热力学统计物理 课后习题 答案

第一章 热力学的基本规律
1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。

解：已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数T
pV nR T V V p 1
1==
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
α， 压强系数T
pV nR T P P V 1
1==
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1
)(112=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-
=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰
-=dp dT V T καln ，如果P
T
T 1
,1
=
=κα，试求物态方程。

解： 体胀系数 p T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=
1α 等温压缩系数 T
T p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-
=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T T
p κα-=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=
dp dT V
dV
T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得
()⎰-=dp dT V T καln
根据题设 ， 若 p
T T 1,1==
κα ⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C p
T
V +=ln
ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。

1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为F
T L L ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=
1α ，等温杨氏模量定义为T
L F A L Y ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=
，其中A 是金属丝的截面。

一般来说，α和Y 是T 的函数，对£
仅有微弱的依赖关系。

如果温度变化范围不大，可以看作常数。

假设金属丝两端固定。

试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为)T -(T -Y A £12α=∆。

解： f (£,L,T)=0 ，£=F £(L,T) dT T dL L dT T d L
T L ⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=££££ (dL=0) 1££-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂T
F L L L T T αα
YA L AY L L T L T T
F L -=-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂££ dT YA d α-=£
所以 )T -(T -Y A £12α=∆
1．6 1mol 理想气体，在27o
C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ，求气体
所做的功和所吸收的热量。

解：将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。

根据⎰
-=VB
VA
pdV W ，
在准静态等温过程中气体体积由VA 膨胀到VB ，外界对气体所做的功为
A B A B VB
VA
VB
VA
P P RT V V RT V dV
RT pdV W ln ln -=-=-=-=⎰
⎰ 气体所做的功是上式的负值， - W =A
B P P RT ln
-= 8.31⨯300⨯ln20J= 7.47⨯10-3
J 在等温过程中理想气体的内能不变，即∆U=0 根据热力学第一定律∆U=W+Q ，
气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= - W = 7.47⨯10-3
J
1.7 在25o
C 下，压强在0至1000pn 之间，测得水的体积为
V=18.066-0.715⨯10-3P+0.046⨯10-6P 2cm 3⋅mol -1
如果保持温度不变，将1mol 的水从1pn 加压至1000pn ，求外界所作的功。

解：将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2
由此得到 dV=(B+2CP)dP
保持温度不变，将1mol 的水从1Pn 加压至1000Pn ，在这个准静态过程中，外界所作的功为
⎰-=VB VA pdV W =⎰+-PB
PA
dp P 2CP)(B =10001
32)CP 32BP 21(+-=33.1J ⋅mol -1
1．11满足PV n
=C 的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。

试证明，理想气体在多方过程中的热容量为V C 1
-n -n Cn γ= 解： n
V n n T n dT dV P C dT PdV dU T V P U C ⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫
⎝⎛∆∆+∆=→∆0lim
理想气体多方过程 PV=RT
PV n
=C
有 ⎩⎨⎧=+=+⋅=+-0,01VdP nPdV dP V ndV PV RdT VdP PdV n
n dT n R PdV 1--=⇒ 所以 1--
=n R
C C V n 另一方面，理想气体 ⎪⎩⎪
⎨⎧==-γV
p V p C C R C C
所以得 V C 1
-n -n Cn γ
= ， 证毕
1．12 试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn 如果是常量，该过程一定是多方过程。

多方指数Cv
Cp
n --=
Cn Cn 。

假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。

解：根据热力学第一定律，dU=dQ+dW （1） 对于准静态过程 有dW= - pdV 对于理想气体有 dU = Cv dT
气体在过程中吸收的热量为 dQ = CndT
则 热力学第一定律 （1）可表达为 (Cn - Cv ) dT=pdV
用理想气体的物态方程 γRT= pV 去除 上式，以及代入Cp -Cn= γR
得到V
dV
Cv T dT Cv )
(Cp )
(Cn -=- （2） 理想气体的物态方程的全微分为 T
dT
V dV P dP =
+ （3） 以上两式联立，消去T dT ，得0)(Cn )
(Cn =---V
dV
Cp P dP Cv （4） 令Cv
Cp n --=Cn Cn ，
上式（4）表示为 0=+V
dV n P dP 若Cp,Cv,Cn 都是常量， 将上式积分得 PV n
=C
上式表明，过程是多方过程。

