高二数学_抛物线教案

抛物线的几何性质教案

一、要点归纳

1.抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

2.

3.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P

4．焦点弦：过抛物线22

y px

=(0)

p>焦点F的弦AB，若

1122

(,),(,)

A x y

B x y，

则(1)||

AF=x1+

2

p

，（定义）(2)

12

x x=

4

2

p

，

12

y y=－p2．（韦达定理）

(3) 弦长)

(

2

1

x

x

p

AB+

+

=,p

x

x

x

x=

≥

+

2

1

2

1

2,即当x1=x2时,弦长最短为2p，此时弦即为通径。

(4) 若AB的倾斜角为θ，则AB=

θ2

sin

2p

（焦点弦公式与韦达定理）

5. 直线与抛物线相交所得弦长公式

1212

||||

AB x x y y

=-=-

6.点P(x0,y0)和抛物线22

y px

=(0)

p>的位置关系

(1)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内⇔y 2

0<2px 0 (2)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >上⇔y 20=2px 0 (3)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >外⇔y 20>2px 0

7.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、例题分析 [例1] 给定抛物线

，设A （）（

），P 是抛物线上的一点，且，试求的最小值。

解：设（

）（

） 则

∴

∵

，

∴（1）当时，，此时当时，

（2）当时，

，此时当

时，

[例2] 过抛物线

的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A 、B 两点，求

。

解：当

时，直线AB 的方程为

由得A （）、B （，） ∴

当

时，直线AB 的方程为

由得

设A （）、B （

），则

∴

[例3] 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为

由得

∵直线与抛物线交于M、N两点∴

即，，

设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0）

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点

∴MF⊥NF ∴即

又，，且、同号

∴解得∴

即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。

[例4] 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。

解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为

由得∴

又∵，∴

∴∴又

[例5] 如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使

的面积最大，并求这个最大面积。

解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线

AB的方程为

设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离

∵

∴ ∴

从而当

时，

因此，当点P 坐标为

时，

[例6] 已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。

解：如图，易知抛物线与轴交于A （0，1）、B （0，3）

直线

恒过C （

），由图象及抛物线的延伸趋势可知

当大于零且小于BC 的斜率时满足题意

而

，故

。

[例7] 设抛物线的焦点为F ，经过点F 的直径交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC 经过原点O 。

证：因为抛物线

的焦点坐标为F （

）

所以经过点F 的直线AB 的方程为

代入抛物线方程得0

设A （

）、B （

），则

∵ BC//轴，且点C 在准线

上 ∴ 点C 的坐标为

故直线OC 的斜率为

即也是OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O [例8] 如果抛物线

上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。

解：设抛物线

上关于

对称的相异两点坐标为A （

）、B （

）

∵ 两点都在抛物线上 ∴

（1）－（2），得 ∵ （A 、B 两点相异）∴

（3）

（3）代入（2），得

∵ ，且相异 ∴

∴ ∴

的取值范围是（

）

三、课堂练习

1．双曲线)0(12

2≠=-mn n

y m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （ ）