高考数学中的数列问题解析

高考数学中的数列问题解析

数列作为高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学考试必

考内容之一，其考察形式多样。解题要求考生掌握数列的概念和

性质，熟悉数列的常见变形和常用公式，能够灵活运用数列的基

本思想和方法，多角度、多方式考虑问题，进行问题转化和求解，从而获得高分。

一、数列的概念和性质

数列是由一定的规律按照一定的次序排列起来的一列数，其中

每一个数都叫做这个数列的项。对于数列 $\{a_n\}$， $a_n$表示

第 $n$ 项，$n$称为项号。项号从1开始，依次递增，可以是自然

数或正整数等。数列也可以用通项公式或递推公式来表示。

数列中有些重要的性质，比如数列的通项公式和前n项和的公式，需要考生掌握。比较常见的有等差数列和等比数列。

1.等差数列

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面的项之差等于同

一个常数 $d$，那么这个数列就叫做等差数列。等差数列的通项公式和前n项和分别为：

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

$$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$$

其中，$a_1$表示首项，$d$表示公差，$S_n$表示前$n$ 项和。

2.等比数列

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面的项之比等于同

一个常数 $q$，那么这个数列就叫做等比数列。等比数列的通项公式和前n项和分别为：

$$a_n=a_1q^{n-1}$$

$$S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

其中，$a_1$表示首项，$q$表示公比，$S_n$表示前$n$ 项和。

二、数列的常见变形和常用公式

在高考中，常常会出现各种数列的常见变形，考生需要熟悉各

种数列变形的求法和特点，这样才能在考试中不失分机会。

1.递推数列

递推数列是指每一项都是由它前面的项或几项经过一定的运算

算出来的，因此我们称之为递推数列。比如斐波那契数列、鬼谷

数列等就是递推数列的典型例子。

在高考数学考试中，考生通常需要利用递推数列的递推式来求

得数列的某一项。

2.变形求和

某一数列的前 $n$ 项和可以用原数列的通项公式和递推公式表示，但在一些特定情况下，一些数列的前 $n$ 项和可以通过变形

公式求得，比如：

$$S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_{n-

1}+a_2)+(a_n+a_1)=\dfrac{2n}{2}(a_1+a_n)$$

其中， $a_1$表示首项，$a_n$表示末项， $n$表示项数。

3.变形列求和

通常考生在做数列题时，会遇到一类数列求和问题：将数列进

行适当变形之后，再求其前 $n$ 项和。

$$S_n=n(a_1+a_n)/2=a_1n+n(n-1)d/2$$

例如等差数列从第二项开始，每一个项都比它前面的项大$m$，设其首项为 $a_1$，其通项公式为，$a_n=a_{n-1}+m (n\geq 2)$，

则前 $n$ 项和为：

$$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}n=\dfrac{a_1+[a_1+(n-1)m]}{2}n$$

$$=\dfrac{2a_1+(n-1)m}{2}n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)m]$$

三、数列问题的解析

1.数列的求和

在高考数学考试中，数列的求和问题是最为常见的，需要灵活

运用关于数列求和的各种公式，同时注意运算的准确性和合理性，避免粗心计算带来的失误。

2.数列的反演

数列的反演是一种重要的思想方法，通常可以借助适当的变形

公式将数列逆向思考，从而推导出数列的性质和特点，得到有效

的解题思路。比如，有时候我们需要证明某一个数列是等差数列

或等比数列，就可以考虑利用反演的思想，先证明这个数列的某

个表达式具有等差或等比的形式，再利用一些有效的公式或方法

求得该数列的通项公式或递推公式。

3.数列的连续和

数列的连续和也是考试中经常出现的题型，通常考生需要考虑其分段求和，或运用分差求和等方法，确定前若干项和的值，并据此推导出整个数列的和。

4.数列的极限

数列的极限在高考数学中也是一个非常重要的概念。当一个数列 $a_n$ 的前若干项都相近并趋于某个常数 $A$ 时，我们说该数列的极限是 $A$，记为：

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$$

数列极限的求解要求考生熟悉极限的概念和性质，掌握数列极限的求解方法，例如夹逼原理、单调有界原理等，熟悉相关的计算方法，并能够运用这些方法求出数列的极限。

总之，数列在高考数学中是一个非常重要的知识点，从基本概念、性质到各种变形、求解问题都需要考生熟练掌握，并能对各种实际问题进行转化和求解。在备考过程中，考生可以通过多做相关习题，巩固和拓展数列相关的知识，提高自己的解题能力和应试水平。