矩阵、线性方程组例题分析

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线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量），令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ．解方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解．（2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩，即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量），令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量），令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a，的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ）若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解；（B ）若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解；（C ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）AX O =；（ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）．（A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；（B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；（C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；（Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解；（Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解；（Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ．解（法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解（法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关．又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********，的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =．证因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。

线性方程组练习题及解析

线性方程组练习题及解析线性方程组是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。

解线性方程组需要掌握一定的求解方法和技巧。

本文将提供一些线性方程组的练习题，并给出详细解析，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的知识。

练习题一：解下列线性方程组：1) 2x + y = 83x - y = 42) -3x + 4y = 72x - y = -33) x + 2y = 53x - y = 10解析一：1) 首先，将方程组进行消元，将y消去。

将第一个方程乘以3，得到6x + 3y = 24。

与第二个方程相加，得到9x = 28。

解得x = 28/9。

将x的值代入第一个方程，解得y = 16/9。

因此，该方程组的解为x = 28/9，y = 16/9。

2) 将第一个方程乘以2，得到-6x + 8y = 14。

与第二个方程相加，得到7y = 11。

解得y = 11/7。

将y的值代入第一个方程，解得x = 1/7。

因此，该方程组的解为x = 1/7，y = 11/7。

3) 将第一个方程乘以3，得到3x + 6y = 15。

与第二个方程相加，得到6x + 5y = 25。

解得x = 25/6。

将x的值代入第一个方程，解得y =5/6。

因此，该方程组的解为x = 25/6，y = 5/6。

练习题二：解下列线性方程组：1) x + 2y - z = 52x - y + 3z = 23x + y - 2z = 12) 2x - y + z = 4x + 3y - z = -33x - y + 2z = 73) x - 2y + z = 12x - y + 3z = -33x + y + 2z = 2解析二：1) 首先，将方程组进行消元，将y和z消去。

将第一个方程乘以2，得到2x + 4y - 2z = 10。

与第三个方程相加，得到5x + 3y = 11。

将第一个方程乘以3，得到3x + 6y - 3z = 15。

与第二个方程相加，得到5x +3z = 17。

第二章-线性方程组习题解答

第二章线性方程组习题解答习题2.1解下列线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+.053,12,1321321321x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300002101111342002101111015311211111 由最后一行可得原方程组无解.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+=-+.153,22,132,3321321321321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000210030102001000021003010501100001050051103111102205230511031111513212113123111原方程组有唯一解.2,3,2321===x x x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++.165105,8362,42432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10100310203102140400013204112116511058316241121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→10100232101000001 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==,,1,223,04321c x x c x x 其中c 为任意数.（4）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--.032,03,0432143214321x x x x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000021001011210042001111321131111111 方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=,,2,,242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.习题2.21.用初等行变换将下列矩阵化成阶梯形矩阵，并求它们的秩.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21110042220010251413027245310251102517245341302⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000021110010251秩为2.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000100117500104111750030000016000104111750101305004522000104111373104018174188701041)2(秩为3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000006310052010410013618600189300631005210410016128650281332063100520104100177326543214321631005201041001)3(秩为3.2.求下列各方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩.（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+.8852,9934,7532,1278321321321321x x x x x x x x x x x x解对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000011001191012781770077001191012781132042101191012781132051301791301278188529934753212781系数矩阵与增广矩阵秩均为3.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=-+-=++=+++.14,432,152,1224214314314321x x x x x x x x x x x x x解对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3400056200313201221122200562003132012211222002512031320122111411413021510212211系数矩阵与增广矩阵的秩均为4.习题2.31.解下列各非齐次线性方程组.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.3,053,32321321321x x x x x x x x x解对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---340031103111311098403111311205133111311105133112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→4/31004/150100001 原方程组有唯一解43,415,0321-=-==x x x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.52,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解由第一个方程和第三个方程可得原方程组无解（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++-=++-.149132,21111784,72463,735424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211521003525350035253500149132173542211117847246314913211491321211117847246373542 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000000017/510017/20210000000000757001491321因此原方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==++=,,751,,7221242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.2.解下列各齐次线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.33,053,022321321321x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---5001440311122513311311513122 系数矩阵秩为3，原方程组只有零解.即解为.0,0,0321===x x x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+.0111353,0333,04523432143214321x x x x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00003/73/8109/29/10100003/73/8103/23/10378307830452311135333134523原方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+-=,,,3738,92912413212211c x c x c c x c c x 其中21,c c 为任意数. （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+-=+-.0,0,0,05416521642531x x x x x x x x x x x x x解对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----001100201100101010010101001100100110101010010101011001110011101010010101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→10000000110000101001100120000201100101010010101 原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====-=,0,,,,,625141312211x c x c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.3.某工厂为两家企业加工3种零件，现3种零部件各有,1,2,3t t t 两家企业需要3种部件分别为t 4和t 2.用)3,2,1;2,1(==j i x ij 表示第i 家企业需要第j 种部件的数量，试列出ij x 所满足的方程组，并求解. 解根据题意可得ij x 所满足的方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++12324231322122111232221131211x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000021110001100100201001011100011100100201001030010012111000000000011001002010010300100121110004000111其通解为.2,1,2,123222123132212232211x x x x x x x x x x --=-=-=++=4.当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3,)1(,2)3(321321321x a ax x a a x x a ax a x x x a （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解?解法一：系数行列式为)1(33332333323130103)1(311213222222-=-+----=-+--+---=-+---+--=++-+a a aa aaa a a a a a a a a a a a a a a a a a （1）当,0≠a 且1≠a 时，方程组有唯一解.（2）当时1=a ，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++.346,1,12432131321x x x x x x x x 增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032101101321011013210341611011214 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. （3）当0=a 时，原方程组为增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300001100213311001100213330301100213 因此方程组无解.解法二：对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a aa a 331103133001233323311012333)1(3112132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→a a a a a ar r a a a a a a a a a 33110361100123)2(331103330012322232⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--→)1)(39()1(003611001232222a a a a a a a (1)当,0≠a 且1≠a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为3，方程组有唯一解. (2)当0=a 时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，方程组无解.(3)当1=a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，方程组有无穷多解.此时增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032101101000032103303000032100113其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. 5.问当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++=++bx x x ax x x x x x x x x 321321321321453,7,132,632 （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解？解：对方程组增广矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500002001351207015000020013516321185101331013510632145371111326321b a b a b a b a （1）当5,2=-≠b a 时方程组有唯一解，其解为0,13,20321==-=x x x . （2）当5,2=-=b a 时方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,513,720321c x c x c x 其中c 为任意数. (3)当5≠b 时，方程组无解.总复习题2（A ）1.填空题（1）非齐次线性方程组（系数矩阵为n m ⨯矩阵A ，增广矩阵为B ）有唯一解的充分必要条件是n B r A r ==)()(.（2）线性方程组无解，系数矩阵为A ，且,3)(=A r 则增广矩阵的秩为=),(b A r 4 . （3）若n x x x ,,,21 取任意数都是齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,,0,0221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解，则系数矩阵A 的秩=)(A r 0 .（4）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20224312a A 的秩为2，则=a 2 .方法一：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20011031211064031220224312a a a A .方法二：显然A 取1,2两行以及1,2两列的2阶子式不为0，要使A 的秩为2，则024812282224312||=-=+--=-=a a a A . 2.选择题（1）方程组⎩⎨⎧=+=+,0,02121x x x x λλ当=λ（ C ）时，方程组仅有零解.A.1-B. 1C. 2D.任意实数要使齐次线性方程组只有零解，则系数矩阵的秩为2，当1±=λ时秩为1.（2）当=k （ A ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+=-+)4)(3()2)(1(2242332321k k x k k x x x x x 无解.A. 2B. 3C. 4D. 5（3）A 为n m ⨯矩阵，,)(n m A r <=下列结论正确的是（ B ，D ) A.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解 B.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解 C.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组仅有一解 D.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解系数矩阵的秩等于行数，增广矩阵的秩也等于行数，而且秩小于未知数的个数，因此有无穷多解.（4）对于非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,,,以下结论中，（B ）不正确.A.若方程组无解，则系数行列式D=0B.若方程组有解，则系数行列式0≠DC.若方程组有解，则方程组或者有唯一解或者有无穷多解D.系数行列式0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件（5）A 为n m ⨯矩阵，,)(r A r =下列结论中正确的是（ B )A.n r =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解B.n m r ==时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解C.n r <时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解D.n m =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有解非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，当n r =时，若n m >，有可能增广矩阵为1+n .因此A,C 不正确，当n m =时，系数矩阵与增广矩阵秩未必相等.D 也不正确.（6）已知非齐次线性方程组的系数行列式为零，则（ D ）.A.方程组有无穷多解B.方程组无解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组可能无解，也可能有无穷多解（B ）1.用矩阵消元法解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.552,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000001100000121440002200011121551************ 方程组有无穷多解，其通解为⎩⎨⎧=-=124321x x x x ，其中32,x x 为自由未知量. （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=-++=-++=+++=-++.2255,123,1222,132,13243214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000291200156001351011321361350228401142013510113212125511123112221113211321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00000010006/101006/100106/100010000001000156001351015701方程组有唯一解.0,614321====x x x x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----605751020191702019170987131272019170233298713127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000017/2017/191017/1317/301 方程组有无穷多解，通解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=432431172017191713173x x x x x x ，43,x x 为自由未知数.（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-+-=+-+=-+-.03724,0347,0532,02534321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------152326071116002103471152326071116071317034713724347115322153⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→100072100021034711529007210002103471 方程组只有零解. 2.对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++,3345,3622,323,15432154325432154321b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b a ,为何值时，方程组有解.在方程组有解时，求其解.解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20000003622102511015622103622103622101111111334536221031123111111b a b a b a 当2,0==b a 时，方程组有解，其通解为54354325431,,,6223,52x x x x x x x x x x x ⎩⎨⎧---=+++-=为自由未知量. 3.d c b a ,,,满足什么条件时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+--=-+-=+++0,0,0,04321432143214321ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax 只有零解？解：要使方程组只有零解，则系数矩阵秩为4，即系数行列式不为零.利用矩阵乘积的行列式等于行列式的积有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=------=a b cdb a d cc d a b d cb aa b cd b a d cc d a bd c b a a b cdb a dc cd a b dc b a D 2222222222222222220000000000d c b a dc b ad c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++=.而D 中4a 的系数为负，故22222)(d c b a D +++-=.在实数范围内，当d c b a ,,,至少一个不为零时，方程组只有零解.4.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解：当且仅当系数矩阵秩小于3，即系数行列式为零时，方程组有非零解.)1(0011111211111--===λμμμλμμλD因此当,0=μ或1=λ时方程组有非零解.5.问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(,0)3(2,042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解：当且仅当系数行列式为零时，该方程组有非零解.)2)(3(001121232311111324212+--=--++---=----=λλλλλλλλλλλλD .因此当230-===λλλ或或时，方程组有非零解.（C ）1.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,743,8234343212432114321b x x x x b x x x x b x x x x 证明此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 证明：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321323313233217840034210111144210342101111111171438234b b b b b b b b b b b b b b 系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，因此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 2.下图为一物流平衡图，其中1x 表示从站A 流向站B 的货物吨数，4x 表示从站B 流向站D 的货物吨数，20表示从站D 流向站C 的货物吨数等.如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，问54321,,,,x x x x x 应如何选择？ABCDX 1X 2X 3X 4X 5 20解：根据题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=--=-+2020005342541321x x x x x x x x x x选取54,x x 为自由未知量得，.20,20,5342541x x x x x x x +=-=+=3.投入产出模型设甲，乙，丙3个部门组成一个经济系统.各部门生产满足系统内部和外部的需求，同时也消耗系统内部各部门的产品，如下表所示直接消耗系数表表中，甲部门那一行的0.4表示生产该部门的1元钱产品需消耗甲部门的产品0.4元，同样0.3表示生产甲部门1元钱的产品需消耗乙部门的产品0.3元，其余类似.（第二行乙消耗丙为0.2，否则丙生产出的将在系统内部全部消耗完）（1）求321,,y y y 与321,,x x x 的关系.（2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，求321,,x x x 及321,,z z z . 解：（1）根据题意可得⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+-=--=.6.01.03.0,2.05.02.0,2.03.06.0321232123211x x x y x x x y x x x y （2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，可解得321,,x x x 分别为 232亿元，212亿元和178亿元.2.233.02.04.011111=---=x x x x z 亿元，类似可得2.211.022==x z 亿元6.352.033==x z 亿元.。