1．16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比γ是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T 和V 的关系。

该关系式中要用到一个函数F （T ），其表达式为()()⎰-=
T dT
T F 1ln γ。

解： PdV Tds dV -=, dT C dV V = 对准静绝热过程， dS ＝0， 得到 ()PdV dV dT C s V -==
另一方面，理想气体 ⎪⎩⎪
⎨⎧==-γV
p V p C C R
C C
且 PV ＝RT 于是， 1-=
γR C V ，V
RT P = 即得到
dV V
RT dT R -=⋅-1γ ()01=-+T dT V
dV γ 令 ()()⎰-=
T dT T F 1ln γ ， ()T dT
F
dF 1-=γ 有 ()0ln =⋅F V d ， ()Const T F V =⋅
1.21温度为00
C 的1kg 水与温度为1000
C 的恒温热源接触后，水温达到1000
C 。

试分别求水
和热源的熵变，以及整个系统的总熵变。

欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何
使水温从00C 升至1000C ？已知水的比热容为4.18J ⋅g -1⋅K -1
解：00C 的水与温度为1000C 的恒温热源接触后，水温达到1000
C 。

这一过程是不可逆过程。

为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样的变化。

通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。

为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。

其温度分布在00C 与1000
C
之间。

令水依次从这些热源吸收热量，使水温由00C 升至1000
C 。

在这可逆过程中，水的熵变为
113373
273
6.1304273
373
ln 18.410273373ln --⋅=⋅⨯⨯===∆⎰
K J K J mC T dT mC S P P 水 (1) 水从00
C 升至1000
C 所吸收的总热量Q 为 Q=mC P ∆T=103
⨯4.18⨯100J=4.18⨯105
J
为求热源的熵变，可令热源向温度为1000
C 的另一热源放出热量Q 。

在这可逆过程中，热源的熵变为
1156.1120373
1018.4--⋅-=⋅⨯-=∆K J K J S 热源
(2)
由于热源的变化相同，式子（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。

整个系统的总熵变为
∆S 总=∆S 水+∆S 热源=184 J ⋅ K -
1
为使水温从00C 升至1000
C 而参与整个过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在00C 与1000
C 之间的一系列热源吸热。

水的熵变∆S*水仍由式子（2）给出。

这一系列热源的熵变之和为
1
13373
273
6.1304273
373
ln 18.410273373ln *--⋅-=⋅⨯⨯-=-=-=∆⎰
K J K J mC T dT mC S P P 热源参与过程的整个系统的总熵变为
∆S*总=∆S*水+∆S*热源=0 （5） 1.22 10A 的电流通过一个25Ω的电阻器，历时1S 。

（A ）若电阻器保持为室温270
C ，试求电阻器的熵增加值。

（B ）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为270
C ，电阻器的质量为10g ，比热容C P 为
0.84J ⋅g -1⋅k -1
，问电阻器的熵增加值为多少？ 解：（A ）以T ，P 为电阻器的状态参量，设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度
也保持为室温270
C 不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。

（B ）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q 将全部被电阻器吸收而使其
温度由T 1升为T 2，所以有mC P ∆T= mC P （T 2- T 1）=i 2
RT
故K K mC RT i T T P 600)10
84.0101
2510300(3
22212≈⨯⨯⨯⨯+=+=- 电阻器的熵变可以参照1-17节例二的方法求出，为
1132122
1
8.5)300
600
ln 1084.010(ln ---⋅=⋅⨯⨯===∆⎰
K J K J T T mC T dT mC S P P T T 1.23均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度后的熵增。

解：
0 l
x
第i
处的初温为 x l
T T T T i 1
21-+
= 设单位长度的定压热容量为Cx ， ()
x p C l C ⋅=
于是 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅=+⋅===
⎰
⎰
++i x T T T i x x T T T x T T T C T T T C T dT C T
dQ
S i
i
ln 2ln 2ln 212
212
2
12
1
总熵变 ⎰=
l
x
dx S
S 0
⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅=l i x dx T T T C 021ln 2ln ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-+⋅⋅=l x x dx x l T T T C T T l C 012121ln 2ln
⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-+⋅=21122
1ln 2ln
T T x p T T l dy y C T T C ()2
1ln 2ln 122
1T T x p p y y y T T C T T C -⋅--+⋅=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+---+⋅=1ln ln 2ln 12112221T T T T T T T T C p
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