北京市东城区八年级(上)期末数学试卷
2019-2020年北京市东城区八年级上册期末数学试题(有答案)【精品版】
八年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a35．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•256．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．79．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=．14．（3分）2++9是完全平方式，则=．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于cm．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B所经过的路径的长为．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．22．（5分）解方程： +=．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选：A．4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a3【解答】解：A、b3•b3=b6，故A不符合题意；B、2•3=5，故B不符合题意；C、（a5）2=a10，故C不符合题意；D、a5÷a3=a2，故D符合题意；故选：D．5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•25【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；C、42+4=4（+1），是因式分解，故本选项正确；D、67=32•25，不是因式分解，故本选项错误．故选：C．6．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：去分母得：2+2+6﹣12=2﹣4，移项合并得：8=8，解得：=1，经检验=1是分式方程的解，故选：A．7．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2=3（cm），能够组成三角形．所以该等腰三角形的底边为5cm或3cm，故选：C．8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．7【解答】解：∵m+=5，∴m2+=（m+）2﹣2=25﹣2=23，故选：A．9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对【解答】解：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选：B．10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=100，4×ab=100﹣20=80，即2ab=80，则（a+b）2=a2+2ab+b2=100+80=180，∴每个直角三角形的周长为10+=10+故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于2．【解答】解：根据题意得：﹣2=0，解得：=2．此时2+1=5，符合题意，故答案是：2．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为4．【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b，=（a+b）（a﹣b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a+2b，=2（a+b），=2×2，=4．故答案为：4．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=6．【解答】解：由题意得，﹣2=0，3﹣y=0，解得=2，y=3，所以，y=2×3=6．故答案为：6．14．（3分）2++9是完全平方式，则=±6．【解答】解：中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故=±6．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于10cm．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AB=6cm，∴AC=6cm，∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴BP+PC=AC，∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=6+4=10cm．故答案为：10．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：直角三角形．【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．【解答】解：如图，过点B作BD⊥轴于D，∵A（0，2），B（4，3），∴OA=2，BD=3，OD=4，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，∴OC=OD=×4=，∴AC==，∴BC=，∴AC+BC=．即这束光从点A到点B所经过的路径的长为：．故答案为：．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在线段PQ的垂直平分线上）．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．【解答】解：3ab2+6ab+3a=3a（b2+2b+1）=3a（b+1）2．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．【解答】解：原式=a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=2ab﹣2b2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．【解答】解：原式=2++8+1=3+9．22．（5分）解方程： +=．【解答】解：两边都乘（+3）（﹣3），得+3（﹣3）=+3，解得=4，经检验：=4是原分式方程的根．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．【解答】解：（+）÷，=[+]•，=，=，=，当=12时，原式==．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AB=3，在Rt△ABD中，AD==9，在Rt△ADC中，CD==12，∴BC=BD+CD=3+12．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5千米/时．根据题意得：﹣=，解得：=180，经检验，=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠EAB=∠B．∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，∴∠B=30°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，∴AB=2AC=6cm；（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB=∠B，∴EB=EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为10．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是﹣，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，则这个直角三角形斜边长==10，故答案为：10；（2）在Rt△ADC中，AD==2，∴BD=AD=2；（3）点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，由勾股定理得，OC=，以O为圆心、OC为半径作弧交轴于B，则点B即为所求，故答案为：﹣．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故答案为：15cm；（2）连接AD，如图所示．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，∴BE：EA=BD：AD，又∵BD=AD，∴BE：AE=3：1．故答案为：3：1．（3）∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，∴BQ===．。
东城区初二数学期末试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-1C. πD. 0.1010010001…2. 已知a、b、c是三角形的三边，则下列命题正确的是（）A. a+b+c=0B. a+b+c>0C. a+b+c=0D. a+b+c<03. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且a=1，则下列结论正确的是（）A. b>0B. b<0C. c>0D. c<04. 下列函数中，单调递减的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=3-xD. y=2x+15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则第10项an等于（）A. S10B. S10 - 9dC. S10 - 8dD. S10 - 7d二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知等腰三角形的底边长为4cm，腰长为5cm，则其面积是______cm²。
7. 已知一次函数y=kx+b的图像经过点（1，2）和（3，-1），则该函数的解析式为______。
8. 已知一元二次方程x²-4x+3=0的解为x1、x2，则x1+x2=______。
9. 已知正方形的对角线长为10cm，则其边长是______cm。
10. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a3=8，则q=______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求该数列的前5项。
12. （15分）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且a=1，顶点坐标为（-2，3），求该函数的解析式。
13. （15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且S10=50，S20=150，求该数列的通项公式。
答案：一、选择题1. D2. B3. C4. C5. B二、填空题6. 107. y=2x-18. 49. 5√210. 2三、解答题11. 1，4，7，10，1312. y=x²+4x+713. an=5n-10。
北京市东城区八年级上册期末数学试题(有答案)
八年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a35．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•256．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．79．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=．14．（3分）2++9是完全平方式，则=．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于cm．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B所经过的路径的长为．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．22．（5分）解方程： +=．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选：A．4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a3【解答】解：A、b3•b3=b6，故A不符合题意；B、2•3=5，故B不符合题意；C、（a5）2=a10，故C不符合题意；D、a5÷a3=a2，故D符合题意；故选：D．5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•25【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；C、42+4=4（+1），是因式分解，故本选项正确；D、67=32•25，不是因式分解，故本选项错误．故选：C．6．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：去分母得：2+2+6﹣12=2﹣4，移项合并得：8=8，解得：=1，经检验=1是分式方程的解，故选：A．7．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2=3（cm），能够组成三角形．所以该等腰三角形的底边为5cm或3cm，故选：C．8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．7【解答】解：∵m+=5，∴m2+=（m+）2﹣2=25﹣2=23，故选：A．9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对【解答】解：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选：B．10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=100，4×ab=100﹣20=80，即2ab=80，则（a+b）2=a2+2ab+b2=100+80=180，∴每个直角三角形的周长为10+=10+故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于2．【解答】解：根据题意得：﹣2=0，解得：=2．此时2+1=5，符合题意，故答案是：2．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为4．【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b，=（a+b）（a﹣b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a+2b，=2（a+b），=2×2，=4．故答案为：4．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=6．【解答】解：由题意得，﹣2=0，3﹣y=0，解得=2，y=3，所以，y=2×3=6．故答案为：6．14．（3分）2++9是完全平方式，则=±6．【解答】解：中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故=±6．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于10cm．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AB=6cm，∴AC=6cm，∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴BP+PC=AC，∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=6+4=10cm．故答案为：10．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：直角三角形．【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．【解答】解：如图，过点B作BD⊥轴于D，∵A（0，2），B（4，3），∴OA=2，BD=3，OD=4，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，∴OC=OD=×4=，∴AC==，∴BC=，∴AC+BC=．即这束光从点A到点B所经过的路径的长为：．故答案为：．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在线段PQ的垂直平分线上）．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．【解答】解：3ab2+6ab+3a=3a（b2+2b+1）=3a（b+1）2．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．【解答】解：原式=a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=2ab﹣2b2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．【解答】解：原式=2++8+1=3+9．22．（5分）解方程： +=．【解答】解：两边都乘（+3）（﹣3），得+3（﹣3）=+3，解得=4，经检验：=4是原分式方程的根．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．【解答】解：（+）÷，=[+]•，=，=，=，当=12时，原式==．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AB=3，在Rt△ABD中，AD==9，在Rt△ADC中，CD==12，∴BC=BD+CD=3+12．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5千米/时．根据题意得：﹣=，解得：=180，经检验，=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠EAB=∠B．∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，∴∠B=30°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，∴AB=2AC=6cm；（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB=∠B，∴EB=EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为10．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是﹣，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，则这个直角三角形斜边长==10，故答案为：10；（2）在Rt△ADC中，AD==2，∴BD=AD=2；（3）点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，由勾股定理得，OC=，以O为圆心、OC为半径作弧交轴于B，则点B即为所求，故答案为：﹣．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故答案为：15cm；（2）连接AD，如图所示．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，∴BE：EA=BD：AD，又∵BD=AD，∴BE：AE=3：1．故答案为：3：1．（3）∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，∴BQ===．。
2024北京东城区初二(上)期末数学试卷及答案
2024北京东城初二（上）期末数 学2024.1一、 选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是A ．3B ．6C ．9D ．122.在2023年中国国际智能汽车展览上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC 芯片“龙鹰一号””的量产和供货.7纳米=0.000000007米，0.000000007 可用科学记数法表示为 A ． ⨯−7109 B ．⨯7109C ．⨯−7108D ． ⨯71083．下列计算正确的是 A ．⋅=a a a 234B ．=a a 393)( C ．=ab a b ()33D ．÷=a a a 8244. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是．．轴对称图形的是 A.B.C. D.5.一个多边形的内角和等于其外角和的两倍，那么这个多边形是 A ．三边形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形6. 图中的四边形均为长方形，用等式表示下图中图形面积的运算为A. −=−+a b a ab b 2222)(B. +−=−a b a b a b 22)()(C. +=+a a b a ab 2)(D. +=++a b a ab b 222)(7. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，若AD=4 ,则BC=A ．8B ．10C ．12D ．148.某社区正在建设一批精品小公园.如图，∆ABC 是一个正在修建的小公园，现要在公园里修建一座凉亭H ，使该凉亭H 到公路AB 、AC 的距离相等，且满足和∆∆ABH BCH 面积相等，则凉亭H 是A. ∠ABC 的角平分线与AC 边上中线的交点B. ∠ABC 的角平分线与BC 边上中线的交点C. ∠BAC 的角平分线与AB 边上中线的交点D. ∠BAC 的角平分线与AC 边上中线的交点9.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，在BC 的延长线上取点E ，连接AE ，已知∠BAD ＝32°，∠BAE ＝84°，则∠CAE 为A ．20°B ．32°C ．38°D ．42°10. 如图，∠MAN=30°，点B 是射线 AN 上的定点，点P 是直线AM 上的动点，要使△PAB 为等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其中蕴含的数学道理是 .12. 若分式1x+1有意义，则x 的取值范围是 .13. 分解因式：−+=x y xy y 44223.14. 如图，B 、E 、C 、F 四个点在一条直线上.∠B=∠DEF ，AB=DE ，请添加一个条件使△ABC △DEF ，则添加的条件可以是 .15.如图,在△ABC 中,∠B ＝39°,点D 是AB 的垂直平分线与BC 的交点,将△ABD 沿着AD 翻折得到△AED ,则∠CDE = .16. 某“数学乐园”展厅的WIFI 密码被设计成如图数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 .17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是 .FEC B AD18. “回文诗”就是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁.如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”.在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等． （1）在所有三位数中,“回文数”共有 个；（2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外).三、解答题(本题共54分,19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19. 尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的.热爱数学的小明同学也设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正确的.请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程：已知：∠AOB=90°求作：射线OC 、OD ，使得∠AOC=∠COD=∠DOB=30° 作法：① 在射线OB 上取一点M ，分别以点O 、点M 为圆心，OM 长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C ，连接CM ，画射线OC ；② 作∠COM 的平分线OD. 射线OC 、OD 为所求作射线. 证明：∵ ， ∴△MOC 为等边三角形. ∴∠_______=60° ∵∠AOB=90° ∴∠AOC=30° ∵OD 平分∠COM ∴∠COD=∠DOB=30° ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°20．如图，在平面直角坐标系中，顶点A 坐标为），（-33，顶点B 坐标为），（-51，顶点C 坐标为），（-21，（1）作ABC 关于y 轴的对称图形'''A B C ，（其中A 、B 、C 的对称点分别是A 'B 'C '）；并写出点B '的坐标；（2）画出两个．．与△ABC 全等且有公共顶点C 为顶点且的三角形.（要求：三角形顶点的横纵坐标都是整数）21.如图,点D 在AB 上,点E 在AC 上,且AD=AE ，BD=EC, 求证：∠B=∠C24. 已知+−=x x 220，求代数式）（+++x x x -3(5)(1)的值 25. 列分式方程解应用题:在杭州第19届亚运会上，中国女篮第七次获得亚运会冠军，女篮运动员的拼搏精神激励了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，需要购进A ，B 两种品牌篮球，已知A 品牌篮球单价比B 品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A ，B 两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A ，B 两种品牌篮球的单价．