于描述复杂系统中的复杂现象，如流体力学、量子力学和随机过程等。

因此，发展高效、高精度的数值方法来解决这些方程的求解问题具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文将重点介绍一种高阶紧致差分格式，用于求解非线性分数阶偏微分方程。

二、非线性分数阶偏微分方程概述非线性分数阶偏微分方程是一种包含未知函数的高阶偏导数的非线性偏微分方程。

由于分数阶导数的引入，这类方程的解通常具有复杂的性质和较高的计算难度。

传统的数值方法往往难以满足高精度和高效性的要求。

因此，发展针对这类方程的数值方法具有重要的研究价值。

三、高阶紧致差分格式的构建为了解决非线性分数阶偏微分方程的求解问题，本文提出了一种高阶紧致差分格式。

该格式基于离散化思想和插值技术，将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而将原问题转化为求解一系列离散化后的差分方程。

在构建高阶紧致差分格式时，我们采用了以下关键步骤：1. 离散化：将求解区域划分为一系列离散的网格点，并确定每个网格点的空间位置和相邻网格点的关系。

2. 插值技术：在每个网格点上，利用插值技术将连续的分数阶导数近似为差分形式。

我们采用了高阶多项式插值技术，以获得较高的精度和较好的稳定性。

3. 紧致性：为了减小数值误差和计算量，我们采用了紧致差分格式。

该格式在保持足够精度的同时，减少了所需的计算量和存储空间。

4. 迭代求解：将离散化后的差分方程转化为迭代求解格式，并采用适当的迭代算法进行求解。

四、高阶紧致差分格式的优点相比传统的数值方法，高阶紧致差分格式具有以下优点：1. 高精度：由于采用了高阶多项式插值技术和紧致差分格式，该格式具有较高的精度和较小的数值误差。

2. 高效性：该格式将连续的分数阶导数离散化为差分形式，从而大大降低了计算量和存储空间需求。

此外，采用迭代求解方法可以进一步提高计算效率。

高精度有限差分格式的构造与分析

பைடு நூலகம்２０１５正
赣南师范学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｎｏ．６
Ｄｅｅ．２０１５
第六期
高精度有限差分格式的构造与分析
徐会林，刘明
（１．赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州３４１０００；２．河南理工大学数学与信息科学学院，河南焦作４５４０００）摘要：基于有限差分格式的代数精度的概念，利用待定系数法构造了任意ｎ＋１点的有限差分公式，证明公式的代数精度最高为ｎ，并给出该公式的余项表达式．分析余项发现中点差分公式的误差最小，而向前或向后差分公式的误差最大．因此，在计算时应尽量使用中心差分公式，而当求导节点靠近端点时，应尽可能同时利用该点两侧的函数值近似求导．最后，通过数值算例验证了上述结论的有效性．关键词：有限差分；数值微分；代数精度；差分余项中图分类号：Ｏ２４１．４文献标志码：Ａ文章编号：１００４—８３３２（２０１５）０６— ０００９— ０５
１ｆｎ
＝一
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∑ｎ矿
，＝０，１， … ，ｎ √ ≠ ，
，，厶、，
｝收稿日期：２０１５—０８—２６
ＤＯＩ：１０．１３６９８／ｊ．ｅｎｋｉ．ｃｎ３６—１０３７／ｃ．２０１５．０６．００３

求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现

1.1 研究背景和意义...................................................................................................... 1 1.2 国内外研究现状...................................................................................................... 2 1.3 本文主要工作.......................................................................................................... 4
Key Words: Convection equation; High-order; Compact difference scheme; LOD method; Finite difference method
II
目录
第一章绪论...................................................................................................................... 1
Finally, these schemes deduced in this paper are integrated into the software of "PHOEBESolver", which makes it easier for scholars in numerical solutions of partial differential equations to use these schemes in this paper.

