矩阵、 线性方程组例题分析

矩阵、 线性方程组例题分析

（一）重点：

● 矩阵的乘法、转置、可逆矩阵的概念及求法；

● 矩阵的初等变换，矩阵求秩。

（二）例题

例1若A 是对称矩阵，则A T -A=______。

答案：0

例2若矩阵A 可逆，则（A T ）-1=____.

答案：（A -1）T

例3设A ，B 均为方阵，若AB =I ，则A -1=_____,B -1=______.

答案：B ，A

例2 矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020001，则A -1=（ ）。 答案： ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000210

001 例5 设A 、B 均为方阵，则下列结论正确的是（ ）。

A ．（A

B ）T =A T B T

B ．AA T =A T A

C ．若A T =A ，则（A 2）T =A 2

D ．若A T =A ，B T =B ，则（AB ）T =AB 。

答案：（C ）。

例6 设A 是三角形矩阵，若主对角线上元素（ ），则A 可逆。

A ． 全部为0,

B ．可以有零元素,

C ．不全为0,

D ．全不为0

,答案：（D ）

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=17133628282210897130412108971304127B A B A B A 解求例

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-⋅-⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=50121812821365410241125486541021812232221282136541028B A A B B A A B B A T T 解求例

例9求矩阵

解：利用矩阵的初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩。

所以，矩阵的秩为2。 [][]()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⋅=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅=⋅⋅⋅⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==51053216423215121551232151232110A B B A A B B A B A 解求设例

()⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=∴⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡------→

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--1317185112981311007185010112980

011311007185010011411131100032710011

411133132003271001141110015301013201141110015301013

2

001543

153

132

543

1111A AE A A 解求设例：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==4321855312B A B XA 其中解矩阵方程例

()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=∴⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤

⎢⎣⎡---→⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡==---3412

355843213558351058016102012211085122

110850210610850153111

BA X A AE BA X 解

例12证明：若A 2=I ，且AA T =I ，则A 为对称矩阵。

证明：∵A 2=I A.A=I

∴A -1=A

又∵AA T =A

∴A -1=A T

故A T =A ∴A 为对称阵矩阵。

例13 若矩阵B 1和B 2均与矩阵A 可交换，则K 1B 1+K 2B 2与A 也可交换（K 1，K 2为任意常数）。 证明：∵B 1和B 2均与A 可交换有B 1A=AB 1，B 2A=AB 2

∴（K 1B 1+K 2B 2）.A

=K 1B 1A+K 2B 2A

=K 1（B 1A ）+K 2（B 2A ）

=K 1（AB 1）+K 2（AB 2）

=A （K 1B 1）+A （K 2B 2）

=A （K 1B 1+K 2B 2）

故K 1B 1+K 2B 2与A 可交换。

例14设n 阶方阵A 满足A 2+A-3I=0，试证：矩阵A-I 可逆，且（A-I ）-1=A+2I 。

证明：∵A 2+A-3I=0

A 2+A-2I=I

（A-I ）（A+2I ）=I

由可逆阵的定义，

∴A-I 可逆且（A-I ）-1=A+2I

例15设A 、B 都是对称矩阵，则乘积A.B 是对称矩阵的充分必要条件是A ，B 可交换。

证明：必要性：

∵A 、B 、A .B 都是对称矩阵，即A T =A ，B T =B ，（AB ）T =AB ，且

AB=（AB ）T =B T A T =BA

∴AB=BA

充分性：

∵A ，B 是对称矩阵，即A T =A ，B T =B ，且（AB ）T =B T A T =BA=AB

∴AB 是对称矩阵。

例16设A 是对称矩阵，且A 可逆，证明A -1也是对称矩阵。

证明：已知A T =A ，且A -1存在

∵（A-1）T =（AT ）-1

∴A 为对称矩阵A -1

∵A -1是对称矩阵。

八、线性方程组

（一）重点：线性方程组的判别，线性方程组的求法。

（一） 例题

例1讨论入的情况，使齐次线性方程组

⎩⎨⎧=-=-0

32121x x x x λ 有非零解。 解：若齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于未知量的个数，则方程组有非零解。

∵未知量个数=2