线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题

线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。

(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。

矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。

换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。

于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。

其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。

问题2：线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。

非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。

其中),(~b A A = 为增广矩阵。

问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。

证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。

矩阵的运算与线性方程组练习题及解析

矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。

本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。

1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。

解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。

根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。

解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。

根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。

解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。

根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。

将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。

则方程组可以表示为AX = B的形式。

根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。

线性方程组的解法例题线性方程组的解法

线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。

但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。

实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。

消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。

但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。

迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。

在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。

?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。

消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。

2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。

线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课

二、矩阵的秩及其求法
1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
2.矩阵秩的性质设A: m n 型矩阵,则:
(1)0 R( A) min(m, n);
0, k 0
(2) R( AT ) R( A);
(3) R(kA) R( A),k 0
(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．
7.当A等于(
)时,
CH3 初等变换与方程组
a11 a12 a13 a11 3a31 a12 3a32 a13 3a33
Aa21
a22
a23

a21
a22
a23

a31 a32 a33 a31
a32
a33
1 0 0
1 0
A 0 1 0 (B) 0 1
A11 A21 A31 A41

A*

A12

A13 A14
A22 A23 A24
A32 A33 A34
0 A42

A43 A44

R( A* ) 0
例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n
证明：由A2=E得： A2 E ( A E)( A E) 0
t
0

0 4 5 2
1 2 －1 1 0 －4 t 2 2 0 0 3 t 0
1 2 1 1 0 4 t 2 2 0 4 5 2
r(A)=2 3 t =0, 即 t =3
例3 设线性方程组
为A的伴随矩阵，且

ax=b,a不可逆求矩阵x例题

Title: 关于ax=b中矩阵x的不可逆性问题探讨一、问题引入上线性代数领域中，有一个经典的问题是关于矩阵方程ax=b中矩阵x 的不可逆性问题。

在接下来的文章中，我们将从数学角度探讨这一问题，并通过例题进行分析和求解。

二、矩阵与线性方程1.矩阵简介矩阵是线性代数中的基本概念，它由数个数排成的矩形表格所组成，常用于表示线性方程组、向量以及线性变换等。

在矩阵运算中，有一个非常重要的问题是矩阵的可逆性。

2.线性方程与矩阵表示线性方程组可以用矩阵来表示，一般形式为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知变量的向量，b为常数向量。

要解决这个线性方程组，就需要找到矩阵x的值。

三、矩阵x的不可逆性问题1.定义矩阵A的逆矩阵表示为A^(-1)，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，其中E为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵。