26.利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b ）（cx+d ）＝acx 2+（ad+bc ）x+bd ．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx 2+（ad +bc ）x +bd ＝（ax +b ）（cx +d ）．通过观察可把acx 2+（ad +bc ）x +bd 中看作以x 为未知数．a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式x x 2+11+122的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则（++x x x x 2+11+12=4)(23)2根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：+−x x 6272;（2）用十字相乘法分解因式：−x x 67-32;（3）结合本题知识，分解因式：（+7（20++−x y x y ))62;27. 如图1, △ABC 中，AC=BC, ∠ABC=α,点D 在AC 上，连接BD ，在BD 的上方作∠BDE=α，且BD=ED ，连接BE. 做点A 关于BC 的对称点F ，连接EF ，交BC 于点M. （1）补全图形，连接CF 并写出∠BCF=____________(用含α的式子表示); （2）当α=60°时，如图2， ① 证明：EM=FM;② 直接写出BM 与AD 的数量关系：_______________________.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和点A ，若存在点Q ，使得∠=︒PAQ 90，且=AQ AP ，则称点Q 为点P 关于点A 的“链垂点”． （1）如图1，①若点A 的坐标为2,1)(，则点A 关于点O 的“链垂点”坐标为__________；②若点B （5，3）为点O 关于点C 的“链垂点”，且点C 位于x 轴上方，试求点C 的坐标；（2）如图2，图形G 是端点为，10)(和，21)(的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D 为图形G 上的动点，对于点，E t 0)(（t ＜0），存在点D,使得点D 关于点E 的“链垂点”恰好在图形H 上，请直接写出t 的取值范围．参考答案二、 选择题（本题共30分，每小题3分）11.三角形的稳定性 12. ≠−x 1 −y x y 13.(2)214.答案不唯一，如BC=EF 等 ︒15.24 16.2024 517.1218.90,11 三、解答题(本题共54分,19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分)19. 答案：画图 --------2分 ∵OM=OC=CM ，--------3分 ∴△MOC 为等边三角形. ∴∠COM=60° --------4分 ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC=30°. ∵OD 平分∠COM ， ∴∠COD=∠DOB=30°. ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.20.1'(5,1)3(2)15分分分图个每，略图，略图）（B.4.15AD AE BD EC ===分≌分，中和在：明证1.，分2∴∠=∆∠∴∆⎩=⎪⎨∠=∠⎪⎧=∆∆∴B C BE AC AB AC A D AE AD A A AB AC ABE ACD .,,,,2341=-5分分分分式原，时当(x-2)）：解=−−=−+−=⨯−+⎣⎦−++−⎢⎥=−⨯++⎡⎤⎝⎭−−+ ⎪−÷⎛⎫−x x x x x x x x x x x x x x x x x 3121(2)(2)1(1)(2)(2)(2)(2123(2)24222.13122.3 2.5=−≠分是解的程方式分以所分.4，时当：验检分：得解得，乘都边两程方：解23.=−=−=−+−−=+x x x x x x x x x x 22-102-121 3.2121132=x 21521224143+2x=2241422-14=10.5x 分分分）（∴+−=⨯−=+−+−++++++x x x x x x x x x x 24.-3(5)(1)2222225. 解：设B 品牌篮球单价为x 元，则A 品牌篮球单价为（2x ﹣48）元，…… 1分 由题意，可得：=x x2-4896007200…… 2分 解得：x ＝72. …… 3分经检验，x ＝72是所原方程的解. …… 4分所以A 品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．…… 5分 答：A 品牌篮球单价为96元，B 品牌篮球单价为72元．26.(1)627=3)(9)2(2)67-323)(31)4320)7()6(443)(552)6分（）（分（分（+++−=+++−−=−++−−+x y x y x y x y x x x x x x x x 22227. (1)如图，∠BCF=︒−α2901------------ 2分（2）连接AM、AE∵AB=AC, ∠ABC=60°,BD=BE, ∠BDE=60°∴△ABC是等边三角形、△DBE是等边三角形.∴BA=BC BE=BD ∠ABC=∠∴∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD即∠DBC=∠EBA∴△DBC≌△EBA ----------- 3分∴∠EAB=∠DCB=60°∴∠EAB=∠ABC∴AE∥BC ----------- 4分∴∠AEM=∠FMC, ∠EAM=∠AMC∵点A关于BC的对称点是点F,∴AM=FM .∠AMC=∠FMC. ----------- 5分∴∠AEM=∠EAM∴EM=AM.∴EM=FM. ----------- 6分② AD=2BM ----------- 7分28.第11页/共11页 （1）−1,2)(，−1,2)(……2分；（2）依题意得，点C 位置如图所示……3分设点C x y ,)(易证(OCM CBN AAS ≅) ∴====BN CM x CN OM y , ()5,3B⎩−=⎨∴⎧+=y x x y 35 解得⎩=⎨∴⎧=y x 4.1, ∴C 1,4)(……5分（3）−≤≤−t 31……7分。
北京市东城区—八年级上期末教学数学试卷含答案
东城区—第一学期期末教学目标检测初二数学 .1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司。
将0.056用科学记数法表示为 A. -15.610⨯ B. -25.610⨯ C.-35.610⨯ D ．-10.5610⨯ 2．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，其中基本是轴对称图形的是3．下列式子为最简二次根式的是2()+a b 12a2 124．若分式23x x -+的值为0，则x 的值等于 A ．0 B ．2 C ．3D ．-35．下列运算正确的是A. 532b b b ÷=B.527()b b = C. 248b b b = D ．2-22aa b a ab =+（）6．如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为A ．2B 3．4 D ．37.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线。
此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是 A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS8．如图，根据计算长方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立A. 2222)(b ab a b a ++=+ B. 2222)(b ab a b a +-=-C. 22))((b a b a b a -=-+ D. 2()a a b a ab +=+9．如图，已知等腰三角形ABC AB AC =，，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定．．正确的是A ．AE =ECB ．AE =BEC ．∠EBC =∠BACD ．∠EBC =∠ABE10．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB ＝40°，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时,则∠MPN 的度数为（ ）A ．140°B ．100°C ．50°D ． 40°二、填空题：（本题共16分，每小题2分）111x -x 的取值范围是 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 ．13．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，已知BF =CE ，AC //DF ，请你添加一个适当的条件 使得△ABC ≌△DEF ．14．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是 ．15.如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_______．16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠ABC ，BC =10cm ，BD ：DC =3:2，则点D 到AB 的距离为_________ cm ．17．如果实数,a b 满足226,8,a b ab a b +==+=那么 ；18．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小俊的作法如下：老师说：“小俊的作法正确．”请回答：小俊的作图依据是_________________________．三、解答题(本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19．(5分)计算：101326()(21)2--++--20．（5分）因式分解：（1）24x-（2）2244ax axy ay-+21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.求证：DF=CE. 22．（5分）已知2+2x x=，求()()()()22311x x x x x+-+++-的值如图，①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD.所以直线CD就是所求作的垂直平分线.尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．23．（5分）解分式方程：11+2-22-xx x+=．24．（5分）先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中32x =．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营.截至1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区.据统计， 年地铁每小时客运量是年地铁每小时客运量的4倍，客运240万人所用的时间比年客运240万人所用的时间少30小时，求地铁每小时的客运量？26.（6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥于点D ，AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线． (1)求证：AM ∥BC ；(2)若DN 平分∠ADC 交AM 于点N ，判断△ADN 的形状并说明理由．27．（6分）定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1） 若2,1,a b ==直接写出,a b 的“如意数”c ；（2） 如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b = (用含x 的式子表示)28. (6分)如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E. （1）依题意补全图形；（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE ，写出AE , BE , CE 之间的数量关系，并证明你的结论．东城区——第一学期期末教学目标检测初二数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BACBACDDCB二、填空题（本题共16分，每小题2分） 题号11121314答案1x ≥（-2，1）,AC DF ABC FED =∠=∠或或A D ∠=∠18或21题号 15161718答案70420到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；10119.326212=3+23+2-14=33+15()()-++-分分220.14=2)(2)2x x x --+（）（分22222244=(44)1(2)3ax axy ay a x xy y a x y -+-+=-（）分分21. 如图，点E ，F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：△ADF ≌△BCE .证明：∵点E ，F 在线段AB 上，AE ＝BF .， ∴AE +E F ＝BF +EF ， 即：AF ＝BE ．………1分 在△ADF 与△BCE 中，,,,AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………3分 ∴△ADF ≌△BCE (SAS ) ………4分∴ DF=CE （全等三角形对应边相等）………5分2222222.=4431342=55x x x x x x x x x ++--+-=+++=解：原式分当时，原式分23.解方程：11+2-22-xx x+=解：方程两边同乘（x －2）， 得1＋2(x －2)＝－1-x 2分 解得：2.33x分220.323xx 4x 5检验：当时，分所以，原分式方程的解为分24. 先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中32x =-． ()()()()333223333233142x x x x x x x x x x x -+-=÷++-+=⋅++-=+解：原式分分分当32x =-时，原式11333223===-+…5分 25.解：设年地铁每小时客运量x 万人，则地铁每小时客运量4x 万人……1分由题意得240240-304x x= ……………3分 解得x ＝6 …………… 4分经检验x ＝6是分式方程的解 ……………5分4x 24=……………6分答：每小时客运量24万人26.（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12BAC ∠．…………… 1分 ∵AM 平分∠EAC ，∴∠EAM =∠MAC=12EAC ∠．…………… 2分∴∠MAD =∠MAC +∠DAC =1122EAC BAC ∠+∠=1180902⨯︒=︒。
北京市东城区八年级(上)期末数学试卷
三角形（不包括 △ABC）．（写出两个答案即可）
三、解答题（本大题共 12 小题，共 56.0 分）
17. 计算：9+（2-π）0-（12）-2．
18. 计算： （1）(12+3)−(2−12)； （2）（x-2）2-（x+3）（x-3）．
19. 在三个整式 x2+2xy，y2+2xy，x2 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所 得整式可以因式分解，并进行因式分解．
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
2.【答案】A
【解析】
解：若分式 有意义，则 a-1≠0，即 a≠1，
故选：A． 分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得． 本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分 母不等于零．
3.【答案】B
【解析】
解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；
9.【答案】C
【解析】
【分析】 本题考查了含 30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形 的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB=60°是解题的关键． 易得△AEP 的等边三角形，则 AE=AP=2，在直角△AEB 中，利用含 30 度角的 直角三角形的性质来求 EB 的长度，然后在等腰△BEC 中得到 CE 的长度，则 易求 AC 的长度． 【解答】 解：∵△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°． 又∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠EBC=30°， ∴∠AEB=∠C+∠EBC=60°，∠C=∠EBC， ∴∠AEP=60°，BE=EC． 又 AD⊥BC， ∴∠CAD=∠EAP=60°， 则∠AEP=∠EAP=60°， ∴△AEP 的等边三角形，则 AE=AP=2，
北京市东城区八年级上期末数学试卷((含答案))
北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣12．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（）A．0B．2C．3D．﹣35．（3分）下列运算正确的是（）A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7C．b2•b4=b8D．a•（a﹣2b）=a2+2ab6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为（）A．2B．C．4D．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ 的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是．15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2= ．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．23．（5分）解分式方程：．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c 为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b= （用含x的式子表示）28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形定义判断即可．【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是，故选：A．【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、=|a+b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（）A．0B．2C．3D．﹣3【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣2=0且x+3≠0，∴x=2．故选：B．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．5．（3分）下列运算正确的是（）A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7C．b2•b4=b8D．a•（a﹣2b）=a2+2ab【分析】根据整式的除法和乘法判断即可．【解答】解：A、b5÷b3=b2，正确；B、（b5）2=b10，错误；C、b2•b4=b6，错误；D、a•（a﹣2b）=a2﹣2ab，错误；故选：A．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为（）A．2B．C．4D．【分析】在Rt△BDE中可先求得BD的长，则可求得AB的长，由条件又可证得△ABC为等边三角形，则可求得AC=AB，可求得答案．【解答】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB的长是解题的关键．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ 的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE 就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC ≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab【分析】长方形ABCD的面积可以表示为a（a+b），也可表示为两个长方形的面积和，即a2+ab，所以a（a+b）=a2+ab【解答】解：∵长方形ABCD面积=两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）=a2+ab故选：D．【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式．9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2，∴∠P1OP2=2∠AOB=80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1 ．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2，1）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标．【解答】解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A=∠D 使得△ABC≌△DEF．【分析】根据全等三角形的判定定理填空．【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：∵FB=CE，∴BC=EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠A=∠D．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是18或21 ．【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当5为底时，其它两边都为8，5、8、8可以构成三角形，周长为21；当5为腰时，其它两边为5和8，5、5、8可以构成三角形，周长为18，所以答案是18或21．故填18或21．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为70°．【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AD，∠BAC=∠DAF，求出∠BAD=∠∠EAC=40°，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ADB，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠∠EAC，∵∠EAC=40°，∴∠BAD=40°，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=（180°﹣∠BAD）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB=AD和求出∠BAD=∠EAC是解此题的关键．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为4cm ．【分析】先由BC=10cm，BD：DC=3：2计算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2= 20 ．【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a+b=6，ab=8，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=36﹣16=20，故答案为：20【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：如图，∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．【分析】利用零指数幂、负整数幂的意义和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=++2﹣1=+2+1=3+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．【分析】利用AE=BF，得到AF=BE，证明△ADF≌△BCE（SAS），即可得到DF=CE（全等三角形的对应边相等）．【解答】证明：∵点E，F在线段AB上，AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即：AF=BE，在△ADF与△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS）∴DF=CE（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△ADF≌△BCE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后根据x2+x=2，即可解答本题．