《2024年非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》范文

《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一摘要：本文旨在探讨非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式。

首先，我们将简要介绍分数阶偏微分方程的背景及其重要性。

随后，通过引入高阶紧致差分格式，我们提出了一种有效的数值求解方法，并对其进行了详细的理论分析和数值验证。

一、引言非线性分数阶偏微分方程在众多领域如物理、工程和金融等都有着广泛的应用。

然而，由于这些方程的复杂性，直接求解往往面临很大的挑战。

近年来，随着数值分析方法的不断发展，尤其是对于高阶和分数阶微分方程的数值求解方法，成为了研究的热点。

其中，差分方法因其简单有效，被广泛应用于各类微分方程的数值求解中。

本文将重点研究非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式。

二、非线性分数阶偏微分方程非线性分数阶偏微分方程通常具有复杂的解结构和较高的求解难度。

其一般形式为：\[ D_t^\alpha u(x,t) + N(u(x,t), \nabla u(x,t)) = f(x,t) \]其中，$ D_t^\alpha $ 表示分数阶时间导数，$ N $ 为非线性算子，$ f $ 为给定的源项或外部力。

三、高阶紧致差分格式为了有效地求解非线性分数阶偏微分方程，我们引入高阶紧致差分格式。

该格式通过在时间和空间上采用高阶近似和紧致逼近的方式，实现对原方程的离散化处理。

首先，我们将时间上的分数阶导数使用离散化方法进行近似。

接着，在空间上，我们采用高阶紧致差分方法对偏导数进行逼近。

这样，原非线性分数阶偏微分方程就可以被转换为一组关于时间和空间的离散化高阶紧致差分方程。

四、理论分析对于所提出的高阶紧致差分格式，我们进行了详细的理论分析。

包括差分格式的收敛性、稳定性以及误差估计等。

我们证明了在适当的条件下，该差分格式可以有效地逼近原非线性分数阶偏微分方程的解，并具有较高的计算精度和稳定性。

五、数值验证为了进一步验证所提出的高阶紧致差分格式的有效性，我们进行了大量的数值实验。

紧致差分格式

紧致差分格式
紧致差分格式是一种数值求解偏微分方程的方法，其主要特点是在离散化时使用了较少的节点，同时保持较高的精度。

在紧致差分格式中，我们将要求解的偏微分方程离散化为一个代数方程组，通过求解该方程组来得到数值解。

为了实现高精度，紧致差分格式通常会使用高阶的差分算子，例如二阶中心差分算子或者非中心差分算子。

常见的紧致差分格式包括：
1. 二阶中心差分格式：使用二阶中心差分算子来逼近偏微分方程中的导数项，从而得到一个二阶精度的差分格式。

2. 基于算子分裂的紧致差分格式：将整个偏微分方程分解为几个部分，在每个部分中采用不同的差分格式来逼近，然后通过交替迭代的方式求解。

3. 符号差分法：利用泰勒级数展开，将偏微分方程中的导数项用差分算子展开，然后通过合理的组合得到一个高精度的差分格式。

紧致差分格式一般适用于光滑的问题，并且需要在边界处进行一定程度的调整，以满足边界条件。

同时，紧致差分格式通常需要解一个线性方程组，因此对于大规模问题可能需要使用高效的求解算法。

方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式

方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式紧致差分格式是一种在数值计算中比较常用的方法，用于解决求解常微分方程的问题。

本文将讨论如何使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

首先，我们来看看ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的几何意义。

这个方程的左边表示的是一个变量u的二阶时间导数，其中u的二阶空间导数也参与其中。

右边的f(u)表示的是一个函数，我们可以认为它是外部的一个影响因素。

接下来，我们要使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

首先，我们将方程进行分析，可以得出：$$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=f(u)$$可以将上述方程分解为：$$u_{tt}-u_{xx}=g(u)$$$$g(u)=-u_{xxtt}+f(u)$$此时，我们可以使用紧致差分格式来求解上述方程，即：$$\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta x^2}-\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Deltax^2}=g(u_{i,j})$$其中，$u_{i,j}$表示的是时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。

最后，我们可以使用上述紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程，其中$u_{i,j}$表示时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。

使用紧致差分格式，可以很容易地求解出ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的解。

总的来说，紧致差分格式是一种比较常用的数值计算方法，可以用来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式