2.不可逆矩阵的特点如果矩阵A不存在逆矩阵，即A^(-1)不存在，那么矩阵A就是不可逆的。

对于不可逆矩阵来说，线性方程组Ax=b可能不存在解，或者存在无穷多解。

3.判定不可逆性的方法通过行列式的值来判断矩阵的不可逆性，当行列式的值为0时，矩阵不可逆；当行列式的值不为0时，矩阵可逆。

四、例题分析假设有线性方程组3x+2y=8，6x+4y=16，我们将通过矩阵表示及求解来探讨矩阵x的不可逆性问题。

1.矩阵表示将线性方程组表示为矩阵形式：A=[3 2；6 4]，x=[x;y]，b=[8;16]。

2.判断矩阵的可逆性计算矩阵A的行列式值为3*4-2*6=0，因此矩阵A不可逆。

3.求解线性方程组由于矩阵A不可逆，线性方程组可能不存在解或者存在无穷多解。

通过消元法可以得到x=4-2y，由此可见线性方程组存在无穷多解。

五、总结与展望通过以上例题分析，我们可以得出对于线性方程组ax=b中矩阵x的不可逆性问题的一些结论：1.矩阵A的不可逆性可以通过行列式的值来判断。

2.不可逆矩阵所对应的线性方程组可能不存在解或者存在无穷多解。

高中数学矩阵及线性方程组试题及解析

高中数学矩阵及线性方程组试题一．选择题（共14小题）1．将直线y＝x绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为（）A．x＝0B．y＝0C．y＝x D．y＝﹣x 2．抛物线y2＝2px，（p＞0）绕焦点依逆时针方向旋转90°所得抛物线方程为…（）A．x2＝2py B．C．D．3．变换＝的几何意义为（）A．关于y轴反射变换B．关于x轴反射变换C．关于原点反射变换D．以上都不对4．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则b2﹣b1的值为（）A．1B．2C．3D．45．已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m≠±2 6．设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则||A*|A|＝（）A．B．|A|n C．D．7．把矩阵变为后，与对应的值是（）A．B．C．D．8．线性方程组的增广矩阵是（）A．B．C．D．9．直线y＝x+1在矩阵作用下变换得到的图形与x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．无法判定10．有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）11．与（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）相等的行列式是（）A．B．C．D．12．由9个正数组成的三行三列数阵，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a12，a22，a32必成等比数列；②第一列中的a11，a21，a31不一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和大于81，则a22＞9．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．413．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足＝0，则△ABC一定是（）A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形14．关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）15．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点顺时针旋转45°，则旋转后所得双曲线的标准方程是．16．矩阵的特征值为．17．已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y＝．18．矩阵N＝的特征值为．19．三阶行列式中，5的余子式的值是．20．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝．21．三阶行列式中元素﹣5的代数余子式为f（x），则方程f（x）＝0的解为22．行列式中，6的代数余子式的值是．23．若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为．24．把行列式按照第二列展开，则．25．若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为．26．已知三阶矩阵B≠O（三阶零矩阵），且B的每个列向量都是方程组的解，则λ＝．27．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为7，则k＝．28．已知直线ax+y+3＝0过点（﹣1，﹣1），则行列式的值为．29．若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为．30．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则m﹣n＝31．已知，当方程有无穷多解时，a的值为．32．若x、y的方程组有无穷多组解，则的值为三．解答题（共18小题）33．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N（1）写出矩阵M，N；（2）求直线x+2y﹣1＝0先经过T1变换，再经过T2变换后的曲线方程．34．已知点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B．若点B的坐标为（﹣4，3），求点A的坐标．35．已如a，b∈R，向量＝是矩阵A＝的属于特征值﹣4的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．36．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．37．已知直线l：ax+y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x+by＝1．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的特征值与特征向量．38．已知a＝为矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．39．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．（1）求矩阵A；（2）求出直线x+y﹣1＝0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．40．已知矩阵A＝．求A的特征值和特征向量．41．设矩阵M＝的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．42．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．43．已知矩阵．（1）求M的特征值和特征向量；（2）若向量，求M3α．44．已知矩阵A＝不存在逆矩阵，求：（1）实数a的值；（2）矩阵A的特征向量．45．已知矩阵A＝[]的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为＝[]．（1）求矩阵A；（2）若A[]＝[]，求x，y的值．46．设矩阵A＝，若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A的另一个特征值．47．已知矩阵A＝，B＝，且AB＝BA．（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值．48．已知二阶矩阵的特征值λ＝﹣1所对应的一个特征向量为．（1）求矩阵M；（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为y2＝x，求曲线C的方程．49．已知矩阵，A＝，向量＝，求向量，使得A2＝．50．已知矩阵M＝[]的一个特征值是3，求直线x﹣2y﹣3＝0在M作用下的直线方程．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．将直线y＝x绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为（）A．x＝0B．y＝0C．y＝x D．y＝﹣x 【分析】根据题意，旋转后的直线倾斜角为120°，且仍然经过原点．由斜率公式算出直线的斜率k＝tan120°＝﹣，即可得到该直线方程．【解答】解：∵直线y＝x经过原点，倾斜角为60°∴直线y＝x绕原点逆时针旋转60°后，倾斜角为120°且仍然经过原点因此，旋转后的直线斜率k＝tan120°＝﹣，方程为y＝﹣x故选：D．【点评】本题给出直线直线y＝x，求将直线绕原点逆时针旋转60°后所得直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式的知识，属于基础题．2．抛物线y2＝2px，（p＞0）绕焦点依逆时针方向旋转90°所得抛物线方程为…（）A．x2＝2py B．C．D．【分析】先根据题意画出旋转变换后的图形，如图，所得抛物线是虚线部分，其顶点A的坐标为（，﹣），开口向上，且与原来的抛物线全等，即可写出其方程．【解答】解：如图，抛物线y2＝2px，（p＞0）绕焦点依逆时针方向旋转90°所得抛物线是虚线部分，其顶点A的坐标为（，﹣），开口向上，且与原来的抛物线全等，故其方程为．故选：C．【点评】本题主要考查了旋转变换，考查了抛物线的方程，属于基础题．3．变换＝的几何意义为（）A．关于y轴反射变换B．关于x轴反射变换C．关于原点反射变换D．以上都不对【分析】在坐标系xoy内，经过变换后变为，由此能求出结果．【解答】解：在坐标系xoy内，经过变换后变为，二者关于x轴对称，所以变换＝的几何意义为关于x轴的反射变换．故选：B．【点评】本题考查反射变换的应用，是基础题，解题时要认真审题．4．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则b2﹣b1的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意可得5×+b1＝10，2×+b2＝8，解方程即可得到所求值．【解答】解：由题意可得5×+b1＝10，2×+b2＝8，解得b1＝2，b2＝5，则b2﹣b1＝3，故选：C．【点评】本题考查线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于基础题．5．已知二元一次方程组的增广矩阵为，若此方程组无实数解，则实数m的值为（）A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m≠±2【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组的增广矩阵，考查方程思想，比较基础．6．设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则||A*|A|＝（）A．B．|A|n C．D．【分析】本题可根据伴随矩阵对应的行列式公式|A*|＝|A|n﹣1．和公式|k•A|＝k n•|A|推导得出结果．【解答】解：由题意，可知：∵A*为n阶方阵A的伴随矩阵，∴|A*|＝|A|n﹣1．∴||A*|A|＝||A|n﹣1•A|＝（|A|n﹣1）n•|A|＝．故选：D．【点评】本题主要考查伴随矩阵对应的行列式公式和数乘矩阵的行列式公式．本题属基础题．7．把矩阵变为后，与对应的值是（）A．B．C．D．【分析】先把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行得到，再把第一列乘2加上第二列作为第二列得到，最后第二行乘以即可得出符合要求的矩阵．【解答】解：把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行→第一列乘2加上第二列作为第二列→第二行乘以→，对照得故选：C．【点评】本题主要考查了矩阵变换的性质，属于基础题．8．线性方程组的增广矩阵是（）A．B．C．D．【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．【解答】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故选：A．【点评】此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，是大纲新增的高等数学部分的内容，需要注意．此题属于基础题．9．直线y＝x+1在矩阵作用下变换得到的图形与x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．无法判定【分析】设直线y＝x+1上任意一点（x0，y0），（x，y）是所得的直线上一点，得到两点的关系式，再由点在直线上上代入化简求出变换后的直线，然后利用圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系．【解答】解：设直线y＝x+1上任意一点（x0，y0），（x，y）是所得的直线上一点，＝∴x0＝x，x0﹣2y0＝y解得x0＝x，y0＝∴点（x0，y0）在直线y＝x+1上，则y0＝x0+1从而＝x+1即直线y＝x+1在矩阵作用下变换得到直线x+y+2＝0x2+y2＝1表示圆心在坐标原点，半径为1的圆则圆心到直线的距离d＝＝＞1故直线与圆相离故选：B．【点评】本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解，同时考查了直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．10．有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【分析】根据代数余子式的意义，进行判断即可得出结论．【解答】解：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等，不正确；（2）根据代数余子式的意义，可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和正确；（3）根据代数余子式与该行的元素值无关，可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，正确．故选：C．【点评】本题考查三阶矩阵，考查代数余子式的意义，正确理解代数余子式的意义是关键．11．与（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）相等的行列式是（）A．B．C．D．【分析】根据行列式的定义直接计算即可．【解答】解：（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝ab2+bc2+ca2﹣a2b﹣b2c﹣c2a，＝﹣+＝ab2﹣ac2﹣a2b+bc2+a2c﹣b2c，故A正确；＝﹣+b2c﹣bc2﹣a2c+ac2+a2b﹣ab2，故B不正确；∵将A选项中的矩阵第1、3互换就是C选项中的矩阵，∴行列式的值相反，故C不正确；∵将B选项中矩阵的行列互换就是D选项中的矩阵，∴行列式的值不变，故D不正确；故选：A．【点评】本题考查行列式的计算，注意解题方法的积累，属于基础题．12．由9个正数组成的三行三列数阵，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a12，a22，a32必成等比数列；②第一列中的a11，a21，a31不一定成等比数列；③a12+a32≥a21+a23；④若9个数之和大于81，则a22＞9．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2＝（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2得到③正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．通过举反例可得④不正确．【解答】解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：，由a11+a12+a13，a21+a22+a23，a31+a32+a33成等比数列，则有：（b+m）2＝（a+d）（c+n），故①正确．由于（a+d）+（c+n）≥2＝2（b+m），故③正确．再题意设由9个正数组成的矩阵是：故②正确．对于④，若9个数之和大于81，即3（a+d+b+m+c+n）＞81，∴b+m+a+d+c+n＞27，但不能推出b+m＞9．如当a+d＝3，b+m＝9，c+n＝27 时，a22＝b+m＝9，故④不正确．综上可得，正确的序号有①②③，故选：C．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．13．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足＝0，则△ABC一定是（）A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，配方可得结论．