驻波的能量分析与MATLAB模拟_徐宗瑜
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２ ２ ｄ Ｖ λω ｋ＝ ρ ４ ２ ·（ ２ ） ｄ ｘ π
由此证明了 不相邻波节波腹间的总能量也守 这一 规 律 还 可 以 进 一 步 推 广 ． 设某一波节位于 恒． 点ａ 位于ｘ１ ＋Δ 某一波腹位于ｘ２ 处 ， 某 ｘ１ 处 ， ｘ 处； 点ｂ 位于ｘ２ ＋ Δ 称 ａ 和ｂ 为一对 “ 对应 ”位置 ｘ 处， ）可得 ， 由式 （ 一对“ 对 应 ”位 置 点 间 的 总 能 量 点． １ ０ 为
（ （
） ）
（ ） ２ ３
λ ） ＋Δ ）得 ａ 点 处． 将 ｘ ＝± （ ２ ｋ ＋１ ｘ 代入式 （ １ １ ４
处能量密度
２ ２ ２ ２ ２ Ａ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｃ ｏ ｓ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ） ｗａ ＝２ ω （ Δ ω Δ ω ρ
Ｉ＝ Ｉ Ｉ １－ ２＝
２ ２ π π ２ ２ ２ ２ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｔ－ ｘ －ｓ ｔ＋ ｘ ω ω ω ρ λ λ
） １ （ ２ ｋ ＋１ π λ ｋ λ λ ２２ ｃ ｏ ｓ ｘｄ ｘ＝ ＝ － ２ ８ ４ ２ λ
［
］
波腹处的能量密度为
２ ２ Ａ２ ｓ ｉ ｎ ｔ ｗ２ ＝２ ω ω ρ
同理 ， 任一不相邻波节波腹间的总能量为 — ３ ２ —
在任意时刻 ，且无论所考虑的波节和波腹是否
２ ０ １ ２ 年第 １ １ 期 物理通报 大学物理教学 相邻 ，均有
ｋ λ ２ ｘ ＋Δ
（ ） ９
２． ３ 驻波的能量和能量密度 ）和式 （ ）可得 ， 由上面的式 （ 介质体元的总能 ６ ８ 量为
Ｅ＝ ｄ Ｅ＝
２
∫ ∫
２
λ ４ ｘ ＋Δ
２ ２ Ｓ Ａ２ ω · ρ
Ｅ ＝ｄ Ｅｋ ＋ｄ Ｅｐ ＝ ｄ
π π ２ ２２ ２ ２２ ２ Ａ２ Ｖ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ２ ωｄ ω ω ρ λ λ
４ π ２ ２ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｎ ２ ｔ －ρ ω ω λ （ ） ２ ４ 我们绘 出 不 同 时 刻 能 流 密 度 的 曲 线 ， 由曲线和
２ ２ ２ ２ ２ ｗｂ ＝２ Ａ２ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ） ω （ Δ ω Δ ω ρ
） （ ２ ０ 则 ｗａ ＋ ｗｂ ＝２ Ａω ρ
ｋ λ ２ λ ４
ｙ ２ π ２ π ｄ ｘ ＝－２ Ａ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ｄ ｘ ω ｙ＝ ｄ ｘ λ λ
由此得介质体元的弹性形变势能为
Ｅ＝ Ｅ ＝ ｄ
（ ） ７
ｘ＝ ∫ ∫ρＳＡ ω ｄ
（ ） ２ ｋ －１ ２ Ｓ Ａ２ λρ ω ４ （ ） １ ４
２
２
１ π ２ ２ ２２ ２ ｄ Ｅｐ ＝ ｋ（ ｄ Ａ２ Ｖ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ωｄ ω ｙ） ＝２ ρ ２ λ （ ） ８ 式中 ｋ 为弹性模量
２ ２ Ａ２ ｃ ｏ ｓ ｔ ｗ１ ＝２ ω ω ρ
１ ２ π ２ ２ ｘ＝ λ Ｓ Ａ２ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔｄ ω ω ４ ρ λ
）
其中应用了积分公式
∫
ｋБайду номын сангаасλ ２
