圆周角定理与圆的切线

第2讲圆周角定理与圆的切线

【2013年高考会这样考】

考查圆的切线定理和性质定理的应用.

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法•

A1 KAOJIiZIZHUDAOXUE “一亠—亠』

01》考基自主导学

基础梳理

1. 圆周角定理

⑴圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.

⑵圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一_______

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

②半圆(或直径)所对的圆周角是90° 90。的圆周角所对的弦是直径.

2. 圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相—

3. 弦切角

(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.

（2）弦切角定理及推论

①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.

②推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等.

双基自测

1 •如图所示，△ ABC 中，/ C = 90° AB= 10, AC = 6,以AC

为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为___________ .

解析连接CP.由推论2知/ CPA= 90°即CP丄AB,由射影定

理知，AC2=

AP AB.A AP= 3.6,二BP= AB—AP = 64 答案6.4 2•如图所示，AB、AC是。O的两条切线，切点分别为B、C, D

是优弧"BC上的点，已知/ BAC= 80° 那么/BDC = __________ .

解析连接OB、OC,贝U OB 丄AB, OC X AC,：/ BOC= 180°— /

BAC= 100°

A / BDC = 2/BOC= 50°

答案50 3. （2011广州测试（一））如图所示，CD是圆O的切线，切点为C, 点A、B在圆O上，BC= 1,/ BCD= 30°则圆O的面积为______ .

解析连接OC, OB,依题意得，/ COB= 2/ CAB = 2/BCD =

60° 又OB = OC,

因此△ BOC是等边三角形，

OB= OC= BC = 1,即圆O的半径为1, 所以圆O的面积为nX12= n.

答案n

4. （2011深圳二次调研）如图，直角三角形ABC中，/ B= 90°

AB= 4,以BC为直径的圆交AC边于点D, AD = 2,则/C的大

解析 连接 BD ，则有/ ADB = 90°.在 Rt A ABD 中，AB = 4, AD = 2,所以/ A = 60° 在 Rt A ABC 中，/ A = 60° 于是有/ C = 30° 答案 30°

5. （2011汕头调研）如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与 圆O 上过点P 的切线PA 相交于点A ,若/ M = 30° AP = 2晶 则圆O 的直径为 .

解析 连接OP ，因为/ M = 30°所以/ AOP = 60°因为PA 切圆O 于P ，所以

AP 2^/3

OP 丄AP ，在叱ADO

中, OP

=寸AO P = tan 丽y 故圆O 的直径为4.

答案4

*CAOXiANGTANJIUID*OXIi —

净考向探究导析 考向一圆周角的计算与证明

【例1】?（2011中山模拟）如图，AB 为。O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ,若AB

［审题视点］连结AD , BC ,结合正弦定理求解. 解析 连接AD , BC.因为AB 是圆O

的直径，所以/ ADB =Z ACB = 90° snADABD 二 ABn /ABDD 二 AB

=3,又 CD 二〔，所以曲 DAC =前/DAP =3

所以 cos / DAP _

02

研析琴向！秦例奕破

=3, CD = 1,贝U sin /APB = _________

又/ ACD = /ABD ，所以在厶ACD 中，由正弦定理得:

_CD _ _

sin /DAC _sin / ACD _

AD c

又 sin / APB _ sin (90 +/ DAP)_ cos / DAP _ | 2.

y”〉解决本题的关键是寻找/ APB 与/ DAP 的关系以及AD 与AB 的关系. 【训练1】 如图，点A , B , C 是圆0上的点，且AB = 4,/ ACB = 30°则圆0

解析 连接AO , OB.因为/ ACB = 30°所以/ AOB = 60° △ AOB 为等边三角形, 故圆O 的半径r = OA = AB = 4,圆O 的面积S = n 2= 16 n. 答案 16 n

考向二弦切角定理及推论的应用

【例2】？如图，梯形ABCD 内接于。O , AD // BC ,过B 引。0的切线分别交

［审题视点］先证明△ EAB sA ABC ,再由AE / BC 及AB _ CD 等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解.

解析 T BE 切O O 于 B ,A / ABE =Z ACB. 又 AD // BC ,A / EAB =Z ABC , BE AB

•••△ EA” ABC ,： AC BC.

又 AD // BC ,： AB _ CD

:EF _30_ 2

的面积等于

又 AE //

BC ,

： A F _ AC ， .EF BE • AB _ EF BC _ AF .

：AB _ CD ，: Sb

需，

5_ EF

8二 6，

DA 、CA 的延长线于E 、

_5, AF _6,贝U EF 的长为