【解答】解：方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，所以a＝b＝c，故选：B．【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．14．关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为（）A．B．C．D．【分析】根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得答案．【解答】解：的增广矩阵，故选：C．【点评】本题考查二元一次方程组与系数矩阵及增广矩阵的关系，考查转化思想，属于基础题．二．填空题（共18小题）15．将反比例函数y＝的图象绕坐标原点顺时针旋转45°，则旋转后所得双曲线的标准方程是．【分析】直接利用曲线的旋转问题的应用和对称性的应用求出结果．【解答】解：函数y＝的图象关于y＝x对称，且以x轴和y轴为渐近线．同时求得函数y＝与y＝x的交点坐标为（1，1）和（﹣1，﹣1）．他们与原点的距离为．同时可知直线y＝x与x轴成45°的角，反比例函数y＝的图象绕坐标原点顺时针旋转45°后，得到的双曲线的焦点在x 轴上，且以y＝x和y＝﹣x为渐近线，且顶点坐标为（，0）和（﹣，0）所以a＝b＝，所以双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线的求法及应用，旋转问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．16．矩阵的特征值为3或﹣1．【分析】求出矩阵的特征多项式，令其为0，即可求出矩阵的特征值．【解答】解：矩阵的特征多项式为＝（λ﹣1）2﹣4，令（λ﹣1）2﹣4＝0，可得λ＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【点评】本题考查矩阵的特征值，考查学生的计算能力，比较基础．17．已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y＝6．【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x＝4，y＝2，∴x+y＝6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．18．矩阵N＝的特征值为﹣3，8．【分析】令矩阵M的特征多项式等于0，即可求得矩阵M的特征值．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ﹣24令f（λ）＝0可得λ＝﹣3或λ＝8，即矩阵M的特征值为﹣3或8．故答案为：﹣3，8．【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵M的特征值，关键是正确写出矩阵M的特征多项式．19．三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：＝﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．20．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝﹣14．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．【解答】解：由题意得M21＝（﹣1）3＝2×2+1×k＝﹣10解得：k＝﹣14．故答案为：﹣14．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．21．三阶行列式中元素﹣5的代数余子式为f（x），则方程f（x）＝0的解为x＝log23【分析】根据行列式的展开，求得f（x），根据f（x）＝0，求得x的值．【解答】解：三阶行列式中元素﹣5的代数余子式为f（x）＝（﹣1）1+1＝2x﹣3，f（x）＝0的解x＝log23，故答案为：x＝log23．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式代数余子式的求法，考查转化思想，属于基础题．22．行列式中，6的代数余子式的值是6．【分析】根据代数余子式的定义6的代数余子式A23＝﹣，利用行列式的展开，即可求得答案．【解答】解：6的代数余子式A23＝﹣＝﹣（1×8﹣2×7）＝6，故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．23．若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为．【分析】求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，及特殊角的三角函数值，即可求得实数x的取值集合．【解答】解：行列式中元素4的代数余子式A13＝＝，则cos2﹣sin2＝，则cos x＝，解得：x＝2kπ±，k∈Z，实数x的取值集合，故答案为：．【点评】本题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，考查计算能力，属于中档题．24．把行列式按照第二列展开，则﹣3×+2×+2×．【分析】利用行列式展开的方法，即可得出结论．【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．故答案为：﹣3×+2×+2×．【点评】本题考查行列式展开的方法，考查学生的计算能力，比较基础．25．若三条直线ax+y+3＝0，x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0相交于一点，则行列式的值为0．【分析】先求x+y+2＝0和2x﹣y+1＝0的交点，代入直线ax+y+3＝0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．26．已知三阶矩阵B≠O（三阶零矩阵），且B的每个列向量都是方程组的解，则λ＝1．【分析】因为B不等于0所以AX＝0有非零解系数行列式为0，即可得出结论．【解答】解：由题意，＝0，∴﹣﹣﹣λ＝0∴λ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查三阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．27．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为7，则k＝3．【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣，求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【解答】解：由题意得M12＝﹣＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．28．已知直线ax+y+3＝0过点（﹣1，﹣1），则行列式的值为0．【分析】（﹣1，﹣1）代入直线ax+y+3＝0，即可得到a的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：（﹣1，﹣1）代入ax+y+3＝0，得a＝2．行列式＝2+4﹣3﹣6+4﹣1＝0．故答案为：0．【点评】本题考查行列式的运算法则，考查计算能力，比较基础．29．若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为2．【分析】求出D＝＝m2﹣4，D x＝＝m2﹣2m，D y＝＝m2﹣m﹣2，当m＝2时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多组解．【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组，∴D＝＝m2﹣4，D x＝＝m2﹣2m，D y＝＝m2﹣m﹣2，当m≠±2时，D≠0方程组有唯一解；当m＝2时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多组解；当m＝﹣2时，D＝0，Dx≠0，Dy≠0，此时方程组无解．∴若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为2．故答案为：2．【点评】本题考查用行列式解二元一次方程组，考查系数矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．30．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则m﹣n＝﹣4【分析】本题可先将增广矩阵转化成对应的线性方程组，然后将该线性方程组的解代入线性方程组，即可解得参数m、n值，即可得到结果．【解答】解：由题意，可将增广矩阵转化成对应的线性方程组：，∵该线性方程组的解为，∴可将代入线性方程组，可得：，解得：．m﹣n＝﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考察增广矩阵的概念以及增广矩阵与线性方程组的转化，根据线性方程组的解求参数等问题．本题属基础题．31．已知，当方程有无穷多解时，a的值为﹣2．【分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a的值．【解答】解：由题意，可知：∵方程有无穷多解，∴可对①×2，得：4x+4y＝﹣2．再与②式比较，可得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．32．若x、y的方程组有无穷多组解，则的值为3【分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到m、n的值．然后将m、n的值代入二阶行列式可求得结果．【解答】解：由题意，可知：∵方程组有无穷多组解，∴可对①×2，得：2x+2my﹣2＝0．再与②式比较，可得：2m＝﹣4，n＝﹣2．∴m＝﹣2，n＝﹣2．∴＝＝4﹣1＝3．【点评】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值以及求二阶行列式的值．本题属基础题．三．解答题（共18小题）33．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N（1）写出矩阵M，N；（2）求直线x+2y﹣1＝0先经过T1变换，再经过T2变换后的曲线方程．【分析】（1）因为T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，所以M＝，T2：对应的矩阵为N，所以N＝，（2）先经过T1变换，再经过T2变换，由矩阵变换的计算即可算出．【解答】解：（1）：由题意知：M＝，N＝，（2）：MN＝，设直线x+2y﹣1＝0任意一点（x，y）经过变换得到（x'，y'），＝＝，可得，代入直线可得6x'﹣y'+3＝0．【点评】本题考查了矩阵变换的计算，属于基础题．34．已知点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B．若点B的坐标为（﹣4，3），求点A的坐标．【分析】设A（x，y），则A在变换T下的坐标为（x+3y，y），然后根据旋转结果可得A的坐标．【解答】解：设A（x，y），则A在变换T下的坐标为（x+3y，y），又绕原点逆时针旋转90°对应的矩阵为，∴，得，解得∴点A的坐标为（﹣9，4）．【点评】本题考查了矩阵中的坐标变换问题，属基础题．35．已如a，b∈R，向量＝是矩阵A＝的属于特征值﹣4的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【分析】本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式Aα＝﹣4•α，然后将矩阵代入计算可得x、y的值，然后写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）＝0即可找到矩阵A的另一个特征值．【解答】解：由特征值与特征向量的定义，可知：Aα＝﹣4•α．即：•＝﹣4•．整理，得：＝．∴，解得：．∴A＝．∵矩阵A的特征多项式f（λ）＝＝λ（λ+3）﹣4＝λ2+3λ﹣4＝（λ+4）（λ﹣1）．令f（λ）＝0，即（λ+4）（λ﹣1）＝0．解得：λ＝﹣4，或λ＝1．∴矩阵A的另一个特征值为1．【点评】本题主要考查根据特征值与特征向量的定义式计算出矩阵中的参数，然后根据矩阵的特征多项式计算出矩阵的另一个特征值．本题属中档题．36．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．【分析】先计算出矩阵A，然后令其特征多项式f（λ）为0，即可求得特征值，再分别在f（λ）＝0代入特征值即可求得分别对应的特征向量．【解答】解：∵A＝（A﹣1）﹣1，且A﹣1＝，∴，．设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为（x，y）．则矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣3λ﹣4，故特征方程为λ2﹣3λ﹣4＝0，解得λ1＝﹣1，λ2＝4．当λ1＝﹣1时，有，即x+y＝0，取x＝1，则y＝﹣1；当λ2＝4时，有，即2x﹣3y＝0，取x＝3，则y＝2．因此特征值为﹣1的一个特征向量为，特征值为4的一个特征向量为．【点评】本题考查矩阵特征值的求法及求其对应的特征向量，属于基础题．37．已知直线l：ax+y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x+by＝1．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的特征值与特征向量．【分析】（1）任取直线l：ax+y＝1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b 的方程，即可求得实数a，b的值；（2）先根据特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα＝λα，从而求出特征向量．【解答】解：（1）设直线l：ax+y＝1上任意点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′）．由＝，得又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′＝1即x+（b+2）y＝1．依题意，得解得a＝1，b＝﹣1；（2）f（λ）＝（λ﹣1）2，得矩阵A特征值为λ1＝λ2＝1，将λ1＝λ2＝1代入方程Aα＝λα可解得矩阵A属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为．【点评】本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，考查考查特征值与特征向量，关键是正确利用矩阵的乘法公式．38．已知a＝为矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量．（Ⅰ）求实数a，λ的值；（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【分析】（Ⅰ）利用特征值、特征向量的定义，即可求实数a，λ的值；（Ⅱ）求出|A|，即可求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：（Ⅰ）由＝λ得：，∴a＝λ＝2…（4分）（Ⅱ）|A|＝1×4﹣2×（﹣1）＝6∴A﹣1＝＝…（7分）【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．39．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．（1）求矩阵A；（2）求出直线x+y﹣1＝0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．【分析】本题（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论．【解答】解：（1）∵矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，∴•＝6，•＝，∴，∴．∴．（2）设直线x+y﹣1＝0上一点P（x，y）在矩阵A的作用下得到曲线xy＝1上一点P′（x′，y′），∴，∴，即，将上式代入x+y﹣1＝0得：，∴2x﹣y﹣2＝0．∴直线x+y﹣1＝0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程为2x﹣y﹣2＝0．【点评】本题考查了矩阵的特征值和特征向量以及矩阵变换下曲线的方程，本题难度不大，属于基础题．40．已知矩阵A＝．求A的特征值和特征向量．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）＝0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+6，令f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，解得α1＝，当λ2＝3时，解得α2＝．所以矩阵M属于特征值2的一个特征向量为，。