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
２ ｓ ｉ ｎ
２ π ｘｄ ｘ＝ λ
（ ） １ ６ （ ） １ ７
∫
ｋ λ ２
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
２ ２
由此证明了任一波 节 波 腹 间 ， 任一一对“ 对 应” 位置间的总能量都守 恒 ， 即能量不能从波节或波腹 流出或流入 ， 能量被禁锢在相邻波节与波腹之间 ， 即 驻波在振动过程中不存在能量的定向传播 ． ） 、 （ ）两 式 可 以 看 出 ， 由（ 动能密度和势能密 ６ ８ 度， 无论在空间或时间上都相差 ９ 当动能密度为 ０ ° ． 零时 ， 势能密度最大 ， 反 之 亦 然． 且相邻最大值间的
摘
要： 分析了驻波能量 、 能量密度 、 能流密度在传播过程中的转换规律 ． 用Ｍ 能量 ａ ｔ ｌ ａ ｂ程序实现了驻波波形 、
能流密度的计算机模拟 ， 形象地展现了驻波传播过程中的能量变化 ， 计算机 模 拟 结 果 与 理 论 分 析 所 得 结 果 一 密度 、 最后得到了在振动过程中驻波能量不断地从波节到波腹间相互转移 ， 而从整体看驻波不传播任何能量的结论 ． 致． 关键词 ： 驻波 能量 能量密度 能流密度 计算机模拟
Ｅ＝ ｄ Ｅ＝
２ ｉ ｎ ｓ
∫ ∫
ｋ λ ２
２ ２ ２ Ｓ Ａ２ ｏ ｓ ω ｃ ρ
（
２ π ２ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ ω λ （ ） １ ３
λ 中各个 的定域范围内 ， 能量是在 波 腹 到 波 节 之 间 ４
往返的空间移动的 ． ３． ２ 波节和波腹处能量密度 ）和式 （ ）式 分 别 代 入 式 （ ）可 得 ，波 将式 （ ３ ４ １ １ 节处的能量密度为
波线上振幅始终为最大值的点是波腹 ， 波腹位于 ｘ ＝ ±ｋ λ ｋ ＝０， １， ２， ３… ２ （ ） ４
介于波腹和波节之间的质元的振幅则介于最大值和 最小值之间 ． ２． ２ 驻波的动能和势能 设波是在密度为ρ 的 弹 性 均 匀 介 质 中 传 播 ， 现 在坐标为 ｘ 处取一体积 元 为 ｄ 称 之 为 介 质 体 元， Ｖ， 其质量为 ｄ 视该 体 积 元 为 一 小 体 积 元． 由 ｍ＝ ｄ Ｖ， ρ ）可求出介质体元的振动速度 式（ ２
２ ０ １ ２ 年第 １ １ 期 物理通报 大学物理教学
驻波的能量分析与 ＭＡＴ Ｌ Ａ Ｂ 模拟
徐宗瑜 胡小克
（ ） 河海大学计算机及信息学院 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ９ ８
朱卫华
（ ） 河海大学理学院 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ９ ８ ） （ 收稿日期 ： ２ ０ １ ２ ０ ２ ２ ５ － －
（ （
） ）
ｙ ２ π ｖ＝ Ａ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ ＝－２ ω ω ｔ λ
（ ） １ 由此得介质体元的动能为 １ π ２ ２２ ２ Ｅｋ ＝ ｄ ｍ ｖ２ ＝２ Ａ２ Ｖ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ ｄ ωｄ ω ρ ２ λ
（ ） ５
（ ） ６
— ３ １ —
２ ０ １ ２ 年第 １ １ 期 物理通报 大学物理教学 介质体元产生相对弹性形变
２ ２ π π ｄ ｘ＝ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎω ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓω ｔ） （ λ λ
２ ２
（
）
∫
ｋ λ ２ ｘ ＋Δ
λ ４ ｘ ＋Δ
２ Ｓ Ａ２ ｘ＝ ωｄ ρ