的足够光滑函数．
１高精度紧致差分格式
将求解区域［。ｎ］Ｅ，ｂ］别剖分为Ｎａ，和ｂ，２分
和Ｍ个子区间
ｎｌＺＯ，７．２１，Ｘ２ ’… ，ｌ，ＮＸ “ ２’
程组Ｌ的高精度紧致差分格式．７叫］
ｌ１
ｙ
其中ｒ “为截断误差，可表示为
：＋）ｉ１ｊ（１＋：，１『
（１ｆ，） —
ｙ，
ｒ
Ｈ雾＋＋。＋＋。ＫＨＫＨ筹＋ｓ＋（（＿）ｓＫｏ一口＋工）
一
（１）ｉ，－，
（６１）
￣０＋一ｆ＋Ｌ，［ｙ・ ’ ｚＪ
一・－］
（）７
由式（）（６，程（）８和１）方１在非均匀网格上的高精
那么式（）以写为如下的近似形式１可
（一一）ｆ＋Ｔ， ’ ｊｉｊ一。，，（）８
第２６卷第２期
２１０２年３月
甘肃联合大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｎｕＬｉｎｅＵｎｖｒｉ（ｔｒｌｃｅｃｓｏｒａｆＧａｓａｈｉｅｓｔＮａｕａＳｉｎｅ）ｙ
Ｖｏ．６Ｎｏ２１２．
Ｆ一－一小
蔗［ｆＨ］升一＇・ｊ＋・Ｊ一
（１１）
为了得到更高阶精度的离散格式，面对截下
等生ｕａ一２ｕ：一．１ａ（）。、筹一等＋（５（２０））．

紧致差分格式

紧致差分格式
紧致差分格式是一种在数值计算和数值模拟中常用的数值解法。

它通过将连续的物理量分割成离散的点，并使用差分来近似导数，从而将求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题。

紧致差分格式的优势在于其高精度和较小的误差。

相比其他差分格式，紧致差分格式在相同离散点数的情况下能够提供更准确的解。

这是因为紧致差分格式通过使用更多的信息来近似导数，从而减小了离散误差。

紧致差分格式的核心是在相邻的离散点上使用高阶差分，以提高精度。

在一维情况下，一种常用的紧致差分格式是中心差分格式，它使用相邻的三个点来近似导数。

在二维情况下，紧致差分格式可以使用九点、五点或者七点的近似来计算二阶导数。

这些格式都可以通过解线性方程组的方式进行求解。

在应用紧致差分格式时，我们需要注意几个问题。

首先，边界条件的选择对于解的精度和稳定性至关重要。

通常，我们可以使用一阶导数的数值近似来设定边界条件。

其次，选择合适的离散点数和步长对于保证数值解的准确性也非常重要。

较小的步长会提高解的精度，但同时也会增加计算的复杂度。

总而言之，紧致差分格式是一种可靠且高精度的数值解法。

通过合理选择离散点和适当的近似方式，我们可以使用紧致差分格式对微分方程进行数值求解。

这种方法不仅可以应用于科学计算、工程仿真
等领域，还可以用于前沿科学研究中的模拟和模型验证。

因此，了解紧致差分格式的原理和应用，对于提高数值计算的准确性和效率具有重要的指导意义。

求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现

Finally, these schemes deduced in this paper are integrated into the software of "PHOEBESolver", which makes it easier for scholars in numerical solutions of partial differential equations to use these schemes in this paper.
Then, For the two-dimensional and three-dimensional convection equations, using the LOD method to making the two-dimensional and three-dimensional problems split one-dimensional equations. The one-dimensional convection equations use taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme in discretization of time and space. We can establish some high-order compact LOD schemes for solving two-dimensional and three-dimensional convection equations. The stability are obtained by the von Neumann method.The accuracy and reliability of these schemes are validated by some numerical experiments.

《2024年非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》范文

《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程在物理、工程、生物和金融等多个领域有着广泛的应用。

然而，由于这类方程的复杂性和非线性特性，其求解往往面临巨大的挑战。

近年来，随着计算科学和数值分析的快速发展，差分方法作为一种有效的数值求解方法，被广泛应用于求解这类方程。

本文旨在研究非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式，以期为该类方程的求解提供新的思路和方法。