线性代数解题技巧及典型题解析01-求解线性方程组_16

解方程组中未知量个数 n 3，又方程组 AX 0 有惟一零解，
所以 r ( A) n，故 r ( A) 3.
例3 设 n 元非齐次线性方程组 AX b 有解，其中 A 为(n 1) n 矩阵，求|A|.
解因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A) n n 1，从而 | A | 0.
求axb的通解特殊方程组的求解与方程组的基本理论有关的问题含参数的方程组与向量组的线性表示有关的问题与方程组有关的证明题1写出系数矩阵a并对其作初等行变换化为行最简形式同时得到ra这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数
线性方程组的主要内容——求解线性方程组
1. 求 AX=O 的通解或基础解系 2. 求 AX=b 的通解特殊方程组的求解与方程组的基本理论有关的问题含参数的方程组
1 (1, 2,1, 0)T , 2 (1, 1, 0,1)T .
方程组的通解为 * k11 k22 , k1 , k2 为任意常数.
1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形式，这样有利于求解. 2. 若根据同解方程组（1）式写导出组的基础解系一定不要将常数加进去.因此一般建议写出导出组的同解方程组（2）求基础解系.
a=0
1 2 1 2 设A 0 1 t t , 且方程组 AX 0 的基础解系含有两个解向量, 求 AX 0 的通解. 1 t 0 1
1 1 a 1 设A 1 a 1 , 1 ，若线性程组AX 有解但不唯一. a 1 1 2 求：(1)a的值； (2)方程组AX 的通解.
A (n+1)a n .
特殊方程组的求解最重要的是分析出其解的结构来！

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得

线性方程组的解法及应用案例

线性方程组的解法及应用案例一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

解决线性方程组的方法有很多种，本文将介绍常见的解法，并结合实际案例进行应用分析。

二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。

它通过将方程组转化为阶梯形式，从而简化计算过程。

下面通过一个例子来说明高斯消元法的具体步骤。

假设有如下线性方程组：```2x + 3y - z = 13x - 2y + 2z = 3x + y - z = 0```首先，我们将方程组写成增广矩阵的形式：```[2 3 -1 | 1][3 -2 2 | 3][1 1 -1 | 0]```接下来，我们通过行变换的方式将矩阵转化为阶梯形式。

具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][1 1 -1 | 0]```2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][0 -1 0 | -0.5]```3. 将第三行乘以-8，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 -1 0 | -0.5]```4. 将第三行乘以3，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 0 0 | -2]```现在，我们得到了一个阶梯形的矩阵。

接下来，我们可以通过回代的方式求解方程组的解。

从最后一行开始，我们可以得到z的值为1。

然后，将z的值代入第二行的方程中，可以得到y的值为-0.5。

最后，将z和y的值代入第一行的方程中，可以得到x的值为0.5。

综上所述，线性方程组的解为x=0.5，y=-0.5，z=1。

三、矩阵求逆法除了高斯消元法，矩阵求逆法也是求解线性方程组的一种常见方法。

它通过求解方程组的逆矩阵，从而得到方程组的解。

下面通过一个例子来说明矩阵求逆法的具体步骤。

高中数学线性方程组与矩阵范例例题

x－
y＋
z＝2 。
4x＋ y－2z＝1
解■ 高斯消去法
2x＋3y－ z ＝3……………①
x－ y ＋ z ＝2……………②
将①与②对调得
4x＋ y －2z＝1……………③
x－ y ＋ z ＝2……………④ 2x＋3y－ z ＝3……………⑤ 4x＋ y －2z＝1……………⑥
④×（－2）＋⑤， ④×（－4）＋⑥得
×（－2） ×（－3） →
1 0
0
－2 4 8
－3 1
4 8
－4 a－3
×14
1 －2 －3 1
1 －2 －3 1
→
0
1
1
－1
×（－8）
→
0
1
1
－1
0 8 8 a－3
0 0 0 a＋5
例题 5 用列运算来判断方程组的解（无限多组解的情形）
x－2 y－3z＝1 已知方程组 2x－ 2z＝－2有解，试以列运算求 a 的值，并求此方
1
2
2
0
2 3 a 4
1 1 3 6
×（－1）
0 1 ×（－2）
－1
－6
0 1 a－6 －8
×（－1）
1 1 3 6
0
1
－1
－6
0 0 a－5 －2
范例 6 三元一次方程组解的讨论
x＋y＋3z＝6
试解方程组
x＋2
y＋2
z＝0
，并就 a 值讨论之。
2 x＋3 y＋az＝4
。
x－2 y＋3z＝a
1 1 －2 1
解■
2
－1
1
2
1 －2 3 a

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104x x ax x x x ax x --=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩的两个不同的解向量，则a 的取值如何解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3，故知a=-2。

【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b 的通解。

解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T,由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42TT k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组12234411223441234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。

分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

利用矩阵运算解决线性方程组问题的技巧

利用矩阵运算解决线性方程组问题的技巧线性方程组是数学中的一个重要概念，它表示一组包含线性关系的方程集合。

解决线性方程组问题，可以运用矩阵运算的技巧。

本文将介绍如何利用矩阵运算解决线性方程组问题，并提供一些实用的技巧。

1. 线性方程组的矩阵表示在解决线性方程组问题之前，我们首先需要将线性方程组转化为矩阵形式。

假设有一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以表示为：A * X = B其中A是一个m×n的矩阵，X是一个n×1的未知向量，B是一个m×1的常数向量。

2. 矩阵的基本运算在解决线性方程组问题时，我们需要进行一些基本的矩阵运算。

下面是一些常用的矩阵运算技巧：2.1 矩阵加法和减法：对应元素相加和相减。

2.2 矩阵乘法：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

2.3 矩阵转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

2.4 矩阵求逆：对于可逆矩阵A，存在一个矩阵A的逆矩阵A^-1，使得A * A^-1 = A^-1 * A = I，其中I是单位矩阵。

2.5 矩阵行列式：矩阵的行列式对于判断矩阵是否可逆很有用。

3. 利用矩阵运算解决线性方程组利用矩阵运算可以很方便地解决线性方程组问题。

下面是解决线性方程组的一般步骤：3.1 根据线性方程组的系数构造矩阵A和常数向量B。

3.2 求解矩阵A的逆矩阵A^-1。

3.3 将方程组转化为矩阵形式：A * X = B。

3.4 通过矩阵乘法，计算未知向量X的值：X = A^-1 * B。

4. 解决线性方程组问题的技巧除了使用基本的矩阵运算，还有一些技巧可以在解决线性方程组问题中发挥作用：4.1 判断矩阵是否可逆：通过计算矩阵的行列式，如果行列式不为零，则矩阵可逆。

4.2 矩阵消元法：通过行变换将矩阵转化为简化行阶梯型或行最简形，从而更容易计算解的值。

4.3 LU分解法：将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过回代法求解解的值。

利用矩阵求解线性方程组应用代数学到实际问题

利用矩阵求解线性方程组应用代数学到实际问题矩阵是代数学的一个重要概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。