（ ） ２ ｋ －１ ２ Ｓ Ａ２ λρ ω ４
（ ） １ ５
（ ） １ ０ ）得介质的能量密度为 由式 （ １ ０ ｄ Ｅ ｗ ＝ ＝ ｄ Ｖ ２ π π ２ ２２ ２ ） Ａω ｃ １ １ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ （ ２ ω ω ρ λ λ
体元的能流 密 度 均 为 零 ， 而 其 他 时 间 除 波 节、 波腹 外， 各体元的能流密 度 随 时 间 和 位 置 坐 标 的 不 同 而 变化 ． 可见 ， 驻波的能 量 只 能 在 相 邻 波 节 、 波腹之间 流动 ． ４ 计算机模拟驻波能量的变化 为 了 更 好 地 展 现 驻 波 能 量 的 变 化， 利 用 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ ７． ０ 对驻波的传播过程进行了计算机 编 程 模 拟． （ ）所示 ， 如图 ２ 可以同时展现驻波的形成和此 ａ 过程中动能密度 、 势能密度 、 总能量密度以及能流密
根据 ｄ 各质元的 Ｅｋ， ｄ Ｅｐ， ｄ Ｅ， ｗ 的表达式可知 ， 势能和机械能随时间作周期性的变化 ． 动能 、 ３ 驻波传播过程中的能量转换 ３． １ 总能量的转换 体积元 ｄ 其中 Ｓ 为 体 积 元 横 截 面 积 ， Ｖ ＝Ｓ ｄ ｘ，
２］ 则任一相邻波节波腹间的总能量为 ［
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
２ ２
（ ） ２ １
仍为恒量 ，这体现了在整个弹性介质中无数对应位 置间流出和流入的 能 量 净 值 也 是 不 随 时 间 变 化 的 ， 因此 ，驻 波 从 整 体 效 果 上 看 ，不 存 在 能 量 的 传 播 ． 可见驻波能量的移 动 是 被 限 制 在 由 波 腹 到 波 节 （ 或
ｋ λ 能 流密度的表达式可以看出在ｘ ＝± （ ｋ＝ ０， １， ２， ４ ｋ Ｔ （ …） 在ｔ＝ 时驻波上各 ３…）处Ｉ＝０， ｋ ＝１， ２， ３， ４
２ Ａ２ ｗ１ ＋ ｗ２ ＝２ ω ρ
式中 ｖ 为波 速 ， 其 矢 量 式 为 Ｉ ＝ω 方向为波速方 ｖ， （ ） １ ８ 而能流密度为 ω 向， ｖ． 两相干波的能流密度分别为 ２ π ２ ２ ２ Ｉ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｔ－ ｘ ω ω １＝ ρ 烄 λ 烅 ２ π ２ ２ ２ 烆 Ｉ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ ｘ ω ω ２＝ ρ λ
２ ２
（ ） １ ９ 将 ｘ ＝± ｋ
λ ）式得ｂ 点处能量密度 ｘ 代入 （ １ １ ＋Δ ２
［ （ ） （ ）］＝ ２ ２ π π ｓ ｉ ｎ（ ｉ ｎ（ ｔ－ ｘ ） ｔ＋ ｘ ） ω Ａｖ －ｓ ω ω ρ ［ ］ λ λ ２ ２ π π ｓ ｉ ｎ（ ｉ ｎ（ ｔ－ ｘ ） ｔ＋ ｘ ） ＋ｓ ［ ω ω ］＝ λ λ
（
２
）
可证 ， 平均能量密度为 ｗ ＝ １ Ｔ
Ｔ
２ ２ ０
ｔ＝ Ａω ρ ∫ｗｄ
（ ） １ ２
λ 即等于相邻波腹和波节间的距离 ． 表明驻 间隔为 ， ４
波能量不断地在势能 和 动 能 间 来 回 变 换 ， 并在转换 再由波 过程中不断地由波节 附 近 集 中 到 波 腹 附 近 ， 腹附近集中到波节附 近 ， 始终没有能量沿某一方向 传送出去 ． 然而 ， 常说驻波不传播任何能量 ， 是对驻波里各 点处的时间平均值和 对 驻 波 以 外 的 空 间 来 说 的 ， 并 实际上 ， 在驻波 非指对于驻波里任一体积元来说的 ．
任选一交叠点为原点 ， 并在ｘ ＝ ０时振动质点向 上移动到最大位移时 为 计 时 起 点 ， 得到横驻波方程
１］ 为［