【解答】解：（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）=x2+4x+4﹣x2﹣3x+x2﹣1=x2+x+3，∵x2+x=2，∴原式=2+3=5．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．23．（5分）解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得1+2（x﹣2）=﹣1﹣x解得：x=，经检验x=是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=•=，当x=﹣2时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？【分析】设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，根据2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时列出分式方程，求出答案即可．【解答】解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，由题意得，解得x=6，经检验x=6是分式方程的解，答：2017年每小时客运量24万人．【点评】本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键．26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠MAD+∠ADC=180°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c 为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b= x+2 （用含x的式子表示）【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断；（2）利用配方法即可解决问题；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b即可；【解答】解：（1）c=×1++1=2+1．（2）∵c=（m﹣4）（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）=﹣m2+4m﹣4=﹣（m﹣2）2≤0，∴c≤0．（3）由题意x3+3x2﹣1=（x2﹣1）b+（x2﹣1）+b，∴x2b=x3+2x2，∵x≠0，∴b=x+2．故答案为x+2．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据∠AEB=∠D+∠PAD，只要求出∠D，∠DAE即可；（3）结论：CE+AE=BE．在BE上取点M使ME=AE，只要证明△AEC≌△AMB即可解决问题；【解答】解：（1）图象如图所示；（2）在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°，由对称可知：AC=AD，∠PAC=∠PAD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠D，∵∠PAC=20°，∴∠PAD=20°，∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°，∴，∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°．（3）结论：CE+AE=BE．理由：在BE上取点M使ME=AE，在等边△ABC中，/-/-/-//-/-/-/ AC=AB ，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD ，∠EAC=∠EAD ，设∠EAC=∠DAE=x ．∵AD=AC=AB ，∴，∴∠AEB=60﹣x+x=60°．∴△AME 为等边三角形，易证：△AEC ≌△AMB ，∴CE=BM ，∴CE+AE=BE ．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
东城区初二上期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正数是（）A. -2.5B. 0C. -√9D. 3.142. 下列各式中，正确的是（）A. 3a = a + a + aB. 5 - 3 = 2 + 2C. 2 × 3 = 3 × 2D. 4 ÷ 2 = 2 ÷ 43. 若a < b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 1 < b + 1B. a - 1 > b - 1C. a ÷ 2< b ÷ 2D. a × 2 > b × 24. 下列各式中，同类项是（）A. x^2 + y^2B. 2xy + 3yzC. 4x^3 + 5x^2D. 7ab - 3ac5. 下列各式中，最简二次根式是（）A. √36B. √49C. √81D. √256. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 2/3D. -√37. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 12，则b的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 108. 下列函数中，y = kx + b（k≠0）为一次函数的是（）A. y = x^2 - 1B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = 1/x9. 下列各式中，分式有意义的条件是（）A. 分子为0，分母不为0B. 分子不为0，分母为0C. 分子、分母都不为0D. 分子、分母都为010. 下列各式中，最简分数是（）A. 6/8B. 9/12C. 15/20D. 4/5二、填空题（每题5分，共50分）11. 计算：3^2 - 2^3 = _______12. 若x + 2 = 5，则x = _______13. 2(x + 3) - 3(2x - 1) = _______14. 下列各式中，最简整数是（）A. 3/4B. 6/8C. 9/12D. 15/2015. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为 _______16. 若a、b、c为等比数列，且a + b + c = 18，b = 6，则a的值为 _______17. 下列函数中，y = kx（k≠0）为正比例函数的是（）A. y = x^2 - 1B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = 1/x18. 下列各式中，分式有意义的是（）A. 分子为0，分母不为0B. 分子不为0，分母为0C. 分子、分母都不为0D. 分子、分母都为0三、解答题（每题10分，共30分）19. 解下列方程：（1）3x - 5 = 2x + 1（2）2(x + 3) - 3(2x - 1) = 020. 已知a、b、c为等差数列，且a + b + c = 18，b = 6，求a和c的值。
2022-2023学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列运算式中，正确的是( )A. B. C. D.3. 已知下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是( )A. SASB. SSSC. AASD. ASA4. 计算，结果正确的是( )A. B. C. D.5. 六边形的外角和为( )A. B. C. D.6. 长方形的面积是若一边长是3a，则另一边长是( )A. B. C. D.7. 如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰设，分别为和的好落在边AB的中点处．面积，则和的数量关系是( )A. B. C. D.8. 若一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是( )A. 6B. 8C. 10D. 129. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是( )A. 4米，4米B. 4米，10米C. 7米，7米D. 7米，7米，或4米，10米10. 在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，若点A在第一象限，则点C的坐标是( )A. B.C. ，或D. ，或11. 若分式的值等于零，则x的值是__________.12. 分解因式：__________.13. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，添加一个条件，使得≌不增加任何新的字母或线，这个条件可以是__________.14. 如图，在中，，，BD平分交AC于点D，点E为AB的中点，连接则的度数是__________.15.如图，在中，，CD是的平分线，于点E，则的面积为__________.16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，，连接在线段AB上作点M，使得最小，并求点M的坐标．在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：方法①方法②方法③过点P作于点M，则点M为所求.作点P关于直线AB的对称点，连接交AB于点M，则点M为所求.过点P作于点C，过点Q作于点D，取CD中点M ，则点M 为所求.其中正确的方法是__________填写序号，点M的坐标是__________.17. 计算：18. 化简：；19. 如图，已知，，求证：20. 在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式……①……②……③……④……⑤甲同学从第______步开始出错填序号；请你写出正确的解法．21. 先化简，再求值：，其中x从，2，3三个数中任取一个合适的值．22. 如图，在中，，求证：；分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点点D在AC的左侧，连接CD，AD，求的面积．23. 解分式方程：24. 课堂上，老师提出问题：如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在的平分线上．步骤2 作图：如图2，作的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，则点P为所求．步骤3 证明：如图2，连接PA，PB，过点P作于点F，于点，，且______填写条件，______填写理由点P在线段AB的垂直平分线DE上，______填写理由点P为所求作的点．25. 在中，，点M在BC的延长线上，的平分线交AC于点的平分线与射线BD交于点依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；求的度数．26. 列分式方程解应用题．当矩形即长方形的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．如图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于边衬的宽度应设置为多少厘米？注：27.已知：在中，点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点当时，如图用等式表示，AD与AE的数量关系是：______，BE与AE的数量关系是：______；当是锐角时，如图2；当是钝角时，如图在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OABC，给出如下定义：若点P关于y 轴的对称点到正方形OABC的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点，当时，①点C的坐标是______；②在，，三个点中，______是正方形OABC的“3倍距离点”；当时，点其中是正方形OABC的“2倍距离点”，求n的取值范围；点，当时，线段MN上存在正方形OABC的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：根据轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：A选项，原式，故A错误，C选项，原式，故C错误，D选项，原式，故D错误，故选B根据整式的运算法则即可判断．本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方等知识．3.【答案】B【解析】解：由作图得，，在和中，，≌，故选：作图过程可得，，利用SSS判定≌，可得本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．4.【答案】A【解析】解：故选：利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：因为多边形的外角和等于，所以六边形的外角和等于故选：根据多边形的外角和是求解．本题主要考查了多边形的外角和．解题的关键是需要熟记多边形的外角和是6.【答案】B【解析】解：长方形的面积是，一边长是3a，它的另一边长是：故选：直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7.【答案】B【解析】解：由题意得：≌，点为AB的中点，等底同高的两个三角形的面积相等，，，故选：利用折叠的性质得出：≌，则，利用等底同高的三角形的面积相等即可得出结论．本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，解得，这个多边形是12边形．故选：n边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为是解题关键．9.【答案】C【解析】解：当4米为腰时，另两边为4米，10米．，不合题意舍去，当4米为底边时，另两边为：7米，7米，故选：分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，点C在第三象限．长方形ABCD的邻边长分别为4，6，点C的坐标为或，故选：由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11.【答案】【解析】解：由题意得，且，故答案为：分式的值为0的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．12.【答案】【解析】解：故答案为：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13.【答案】答案不唯一【解析】解；添加；，，即，，在和中，，≌故答案为：答案不唯一要使得≌由条件可得到，，再加条件，可以用SAS证明其全等．此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14.【答案】【解析】【分析】考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用等知识，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角及三线合一的性质，难度不大．根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求得，然后利用角平分线的定义求得的度数，再利用三角形的内角和求得的度数，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．【解答】解：，，平分，，，为AB的中点，平分，，，故答案为：15.【答案】【解析】解：作于是的平分线，，，，，的面积故答案为：作于F，运用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即可求解．本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作于F，应用角平分线的性质．16.【答案】②【解析】解：作点P关于直线AB的对称点，连接交AB于点M，点M即为所求．观察图形可知，方法②正确．故答案为：②，本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】解：【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．18.【答案】解：原式原式【解析】根据积的乘方运算、分式的除法运算即可求出答案．根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．本题考查分式的除法，整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、分式的除法运算、平方差公式以及完全平方公式．19.【答案】证明：，，即，在和中，，≌，【解析】先求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．20.【答案】②；原式【解析】根据分式的加减计算得出结论即可；根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键．21.【答案】解：，，，，，当时，原式【解析】先利用同分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．22.【答案】证明：，，，解：过点D作，交BA的延长线于点E，由题意得：，是等边三角形，，，，的面积，的面积为【解析】利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答；过点D作，交BA的延长线于点E，根据题意可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23.【答案】解：去分母得：，解得：，检验：把代入，得，是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，正确记忆解分式方程过程是解题关键.24.【答案】点P在的平分线上;角的平分线上的点到角的两边的距离相等;垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等【解析】利用角平分线的性质，可得出，利用线段垂直平分线的性质，可得出，进而可得出点P为所求作的点．本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．25.【答案】解：如图，CE即为所求．，，是的平分线，，CE是的平分线，，【解析】根据尺规作图法即可作的平分线；根据角平分线的定义可得，，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26.【答案】解：设边衬的宽度设置为x厘米，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【解析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于列出方程，解方程得到答案．本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是关键点，要学会分析题意，提高理解能力．27.【答案】，；①如图：②如图2，在BE上截取，连接CG，由对称性可知，，，，，，，，如图3，在BA的延长线上截取，连接CH，，，，，，，【解析】解：由对称性可知，，，在中，，，，在中，，，故答案为：，；见答案。
北京市东城区名校2022-2023学年数学八上期末检测试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分) 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：3yx与直线l 2：y mx n =+交于点A(1-，b)，则关于x 、y 的方程组3y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为( )A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =-⎧⎨=⎩D ．12x y =-⎧⎨=-⎩2．将一次函数y ＝﹣2x +3的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝﹣2x ﹣5C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝﹣2x +73．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其全等的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4．一次函数y kx b =+的x 与y 的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是（ ）x1- 01 2y52 1-4-A ．y 随x 的增大而增大B ．2x =是方程0kx b +=的解C ．一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限D ．一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭5．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形6．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价,现有3种方案：①第一次提价%m ,第二次提价%n ；②第一次提价%n ,第二次提价%m ；③第一次、第二次提价均为%2m n+.其中m 和n 是不相等的正数.下列说法正确的是( ) A ．方案①提价最多 B ．方案②提价最多 C ．方案③提价最多D ．三种方案提价一样多7．已知a b > ，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22a b ->-B ．22a b < C ．22a b ->- D ．22a b +>+8．下列图案中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．9．二次根式2+4x 中的x 的取值范围是（ ） A ．x ＜﹣2B ．x≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x≥﹣210．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A ．全等三角形的对应角相等； B ．同旁内角互补，两直线平行； C ．对顶角相等；D ．如果0,0a b >>，那么0a b +>二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，等边ABC ∆的边长为8，D 、E 分别是BC 、AC 边的中点，过点D 作DF AB ⊥于F ，连接EF ，则EF 的长为_______．12．可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，31cm 可燃冰的质量仅为0.00092kg .数字0.00092用科学记数法表示是__________．13．已知a 11=-1，则a 2+2a +2的值是_____． 14．若23,22mn==，则24m n +等于______． 15．若3，2，x ，5的平均数是4，则x= _______．16．若一次函数y ax b =+、y cx d =+的图象相交于()1,3-，则关于x 、y 的方程组y ax by cx d =+⎧=+⎨⎩的解为______． 17．已知3a b -=，2ab =，则22a b ab -=_________18．已知一直角三角形的两边分别为3和4，则第三边长的平方是__________； 三、解答题(共66分) 19．（10分）分解因式： （1）a 3﹣4a ； （2）4ab 2﹣4a 2b ﹣b 320．（6分）正比例函数y ＝2x 的图象与一次函数y ＝－3x ＋k 的图象交于点P (1，m )，求： (1)k 的值；(2)两条直线与x 轴围成的三角形的面积．21．（6分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 22．（8分）如图()a ，ABC DCE ∆∆、都为等腰直角三角形，B C E 、、三点在同一直线上，连接AD ．（1）若2,2AB CE ==，求ACD ∆的周长；（2）如图()b ，点G 为BE 的中点，连接DG 并延长至F ，使得GF DG =，连接BF AG 、．①求证：//BF DE ；②探索AG 与FD 的位置关系，并说明理由．23．（8分）以水“润”城，打造“四河一库”生态水系工程，是巩义坚持不懈推进文明创建与百城提质深度融合的缩影，伊洛河畔正是此项目中的一段．如今，伊洛河畔需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(完成任务的工期为整数) （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项管道铺设任务的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来(工程队分配工程量为整百数)24．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使CE=CD ．求证：BD=DE ．25．（10分）（1）图1是44⨯的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形并涂上阴影，使图中阴影部分是一个中心对称图形；（2）如图2，在正方形网格中，以点A 为旋转中心，将ABC ∆按逆时针方向旋转90︒，画出旋转后的11AB C ∆；（3）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、O 都是格点，作ABC ∆关于点O 的中心对称图形111A B C ∆．