二、非线性分数阶偏微分方程的描述非线性分数阶偏微分方程通常具有复杂的非线性特性和分数阶导数项。

这类方程在描述物理现象、生物过程和金融模型等方面具有广泛的应用。

然而，由于其复杂的数学特性和非线性特性，直接求解往往非常困难。

因此，我们需要借助数值方法对其进行求解。

三、高阶紧致差分格式的构建为了求解非线性分数阶偏微分方程，本文提出了一种高阶紧致差分格式。

该格式基于分数阶导数的离散化方法，通过将连续的分数阶导数近似为离散的差分形式，从而将原方程转化为一个离散的代数方程组。

在构建差分格式时，我们采用了高阶紧致的方法，以减小数值解的误差。

具体而言，我们通过选择适当的离散点、构建差分公式和确定差分格式的阶数等方式，构建了高阶紧致的差分格式。

四、差分格式的求解与性质分析在构建了高阶紧致差分格式后，我们需要对离散的代数方程组进行求解。

由于该方程组具有非线性和分数阶导数项等复杂特性，我们采用了迭代法和预处理技术等方法进行求解。

同时，我们还对差分格式的稳定性和收敛性等性质进行了分析。

结果表明，该高阶紧致差分格式具有良好的稳定性和收敛性，能够有效地求解非线性分数阶偏微分方程。

五、应用实例与结果分析为了验证本文提出的高阶紧致差分格式的有效性，我们将其应用于几个典型的非线性分数阶偏微分方程的求解中。

通过与已知结果进行比较，我们发现该差分格式能够得到与已知结果相符合的数值解。

同时，我们还分析了不同参数对数值解的影响，并探讨了该差分格式在实际应用中的可行性。

一维的分数阶紧致差分算法格式

一维的分数阶紧致差分算法格式随着科学技术的不断发展，分数阶微积分在数学、物理、工程等领域中得到了广泛的应用。

分数阶微积分的引入使得传统的整数阶微积分得到了扩展和深化，为处理一些复杂的非线性、非局部和非平稳问题提供了新的数学工具和方法。

本文将介绍一维的分数阶紧致差分算法格式，旨在为读者提供对该算法格式的基本认识和理解。

一、算法概述1.1 紧致差分格式简介紧致差分格式是一种常见的数值求解偏微分方程的方法，相比传统的有限差分格式，紧致差分格式具有更高的精度和更小的耗散误差。

其基本思想是通过适当的差分离散方法，将偏微分方程转化为代数方程组，并利用迭代求解的方式得到数值解。

1.2 分数阶紧致差分格式引入在传统的紧致差分格式中，通常采用整数阶导数的离散格式。

而在分数阶微积分的引入下，我们可以将偏微分方程中的整数阶导数替换为分数阶导数，从而得到分数阶紧致差分格式。

这种格式在处理具有分数阶微分项的偏微分方程时具有更好的适用性和精度。

二、算法原理2.1 分数阶导数的离散化在分数阶紧致差分格式中，首先需要将分数阶导数进行离散化处理。

一般而言，可以采用格朗沃尔公式或者格里昂公式等方法来进行分数阶导数的离散化，得到相应的代数方程。

2.2 紧致差分格式的修正在得到了分数阶导数的离散格式之后，需要将其嵌入到紧致差分格式中进行修正。

由于分数阶微分项的引入，在差分格式的计算系数和边界条件等方面会有所不同，需要进行相应的调整和修正。

2.3 迭代求解方法通过迭代求解的方法，将修正后的紧致差分格式应用于分数阶偏微分方程的数值求解。

在迭代求解的过程中，需要考虑数值格式的稳定性、收敛性和计算效率等方面的问题。

三、算法特点3.1 高精度与传统的整数阶紧致差分格式相比，分数阶紧致差分格式具有更高的精度和更小的数值耗散误差。

这使得该算法在处理一些高精度要求的工程和科学计算问题时具有更好的适用性。

3.2 更好的适用性由于分数阶微积分的引入，分数阶紧致差分格式能够更好地处理具有分数阶微分项的偏微分方程，例如分数阶扩散方程、分数阶波动方程等。

封闭方腔内自然对流问题的高精度紧致差分格式

进行数值模拟．
关键词：不可压Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ／Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程组；涡量一流函数方法；高阶紧致差分格式；自然对流
中图分类号；Ｏ２４１．８２文献标识码：Ａ
Ｈｉｇｈ－ａｃｃｕｒａｃｙｃｏｍｐａｃｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｍａｔｆｏｒｎａｔｕｒａｌ
第３９卷第５期２０１３年１Ｏ月
兰
州
理
工
大
学
学
报