其中，矩阵的一个重要应用是求解线性方程组。

线性方程组是代数学中一类重要的方程，由多个线性方程组成。

在本文中，我们将讨论如何利用矩阵求解线性方程组，并将其应用于实际问题中。

一、矩阵与线性方程组的关系矩阵是由数个数排成矩形的数组。

在线性方程组中，我们可以使用矩阵来表示所有的线性方程。

具体而言，设有n个未知数和m个线性方程，则可以将其表示为一个n×m的矩阵（常称为系数矩阵）与一个n行1列的矩阵（常称为常数矩阵）的乘积等于一个n行1列的矩阵（常称为未知数矩阵）。

通过矩阵的运算，我们可以利用矩阵求解线性方程组。

二、矩阵求解线性方程组的方法在矩阵求解线性方程组时，常用的方法有高斯消元法和矩阵的逆运算方法。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法。

它通过矩阵的行变换，将线性方程组转化为简化行阶梯形方程组，从而求得未知数的解。

具体步骤如下：（1）建立增广矩阵：将系数矩阵和常数矩阵合并成一个n×m+1的增广矩阵；（2）行变换：通过初等行变换，将增广矩阵转化为简化行阶梯形矩阵；（3）回代求解：由简化行阶梯形矩阵可以直接读出未知数的解。

2. 矩阵的逆运算方法当系数矩阵为可逆矩阵（即行列式不为零）时，我们可以使用矩阵的逆运算方法求解线性方程组。

具体步骤如下：（1）计算系数矩阵的逆矩阵；（2）将逆矩阵与常数矩阵相乘，得到未知数矩阵，即可得到线性方程组的解。

三、应用代数学到实际问题利用矩阵求解线性方程组在实际问题中有着广泛的应用。

以下是几个代表性的实际问题：1. 跨境贸易问题假设一个国家与其他若干个国家进行贸易，在贸易中涉及到多个商品的买卖。

我们可以使用矩阵求解线性方程组来确定各个国家之间的商品交换比例，从而实现贸易的均衡发展。

2. 线性电路问题在电路分析中，线性电路可以用线性方程组来描述。

矩阵的初等变换与线性方程组求解

矩阵的初等变换与线性方程组求解矩阵在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛用于各个领域的问题求解。

在矩阵中，初等变换是一种常用的工具，用于改变矩阵的形式，进而帮助我们解决线性方程组的求解问题。

本文将详细介绍矩阵的初等变换的概念和操作，以及如何利用初等变换来求解线性方程组。

一、初等变换的概念初等变换是指在满足一定规则下对矩阵进行的一系列基本操作。

根据初等变换的不同类型，可以将其划分为三类：交换两行或列、某行或列乘以非零常数、某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上。

通过这些操作，我们可以改变矩阵的行列式、秩、高斯消元等性质，从而为线性方程组的求解提供便利。

二、初等变换的操作1. 交换两行或列：通过交换矩阵中任意两行或两列的位置，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

2. 某行或列乘以非零常数：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

3. 某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，并加到另一行或列上，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

三、利用初等变换，我们可以将线性方程组的系数矩阵通过一系列操作，转化为特殊形式的矩阵。

这个特殊形式的矩阵通常被称为行简化阶梯形矩阵或行最简矩阵。

行简化阶梯形矩阵的主对角线上的元素全为1，并且每个主对角线上方的元素全为0。

得到行简化阶梯形矩阵后，就可以利用高斯消元法等技巧，快速求解线性方程组的解。

通过矩阵变换的过程，我们可以发现行简化阶梯形矩阵的解可以直接得到，而不需要进行繁琐的计算。

四、实例分析为了更好地理解矩阵的初等变换与线性方程组求解的过程，我们来看一个具体的例子。

考虑以下线性方程组：x + y + z = 62x + 3y + 4z = 174x + 5y + 6z = 28将其转化为矩阵形式：( 1 1 1 | 6 )( 2 3 4 | 17 )( 4 5 6 | 28 )接下来，我们利用初等变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。