26．（10分）一辆汽车开往距离出发地240km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，求前一小时的行驶速度．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】试题解析：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（-1，b），∴当x=-1时，b=-1+3=2，∴点A的坐标为（-1，2），∴关于x、y的方程组3{y xy mx n++＝＝的解是1{2xy-＝＝.故选C．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．2、C【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”即可得到答案．【详解】∵将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y＝﹣2x+3+2，即y＝﹣2x+1．故选：C．【点睛】本题主要一次函数平移规律，掌握一次函数平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 3、D【解析】试题分析：本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．解：设已知角为∠O ，以顶点O 为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A ，B 两点；画一条射线b ，端点为M ；以M 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线b 于C 点；以C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ； 作射线MD ．则∠COD 就是所求的角．由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等， ∴证明全等的方法是SSS ． 故选D ．考点：全等三角形的判定． 4、C【分析】根据待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】把（0，2）、（1，-1）代入y kx b =+得21bk b =⎧⎨-=+⎩解得32k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为y=-3x+2 ∵k=-3＜0，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误； 把2x =代入3220x -+=-≠，故B 错误；一次函数y=-3x+2的图象经过第一、二、四象限，故C 正确； 令y=0, -3x+2=0,解得x=23， 一次函数y=-3x+2的图象与x 轴交于点2,03⎛⎫⎪⎝⎭，故D 错误， 故选C ． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用． 5、C【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形． 【详解】解：如图，矩形ABCD 中，,AC BD ∴=,,,E F G H 分别为四边的中点，1//,,2EF BD EF BD ∴=1//,,2GH BD GH BD = 1,2FG AC = //,,EF GH EF GH ∴=∴ 四边形ABCD 是平行四边形，11,,,22AC BD EF BD FG AC === ,EF FG ∴=∴ 四边形EFGH 是菱形．故选C ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定． 6、C【分析】方案①和②显然相同，用方案③的单价减去方案①的单价，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据m 不等于n 判定出其差为正数，进而确定出方案③的提价多．【详解】解：设%=m a ，%n b =，则提价后三种方案的价格分别为： 方案①:(1)(1)(1)a b a b ab ++=+++； 方案②:(1)(1)(1)a b a b ab ++=+++；方案③:2222(1)(1)24a b a ab b a b ++++=+++， 方案③比方案①提价多：222(1)(1)4a ab b a b a b ab +++++-+++ 222114a ab b a b a b ab ++=+++----2224a ab b ab ++=-21()4a b =-， m 和n 是不相等的正数，a b ∴≠，∴21()04a b ->， ∴方案③提价最多．故选：C ． 【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，比较代数式大小利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7、D【分析】根据不等式的性质解答即可. 【详解】A. -2a<-2b ，故该项错误； B.22a b>，故该项错误； C.2-a<2-b ，故该项错误； D. 22a b +>+正确， 故选：D. 【点睛】此题考查不等式的性质，熟记性质并熟练解题是关键. 8、D【分析】根据轴对称图形的定义：“把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合”可以得到答案．【详解】解：轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，所以A ，B ，C 沿一条直线对折后都不能满足直线两旁的部分能完全重合，所以都不是轴对称图形，只有D 符合． 故选D ． 【点睛】本题考查的是“轴对称图形的定义” 的应用，所以熟练掌握概念是关键． 9、D【分析】根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案． 【详解】由题意，得 2x+4≥0， 解得x≥-2， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 10、B【分析】先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A.全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，所以A 选项不符合题意；B.同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补是真命题，所以B 选项符合题意；C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，所以C 选项不符合题意；D. 如果0,0a b >>，那么0a b +>的逆命题为如果0a b +>，那么0,0a b >>是假命题，所以D 选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】连接DE ，根据三角形的中位线的性质得到4BD DE ==，//DE AB ，求得60CDE B ∠=∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：连接DE ，D 、E 分别是BC 、AC 边的中点，等边ABC ∆的边长为8，4BD DE ∴==，//DE AB ，60CDE B ∴∠=∠=︒，DF AB ⊥，90BFD ∠=︒∴，30BDF ∴∠=︒，323DF == 90FDE =∴∠︒，2227EF DF DE ∴=+， 故答案为：27 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理正确的作出辅助线是解题的关键． 12、9.2×10﹣1． 【分析】根据科学记数法的正确表示为()10110na a ⨯≤<,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣1. 【详解】根据科学记数法的正确表示形式可得: 0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣1. 故答案为: 9.2×10﹣1. 【点睛】本题主要考查科学记数法的正确表现形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式. 13、1．【分析】先将多项式配方后再代入可解答． 【详解】解：∵a 11=1，∴a 2+2a +2=（a +1）2+1=111+1）2+1=11+1=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了完全平方式和二次根式的化简，熟记完全平方公式对解题非常重要． 14、1【分析】根据幂的乘方，将24m n +的底数化为2，然后根据同底数幂乘方的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．【详解】解：24m n +=()222m n +=242m n +=2422m n •=()()2422m n • 将23,22m n ==代入，得原式=2432144⨯=故答案为：1．【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂乘方的逆用和幂的乘方及逆用是解决此题的关键．15、6【分析】利用平均数乘以数据的个数得到的和减去已知的几个数即可得到x 的值.【详解】∵3，2，x ，5的平均数是4，∴443256x =⨯---=，故答案为：6.【点睛】此题考查利用平均数求未知的数据，正确掌握平均数的计算方法，正确计算是解题的关键.16、13x y =-⎧⎨=⎩【分析】关于x 、y 的二元一次方程组y ax b y cx d=+⎧⎨=+⎩的解即为直线y=ax+b （a≠0）与y=cx+d （c≠0）的交点P （-1，3）的坐标．【详解】∵直线y=ax+b(a≠0)与y=cx+d(c≠0)相交于点P （-1，3），∴关于x 、y 的二元一次方程组y ax b y cx d =+⎧⎨=+⎩的解是13x y =-⎧⎨=⎩. 故答案为13x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是熟练的掌握一次函数与二元一次方程组的相关知识点.17、1【分析】根据提公因式得到()22a b ab ab a b -=-，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：3a b -=，2ab =，∴()22236a b ab ab a b -=-=⨯=，故答案是：1．【点睛】本题考查了提公因式和整体代入的方法，熟悉相关性质是解题的关键．18、25或7【解析】试题解析：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边长的平方为：22437-=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边长的平方为：224325.+=综上，第三边长的平方为：25或7.故答案为25或7.三、解答题(共66分)19、（1）a (a +1)(a ﹣1)；（1）﹣b (b ﹣1a )1．【分析】（1）由题意先提公因式，再运用公式法进行因式分解即可；（1）根据题意先提公因式，再运用公式法进行因式分解即可．【详解】解：（1）a 3﹣4a ；=a(a 1﹣4)=a(a+1)(a ﹣1)；（1）4ab 1﹣4a 1b ﹣b 3=﹣b(b 1﹣4ab+4a 1)=﹣b(b ﹣1a)1．【点睛】本题主要考查提公因式法与公式法的运用，解决问题的关键是掌握乘法公式的运用． 20、 (1) k ＝5；(2) 53. 【解析】试题分析：（1）根据待定系数法将点P (1，m )代入函数中，即可求得k 的值；（2）先根据题意画出图形，再根据交点坐标即可求出三角形的面积．试题解析：(1)∵正比例函数y ＝2x 的图象与一次函数y ＝－3x ＋k 的图象交于点P (1，m )，∴把点P (1，m )代入得m ＝2，m ＝－3＋k ，解得k ＝5；(2)由(1)可得点P 的坐标为(1，2)，∴所求三角形的高为2.∵y ＝－3x ＋5，∴其与x 轴交点的横坐标为53， ∴S ＝12×53×2＝53. 21、（1）设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．【分析】（1）设甲种书柜单价为x 元，乙种书柜的单价为y 元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；（2）设甲种书柜购买m 个，则乙种书柜购买（20-m ）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费W≤1820,且购买的甲种图书柜的数量≥乙种图书柜数量列出不等式组，解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x 元，乙种书柜的单价为y 元，由题意得：321020431440x y x y ＝＝+⎧⎨+⎩， 解得：180240x y ⎧⎨⎩＝＝ ， 答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）解：设甲种书柜购买m 个，则乙种书柜购买（20-m ）个；由题意得：()20180240204320m m m m -≥⎧⎨+-≤⎩解得：8≤m≤10因为m 取整数，所以m 可以取的值为：8，9，10即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．【点睛】主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．22、（1）3（2）①见解析；②AG FD ⊥，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出45ABC ACB E DCE ∠=∠=∠=∠=︒，2AC AB ==，得出CD ，判定∠ACD 为直角，得出AD ，即可得出其周长； （2）①首先判定BGF EGD ∆≅∆，得出GBF E ∠=∠，即可判定//BF DE ； ②连接AF ，由全等三角形的性质得出,45BF DE CD GBF E ==∠=∠=︒，得出ABF ACD ∠=∠，再由SAS 得出△ACD ≌△ABF ，得出AF=AD ，由等腰三角形三线合一性质即可得出结论.【详解】（1）∵,ABC DCE ∆∆为等腰直角三角形，∴45ABC ACB E DCE ∠=∠=∠=∠=︒，2AC AB ==，∵,CD DE CE ==，∴222CD =，∴1CD =，∴180454590ACD ∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD ∆为直角三角形，AD ==∴ACD ∆的周长213=+=（2）①证明：∵G 为BE 的中点，∴BG EG =，在BGF ∆和EGD ∆中∵BG EG BGF EGD GF GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BGF EGD ∆≅∆，∴GBF E ∠=∠，∴//BF DE ；②AG FD ⊥，理由如下：连接AF ，由①得：DEG FBG ∆≅∆，∴,45BF DE CD GBF E ==∠=∠=︒，∴90ABF ABC GBF ∠=∠+∠=︒，∴ABF ACD ∠=∠，在ACD ∆和ABF ∆中∵AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD ABF SAS ∆≅∆，∴AF AD =，又∵,DG FG AG AG ==，∴AFG ADG ∆≅∆，∴090AGF AGD ∠=∠=，∴AG FD ⊥．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质以及平行的判定，熟练掌握，即可解题.23、（1）甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米；（2）分配方案有3种：方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x 米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解；（2）设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队(1000−y )米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析．【详解】（1）设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米， 根据题意得：35025020x x =-， 即()35020x -=250x ，∴7-x 1405x =，解得：70x =，经检验，70x =是所列分式方程的解，且与题意相符，∴2070x -=-2050=（米），答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米；（2）设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队()1000y -米．由题意，得107010001050y y ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩ 解得：500700y ≤≤．∵分配的工程量为整百数，∴y只能取500或600或700，所以分配方案有3种：方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验．24、证明见解析【分析】欲证BD=DE，只需证∠DBE=∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．【详解】∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=12∠ABC=30°．∵CD=CE，∴∠CDE=∠E．∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E=60°．∴∠CDE=∠E=30°，∴∠DBE=∠DEB=30°，∴BD=DE．【点睛】考点：1．等边三角形的性质；2．三角形内角和定理；3．等腰三角形的判定与性质．25、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据中心对称图形的定义，画出图形，即可；（2）以点A为旋转中心，将ABC∆按逆时针方向旋转90︒的对应点画出来，再顺次连接起来，即可；（3）作ABC∆各个顶点关于点O的中心对称后的对应点，再顺次连接起来，即可得到答案．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示；【点睛】本题主要考查中心对称图形和图形的旋转变换，掌握中心对称图形的定义，是解题的关键．26、前一小时的行驶速度为80km /h ．【分析】首先设前一小时的行驶速度是x km /h ，则一小时后的行驶速度是1．5x km /h ，根据题意可的等量关系：实际行驶时间+40min ＝原计划行驶时间，根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】解：设前一小时的行驶速度是x km /h ，根据题意得：240-22401+1.53x x x+= 解得：x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解，答：前一小时的行驶速度为80km /h ．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．。
2019-2020学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及答案解析
2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1. 氢原子的电子和原子核中间距离约为0.00000000529cm,用科学记数法表示正确是（）2. 下列因式分解正确的是（）A. α2 + h 2 = （α + b ）2B. a 2 + b 2 = （a+ b ）（a — b ）C. X 2 + 2% - 3 = （% + 3）（咒 _ 1）D. （X + 3）0 - 3） = X 2 - 93. 在由相同的小正方形组成的3X4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形构成的图形为轴对称图形, 则还需要涂黑的小正方形序号是（）A. ①或②或⑥B.③或⑥或⑦C.④或⑤或⑧D.①或③或⑨4. 下列运算中正确的是（）B. 2α"s ∙ a 3 = 2a 8D. 6X 3÷(-3X 2) = 2x5. 当X 为任意实数时，下列分式中一泄有意义的是（）如图，在'ABC 中BC 的垂直平分线EF 交"8C 的平分线BD 于匕 若LBAC = 60% ZJlCE = 24% 那么乙BEF 的大小是（）A. 320B. 54°当Q=-I 时，分式学() a~-aV ZA.等于0B.等于1C. 580D. 60°在Rt △力BC 中，乙C = 90。
，AD 平分乙BMC 交BC 于点D, 点D 到AB 边的距藹为（）① ≡5 I耳•⑥A. 18B. 16C. 14D. 12A. 529xl0^B. 5.29xlO 8C. 0.529x10』D. 0.529*10"A. (x 3)2 = X SC. 3-2 = 1AX-I A.—「 x~∙ 1匕^+1D. Wx+26. C.等于一 1D.没有意义若BC = 32,且 BD ： DC = 9： 7,则9. 如图，'ABC 是等腰三角形，点O 是底边BC 上任意一点，OE 、OF 分別与两边垂直，等腰三角形ABC 的腰长为5,而积为12,则OE+ OF 的值为（）・A. 4B. -C. 15D. 8510. 如图，在△ ABC 中，乙BMC 的平分线交BC 于点D,过点D 作DE 丄AC. DF 丄AB 9 垂直分别为E ，F,下面四个结论：（1）∆AFE = ∆AEF ∙,②AD 垂直平分EF: ③S 泅” S“ED = BF: CE；④EF —立平行BC •其中正确的个数有（）个二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）11.因式分解：2X 3 一 18% =__・12. _____________________________________________ 已知兀=1是分式方程±=手的根，贝毗= ___________________________________如图,AB, CD 相交于点O,AB = C6试添加一个条件使得△ AOD^ COB,你添加的条件是 ______ •（答案不惟一，只需写一个）14. 如图,把长方形ABCD 沿EF 折叠后使两部份重合,若Zl = 70。
2022北京东城区初二(上)期末数学试卷及答案
（1）使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；
（2）通过作图过程，可以发现直线 DE 是线段 AB 的______， AFH 是______三角形；
（3）若 BC = 4 ，则 AFH 周长为______．
( ) 的 20. 计算： aa3 − a2 2 + 2a6 a2 ．
21. （1）已知： m2 + 3m − 2 = 0 ，求代数式 (m + 2)(2m −1) + (m + 3)2 的值．
B 选项 右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
的 C 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D 选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．
是（ ）
A. பைடு நூலகம்0°
B. 20°
C. 30°
D. 50°
7. 如图， A = D = 90 ，AC，BD 相交于点 O．添加一个条件，不一定能使 ABC ≌ DCB 的是（ ）
1 / 25
A. AB = DC
B. OB = OC
C. ABO = DCO
D. ABC = DCB
8. 如图，在△ABE 中，AE 的垂直平分线 MN 交 BE 于点 C，连接 AC．若 AB = AC ， CE = 5 ， BC = 6 ，则
Q 分别以 1 单位/秒和 2 单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另
一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PE ⊥ l 于点 E， QF ⊥ l 于点 F，则点 P 的运动时间等于_____秒时， PEC 与 CFQ 全等．
2019-2020学年北京市东城区八年级上册期末数学试卷(有答案)【标准版】