２ π Ａｃ ｏ ｓ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ω ｙ ＝ｙ１ ＋ｙ２ ＝２ λ
（ ） ２
２ π 其中 ｃ 而｜ ｏ ｓ ｔ 是一个简谐运动项 ， ２ Ａｃ ｏ ｓ ｘ｜ 表 ω λ 示各质元的振幅 ． 波线上振幅始终为零的点是波节 ， 波节位于 ｘ ＝ ） ２ ｋ ＋１ λ ±（ ｋ ＝０， １， ２， ３… ４ （ ） ３
式中 ， ｗ１ ＋ｗ２ 为恒量 ，这表明在波节和波腹处流出 和流入的能量的净值 是 不 随 时 间 变 化 的 ． 这一规律 不仅在于波节和波腹 ，还存在于任意一对 “ 对应 ” 位 置处 ． 设任一波节位于 ｘ１ 处 ，某点ａ 位于ｘ１ ＋ Δ ｘ 处 ；任一波腹位于ｘ２ 处 ，某对应点ｂ 位于ｘ２ ＋Δ ｘ
度、 能流密度中的一个或两个进行分析 ． 而且理论分 还是 不 利 于 学 生 对 于 此 问 题 的 深 入 析太过于抽象 ， 了解 ． 本文从能量 、 能量密度 、 能流密度三个角度对驻 波传播 过 程 中 的 能 量 转 换 规 律 进 行 全 面 分 析 ． 用 能 量、 能流密度的计 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ 程序实 现 了 驻 波 波 形 、 算机模拟 ， 生动展现其传播过程 ， 有利于学生对相关 概念的理解 ． ２ 驻波中的能量 ２． １ 驻波方程 设有两个振幅均为 Ａ ， 角频率为ω ， 波长为λ 的 相干谐振波 ， 一个沿ｘ 轴正方向传播 ， 另一个沿ｘ 轴 负方向传播 ． 其波动方程分别为 ２ π ｏ ｓω ｔ－ ｘ ｙ１ ＝Ａｃ 烄 λ 烅 ２ π 烆 ｏ ｓω ｔ＋ ｘ ｙ２ ＝Ａｃ λ
１ 引言 驻波是 《 大学物理 》中的一 个 章 节 ． 它在传播过 程中的能量变化始 终 是 困 扰 学 生 学 习 的 一 个 难 点 ， 其理论性较强 ， 难以理解 ． 对驻波 的 能 量 分 析 ， 虽然已有不少的文献作了
１， ２］ ， 讨论 ［ 但 是 分 析 角 度 大 多 选 取 了 能 量、 能量密
由此证明了 不相邻波节波腹间的总能量也守 这一 规 律 还 可 以 进 一 步 推 广 ． 设某一波节位于 恒． 点ａ 位于ｘ１ ＋Δ 某一波腹位于ｘ２ 处 ， 某 ｘ１ 处 ， ｘ 处； 点ｂ 位于ｘ２ ＋ Δ 称 ａ 和ｂ 为一对 “ 对应 ”位置 ｘ 处， ）可得 ， 由式 （ 一对“ 对 应 ”位 置 点 间 的 总 能 量 点． １ ０ 为
（ （
） ）
（ ） ２ ３
λ ） ＋Δ ）得 ａ 点 处． 将 ｘ ＝± （ ２ ｋ ＋１ ｘ 代入式 （ １ １ ４
处能量密度
２ ２ ２ ２ ２ Ａ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｃ ｏ ｓ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ） ｗａ ＝２ ω （ Δ ω Δ ω ρ
Ｉ＝ Ｉ Ｉ １－ ２＝
２ ２ π π ２ ２ ２ ２ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｔ－ ｘ －ｓ ｔ＋ ｘ ω ω ω ρ λ λ
） １ （ ２ ｋ ＋１ π λ ｋ λ λ ２２ ｃ ｏ ｓ ｘｄ ｘ＝ ＝ － ２ ８ ４ ２ λ
［
］
波腹处的能量密度为
２ ２ Ａ２ ｓ ｉ ｎ ｔ ｗ２ ＝２ ω ω ρ
同理 ， 任一不相邻波节波腹间的总能量为 — ３ ２ —
在任意时刻 ，且无论所考虑的波节和波腹是否
２ ０ １ ２ 年第 １ １ 期 物理通报 大学物理教学 相邻 ，均有
ｋ λ ２ ｘ ＋Δ
（ ） ９
２． ３ 驻波的能量和能量密度 ）和式 （ ）可得 ， 由上面的式 （ 介质体元的总能 ６ ８ 量为
Ｅ＝ ｄ Ｅ＝
２
∫ ∫
２
λ ４ ｘ ＋Δ
２ ２ Ｓ Ａ２ ω · ρ
Ｅ ＝ｄ Ｅｋ ＋ｄ Ｅｐ ＝ ｄ