ＶｏＬ３ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ｎｏ．５Ｏｃｔ．２０１３
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ｃｈａｎｉｃｓ，ＮｉｎｇｘｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ７５００２１，Ｃｈｉａ）ｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｈｉｇｈ－ａｃｃｕｒａｃｙｃｏｍｐａｃｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｍａｔｏｆＮａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ／Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑｅｑｕａｔｉｏｎｓｅｔｗａｓｐｒｏ —
ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｅｎｃｌｏｓｅｄｓｑｕａｒｅｃａｖｉｔｙ
ＪＩＮ－Ｔａｏ一，ＭＡＴｉｎｇ－ｆｕ，ＧＥＹｏｎｇ－ｂｉｎ。

RLW方程的高精度守恒紧致差分格式

x xx
x +
j)
j)
j)
j)
∑
è
12ø j=1
12j
=1
j=1
j=1
J-1
由边界条件(
12)整理可得
J-1
εh
εh3
2
2
[(
[(
^
^
un
un
x xx
x =0.
j )]
j )]
∑
∑
2 j=1
24 j
=1
J-1
J-1
h
h
n+1
n
n-1
(
).
uj
un
+uj )= ∑ (
j +uj
∑
2j
2
=1
j=1
对上式作递推即可得 Qn =Qn-1 = … =Q0 .
n =0,
1,…,
N -1.
= … =E ,
x =E
j-1 -1
j +uj+1 )[
j )]
∑
∑(
12 l
=1 j=1
对式(
10)两边同时乘以 h,并对j 从 1 到 J-1 求和可得
J-1
J-1
J-1
J-1
h2 ö÷
h3
æ
n
n
(
^

^
^
^
h∑ (
un
h∑ (
un
u
u
t -μ ç1xx
t +h∑ (
11)和如下四
阶两层线性格式来计算 u1 :
1
1
1
h2 ö÷ 0
h2
ε

紧致差分法研究概况

紧致差分法研究概况伴随计算物理的发展，为了能更加方便研究与剖析差分问题，人们对于数值结果的精度要求越来越高，而普通的有限差分格式在很大步长下的精度偏低，为了提高精度不得不缩小步长，增加更多的网格点数量，这肯定增加了计算机的计算量，使得计算速度变慢，计算时间拉长。

为了克服这一计算难题，人们开始寻找计算少精度高的差分方法。

紧致差分方法正是在这种情形下应运而生。

在1991年，lelei总结好了对称型紧致差分格式。

相比于传统的差分格式，在相同的计算网格中，紧致差分格式有着更高的精度和分辨率。

1993年傅德薰在紧致差分格式中引入迎风机制，1997年提出了五格点五阶精度的迎风紧致格式。

紧致差分格式中迎风机制的引入能够有效抑制非物理振荡，更适合于多尺度复杂流场的计算。

以上的对称型紧致差分格式和迎风型紧致差分格式是建立在均匀网格的基础上的。

1抛物线方程偏微分方程可用于描述出现在工程问题中的许多数学模型。

抛物线问题作为偏微分方程中的一种频繁处理，在诸如扩散，渗流和热传导等问题中具有大量应用。

因此，在很多情况下，偏微分方程找不到精确解，只能通过求解其数值解来研究问题。

因此，找到高精度，小计算，稳定性好的数值计算方法具有重要意义。

对于抛物问题，有限差分法经常用于解决数值问题。

有限差分方法的基本思想是将连续解区域分离为有限点网格，然后使用网格上定义的离散变量差。

该方程近似于连续解区域上的连续变量微分方程。

最后，原始微分方程可以转换为代数方程组。

求解方程可以得到离散点处原始微分方程的数值解。

在众多差分方法中，紧凑差分格式使用较少的网格基点，但计算格式精度很高。

因此，与传统的髙精度格式相比，紧凑的差分格式具有许多优点，例如计算量。

小，对单元敏感，易于处理边界条件等。

.因此，紧凑差分格式的研究是高精度格式研究的主要方向之一。

目前，关于抛物问题的高精度紧致差分方法的研究就显而易见，由于稳定条件的过度限制，显式紧致差分方法难以被广泛使用。