2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3D ．0.56×10﹣1 2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）若分式的值为0，则x 的值等于（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．﹣35．（3分）下列运算正确的是（ ）A ．b 5÷b 3=b 2B ．（b 5）2=b 7C ．b 2•b 4=b 8D ．a•（a ﹣2b ）=a 2+2ab6．（3分）如图，在△ABC 中，∠B=∠C=60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE=1，则AC 的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ．将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE 10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是．15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．23．（5分）解分式方程：．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2019-20201月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2019-2020客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2019-2020地铁每小时的客运量？26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b=（用含x的式子表示）28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形定义判断即可．【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是，故选：A．【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、=|a+b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（）A．0B．2C．3D．﹣3【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣2=0且x+3≠0，∴x=2．故选：B．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．5．（3分）下列运算正确的是（）A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7C．b2•b4=b8D．a•（a﹣2b）=a2+2ab【分析】根据整式的除法和乘法判断即可．【解答】解：A、b5÷b3=b2，正确；B、（b5）2=b10，错误；C、b2•b4=b6，错误；D、a•（a﹣2b）=a2﹣2ab，错误；故选：A．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为（）A．2B．C．4D．【分析】在Rt△BDE中可先求得BD的长，则可求得AB的长，由条件又可证得△ABC 为等边三角形，则可求得AC=AB，可求得答案．【解答】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB的长是解题的关键．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C 画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab【分析】长方形ABCD的面积可以表示为a（a+b），也可表示为两个长方形的面积和，即a2+ab，所以a（a+b）=a2+ab【解答】解：∵长方形ABCD面积=两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）=a2+ab故选：D．【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式．9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2，∴∠P1OP2=2∠AOB=80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2，1）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标．【解答】解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A=∠D使得△ABC≌△DEF．【分析】根据全等三角形的判定定理填空．【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：∵FB=CE，∴BC=EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠A=∠D．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是18或21．【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当5为底时，其它两边都为8，5、8、8可以构成三角形，周长为21；当5为腰时，其它两边为5和8，5、5、8可以构成三角形，周长为18，所以答案是18或21．故填18或21．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为70°．【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AD，∠BAC=∠DAF，求出∠BAD=∠∠EAC=40°，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ADB，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠∠EAC，∵∠EAC=40°，∴∠BAD=40°，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=（180°﹣∠BAD）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB=AD和求出∠BAD=∠EAC是解此题的关键．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为4cm．【分析】先由BC=10cm，BD：DC=3：2计算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC 的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=20．【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a+b=6，ab=8，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=36﹣16=20，故答案为：20【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：如图，∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．【分析】利用零指数幂、负整数幂的意义和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=++2﹣1=+2+1=3+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．【分析】利用AE=BF，得到AF=BE，证明△ADF≌△BCE（SAS），即可得到DF=CE（全等三角形的对应边相等）．【解答】证明：∵点E，F在线段AB上，AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即：AF=BE，在△ADF与△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS）∴DF=CE（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△ADF ≌△BCE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后根据x2+x=2，即可解答本题．【解答】解：（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）=x2+4x+4﹣x2﹣3x+x2﹣1=x2+x+3，∵x2+x=2，∴原式=2+3=5．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．23．（5分）解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得1+2（x﹣2）=﹣1﹣x解得：x=，经检验x=是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=•=，当x=﹣2时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2019-20201月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2019-2020客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2019-2020地铁每小时的客运量？【分析】设2002年地铁每小时客运量x万人，则2019-2020地铁每小时客运量4x万人，根据2019-2020客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时列出分式方程，求出答案即可．【解答】解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2019-2020地铁每小时客运量4x 万人，由题意得，解得x=6，经检验x=6是分式方程的解，答：2019-2020每小时客运量24万人．【点评】本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键．26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠MAD+∠ADC=180°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b=x+2（用含x的式子表示）【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断；（2）利用配方法即可解决问题；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b即可；【解答】解：（1）c=×1++1=2+1．（2）∵c=（m﹣4）（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）=﹣m2+4m﹣4=﹣（m﹣2）2≤0，∴c≤0．（3）由题意x3+3x2﹣1=（x2﹣1）b+（x2﹣1）+b，∴x2b=x3+2x2，∵x≠0，∴b=x+2．故答案为x+2．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据∠AEB=∠D+∠PAD，只要求出∠D，∠DAE即可；（3）结论：CE+AE=BE．在BE上取点M使ME=AE，只要证明△AEC≌△AMB即可解决问题；【解答】解：（1）图象如图所示；（2）在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°，由对称可知：AC=AD，∠PAC=∠PAD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠D，∵∠PAC=20°，∴∠PAD=20°，∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°，∴，∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°．（3）结论：CE+AE=BE．理由：在BE上取点M使ME=AE，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．∵AD=AC=AB，∴，∴∠AEB=60﹣x+x=60°．∴△AME为等边三角形，易证：△AEC≌△AMB，∴CE=BM，∴CE+AE=BE．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
北京市东城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题含答案
北京市东城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在第32届夏季奥林匹克运动会（即2020年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m ，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（ ）A ．6710-⨯B ．60.710-⨯C ．7710-⨯D ．70.710-⨯ 3．下列各式计算正确的是（ ）A ．248a a a +=B ．()44422ab a b = C ．()248a a = D ．824a a a ÷= 4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()2111x x x x -+=-+B ．()2x y x xy x +=+C ．()()22x y x y x y +-=-D ．()2222x xy y x y -+=- 5．下列分式中是最简分式的是（ ）A ．269x x B ．22x y x y ++ C ．2442x x x +++ D ．211x x -- 6．如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC ，交AB 于点E ．若30A ∠=︒，50BDC ∠=︒，则BDE ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．50°7．如图，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点O ．添加一个条件，不一定能使ABC ≌DCB 的是（ ）A ．AB DC =B ．OB OC = C ．ABO DCO ∠=∠D ．ABC DCB ∠=∠8．如图，在ABE △中，AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C ，连接AC ．若AB AC =，5CE =，6BC =，则ABC 的周长等于（ ）A ．11B ．16C ．17D ．189．若()()23mx x x n +--的运算结果中不含2x 项和常数项，则m ，n 的值分别为（ ）A ．0m =，0n =B ．0m =，3n =C ．3m =，1n =D ．3m =，0n =10．如图，在≌ABC 中，AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC 边于点E 、F ，点K 为EF 上一动点，则BK +CK 的最小值是以下条线段的长度（ ）A．EF B．AB C．AC D．BC 二、填空题11．分解因式：24a b b-=_______．12．当x______时，分式12x-有意义.13．212-⎛⎫=⎪⎝⎭___．14．若一个正多边形的每一个外角都等于60︒，则这个正多边形的边数为______________．15．如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC=12，BD=3，则DE的长为________．16．如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，BD，CE交于点F，则BFC∠=______°．17．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是______．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点C 在直线l 上．点P 从点A 出发，在三角形边上沿A C B →→的路径向终点B 运动；点Q 从B 点出发，在三角形边上沿B C A →→的路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于点E ，QF l ⊥于点F ，则点P 的运动时间等于_____秒时，PEC 与CFQ 全等．三、解答题19．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC <．分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于D ，E 两点，直线DE 交BC 于点F ，连接AF ．以点A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点H ，连接AH ．(1)使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；(2)通过作图过程，可以发现直线DE 是线段AB 的______，AFH 是______三角形；(3)若4BC =，则AFH 的周长为______．20．计算：()232622a a a a a ⋅-+÷． 21．（1）已知：2320m m +-=，求代数式()()()22213m m m +-++的值．（2）先化简22221211x x x x x x x+÷-++++，然后选一个合适的x 值代入，求出代数式的值． 22．解分式方程：42155x x x+=--． 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是第一、三象限的角平分线．已知ABC 的三个顶点坐标分别为()3,1A ，()4,3B ，()6,0C ．(1)若ABC 与A B C '''关于y 轴对称，画出A B C '''；(2)若在直线l 上存在点P ，使ABP △的周长最小，则点P 的坐标为______．24．如图，AD 是ABC 的高，CE 是ADC 的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．25．如图，在四边形ABCD 中，E 是CB 上一点，分别延长AE ，DC 相交于点F ，AB CF =，CEA B F ∠=∠+∠．(1)求证：EAB F ∠=∠；(2)若10BC =，求BE 的长．26．列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？27．在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作等腰ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．(1)如图1，当90BAC ∠=︒时，直接写出BC 与CE 的位置关系；(2)如图2，当090BAC ︒<∠<︒时，过点A 作AF CE ⊥于点F ，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，2EF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，将点(),M x y 到x 轴和y 轴的距离的较大值定义为点M 的“相对轴距”，记为()d M ．即：如果x y ≥，那么()d M x =；如果x y <，那么()d M y =．例如：点()1,2M 的“相对轴距”()2d M =．(1)点()2,1P -的“相对轴距”()d P =______；(2)请在图1中画出“相对轴距”与点()2,1P -的“相对轴距”相等的点组成的图形；(3)已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点M ，N 是ABC 内部（含边界）的任意两点．≌直接写出点M 与点N 的“相对轴距”之比()()d M d N 的取值范围； ≌将ABC 向左平移()0k k >个单位得到A B C '''，点M '与点N '为A B C '''内部（含边界）的任意两点，并且点M '与点N '的“相对轴距”之比()()d M d N ''的取值范围和点M 与点N 的“相对轴距”之比()()d M d N 的取值范围相同，请直接写出k 的取值范围．参考答案：1．A【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2．C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此即可得到答案.【详解】解：0.0000007=7×10−7.故选C.【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．C【解析】【分析】根据合并同类项、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项判断解答即可．【详解】解：A 、a 2、a 4不是同类项，不能合并计算，此选项错误，不符合题意；B 、()4444442126ab a b a b ==，此选项错误，不符合题意；C 、()248a a =，此选项正确，符合题意；D 、82826a a a a -÷==，此选项错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．4．D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．【详解】解： A 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；B 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；D 选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．5．B【解析】【分析】根据最简分式的定义逐一判定即可解答.【详解】解:A.26293x xx=,故A不是;B.22x yx y++,B是最简分式;C.2442x xx+++=2x+, 故C不是;D.211xx--=x+1, 故D不是故答案为:B【点睛】本题考查最简分式，约分，解的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．6．B【解析】【分析】由外角的性质可得≌ABD＝20°，由角平分线的性质可得≌DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.【详解】解：（1）≌≌A＝30°，≌BDC＝50°，≌BDC＝≌A＋≌ABD，≌≌ABD＝≌BDC−≌A＝50°−30°＝20°，≌BD是△ABC的角平分线，≌≌DBC＝≌ABD＝20°，≌DE≌BC，≌≌EDB=≌DBC＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．7．C【解析】【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（HL定理）即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得ACB DBC∠=∠，再根据三角形全等的判定定理（AAS定理）即可判断选项B；直接利用三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可判断选项D ，由此即可得出答案．【详解】解：当添加条件是AB DC =时，在Rt ABC 和Rt DCB △中，AB DC BC CB =⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt DCB HL ∴≅，则选项A 不符题意；当添加条件是OB OC =时，ACB DBC ∴∠=∠，在ABC 和DCB 中，90A D ACB DBC BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB A AA BC S ∴≅，则选项B 不符题意；当添加条件是ABC DCB ∠=∠时，在ABC 和DCB 中，90A D ABC DCB BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB A AA BC S ∴≅，则选项D 不符题意；当添加条件是ABO DCO ∠=∠时，不一定能使ABC DCB ≅，则选项C 符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．8．B【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA =CE ，所以AB =AC =5，据此可计算出ABC ∆的周长．【详解】解：MN 垂直平分AE ，5CE =5AC CE ∴==，AB AC =，5AB =，6BC =，ABC ∴∆的周长=AB +AC +BC =5+5+6=16，故选：B ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．D【解析】【分析】直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；【详解】解: ()()23mx x x n +--=322333mx mx mnx x x n --+--=()()32333mx m x mn x n +--+-≌结果中不含2x 项和常数项≌3-m =0，3n =0≌3m =，0n =故答案为D【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．C【解析】【分析】连接AK ，根据垂直平分线的性质可得AK BK =，进而可得BK +CK 的最小值是AC 的长．【详解】如图，连接AK ，EF是AB的垂直平分线AK BK∴=∴BK+CK AK CK AC=+≥A K C三点共线时，BK+CK取得最小值，当,,则BK+CK的最小值是AC的长．故选C【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．11．b（a+2）（a-2）【解析】【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.【详解】()()()22a b b b a b a a-=-=+-.4422故答案为：b（a+2）（a-2）.【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式. 12．≠2【解析】【详解】试题分析：分式有意义的条件：分式的分母不为0时，分式才有意义.由题意得，．考点：分式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式有意义的条件，即可完成. 13．4【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：212-⎛⎫= ⎪⎝⎭4故答案为：4．【点睛】本题考查了负整数指数幂的知识，属于基础题，掌握其运算法则是解题关键．14．6【解析】【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于60°，由此做除法得出多边形的边数．【详解】解：≌360°÷60°=6，≌这个多边形为六边形，故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，关键是明确多边形的外角和为360°．