π π ２ ２２ ２ ２２ ２ Ａ２ Ｖ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ２ ωｄ ω ω ρ λ λ
４ π ２ ２ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｎ ２ ｔ －ρ ω ω λ （ ） ２ ４ 我们绘 出 不 同 时 刻 能 流 密 度 的 曲 线 ， 由曲线和
２ ２ ２ ２ ２ ｗｂ ＝２ Ａ２ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ） ω （ Δ ω Δ ω ρ
） （ ２ ０ 则 ｗａ ＋ ｗｂ ＝２ Ａω ρ
ｋ λ ２ λ ４
ｙ ２ π ２ π ｄ ｘ ＝－２ Ａ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ｄ ｘ ω ｙ＝ ｄ ｘ λ λ
由此得介质体元的弹性形变势能为
Ｅ＝ Ｅ ＝ ｄ
（ ） ７
ｘ＝ ∫ ∫ρＳＡ ω ｄ
（ ） ２ ｋ －１ ２ Ｓ Ａ２ λρ ω ４ （ ） １ ４
２
２
１ π ２ ２ ２２ ２ ｄ Ｅｐ ＝ ｋ（ ｄ Ａ２ Ｖ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ωｄ ω ｙ） ＝２ ρ ２ λ （ ） ８ 式中 ｋ 为弹性模量
２ ２ Ａ２ ｃ ｏ ｓ ｔ ｗ１ ＝２ ω ω ρ
１ ２ π ２ ２ ｘ＝ λ Ｓ Ａ２ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔｄ ω ω ４ ρ λ
）
其中应用了积分公式
∫
ｋБайду номын сангаасλ ２
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
２ ｓ ｉ ｎ
２ π ｘｄ ｘ＝ λ
（ ） １ ６ （ ） １ ７
∫
ｋ λ ２
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
２ ２
由此证明了任一波 节 波 腹 间 ， 任一一对“ 对 应” 位置间的总能量都守 恒 ， 即能量不能从波节或波腹 流出或流入 ， 能量被禁锢在相邻波节与波腹之间 ， 即 驻波在振动过程中不存在能量的定向传播 ． ） 、 （ ）两 式 可 以 看 出 ， 由（ 动能密度和势能密 ６ ８ 度， 无论在空间或时间上都相差 ９ 当动能密度为 ０ ° ． 零时 ， 势能密度最大 ， 反 之 亦 然． 且相邻最大值间的
摘
要： 分析了驻波能量 、 能量密度 、 能流密度在传播过程中的转换规律 ． 用Ｍ 能量 ａ ｔ ｌ ａ ｂ程序实现了驻波波形 、
能流密度的计算机模拟 ， 形象地展现了驻波传播过程中的能量变化 ， 计算机 模 拟 结 果 与 理 论 分 析 所 得 结 果 一 密度 、 最后得到了在振动过程中驻波能量不断地从波节到波腹间相互转移 ， 而从整体看驻波不传播任何能量的结论 ． 致． 关键词 ： 驻波 能量 能量密度 能流密度 计算机模拟
Ｅ＝ ｄ Ｅ＝
２ ｉ ｎ ｓ
∫ ∫
ｋ λ ２
２ ２ ２ Ｓ Ａ２ ｏ ｓ ω ｃ ρ
（
２ π ２ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ ω λ （ ） １ ３
λ 中各个 的定域范围内 ， 能量是在 波 腹 到 波 节 之 间 ４
往返的空间移动的 ． ３． ２ 波节和波腹处能量密度 ）和式 （ ）式 分 别 代 入 式 （ ）可 得 ，波 将式 （ ３ ４ １ １ 节处的能量密度为
波线上振幅始终为最大值的点是波腹 ， 波腹位于 ｘ ＝ ±ｋ λ ｋ ＝０， １， ２， ３… ２ （ ） ４