典型例题分析线性方程组

第三章线性方程组典型例题分析§3.1 基本知识一向量组的线性相关性1 设βααα,,,,21s 是数域p 上的n 维向量，若存在数域p 中的数,,,,21s k k k ，使得s s k k k αααβ+++= 2211,则称β是s ααα,,,21 的线性组合,或说β可由向量组s ααα,,,21 线性表出.2 若向量组s ααα,,,21 中的每个向量都可由向量组t βββ,,,21 线性表出，则称向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表出，若两个向量组可以互相线性表出，则称它们是等价的.3 向量组的等价是一个等价关系.4 线性相关性：若存在不全为零的数s k k k ,,,21 使02211=+++s s k k k ααα其中∈i k 数域P , s i ,,2,1 =,则称向量组s ααα,,,21 在数域p 上线性相关；否则称其在p 上线性无关.5 n 维单位向量)1,0,,0(,),0,,0,1,0(),0,,0,1(21 ===n εεε线性无关，且任何n 维向量都可由它线性表出.6 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充分必要条件是：s ααα,,,21 中有一个向量可以被其余的向量线性表出.7 设r ααα,,,21 与s βββ,,,21 是两个向量组，若 1)向量组r ααα,,,21 可由s βββ,,,21 线性表出. 2)s r>则向量组r ααα,,,21 线性相关.8(替换定理)设向量组r ααα,,,21 , (1) s βββ,,,21 . (2)(1) 中每一个i α可由(2) 中的向量j β线性表出且(1)组向量线性无关,则1) r ≤ s;2) 必要时可对(2) 中向量重新编号,使得用r ααα,,,21 替换r βββ,,,21 后所得向量组r ααα,,,21 ,s r ββ,,1 + (3)与(2)等价.二向量组的极大无关组与秩1 若向量组r ααα,,,21 有部分组r j j j ααα,,,21 满足: 1)rjj j ααα,,,21线性无关,2)每个)1(n i i ≤≤α都可由r j j j ααα,,,21 线性表出,则称r j j j ααα,,,21 为n ααα,,,21 的一个极大线性无关组.2 设n ααα,,,21 是含有非零向量的一个向量组,则其中一个极大线性无关组中所含的向量个数称为此向量组的秩．3 任何向量组都与其极大无关组等价.4 一个向量组若含有非零向量,则其任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等.5 向量组n ααα,,,21 的秩为n 的充分必要条件为: n ααα,,,21 线性无关.三矩阵的秩 1矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩，A 的列向量组的秩称为A 的列秩.2 一个矩阵中非零子式的最大级数称为这个矩阵的秩.矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩. 一个矩阵的秩用“秩A ”或“r(A)”表示.3 以下变换称为矩阵的初等变换： 1)交换矩阵的任意两行（列）；2)用非零数k 乘矩阵的某一行（列）；3)用数k 乘某一行（列）中所有元素并加到另一行（列）上去. 4 初等变换不改变矩阵的秩.对任何矩阵A 都可经过初等变换化为以下标准形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011 ，其中主对角线上1的个数等于矩阵A 的秩.四线性方程组 1 线性方程组有解的判定定理：设线性方程组)1(,,,22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则方程组（1）有解的充分必要条件为：秩A =秩A ，并且1)当秩=A 秩n r A ==时,(1)有唯一解; 2)当秩=A 秩n r A <=时,(1)有无穷解; 2解线性方程组的步骤:1)对增广矩阵A 施行行初等变换,将A 化成阶梯形矩阵B (阶梯形矩阵不唯一)；2)由B 可知秩A 与秩A 是否相等，从而判断原方程组是否有解,及判断有唯一解或有无穷多解； 3)解出以B 为增广矩阵的线性方程组（它与原方程组同解），在有解时，一般继续将阶梯形矩阵B 通过行初等变换化为行简化阶梯形，所谓行简化阶梯形是指这样的矩阵，其每个非零行的首非零元为1，各行的首非零元的列标递增，零行在所有非零行的下方.注意当方程组有无穷多解时，必有n-r 个自由未知量.五线性方程组解的结构1 齐次线性方程组(1)的一组解向量t ηηη,,,21 称为)1(的一个基础解系，若 1）(1)的任意解向量都能表成t ηηη,,,21 的线性组合； 2）t ηηη,,,21 线性无关.2 设A 为某一非齐次线性方程组的系数矩阵，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组称为原非齐次线性方程组的导出组.3 齐次线性方程组解向量的线性组合仍为该齐次线性方程组的解向量.4设A 是一个n s ⨯矩阵,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为：秩A <n(且此时方程组的每个基础解系都含有-n 秩A 个向量).特别地，含个n 未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零.5非齐次线性方程组的一般解:如果0r 是非齐次线性方程组)1(的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，则)1(的任意解r 都可以表成r n r n k k k r r --++++=ηηη 22110,其中r n k k k -,,,21 为任意数.六二元高次方程组 1 称行列式nmmm mnnnb b b b b b b b b b b a a a a a a a a a a10210210110210为多项式n n n a x a x a x f ++=-110)( m m m b x b x b x g +++=- 110)( （它们可以是零多项式）的结式，记为),(g f R . 2 设 n n n a x a x a x f +++=- 110)(， m m m b x b x b x g +++=- 110)(是][x p 中两个多项式，0,>n m ，于是它们的结式0),(=g f R 的充要条件是)(x f 与)(x g 在][x p 中有非常数的公因式或它们的第一个系数00,b a 全为零.3 设),(y x f ，),(y x g 是两个复系数的二元多项式，求方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x g y x f （1）在复数域中的全部解，将),(y x f 与),(y x g 写成)()()(),(110y a x y a x y a y x f n n n +++=- ， )()()(),(110y b x y b x y b y x g m m m +++=- ，其中m j n i y b y a i i ,,1,0,,,1,0),(),( ==是y 的多项式,把),(y x f 与),(y x g 看作是x 的多项式，令=),(g f R x )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(102102101010210y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a m m m n n n这是一个y 的复系数多项式.由2即得如果),(00y x 是方程组(1)的一个复数解，则0y 就是),(g f R x 的一个根；反过来，如果0y 是),(g f R x 的一个复根，则)()(0000y b y a ==0，或存在一个复数0x 使),(00y x 是方程组)1(的一个解.§3.2 例题例1 将向量β表成向量组4321,,,αααα的线性组合:'),1,1,2,1(=β,'1)1,1,1,1(=α,'2)1,1,1,1(--=α,'3)1,1,1,1(--=α,'4)1,1,1,1(--=α.解法一：设44332211ααααβx x x x +++=即='),1,1,2,1(+'1)1,1,1,1(x '2)1,1,1,1(--x +--+'3)1,1,1,1(x '4)1,1,1,1(--x'4321432143214321),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x +---+---++++=于是得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++.1,1,2,14321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x因为方程组的系数行列式D 0≠，由克兰姆法则得此方程组的唯一解是：,41,41,41,454321-=-===x x x x故 432141414145ααααβ--+=.解法二⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=41100041010041001045000111111111112111111111初等行变换A 故 432141414145ααααβ--+=. 点评：一个向量能否由一个向量组线性表出的问题，本质上等价于对应的非齐次线性方程组是否有解的问题.这就是上面的解法一.解法一可以简化为对矩阵施行初等行变换，即设=A ],,,,[4321βαααα ，−−−→−初等行变换A 行简化阶梯形，这样的求解较简捷，这就是上面的解法二.例2 设向量组n i a a a in i i i ,,2,1),,,,(21 ==α;且行列式0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D，求证：向量组n ααα,,,21 线性无关.证法一：设 02211=+++n n k k k ααα ，即0),,,(),,,(),,(21222212112111=+++nn n n n n n a a a k a a a k a a a k由此得0),,,(221122221211212111=+++++++++nn n n n n n n n a k a k a k a k a k a k a k a k a k上式相当于以n k k k ,,,21 为未知量的线性方程组)1(000221122221121221111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n nn n n k a k a k a k a k a k a k a k a k a因为这个齐次方程组(1)的系数行列式,0'212221212111≠=D a a a a a a a a a nnn nn n故此方程组只有唯一解 021====n k k k .证法二：（反证法）假设n ααα,,,21 线性相关，则向量组n ααα,,,21 中必有某一向量，不妨设i α是其余向量的线性组合，即有n n i i i i i k k k k ααααα+++++=++-- 111111.用n i i k k k k ----+-,,,,,111 分别乘以行列式D 的第n i i ,,1,1,,1 +-各行后，都加到第i 行上去，则D 的第i 行所有元素都变为零，故行列式0=D ，此与假设矛盾.点评: 这是证明一个向量组线性无关的问题.通常采用两种基本证法:第一种，欲证n ααα,,,21 线性无关，只需证明:由02211=+++n n k k k ααα 可以推出021====n k k k ，证法一属于这种方法;第二种是反证法，因线性相关与线性无关是两个互相排斥的概念，故在证明这类命题时，反证法具有基本的重要性.上面方法二就属于这种证法.当然我们还可以利用向量组的等价性、极大无关组、秩等方法证明向量组的线性相关性.例如，为判断n 维向量空间np 中向量组m ααα,,,21 的线性相关性，我们以这些向量的分量为列作矩阵A ，若A 的秩小于向量组的个数m ，则该向量组线性相关，若秩A 等于m ，则该向量组线性无关.例3 设r a a a ,,,21 为n 维向量，r a a a b +++= 321,r a a a b +++= 312,121,-+++=r r a a a b ,试证：组Ⅰ:r b b b ,,,21 与组Ⅱ:r a a a ,,,21 等价，因而有相同的秩.证法一：)1()1())(1(1111j r j j r j a r a a a a r b b b -++++++-=+++++-将j b 表达式乘)1(-r ,得：)2())(1()1(111r j j j a a a a r b r +++++-=-+-)1(式减去)2(式得：r j b b r b r a r j j ,,2,1],)2([111 =++-++-=于是组Ⅱ也可由组Ⅰ线性表出，故两者等价，从而秩相等.证法二：原来的r 个等式可合并写成：=),,,(21r b b b A a a a r ),,,(21 ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111101111011110 A ，)1()1(]1)1(0[)10(11≠--=⋅-+-=--r r A r r ，故A 可逆，从而又有=),,,(21r a a a 121),,,(-A b b b r ，两者可相互线性表出，故等价，所以有相同的秩.点评: 已知组Ⅰ可由组Ⅱ线性表出，只需再证组Ⅱ可由组Ⅰ线性表出即可.证法一和证法二的思路相同，证法二较简捷，只不过要在学完矩阵运算后才可用. 例4设'1)3,4,3,0,1(=α,'2)3,1,2,1,3(-=α,'3)2,5,0,1,1(-=α,'4)8,10,5,0,3(=α，'5)2,2,1,0,1(---=α，求54321,,,,ααααα的一个极大线性无关组及秩.