15．6【解析】【分析】根据全等三角形的性质计算即可；【详解】≌△ABD≌△ACE，≌BD CE =，≌BC =12，BD =3，≌12336DE BC BD EC =-----=；故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．16．120【解析】【分析】 等边三角形中线与角平分线合一，有1302DBC ABC ∠=∠=︒，1302ECB ACB ∠=∠=︒，由180BFC DBC ECB ∠=︒-∠-∠可求得结果．【详解】解：≌ABC 是等边三角形≌60ABC ACB ∠=∠=︒≌BD ，CE 是等边三角形ABC 的中线 ≌11303022DBC ABC ECB ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒， 又≌180BFC DBC ECB ∠=︒-∠-∠≌1803030120BFC ∠=︒-︒-︒=︒故答案为：120︒．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角度的计算．解题的关键在于熟练利用等边三角形三线合一的性质．17．()()2111x x x -=+-【解析】【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．【详解】解：由图可知，图1的面积为：x 2−12，图2的面积为：（x＋1）（x−1），所以x2−1＝（x＋1）（x−1）．故答案为：x2−1＝（x＋1）（x−1）．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．18．2或143或12【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得CP=CO，然后分不同情况求解关于t的方程即可．【详解】解：≌≌PEC≌≌CFQ≌PC=CQ分以下五种情况：≌如图1，P在AC上，Q在BC上，≌PE≌l，QF≌1，≌≌PEC=≌QFC=90°，≌≌ACB=90°，≌≌EPC+≌PCE=90°，≌PCE+≌QCF=90°，≌≌EPC=≌OCF，要使≌PEC≌≌CFQ，则需PC=CQ，≌PC=6-t,CQ=8-2t，≌6-t =8-2t，解得：t=2；≌如图2，P在BC上，Q在AC上，≌PC=t-6,CQ=2t-8，≌t-6 =2t-8，解得：t=2；≌如图3:当P、Q都在AC上时，≌CP=6-t,CQ=2t-8，≌6-t=2t-8，解得：t=143；≌当Q到A点停止，P在BC上时，PC=AC=6，QC=t-6≌6=t-6，解得：t=12；≌P和2都在BC上的情况不存在≌P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒，≌P和Q都在BC上的情况不存在．故答案为: 2或143或12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键．19．(1)见解析(2)垂直平分线；等腰(3)8【解析】【分析】（1）根据题意直接作图即可；（2）根据（1）的作图过程可得DE垂直平分AB，由以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH，可得AF=AH，即可判定AFH的形状；（3）利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC,最后根据三角形的周长公式解答即可．(1)解：作图如下所示：(2)解：由（1）的作图过程可知，DE 垂直平分AB 且AF =AH ，即≌AFH 是等腰三角形． 故答案为：垂直平分线，等腰．(3)解：由（1）基本作图方法得出：DE 垂直平分AB≌ AF ＝BF ，≌AF ＝AH ，AC ≌FH ，≌FC ＝CH ，≌AF ＋FC ＝BF ＋FC ＝AH ＋CH ＝BC ＝4≌≌AFH 的周长为：AF ＋FC ＋CH ＋AH ＝2BC ＝8．【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，运用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得到AF ＋FC ＝BF ＋FC ＝AH ＋CH ＝BC 是解答本题关键．20．42a【解析】【分析】原式根据同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式除以单项式的运算法则计算出各项后再合并即可．【详解】解：()232622a a a a a ⋅-+÷ 4442a a a =-+42a =．【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．21．（1）13；（2）()221x x +，1 【解析】【分析】(1)通过2320m m +-=得出232m m +=,化简原式,将232m m +=代入即可．(2)化简原式,选择合适的值代入即可．【详解】（1）解：()()()22213m m m +-++22224269397m m m m m m m =-+-+++=++． ≌2320m m +-=，≌232m m +=．≌原式13=．（2）解：()()222222*********x x x x x x x x x x x x x +++÷-=⋅-++++++ ()()()22222111x x x x x x x x +=-=+++． ≌0x ≠且1x ≠-，≌取1x =代入上式，原式1=．【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．13x = 【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x −5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：去分母，得542x x -+=-．化简，得31x =． 解得13x =．检验：把13x=代入最简公分母50x-≠．所以13x=是原分式方程的解．【点睛】此题考查了分式方程的求解方法．注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．23．(1)见解析(2)()3,3【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，先得到A、B、C关于y轴对称的对应点A'、B'、C'的坐标，然后在坐标系中描出A'、B'、C'三点，最后顺次连接A'、B'、C'三点即可得到答案；（2）作B关于直线l的对称点B''，连接AB''与直线l交于点P，点P即为所求．(1)解：如图所示，A B C'''即为所求；(2)解：如图所示，作B关于直线l的对称点B''，连接AB''与直线l交于点P，点P即为所求，由图可知点P的坐标为（3，3）．【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，关于y 轴对称的点的坐标特征，轴对称—最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键．24．50︒【解析】【分析】AD 是ABC 的高，有90ADB ADC ∠=∠=︒；由70B ∠=︒知20BAD ∠=︒；CE 是ADC 的角平分线可得12ECD ACD ∠=∠；20BAD ECD ∠=∠=︒，40ACD ∠=︒；在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．【详解】解：≌AD 是ABC 的高≌90ADB ADC ∠=∠=︒≌70B ∠=︒≌20BAD ∠=︒≌CE 是ADC 的角平分线 ≌12ECD ACD ∠=∠ ≌20BAD ECD ∠=∠=︒≌40ACD ∠=︒≌在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．25．(1)见解析(2)5BE =【解析】【分析】(1)利用CEA ∠是ABE △的外角,以及CEA B F ∠=∠+∠证明即可．(2)证明ABE △≌FCE △,可知BE CE =,从而得出答案．(1)证明：≌CEA ∠是ABE △的外角，≌CEA B EAB ∠=∠+∠．又≌CEA B F ∠=∠+∠，≌EAB F ∠=∠．(2)解：在ABE △和FCE △中，AB FC EAB F AEB FEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，≌ABE △≌FCE △．≌BE CE =．≌10BC =，≌5BE =．【点睛】本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．26．约为1.5吨【解析】设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．【详解】解：设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨 由题意，得15021620 1.2x x+=．解得 1.5x =． 经检验， 1.5x =是原分式方程的解，且符合实际．答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．27．(1)BC CE ⊥(2)2CD BD EF -=或2BD CD EF -=，见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求出≌B =≌ACB =45°，证明≌BAD ≌≌CAE ，得到≌ACE =≌B =45°，求出≌BCE =≌ACB +≌ACE =90°，即可得到结论BC CE ⊥；（2）根据题意作图即可，证明ABD △≌ACE ．得到BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠，推出ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =，证明ADC ≌AGC ，推出CD CG =．由此得到2CD BD EF -=．同理可证2BD CD EF -=．(1)解：90BAC ∠=︒，AB AC =，≌≌B =≌ACB =45°，≌DAE BAC ∠=∠，≌DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠，即≌BAD =≌CAE ，≌AB AC =，AD AE =，≌≌BAD ≌≌CAE ，≌≌ACE =≌B =45°，≌≌BCE =≌ACB +≌ACE =90°，≌BC CE ⊥；(2)解：如图，补全图形；2CD BD EF -=．证明：≌BAC DAE ∠=∠，≌BAD CAE ∠=∠．又≌AB AC =，AD AE =，≌ABD △≌ACE ．≌BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠．≌AB AC =，≌B ACB ∠=∠．≌ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =．≌AF CE ⊥，≌AE AG =．≌AEG G ∠=∠．≌ADB AEC ∠=∠，≌ADC AEG ∠=∠．≌ADC G ∠=∠．≌AC AC =，≌ADC ≌AGC ．≌CD CG =．≌2CG CE EF -=，≌2CD BD EF -=．如图，同理可证2BD CD EF -=．．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．28．(1)2；(2)见详解； (3)≌()()133d M d N ≤≤；≌02k <≤ 【解析】【分析】（1）根据题意正确写出答案即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）≌正确画出图形，根据题意分别求出()d M ，()d N 的最大值和最小值，代入()()d M d N 即可求解；≌根据题意确定点'(1,1)A k -在两点（-1，1），（1，1）确定的线段上运动，列不等式111k -≤-≤即可求解．(1) 解：点(),M x y 到x 轴和y 轴的距离的较大值定义为点M 的“相对轴距”，点()2,1P - ∴ ()d P = 2；(2)解：()2,1P -的“相对轴距”是2，∴与点()2,1P -的“相对轴距”相等的点的横纵坐标的最大值为2，依题意得到的图形是正方形，如图，(3)解：≌如图，当点在三角形边界上时，有最大的“相对轴距”和最小的“相对轴距”，∴ 当d(M)取小值，()d N 取最大值时，()()d M d N 有最小值，这时点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，()d M 的最小值为1，()d N 的最大值为3时，()()d M d N 的最小值为13， 当d(M)取最大值，()d N 取最小值时，()()d M d N 有最大值，这时这时点M 与点B 重合，点N 与点A 重合， ()d M 的最大值为3，()d N 的最小值为1时，()()d M d N 的最大值3， ∴ ()()133d M d N ≤≤； ≌ 点M '与点N '为A B C '''内部（含边界）的任意两点，并且点M '与点N '的“相对轴距”之比()()d M d N ''的取值范围和点M 与点N 的“相对轴距”之比()()d M d N 的取值范围相同，如图，依题意，点'A 的坐标为(1,1)k -，∴ 点'A 在两点（1，1），（-1，1）确定的线段上，111k ∴≤-≤-，02k ∴<≤．【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，点的平移，解一元一次不等式，正确理解题意是解决问题的关键．。
2019-2020年北京市东城区XX中学八年级上册期末数学试题含解析[精品]
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北京东城区中学八年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a35．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•256．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．79．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=．14．（3分）2++9是完全平方式，则=．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于cm．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B所经过的路径的长为．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．22．（5分）解方程： +=．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选：A．4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a3【解答】解：A、b3•b3=b6，故A不符合题意；B、2•3=5，故B不符合题意；C、（a5）2=a10，故C不符合题意；D、a5÷a3=a2，故D符合题意；故选：D．5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•25【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；C、42+4=4（+1），是因式分解，故本选项正确；D、67=32•25，不是因式分解，故本选项错误．故选：C．6．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：去分母得：2+2+6﹣12=2﹣4，移项合并得：8=8，解得：=1，经检验=1是分式方程的解，故选：A．7．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2=3（cm），能够组成三角形．所以该等腰三角形的底边为5cm或3cm，故选：C．8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．7【解答】解：∵m+=5，∴m2+=（m+）2﹣2=25﹣2=23，故选：A．9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对【解答】解：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选：B．10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=100，4×ab=100﹣20=80，即2ab=80，则（a+b）2=a2+2ab+b2=100+80=180，∴每个直角三角形的周长为10+=10+故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于2．【解答】解：根据题意得：﹣2=0，解得：=2．此时2+1=5，符合题意，故答案是：2．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为4．【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b，=（a+b）（a﹣b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a+2b，=2（a+b），=2×2，=4．故答案为：4．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=6．【解答】解：由题意得，﹣2=0，3﹣y=0，解得=2，y=3，所以，y=2×3=6．故答案为：6．14．（3分）2++9是完全平方式，则=±6．【解答】解：中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故=±6．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于10cm．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AB=6cm，∴AC=6cm，∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴BP+PC=AC，∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=6+4=10cm．故答案为：10．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：直角三角形．【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．【解答】解：如图，过点B作BD⊥轴于D，∵A（0，2），B（4，3），∴OA=2，BD=3，OD=4，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，∴OC=OD=×4=，∴AC==，∴BC=，∴AC+BC=．即这束光从点A到点B所经过的路径的长为：．故答案为：．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在线段PQ的垂直平分线上）．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．【解答】解：3ab2+6ab+3a=3a（b2+2b+1）=3a（b+1）2．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．【解答】解：原式=a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=2ab﹣2b2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．【解答】解：原式=2++8+1=3+9．22．（5分）解方程： +=．【解答】解：两边都乘（+3）（﹣3），得+3（﹣3）=+3，解得=4，经检验：=4是原分式方程的根．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．【解答】解：（+）÷，=[+]•，=，=，=，当=12时，原式==．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AB=3，在Rt△ABD中，AD==9，在Rt△ADC中，CD==12，∴BC=BD+CD=3+12．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5千米/时．根据题意得：﹣=，解得：=180，经检验，=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠EAB=∠B．∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，∴∠B=30°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，∴AB=2AC=6cm；（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB=∠B，∴EB=EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为10．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是﹣，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，则这个直角三角形斜边长==10，故答案为：10；（2）在Rt△ADC中，AD==2，∴BD=AD=2；（3）点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，由勾股定理得，OC=，以O为圆心、OC为半径作弧交轴于B，则点B即为所求，故答案为：﹣．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故答案为：15cm；（2）连接AD，如图所示．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，∴BE：EA=BD：AD，又∵BD=AD，∴BE：AE=3：1．故答案为：3：1．（3）∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，∴BQ===．。
2019-2020学年北京市东城区八年级上学期期末数学真题试卷(学生版+解析版)