介于波腹和波节之间的质元的振幅则介于最大值和 最小值之间 ． ２． ２ 驻波的动能和势能 设波是在密度为ρ 的 弹 性 均 匀 介 质 中 传 播 ， 现 在坐标为 ｘ 处取一体积 元 为 ｄ 称 之 为 介 质 体 元， Ｖ， 其质量为 ｄ 视该 体 积 元 为 一 小 体 积 元． 由 ｍ＝ ｄ Ｖ， ρ ）可求出介质体元的振动速度 式（ ２
２ ０ １ ２ 年第 １ １ 期 物理通报 大学物理教学
驻波的能量分析与 ＭＡＴ Ｌ Ａ Ｂ 模拟
徐宗瑜 胡小克
（ ） 河海大学计算机及信息学院 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ９ ８
朱卫华
（ ） 河海大学理学院 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ９ ８ ） （ 收稿日期 ： ２ ０ １ ２ ０ ２ ２ ５ － －
（ （
） ）
ｙ ２ π ｖ＝ Ａ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ ＝－２ ω ω ｔ λ
（ ） １ 由此得介质体元的动能为 １ π ２ ２２ ２ Ｅｋ ＝ ｄ ｍ ｖ２ ＝２ Ａ２ Ｖ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ ｄ ωｄ ω ρ ２ λ
（ ） ５
（ ） ６
— ３ １ —
２ ０ １ ２ 年第 １ １ 期 物理通报 大学物理教学 介质体元产生相对弹性形变
２ ２ π π ｄ ｘ＝ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎω ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓω ｔ） （ λ λ
２ ２
（
）
∫
ｋ λ ２ ｘ ＋Δ
λ ４ ｘ ＋Δ
２ Ｓ Ａ２ ｘ＝ ωｄ ρ
（ ） ２ ｋ －１ ２ Ｓ Ａ２ λρ ω ４
（ ） １ ５
（ ） １ ０ ）得介质的能量密度为 由式 （ １ ０ ｄ Ｅ ｗ ＝ ＝ ｄ Ｖ ２ π π ２ ２２ ２ ） Ａω ｃ １ １ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ （ ２ ω ω ρ λ λ
体元的能流 密 度 均 为 零 ， 而 其 他 时 间 除 波 节、 波腹 外， 各体元的能流密 度 随 时 间 和 位 置 坐 标 的 不 同 而 变化 ． 可见 ， 驻波的能 量 只 能 在 相 邻 波 节 、 波腹之间 流动 ． ４ 计算机模拟驻波能量的变化 为 了 更 好 地 展 现 驻 波 能 量 的 变 化， 利 用 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ ７． ０ 对驻波的传播过程进行了计算机 编 程 模 拟． （ ）所示 ， 如图 ２ 可以同时展现驻波的形成和此 ａ 过程中动能密度 、 势能密度 、 总能量密度以及能流密
根据 ｄ 各质元的 Ｅｋ， ｄ Ｅｐ， ｄ Ｅ， ｗ 的表达式可知 ， 势能和机械能随时间作周期性的变化 ． 动能 、 ３ 驻波传播过程中的能量转换 ３． １ 总能量的转换 体积元 ｄ 其中 Ｓ 为 体 积 元 横 截 面 积 ， Ｖ ＝Ｓ ｄ ｘ，
２］ 则任一相邻波节波腹间的总能量为 ［
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
２ ２
（ ） ２ １
仍为恒量 ，这体现了在整个弹性介质中无数对应位 置间流出和流入的 能 量 净 值 也 是 不 随 时 间 变 化 的 ， 因此 ，驻 波 从 整 体 效 果 上 看 ，不 存 在 能 量 的 传 播 ． 可见驻波能量的移 动 是 被 限 制 在 由 波 腹 到 波 节 （ 或
ｋ λ 能 流密度的表达式可以看出在ｘ ＝± （ ｋ＝ ０， １， ２， ４ ｋ Ｔ （ …） 在ｔ＝ 时驻波上各 ３…）处Ｉ＝０， ｋ ＝１， ２， ３， ４