解法一：由题意知，向量21,αα线性无关，添加3α,看向量组321,,ααα的线性关系.因 0011213301≠-- 故321,,ααα线性无关，应保留3α.再添加4α于321,,ααα，考察4α是否能由321,,ααα线性表出.设 3322114ααααk k k ++=，于是得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+=+-=-+823310545230033213212132321k k k k k k k k k k k k k解之得，321k k k ==，从而3214αααα++=，故4321,,,αααα线性相关，应去掉4α，再添加5α，看5α是否能由前面的向量线性表出，利用同样的方法可得3215αααα--=,所以应去掉5α，故321,,ααα是向量组54321,,,,ααααα的一个极大无关组，且其秩为3.解法二以54321,,,,ααααα为列作矩阵A ，对矩阵A 施行初等行变换，化为阶梯形：B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000000011100110101100128233210514150230011013131初等行变换 54321βββββ由于初等行变换不改变列向量之间的线性关系，又易知B 的列向量组中，321,,βββ是极大线性无关组，且3214ββββ++=，3215ββββ--=，故321,,ααα是原向量组的一个极大线性无关组，且3214αααα++=，3215αααα--=所以原向量组的秩为3.点评：解法一是使用逐项添加的方法.先取该向量组的两个线性无关的非零向量，然后逐一添加，若添加的向量可以由前面的向量线性表出，则去掉，否则就保留下来.继续往下验证，直到最后一个向量为止.解法二是以所求的向量组为列作矩阵A ，然后对A 进行初等行变换得到等价矩阵B ，则求出B 的列向量组的极大线性无关组即可.一般将B 化为阶梯形，这时B 中非零行的首非零元所在的列对应A 中的列即极大线性无关组，而A 的秩即B 中的非零行数.例5 设向量组'1)3,1,1,1(=α,'2)1,5,3,1(--=α,'3)2,1,2,3(+-=p α,'4),10,6,2(p --=α，1)p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量')10,6,1,4(=α用4321,,,αααα线性表出；2)p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组. 解：对矩阵],,,,[4321ααααα 做初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----2674021********042311102136101511623142311 p p p p⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----------→82900707003412042311 p p ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→p p 12000101003412042311 1)当2≠p 时，向量组4321,,,αααα线性无关.此时设44332211αααααk k k k +++=，解得: 21,1,243,24321--==--==p pk k p p k k . 4321212432ααααα--++--+=p p p p 2) 当2=p 时，向量组4321,,,αααα线性相关.此时向量组的秩等于3.321,,ααα（或431,,ααα）为其一个极大线性无关组.点评：4个4维向量是否线性相关，可直接由其构成的行列式是否为零来判断.或考虑到还要求把α用4321,,,αααα线性表出，即求44332211αααααk k k k +++=的解，两步结合在一起进行，直接通过初等行变换化矩阵],,,,[4321ααααα 为阶梯形，在p 确定时，求向量组的秩和极大线性无关组可按常规方法处理.例6 已知两个向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表出，证明：这两个向量组等价.证法一：设s a a a ,,,21 （1）与t βββ,,,21 （2）为两个秩为r 的向量组，并且向量组（2）可由向量组（1）线性表出.若,0=r 此时（1）与(2)都只含有零向量，显然它们等价. 若,0>r 此时可设，向量组（1）的一个极大线性无关组为ri i i ααα,,,21（3）向量组（2）的一个极大线性无关组为rj j j βββ,,,21（4）由题设知，（4）可由（1）线性表出，所以，（4）也可由（3）线性表出，由替换定理知，（4）与（3）等价.因两个向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性，故（1）与（2）也等价.证法二：当0=r 时，命题显然成立.下证当0>r 时，命题亦成立.由证法一可知，此时只需证)3(与)4(等价.由题设易知，)4(可由)3(线性表出.欲证)3(与)4(等价，只需证)3(可由)4(线性表出.用反证法，假设)3(中有向量i α不能由)4(线性表出.由习题3的逆否命题知，i j j j rαβββ,,,,21线性无关，又因为向量组i j j j rαβββ,,,,21中的每一向量都可由)3(线性表出，且r r >+1，故i j j j r αβββ,,,,21 线性相关，此与i j j j r αβββ,,,,21 线性无关矛盾.所以)3(可由)4(线性表出，因此，)3(与)4(等价.由此易知，)1(与)2(也等价.点评: 这是一个需证两个向量组等价的命题.我们知道，一方面，一个向量组的核心，是它的一个极大无关组，而一个向量组总是与它的任一极大无关组等价的，因而，证明两个向量组等价可以转化为证明这两个向量组的极大无关组等价，这样可使问题大为简化；另一方面，两个向量组等价的问题，从本质上来说，可以归结为一个向量组的每一个向量可由另一向量组线性表出的问题.例7设321,,x x x 是复数域C 上的向量空间V 中的三个向量,它们线性无关，证明：向量,21x x +,32x x +13x x +也线性无关，如何把这种情况推广到V 中m 个向量？解：1）设++)(211x x k ++)(322x x k ,0)(133=+x x k则由0)()()(332221131=+++++x k k x k k x k k ，以及321,,x x x 线性无关得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k解得：0321===k k k ，故,21x x +,32x x +13x x +线性无关.2）推广到V 中m 个向量：若m x x x ,,,21 线性无关，问,21x x +,32x x +1,x x m + 是否也线性无关？由++)(211x x k ++)(322x x k ,0)(1=++x x k m m 得)1(0001211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+-m m m k k k k k k)1(的系数行列式：⎩⎨⎧=-+=+,,0,,2)1(1110011000011100011为偶数时当为奇数时当m m m故当m 为奇数时，,21x x +,32x x +1,x x m + 也线性无关; 当m 为偶数时，,21x x +,32x x +1,x x m + 线性相关.点评：当证明了由321,,x x x 线性无关，可推得,21x x +,32x x +13x x +也线性无关后，不能盲目地断言由,21x x +,32x x +13x x +线性无关，也可得到,21x x +,32x x +1,x x m + 线性无关，而是按通常判定向量组线性相关性的方法，转化成判断一个齐次线性方程组是否有非零解，若有非零解则线性相关，否则线性无关.例8 设向量组I ：t ααα,,,21 和向量组II ：s βββ,,,21 的秩分别为p 和q . 证明：1）若 I 可由II 线性表出，则q p ≤；2）若 I 与II 等价，则q p =. 证明：分两种情况：若0=p ，显然有q p ≤，并且当I 与II 等价时，则有0=q ，此时q p =，故结论成立. 若0>p ，则向量组I 含有非零向量.又因为I 可由II 线性表出，所以II 中也含有非零向量，于是有0>q ，此时可设I 的一个极大线性无关组为III:pii i ααα,,,21，II 的一个极大线性无关组为 IV ：qj j j βββ,,,21 ，由题设可知，I 可由II 线性表出，于是，III 也可由IV 线性表出.又因为向量组III 线性无关,所以，由替换定理得q p ≤.因为当I 与II 等价时，III 与IV 也等价,所以，IV 可由III 线性表出, 再由替换定理知，p q ≤，从而q p =.点评：因为一个向量组的秩，就是这个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，证明两个向量组的秩之间具有某种关系，通常归结为这两个向量组的极大线性无关组之间的关系.这样，可使我们对问题的实质看得更清楚.例9 设向量β可由向量组r a a a ,,,21 线性表出，证明：r a a a ,,,21 线性无关的充要条件是表示法是唯一的.证法一：（用同一法）设β由r a a a ,,,21 线性表出，有两种方法：r r k k k αααβ+++= 2211， r r l l l αααβ+++= 2211 .由此可得：0)()()(222111=-++-+-r r r l k l k l k ααα .因为r a a a ,,,21 线性无关，所以),,2,1(0r i l k i i ==-，即),,2,1(r i l k i i ==由此可见，这两种表示法是相同的.反之，设r r k k k αααβ+++= 2211表示方法唯一，如果r a a a ,,,21 线性相关，则有r l l l ,,,21 不全为零，使02211=+++r r l l l ααα ，于是r r r l k l k l k αααβ)()()(222111++++++= 与原表示法不同，矛盾，因而r a a a ,,,21 线性无关. 证法二：（用反证法）假设有两种不同的表出方法：)1(2211rr k k k αααβ+++= ， )2(2211rr l l l αααβ+++= .其中至少有一个i k 与i l 不相等，即i i l k ≠.)2()1(-得：0)()()()(222111=-++-++-+-r r r i i i l k l k l k l k αααα 因为i i l k ≠，故0≠-i i l k 于是有一组不全为零的数),,2,1(r j l k t j j j =-=使 02211=+++++r r i i t t t t αααα .所以r a a a ,,,21 线性相关，与题设矛盾.反之，同证法一，由β的表示法唯一推出r a a a ,,,21 线性无关.点评：这是数学命题中的一种重要类型，是一个证明“唯一性”的命题.证明这类命题，在代数中往往采用以下两种方法：一是用“同一法”，设满足题设条件的事物有两个，然后证明这两个相同.二是用“反正法”，假设满足题设条件的事物不唯一，从而推出矛盾.对于这个例题两种方法本质上是一样的.例10 设向量组n ααα,,,21 线性无关，向量组n αααβ,,,,21 （其中0≠β）线性相关，则n αααβ,,,,21 中有且仅有一个向量i α可由其前面的向量线性表出.存在性：证法一因向量组n αααβ,,,,21 线性相关，故可以找到一组不全为零的数n k k k k ,,,,21 使02211=++++n n k k k k αααβ （1）设在)1(中依从右到左的顺序第一个不为零的数为i k ，i k 不可能为k ，否则，即有0,021≠====k k k k n ，此时)1(式变为0=βk ，因已知0≠β，又有0≠k ，这是不可能的，故)1(式必为)2()1(,0112211n i k k k k k i i i i ≤≤=+++++--ααααβ因在)2(式中0≠i k ，故i α可由121,,,,-i αααβ 线性表出.点评：此证法不但证明了存在性，还给出了求法，即找一个向量，这个向量能被其前面的向量线性表出.证法二：（用反证法）假设n αααβ,,,,21 中的每一个向量i α都不能由它前面的i 个向量（包括β）线性表出，则向量组n αααβ,,,,21 线性无关，这与题设矛盾.所以，至少有一个向量i α可由它前面的i 个向量线性表出.唯一性：证明（用反证法）假设n αααβ,,,,21 中有两个不同的向量)(,j i j i <αα可分别由其前面的向量线性表出，于是有112211--++++=i i i k k k k αααβα （1） 11112211----++++++=j j i i j l l l l l ααααβα（2）因i i αααα,,,,121- 线性无关，故0≠k ，于是有i i i kk k k k k k ααααβ1112211+----=-- （3）把（3）代入（2）得：1111111222111)1()()()(--++---+++++-++-+-=j j i i i i i i i j l l kl k lk l k lk l k lk l ααααααα 上式说明j ααα,,,21 线性相关，这与题设矛盾，唯一性得证.点评: 这个命题需要证明“存在性”和“唯一性”两方面.证明“存在”的命题，常用两个方法，第一个方法是设法直接找出所要求的对象，命题即得证.这样，不但证明了存在性，还给出了求法;第二个证法，是用逻辑推理的方法;论证其存在，但没有给出寻找的方法.例11设 ,1611541139*********75211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求A 的秩. 解法一：因初等变换不改变矩阵的秩，所以，为了求秩A ，我们先对A 施行初等变换：→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=加到下列各行上。