2019-2020 学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷一、选择题(共 10 个小题)．1．在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏， 0.0009m 微间距显示屏就是其 中之一．数字 0.0009 用科学记数法表示应为 ( A ．9 10 4B ．9 10 32．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 A ． m(a b) ma mb C ． x 23x 2 (x 1)(x 2)3．如图是 3 3的正方形网格，其中已有 2 个小方格涂成了黑色．现在要从编号为① ?④的C ． 0.9 103D ． 0.9 10 4()2B ． 3x 2 3x 1 3x( x 1) 1D ．(a 2)2 a 24 a 41小方格中选出 1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()B．C．③D．④4．列各式计算正确的是A．3a2ga 13a B．(ab2)3ab6C．( x 2)2 4 D． 6 x82x23x 4 5．对于任意的实数x，总有意义的分式是A．x x2 51B．x x2 3x C．2x218x2D．x140 ，A B 的垂直平分线分别交 AB ，AC于点 D，E，连接 BE，B． 50 C． 80 D． 1007．若分式22x 1的值为正数，则x 23x 需满足的条件是 ( )A．①6如图， ABC 中，8．已知 ABC ，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在 AB ， AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点 M ，点 M 一定在 ( )B ． AC 边的高上9．如图，已知 MON 及其边上一点 A ．以点 A 为圆心， AO 长为半径画弧，分别交 OM ， ON 于点 B 和C ．再以点 C 为圆心， AC 长为半径画弧，恰好经过点 B ．错误的结论是 (A ．S AOC S ABCB ． OCB 90C ． MON 30D ．OC 2BC10．已知OP 平分 AOB ，点Q 在OP 上，点M 在OA 上，且点Q ， M 均不与点 O 重合．在 OB 上确定点 N ，使 QN QM ，则满足条件的点 N 的个数为 ( ) A ．1个B ．2个C ．1或 2个D ．无数个二、填空题(本题共 16 分，每小题 2分) 11．因式分解： a 39a ． xk12．已知 2是关于 x 的分式方程 2x 的根，则实数 k 的值为 ．x31A ． x 为任意实数B ． x 12C ．xC ． BC 边的垂直平分线上D ． AB 边的中线上A ． A 的平分线1 13．如图， BE 与CD交于点 A，且 C D ．添加一个条件：，使得 ABC AED ．14．如图，将长方形纸片 ABCD折叠，使顶点 A ， C重合，折痕为 EF ．若 BAE28 ，则 AEF 的大小为．15．如图，等边 ABC 中， AD是BC边上的中线，且 AD 4，E，P分别是 AC ，AD 上的动点，则 CP EP 的最小值等于．16．我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a b）n（n 1，2，3，4，5， 6）的展开式（按 a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数 1， 2，1，恰好对应）（a b）2 a2 2ab b2展开式中各项的系数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着）（ a b）4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4展开式中各项的系数．（1）（a b）5展开式中 a4b的系数为；1（2）（a b）7展开式中各项系数的和为．三、解答题（本题共 68分，第 17-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 5分，第 27-28题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程18．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段 m ， n 及 O ．求 作 ： ABC ， 使 得 线 段 m ， n 及① 以点 O 为圆心， m 长为半径画弧，分别交 O 的两边于点 M ，N ； ② 画一条射线 AP ，以点 A 为圆心， m 长为半径画弧，交 AP 于点 B ； ③ 以点 B 为圆心， MN 长为半径画弧，与第 ② 步中所画的弧相交于点 D ； ④ 画射线 AD ；⑤ 以点 A 为圆心， n 长为半径画弧，交 AD 于点 C ； ⑥ 连接 BC ，则 ABC 即为所求作的三角形． 请回答：1）步骤 ③ 得到两条线段相等，即 2） A O 的作图依据是17．计算：x3x 2 x 3O 分 别 是 它 的 两 边 和3）小红说小明的作图不全面，原因是的长．24．如图， ABC ．1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O ．不写作法，保留作图痕迹；2）分别以直线 AB ， OC 为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系， 使点 B ，C 均在正半轴上． 若 A 45 ，写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标；ACD 的面积．角形纸片按图 1方式折叠， 使点 A 的对应点 A 落在 AB 的延长线上， 折痕为 ED ，AE 交 BC 于点 F ．1）求 CFE 的度数；2）如图 2，继续将纸片沿 BF 折叠，点 A 的对应点为 A ， A F 交 DE 于点 G ．求线段 DG和 ADE 中 ， BAC DAE ， AD AE ． 连 接 BD ， CE ， AB AC ．21． 计算： [(m n)( m n) 22． 解方程： x 11 x 21 x223． 在三角形纸片 ABC 中，2(m n) 4m(m n)] 2m ． B 90 ， A 30 ， AC 4 ，点 E 在 AC 上， AE 3 ．将三 20 ． 如 图 ， 在 ABC5 4 AB 7.5， OC 4.5，25．先化简，再求值：(a a2 22a a2 a4a14) a a 42，其中 a是满足 |a 3| 3 a的最大整数．26．列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于 2019年 11月 5日至 10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的 270000 平方米增加到 330000 平方米．参展企业比首届多了约 300 家，参展企业平均展览面积增加了 12.8% ，求首届进博会企业平均展览面积．（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．设首届进博会企业平均展览面积为 x 平方米，把下表补充完整：届别总面积（平方米）参展企业数量企业平均展览面积（平方米）首届270000x第二届330000（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．27．在 ABC 中， AB BC ，直线 l 垂直平分 AC ．（1）如图 1，作 ABC 的平分线交直线 l 于点 D ，连接 AD ， CD ．①补全图形；②判断 BAD 和 BCD 的数量关系，并证明．（2）如图 2，直线 l 与 ABC 的外角 ABE 的平分线交于点 D，连接 AD ，CD ．求证：ABC 的边上，且 PM 1 PM 2 PM3 PM n ，那么称点 M1，M2 ，M3 ，M n为 ABCM n 都在关于点 P的等距点，线段 PM1， PM2， PM3，， PM n为 ABC 关于点 P的等距线段．② ABC 关于点 P 的两个等距点 M 1，M 2 分别在边 AB ， AC 上，当相应的等距线段最短时，（2） ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C ， D 是 ABC 关于点 P 的等距 点，且 PC 1，求线段 DC 的长；（3）如图 2，在 Rt ABC 中， C 90 ， B 30 ．点 P 在 BC 上， ABC 关于点 P 的等 距点恰好有四个，且其中一个是点 C ．若 BC a ，直接写出 PC 长的取值范围． （用含 a 的 式子表示）参考答案一、选择题(本题共 20 分，每小题 2分)第 1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一 个.1．在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏， 0.0009m 微间距显示屏就是其中之一．数字 0.0009 用科学记数法表示应为 ( )A ．9 10 4B ．9 10 3C ． 0.9 103D ． 0.9 10解：数字 0.0009 用科学记数法表示应为 9 10 4．故选： A ．2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ()A ． m(a b) ma mbB ． 2 3x 2 3x1 3x( x1) 12C ． x 23x 2 (x 1)(x 2)D ． (a 2)2a 24 a 4（1） 如图 1， ABC 中， A 90 ， AB ①点 B ， C ABC 关于点 P 的等距点， （填是”或“不是” ）AC ，点 P 是 BC 的中点． 线段 PA ，PB ABC 关于点 P 的等距线段； 在图 1 中画出线段 PM 1 ， PM2 ；解： A 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、是因式分解，故本选项符合题意；D 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；故选： C ．3．如图是3 3的正方形网格，其中已有2 个小方格涂成了黑色．现在要从编号为① ?④的小方格中选出 1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是( )A ．① B．②C．③D．④ 解：要从编号为① ?④的小方格中选出 1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④ ，故选： D ．4．下列各式计算正确的是 ( )解： Q DE 是 AB 的垂直平分线， EA EB ， EBAA 40 ，BEC EBA A 80 ， 故选： C ．21A ．3a 2ga 13a2 3 6B ． (ab 2)3ab 6C ．( x 2)2D ． 6x82424解： Q 3a 2ga 13a ，故本选项符合题意；Q(ab 2)3 a 3b 6 ，故本选项不符合题意； Q (x 2)2 x 24x 4 ，故本选项不符合题意；Q 6x 8 2x 2 3x 6，故本选项不符合题意；故选： A ．5．对于任意的实数 x ，总有意义的分式是 (x5 A ． xx2 51解： A 、当 x 1 时，x3 B ． 2x1 x2 5无意义，故此选项错误； x2 1C ． x218x D ．2x1B 、 无论x 为何值， x 21 0 ，则 x2 3总有意义，故此选项正确； x21C 、 当x 0 时，D 、当x 1时， 2x 8x2 x1 无意义，故此选项错误；1无意义，故此选项错误； 故选： B ．中， A 40 ， AB 的垂直平分线分别交 AB ， AC 于点 D ， E ，连接BE ， B ． 50 C ． 80 D ． 1006．如图，ABC)ON 于点 B 和C ．再以点 C 为圆心， AC 长为半径画弧，恰好经过点 B ．错误的结论是 (7．若分式 22x 1的值为正数，则 x 需满足的条件是 ( ) x2311 A ． x 为任意实数 B ． x C ． x22 解：Q 分式 22x 1的值为正数，x232x 2 3 恒为正数，2x 1 0 ，1 x ． 2故选： C ．8．已知 ABC ，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在 AB ， AC解： 作射线 AM ， 由题意得， MG MH ， MG AB ， MH AC ， AM 平分 BAC ， 故选： A ．9．如图，已知 MON 及其边上一点 A ．以点 A 为圆心， AO 长为半径画弧，分别交 OM ，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ，点 M 一定在 ( ) C ． BC 边的垂直平分线上B ． AC 边的高上D ． AB边的中线EQ QF ，若点 M 与点 E 重合，则点 N 与点 F 重合，此时满足条件的点 N 的个数为 1 个， 若点 M 与点 E 不重合，则以 Q 为圆心， MQ 为半径作圆，与 OB 有两个交点 N ， N ，此时 满足条件的点 N 的个数为 2 个，B ． OCB 90C ． MON 30D ． OC 2BC解： 由题意可知 OA AC AB BC ，ABC 是等边三角形，CAB 60 ， MONOCA 30 ，OCB 30 60 90 AOC SABC ，故选： D ．10．已知 OP 平分 AOB ， 点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q ， M 均不与点 O 重合．在 OB 上确定点 N ，使 QN QM ，则满足条件的点 N 的个数为 ( C ．1 或 2 个 D ．无数个QF OB 于 F ，OFQ 90 ，OEQOFQ ( AAS)A ．S AOC S ABC S A ，B ，C ，正确．A ．1个B ．2AOPBOP ，且 OQ QO ， OEQ故选： C ．、填空题(本题共 16 分，每小题 2分)311．因式分解： a 3 9a a(a 3)( a 3) 解： 原式 a(a 29)a(a 3)(a 3) ， 故答案为： a(a 3)(a 3) ． 12．已知 2是关于 x 的分式方程 x k2x 的根，则实数 k 的值为 2x3解：将 x 2代入分式方程 x k2x ，x3可得： 2 k 4 ，解得： k 2 ， 故答案为 2．与 CD 交于点 A ，且 C D ．添加一个条件： 答案不唯一，但必须是解： Q BAE EAF 90 ， BAE 28 ，13．如图， BE AC AD ，使得 ABC AED ．，则添加一组对应边相等即可．答案不唯一，但必须是一组对应边，如： AC AD ．14．如图， 将长方形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A ， C 重合，折痕为 EF ．若 BAE 28 ，组对应边，EAD (对顶角相等) 故答案则 AEF 的大小为 59EAF 90 28 62 Q AF / / BE ，AEB EAF 62 ．15．如图，等边 ABC 中， AD 是BC 边上的中线，且 AD 4，E ，P 分别是 AC ，AD 上Q ABC 是等边三角形， AD 是 BC 边上的中线， AD BC ，AD 是 BC 的垂直平分线， 点 E 关于 AD 的对应点为点 F ，由折叠的性质，可知： AEF C EF ． Q AEBAEF C EF 180 ，1 12(180AEB) 1(180 62 ) 59 ．AEF的动点，则 CP EP 的最小值等于 4CF 就是 EP CP 的最小值．Q ABC 是等边三角形， E 是 AC 边的中点，F 是 AB 的中点，CF 是 ABC 的中线，CF AD 4 ，即 EP CP 的最小值为 4 ，故答案为： 4．16．我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a b）n（n 1，2，3，4，5， 6）的展开式（按 a的次数由大到小顺序排列）的系数规数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着）（ a b）4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4展开式中各项的系数．（1）（a b）5展开式中 a4b的系数为 5 ；2）（a b）7展开式中各项系数的和为(a b)5a55a4b 10a3b210a2b35ab4b5；a4b 的系数为 5，故答案为： 5；（2）1Q （a b）1的展开式的各项系1 12 21，(a b)2的展开式的各项系数之和12 1 4 22(a b)3的展开式的各项系数之和13 3 1 8 23，(a b)4的展开式的各项系数之和14 6 4 11624，律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a b）2 a2 2ab b2展开式中各项的系解：（1）由图可得：（a b ）n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和是 2n，（a b ）7 展开式中各项系数的和为 27128 ．故答案为： 128． 三、解答题（本题共 68分，第 17-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 5分，第 27-28题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程18．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段 m ， n 及 O ．求 作 ： ABC ， 使 得 线 段 m ， n 及① 以点 O 为圆心， m 长为半径画弧，分别交 O 的两边于点 M ，N ； ② 画一条射线 AP ，以点 A 为圆心， m 长为半径画弧，交 AP 于点 B ； ③ 以点 B 为圆心， MN 长为半径画弧，与第 ② 步中所画的弧相交于点 D ； ④ 画射线 AD ；⑤ 以点 A 为圆心， n 长为半径画弧，交 AD 于点 C ； ⑥ 连接 BC ，则 ABC 即为所求作的三角形． 请回答：1）步骤 ③ 得到两条线段相等，即 BD 2） A O 的作图依据是 ；3）小红说小明的作图不全面，原因是17．计算：x3x 2 x 3 解：原式x(x (x32))(x3(x 3)2)x26(x 2)( xO 分 别 是 它 的 两 边 和解1) BD ， MN ．2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．故答案为 BD，MN ，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．19．计算： ( 13) 216 ( 5)0| 5 3| ．解： (1) 216 ( 5)0| 5 3 |9 4 1 3 59520 ．如图，在 ABC 和 ADE 中， BAC DAE ， AD AE ．连接 BD ， CE ，AC ．DAE ，BAC CAD DAE CAD ，即 BAD CAE ，在 BAD 和 CAE 中，BAD CAEABD ACEAD AEBAD CAE ( AAS) ，AB AC ．221．计算：[(m n)(m n) (m n)2 4m(m n)] 2m ．22 2 2 2 2(m n m 2mn n 4m 4mn) 2m解：[(m n)(m n) (m n)2 4m( m n)] 2m2( 2m 2mn) 2m m n ．x 1 5 22．解方程： x 11 2 5．x 2 x 24解： 去分母得： x 2 3x 2 x 24 5 ， 解得： x1，3， 经检验 x 11是原方程的解．23．在三角形纸片 ABC 中， B 90 ， A 30 ，AC 4，点E 在AC 上， AE 3．将三 角形纸片按图 1方式折叠， 使点 A 的对应点 A 落在 AB 的延长线上， 折痕为 ED ，AE 交 BC 于点 F ． 1）求 CFE 的度数；2）如图 2，继续将纸片沿 BF 折叠，点 A 的对应点为 A ， A F 交 DE 于点 G ．求线段 DG的长．解：（1）Q 将三角形纸片按图 1方式折叠，使点 A 的对应点 A 落在 AB 的延长线上，A A ， AE AE ， Q A 30A 30Q A BF 90 ，A FB 60 ，Q CFEAFB ，CFE 60 ；2）Q 点A 与点 A 关于直线 DE 对称， DE AA ． Q A 30 ， AE 3 ，13 DE AE ， 22由（ 1）知， CFE 60 ， C 60 ，CFE 是等边三角形．EF CE AC AE 1 ，同理，EFG 也是等边三角形EG EF 1，DG DE EG1．224．如图，ABC ．（1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O ．不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线 AB ，OC 为 x轴， y轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上．若AB 7.5 ， OC 4.5， A 45 ，写出点 B关于 y轴的对称点 D 的坐标；OD OB ，Q A 45 ，ACO 45 ，OA OC 4.5 ，OB OD 7.5 4.5 3 ，D( 3,0) ；ACD 的面积．(3) S1AD gCO1 3 9 27(3)S ACDAD gCO ． 2 2 2 2 825．先化简，再求值： ( a2 42 a 1) a 5，其中 a 是满足 |a3| 3 a 的最大整 a 2 2a a 24a 4 a 2数．a 2 a 1 a 2解： 原式 [ 2 ] g ， a(a 2) ( a 2)2a 4[(a 2)(a 2) a(a 1) ]g a 2 ， [a(a 2)2 a(a 2)2]ga 4 ，22a 4 a a a 226．列方程，解应用题： 第二届中国国际进口博览会于 2019年 11月 5日至 10日在上海国家会展中心举行．与首届 相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览 面积由的 270000 平方米增加到 330000 平方米． 参展企业比首届多了约 300 家，参展企业平 均展览面积增加了 12.8% ，求首届进博会企业平均展览面积．（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系． 设首届进博会企业平均展览面积为 x 平方米，把下表补充完整：（2）根据以上分析，列出方程（不解方程） 解：（1）3 a ⋯0 ，4g ， a( a 2)2a 4a 4 g a 2， a( a 2)2 ga 41， a( a 2) 1， 2， a22aQa 是满足 |a 3| 3 a 的最大整数，a, 3 ．当 a 3 时，原式11x届别故答案为：270000， 330000，(1 12.8%) x ； x (1 12.8%) x 2）由题意可得：2）如图 2，直线 l 与 ABC 的外角 ABE 的平分线交于点 D ，连接 AD ，CD ．求证： 总面积（平方米）参展企业数量 企业展平均面积（平方米）首届270 000第二届 330 000270000 x330000(1 12.8%)x(1 12.8%) x270000 300x330000 (1 12.8%)x 27．在 ABC 中，AB BC ，直线 l 垂直平分 AC ． 1）如图 1， ABC 的平分线交直线 l 于点 D ，连接 AD ，CD ． ①补全图形； ②判断 BAD 和 BCD 的数量关系，并证明．BAD BCD ．②结论： BAD BCD 180 ，x理由如下：过点 D 作 DE AB 于 E ，作 DF BC 交 BC 的延长线于 F ，Q BD 平分 ABC ，DE DF ．Q 直线 l 垂直平分 AC ，DA DC ，在 Rt ADE 和 Rt CDF 中，DA DCDE DFRt ADE Rt CDF(HL) ．BAD FCD ．Q FCD BCD 180 ，BAD BCD 180 ；(2)结论： BAD BCD ，理由如下：过点 D 作 DN AB 于 N ，作 DM BE 于 M ，Q BD 平分 ABE ，DM DN ．Q 直线 l 垂直平分 AC ， DA DC ，在 Rt ADN 和 Rt CDM 中， DA DC DN DMRt ADN Rt CDM （HL ） ． BAD BCD ．28．对于 ABC 及其边上的点 P ，给出如下定义： 如果点 M 1，M 2 ，M 3， ，M n 都在 ABC的边上， 且PM 1 PM 2 PM 3PM n ，那么称点 M 1，M 2 ，M 3 ，，M n 为 ABC关于点 P 的等距点，线段 PM 1， PM 2， PM 3， ， PM n 为 ABC 关于点 P 的等距线段．①点 B ，C 是 ABC 关于点 P 的等距点，线段 PA ， PB ABC 关于点 P 的等距线 段；（填“是”或“不是” ） ② ABC 关于点 P 的两个等距点 M 1，M 2 分别在边 AB ， AC 上，当相应的等距线段最短时， 在图 1 中画出线段 PM 1， PM 2 ；（2） ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C ， D 是 ABC 关于点 P 的等距 点，且 PC 1，求线段 DC 的长；（3）如图 2，在 Rt ABC 中， C 90 ， B 30 ．点 P 在 BC 上， ABC 关于点 P 的等 距点恰好有四个，且其中一个是点 C ．若 BC a ，直接写出 PC 长的取值范围． （用含 a 的 式子表示） 解：（1）①Q 点P 是BC 的中点， PB PC ，P 是 BC 的中点 B ， C 是 ABC 关于点 P 的等距点； Q AB AC ，PA BC ， PA PB ，线段 PA ，PB 不是 ABC 关于点 P 的等距线段； 故答案为：是，不是；②作 PM 1 AB 于M 1，PM 2 AC 于M 2，连接 PA ，如图 1 1所示： Q AB AC ，点 P 是 BC 的中点， PA 平分 BAC ， PM 1 PM 2；由垂线段最短可知： PM 1，PM 2 是 ABC 关于点 P 等距线段最短的线段；（2）如图1 2，以P 为圆心， PC 长为半径作圆 P ，交AC 于D ，交BC 于D ，连接 PD ， 则 PD PCPD 1，CD PC PD2；Q ABC 是等边三角形，BC AC 4， C 60 PCD 是等边三角形，CD PC 1；即线段 DC 的长为 2 或 1； （3）当 PC1BC 1a 时，22当 P 为 BC 的中点，则 PBPC ， B 、 C是， ABC 关于点 P 的等距点，作 PE AB 于 E ，截取 EF EB ，连接 PF ，如图 2所示则 PF PB12a ，QB 30，PE 1 BP 14a ，AB 边上存在 2 个 ABC 关于点 P 的等距点，Q ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C ．1aPC 12BC ，即PC a2；1 12 1 1PC BC a 时， a ，BP a3 3 3 2 3则 ABC 关于点 P 的等距点有 2 个在 BC 上，有 1 个在 AB 上， Q ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C ．1PC BC ，3。
北京市东城区2019-2020学年八年级上期末数学试卷((有答案))