２ Ａ２ ｗ１ ＋ ｗ２ ＝２ ω ρ
式中 ｖ 为波 速 ， 其 矢 量 式 为 Ｉ ＝ω 方向为波速方 ｖ， （ ） １ ８ 而能流密度为 ω 向， ｖ． 两相干波的能流密度分别为 ２ π ２ ２ ２ Ｉ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｔ－ ｘ ω ω １＝ ρ 烄 λ 烅 ２ π ２ ２ ２ 烆 Ｉ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ ｘ ω ω ２＝ ρ λ
２ ２
（ ） １ ９ 将 ｘ ＝± ｋ
λ ）式得ｂ 点处能量密度 ｘ 代入 （ １ １ ＋Δ ２
［ （ ） （ ）］＝ ２ ２ π π ｓ ｉ ｎ（ ｉ ｎ（ ｔ－ ｘ ） ｔ＋ ｘ ） ω Ａｖ －ｓ ω ω ρ ［ ］ λ λ ２ ２ π π ｓ ｉ ｎ（ ｉ ｎ（ ｔ－ ｘ ） ｔ＋ ｘ ） ＋ｓ ［ ω ω ］＝ λ λ
（
２
）
可证 ， 平均能量密度为 ｗ ＝ １ Ｔ
Ｔ
２ ２ ０
ｔ＝ Ａω ρ ∫ｗｄ
（ ） １ ２
λ 即等于相邻波腹和波节间的距离 ． 表明驻 间隔为 ， ４
波能量不断地在势能 和 动 能 间 来 回 变 换 ， 并在转换 再由波 过程中不断地由波节 附 近 集 中 到 波 腹 附 近 ， 腹附近集中到波节附 近 ， 始终没有能量沿某一方向 传送出去 ． 然而 ， 常说驻波不传播任何能量 ， 是对驻波里各 点处的时间平均值和 对 驻 波 以 外 的 空 间 来 说 的 ， 并 实际上 ， 在驻波 非指对于驻波里任一体积元来说的 ．
任选一交叠点为原点 ， 并在ｘ ＝ ０时振动质点向 上移动到最大位移时 为 计 时 起 点 ， 得到横驻波方程
１］ 为［
２ π Ａｃ ｏ ｓ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ω ｙ ＝ｙ１ ＋ｙ２ ＝２ λ
（ ） ２
２ π 其中 ｃ 而｜ ｏ ｓ ｔ 是一个简谐运动项 ， ２ Ａｃ ｏ ｓ ｘ｜ 表 ω λ 示各质元的振幅 ． 波线上振幅始终为零的点是波节 ， 波节位于 ｘ ＝ ） ２ ｋ ＋１ λ ±（ ｋ ＝０， １， ２， ３… ４ （ ） ３
式中 ， ｗ１ ＋ｗ２ 为恒量 ，这表明在波节和波腹处流出 和流入的能量的净值 是 不 随 时 间 变 化 的 ． 这一规律 不仅在于波节和波腹 ，还存在于任意一对 “ 对应 ” 位 置处 ． 设任一波节位于 ｘ１ 处 ，某点ａ 位于ｘ１ ＋ Δ ｘ 处 ；任一波腹位于ｘ２ 处 ，某对应点ｂ 位于ｘ２ ＋Δ ｘ
度、 能流密度中的一个或两个进行分析 ． 而且理论分 还是 不 利 于 学 生 对 于 此 问 题 的 深 入 析太过于抽象 ， 了解 ． 本文从能量 、 能量密度 、 能流密度三个角度对驻 波传播 过 程 中 的 能 量 转 换 规 律 进 行 全 面 分 析 ． 用 能 量、 能流密度的计 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ 程序实 现 了 驻 波 波 形 、 算机模拟 ， 生动展现其传播过程 ， 有利于学生对相关 概念的理解 ． ２ 驻波中的能量 ２． １ 驻波方程 设有两个振幅均为 Ａ ， 角频率为ω ， 波长为λ 的 相干谐振波 ， 一个沿ｘ 轴正方向传播 ， 另一个沿ｘ 轴 负方向传播 ． 其波动方程分别为 ２ π ｏ ｓω ｔ－ ｘ ｙ１ ＝Ａｃ 烄 λ 烅 ２ π 烆 ｏ ｓω ｔ＋ ｘ ｙ２ ＝Ａｃ λ
１ 引言 驻波是 《 大学物理 》中的一 个 章 节 ． 它在传播过 程中的能量变化始 终 是 困 扰 学 生 学 习 的 一 个 难 点 ， 其理论性较强 ， 难以理解 ． 对驻波 的 能 量 分 析 ， 虽然已有不少的文献作了
１， ２］ ， 讨论 ［ 但 是 分 析 角 度 大 多 选 取 了 能 量、 能量密