2017-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣12．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（）A．0B．2C．3D．﹣35．（3分）下列运算正确的是（）A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7C．b2•b4=b8D．a•（a﹣2b）=a2+2ab6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为（）A．2B．C．4D．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是．15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．23．（5分）解分式方程：．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2020学年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2020学年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2020学年地铁每小时的客运量？26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c 为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b=（用含x的式子表示）28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．2017-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形定义判断即可．【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是，故选：A．【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、=|a+b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（）A．0B．2C．3D．﹣3【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣2=0且x+3≠0，∴x=2．故选：B．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．5．（3分）下列运算正确的是（）A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7C．b2•b4=b8D．a•（a﹣2b）=a2+2ab【分析】根据整式的除法和乘法判断即可．【解答】解：A、b5÷b3=b2，正确；B、（b5）2=b10，错误；C、b2•b4=b6，错误；D、a•（a﹣2b）=a2﹣2ab，错误；故选：A．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC的长为（）A．2B．C．4D．【分析】在Rt△BDE中可先求得BD的长，则可求得AB的长，由条件又可证得△ABC为等边三角形，则可求得AC=AB，可求得答案．【解答】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB的长是解题的关键．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC ≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab【分析】长方形ABCD的面积可以表示为a（a+b），也可表示为两个长方形的面积和，即a2+ab，所以a（a+b）=a2+ab【解答】解：∵长方形ABCD面积=两个小长方形面积的和，∴可得a（a+b）=a2+ab故选：D．【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式．9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2，∴∠P1OP2=2∠AOB=80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12．（2分）在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2，1）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标．【解答】解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．13．（2分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A=∠D使得△ABC≌△DEF．【分析】根据全等三角形的判定定理填空．【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：∵FB=CE，∴BC=EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠A=∠D．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．14．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是18或21．【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当5为底时，其它两边都为8，5、8、8可以构成三角形，周长为21；当5为腰时，其它两边为5和8，5、5、8可以构成三角形，周长为18，所以答案是18或21．故填18或21．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论15．（2分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，则∠B的度数为70°．【分析】根据全等三角形的性质得出AB=AD，∠BAC=∠DAF，求出∠BAD=∠∠EAC=40°，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ADB，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠∠EAC，∵∠EAC=40°，∴∠BAD=40°，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB=（180°﹣∠BAD）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB=AD和求出∠BAD=∠EAC是解此题的关键．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为4cm．【分析】先由BC=10cm，BD：DC=3：2计算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．17．（2分）如果实数a，b满足a+b=6，ab=8，那么a2+b2=20．【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a+b=6，ab=8，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=36﹣16=20，故答案为：20【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：如图，∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．三、解答题（本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）计算：．【分析】利用零指数幂、负整数幂的意义和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=++2﹣1=+2+1=3+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．20．（5分）因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．（5分）如图，点E，F在线段AB上，且AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．【分析】利用AE=BF，得到AF=BE，证明△ADF≌△BCE（SAS），即可得到DF=CE（全等三角形的对应边相等）．【解答】证明：∵点E，F在线段AB上，AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即：AF=BE，在△ADF与△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS）∴DF=CE（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△ADF≌△BCE．22．（5分）已知x2+x=2，求（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后根据x2+x=2，即可解答本题．【解答】解：（x+2）2﹣x（x+3）+（x+1）（x﹣1）=x2+4x+4﹣x2﹣3x+x2﹣1=x2+x+3，∵x2+x=2，∴原式=2+3=5．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．23．（5分）解分式方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得1+2（x﹣2）=﹣1﹣x解得：x=，经检验x=是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（5分）先化简，再求值：，其中x=﹣2．【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式=•=，当x=﹣2时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2020学年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2020学年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2020学年地铁每小时的客运量？【分析】设2002年地铁每小时客运量x万人，则2020学年地铁每小时客运量4x万人，根据2020学年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时列出分式方程，求出答案即可．【解答】解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2020学年地铁每小时客运量4x万人，由题意得，解得x=6，经检验x=6是分式方程的解，答：2020学年每小时客运量24万人．【点评】本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键．26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠MAD+∠ADC=180°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．27．（6分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c 为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0（3）已知a=x2﹣1（x≠0），且a，b的“如意数”c=x3+3x2﹣1，则b=x+2（用含x的式子表示）【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断；（2）利用配方法即可解决问题；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出b即可；【解答】解：（1）c=×1++1=2+1．（2）∵c=（m﹣4）（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）=﹣m2+4m﹣4=﹣（m﹣2）2≤0，∴c≤0．（3）由题意x3+3x2﹣1=（x2﹣1）b+（x2﹣1）+b，∴x2b=x3+2x2，∵x≠0，∴b=x+2．故答案为x+2．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据∠AEB=∠D+∠PAD，只要求出∠D，∠DAE即可；（3）结论：CE+AE=BE．在BE上取点M使ME=AE，只要证明△AEC≌△AMB即可解决问题；【解答】解：（1）图象如图所示；（2）在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°，由对称可知：AC=AD，∠PAC=∠PAD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠D，∵∠PAC=20°，∴∠PAD=20°，∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100°，∴，∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°．（3）结论：CE+AE=BE．理由：在BE上取点M使ME=AE，在等边△ABC中，AC=AB，∠BAC=60°由对称可知：AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．∵AD=AC=AB，∴，∴∠AEB=60﹣x+x=60°．∴△AME为等边三角形，易证：△AEC≌△AMB，∴CE=BM，∴CE+AE=BE．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
2019-2020学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（）A．9×10﹣4B．9×10﹣3C．0.9×10﹣3D．0.9×10﹣42．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）D．（a+2）2＝a2+4a+43．（2分）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（）A．①B．②C．③D．④4．（2分）下列各式计算正确的是（）A．3a2•a﹣1＝3a B．（ab2）3＝ab6C．（x﹣2）2＝x2﹣4D．6x8÷2x2＝3x45．（2分）对于任意的实数x，总有意义的分式是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC 的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°7．（2分）若分式的值为正数，则x需满足的条件是（）A．x为任意实数B．xC．x D．x8．（2分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（）A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上9．（2分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B 和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°C．∠MON＝30°D．OC＝2BC10．（2分）已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN＝QM，则满足条件的点N的个数为（）A．1个B．2个C．1或2个D．无数个二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）因式分解：a3﹣9a＝．12．（2分）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为．13．（2分）如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件：，使得△ABC≌△AED．14．（2分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A，C重合，折痕为EF．若∠BAE＝28°，则∠AEF的大小为°．15．（2分）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP 的最小值等于．16．（2分）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开式中各项的系数．（1）（a+b）5展开式中a4b的系数为；（2）（a+b）7展开式中各项系数的和为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：．18．（5分）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．已知：线段m，n及∠O．求作：△ABC，使得线段m，n及∠O分别是它的两边和一角．作法：如图，①以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N；②画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；④画射线AD；⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．请回答：（1）步骤③得到两条线段相等，即＝；（2）∠A＝∠O的作图依据是；（3）小红说小明的作图不全面，原因是．19．（5分）计算：（）﹣2﹣+（π﹣5）0+||．20．（5分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．21．（5分）计算：[（m+n）（m﹣n）+（m﹣n）2﹣4m（m﹣n）]÷2m．22．（5分）解方程：．23．（6分）在三角形纸片ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，点E在AC上，AE＝3．将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A′E交BC于点F．（1）求∠CFE的度数；（2）如图2，继续将纸片沿BF折叠，点A′的对应点为A″，A″F交DE于点G．求线段DG的长．24．（6分）如图，△ABC．（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC ＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．25．（6分）先化简，再求值：÷，其中a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数．26．（6分）列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000平方米增加到330000平方米．参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：届别总面积（平方米）参展企业数量企业平均展览面积（平方米）首届270000x第二届330000（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．27．（7分）在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．①补全图形；②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．28．（7分）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，M n都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PM n，那么称点M1，M2，M3，……，M n为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PM n为△ABC关于点P的等距线段．（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．①点B，C△ABC关于点P的等距点，线段P A，PB△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．A；2．C；3．D；4．A；5．B；6．C；7．C；8．A；9．D；10．C；二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．a（a+3）（a﹣3）；12．2；13．答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD；14．59；15．4；16．5；128；三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．；18．BD；MN；三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；；（1+12.8%）x；27．；28．是；不是；。
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设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对 话内容，下列选项错误的是（ ）
A. 4+4−4=6 B. 4+40+40=6 C. 4+34+4=6 D. 4−1÷4+4=6
6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. 32
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A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
9. 如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC 于 D，BE 是∠ABC 的平分线，且交
AD 于 P，如果 AP=2，则 AC 的长为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10. 定义运算“※”：a※b=aa−b，a＞bbb−a，a＜b．若 5※x=2，则 x 的值为（ ）
2. 若分式 1a−1 有意义，则 a 的取值范围是（ ）
A. a≠1
B. a≠0
C. a≠1 且 a≠0
D. 一切实数
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 3x2+2x3=5x5 B. a⋅a2=a3
C. 3a6÷a3=3a2 D. (ab)3=a3b
4. 2017 年 12 月 15 日，北京 2022 年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽
19. 在三个整式 x2+2xy，y2+2xy，x2 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所 得整式可以因式分解，并进行因式分解．
20. 解分式方程：2xx+3+1=72x+6．
21. 先化简(1−1a−2)÷a2−6a+9a2−4，然后 a 在-2，0，1，2，3 中选择一个合适的数 代入并求值．
A. 52
B. 52 或 10
C. 10
D. 52 或 152
二、填空题（本大题共 6 小题，共 14.0 分）
11. 分解因式：2ax2-8a=______．
12. 多项式（mx+8）（2-3x）展开后不含 x 项，则 m=______．
13. 当 x=______时，分式 x2−4x−2 的值为 0．
15. 如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，过点 D 作边 AB 的垂线 l，E 是 l 上任意一点，且 AC=5，BC=8，则△AEC 的 周长最小值为______．
16. 已知在△ABC 中，AB=AC． （1）若∠A=36°，在△ABC 中画一条线段，能得到 2 个等腰三角形（不包括 △ABC）， 这 2 个等腰三角形的顶角的度数分别是______；
25. 如图，AE 是△ACD 的角平分线，B 在 DA 延长线上，AE∥BC，F 为 BC 中点，判断
AE 与 AF 的位置关系并证明．
26. 阅读下列材料，然后回答问题：
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−12−1=2-1． 13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−23−2=3-2． （一）13+2 还可以用以下方法化简： 13+23−23+2=(3)2−(2)23+2=(3+2)(3−2)3+2=3−2． （二） （1）请用不同的方法化简 25+3． 参照（一）式得 25+3=______； 参照（二）式得 25+3=______； （2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解
14. 课本上有这样一道例题：
作法：（1）作线段 AB=a
（2）作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D．
（3）在 MN 上取一点 C，使 DC=h．
（4）连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形．
请你思考只要 CD 垂直平分 AB，那么△ABC 就是等腰三角形的依据是______．
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（2）若∠A≠36°，当∠A=______时，在等腰△ABC 中画一条线段，能得到 2 个等腰 三角形（不包括 △ABC）．（写出两个答案即可） 三、解答题（本大题共 12 小题，共 56.0 分） 17. 计算：9+（2-π）0-（12）-2．
18. 计算： （1）(12+3)−(2−12)； （2）（x-2）2-（x+3）（x-3）．
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22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3），B （1，0），C（1，2）． （1）在图中作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1； （2）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，写出所有符合条件的点 D 坐标．
23. 如图，点 B、F、C、E 在直线 l 上（F、C 之间不能直接测量），点 A、D 在 l 异侧， 测得 AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若 BE=10m，BF=3m，求 FC 的长度．
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24. 列方程解应用题： 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程， 它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原 来的 180 千米缩短到 50 千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时 速多 40 千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仪为原来路程行驶完全 程时间的 16，求港珠澳大桥的设计时速是多少？
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八年级（上）期末数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为 0.00000032mm，数据 0.00000032 用科学记
数法表示正确的是（ ）
A. 3.2×107
B. 3.2×108
C. 3.2×10−7
D. 3.2×10−8
B. 23
C. 43
D. 3x3
7. 已知 am=2，an=3，则 a3m+2n 的值是（ ）
A. 6
B. 24
C. 36
D. 72
8. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB=AE， ②BC=ED，③∠C=∠D，④∠B=∠E，这四个关系中可以选择的是（ ）